ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Integral tak tentu

•
•
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, integral trigonometri, dan contoh soal integral. Terdapat penjelasan tentang teorema-teorema integral dan aturan-aturan integral seperti substitusi, parsial, dan trigonometri beserta pembuktiannya. Juga diberikan contoh penyelesaian soal integral.

1 of 8
Downloaded 29 times
4 4 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Jika n bilangan rasional dan n 1, maka n x dx 11 1 n x n c di mana c adalah konstanta. Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka ( )kf x dx k ( )f x dx Teorema 1 Teorema 2 B. Integral Tak Tentu d. g4 (x) 2 1 1 1 0 1 1 4 2 2 1 1 1 0 1 1 x x c x 3 2 11 4 1 3 2 2 x x x c 3 21 1 2 3 2 x x x c Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval ,a b sedemikian hingga ( ( ))d F x dx f(x), maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) c. Secara matematis, ditulis ( )f x dx F(x) c di mana dx Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c Konstanta Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan 3 2 3 x x dx c karena 3 2 3 d x c x dx Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.
Bab 1 Integral 5 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ( ( ) ( ))f x g x dx ( ) ( )f x dx g x dx Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx Aturan integral substitusi Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka 11 ( ( )) ( ) ( ( )) 1 r r u x u x dx u x r c, di mana c adalah konstanta dan r 1. Aturan integral parsial Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka udv uv v du Teorema 3 Teorema 4 Teorema 5 Teorema 6 Aturan integral trigonometri • cos sinx dx x c • sin cosx dx x c • 2 1 tan cos dx x c x di mana c adalah konstanta Teorema 7
6 6 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan xn 1 c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. 1 ( )nd x c dx (n 1)xn 11 1 nd x c n dx 1 1 1 n n x n 1 1 n d x c dx n xn Sehingga 11 1 n n x dx x c n Pembuktian Teorema 1 1 Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan ( ) ( )f x dx g x dx yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x dx dx dx ( ) ( ) ( ) ( ) d f x dx g x dx f x g x dx Sehingga didapat: ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx . . . kalikan kedua ruas dengan 1 1n Hitunglah integral dari 2 (3 3 7) !x x dx Jawab: 2 2 (3 3 7) 3 3 7x x dx x dx x dx dx (Teorema 2, 3, dan 4) 2 13 3 7 2 1 1 1 x x x c (Teorema 1) 3 23 7 2 x x x c 2 3 23 Jadi, (3 3 7) 7 . 2 x x dx x x x c Contoh Pembuktian Teorema 3 dan 4
Bab 1 Integral 7 Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi f(x) u(x) v(x) adalah ( ) ( ) d u x v x u x v x v x u x dx Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti berikut. d u x v x u x v x dx v x u x dx dx u x v x u x v x dx v x u x dx u x v x dx u x v x v x u x dx Karena v (x) dx dv dan u’(x) dx du Maka persamaan dapat ditulis u dv uv v du Pembuktian Teorema 6 B. 1. Aturan Integral Substitusi Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Hitunglah integral dari: a. 2 9x x dx b. sin x dx x c. 2 4 1 2 x dx x Jawab: a. Misalkan u 9 x2 , maka du 2x dx 2 dux dx 1 1 2 2 2 29 9 2 dux x dx x x dx u 3 1 2 2 21 1 2 2 3 uu du c 2 31 2 1 2 3 3 u c u u c 2 21 9 9 3 x x c Jadi, 2 2 219 9 9 3 x x dx x x c . Contoh
8 8 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Pembuktian Teorema 7 Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri, yaitu d dx (sin x) cos x, d dx (cos x) sin x, dan d dx (tan x) sec2 x. Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri menggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas seperti berikut. • Dari d dx (sin x) cos x diperoleh cosx dx sin x c • Dari d dx (cos x) sin x diperoleh sinx dx cos x c • Dari d dx (tan x) sec2 x diperoleh 2 sec x tan x c b. Misalkan u 1 2 x x du dx 1 2 1 1 2 2 x x dx 2 x du, sehingga sin sinx u dx x x 2 x 2 sin 2 cos 2 cos du u du u c x c c. Misalkan u 1 2x2 , maka du 4x dx dx 4 du x sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut. 42 1 2 x dx x 4 ( 4 ) x du u x (Teorema 5) 41 4 u du 31 1 4 3 u c 1 12 u 3 c Substitusi u 1 2x2 ke persamaan 12u 3 c 42 1 2 x dx x 1 12 u 3 c 1 12 (1 2x2 ) 3 c Jadi, 2 4 (1 2 ) x dx x 1 12 (1 2x2 ) 3 c 2 3 1 . 12(1 2 ) c x
Bab 1 Integral 9 B. 2. Integral dengan Bentuk ,2 2 2 2 a x a x , dan 2 2 x a Pengintegralan bentuk-bentuk 2 2 2 2 ,a x a x , dan 2 2 x a dapat dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x a tan t , x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini. 1. Hitunglah setiap integral berikut! a. sin (3 1) cos (3 1)x x dx b. 2 2 9 x dx x Jawab: a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x 1) cos (3x 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu Contoh 2 2 a x 2 2 2 2 2 sin 1 sina a t a t 2 2 cos cosa t a t 2 2 a x 2 2 2 2 2 tan 1 tana a t a t 2 2 sec seca t a t 2 2 x a 2 2 2 2 2 sec sec 1a t a a t 2 2 tan tana t a t Ingat 1 1 2 1 a a a ax b dx ax b c ax b dx ax b c ax b dx ax b c cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) sec ( ) tan ( ) Gambar 1.1 Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri: (i) 2 2 cosa x a t , (ii) 2 2 seca x a t , (iii) 2 2 tanx a a t x a t 2 2 a x x a t 2 2 x a a x t 2 2 x a (i) (ii) (iii)
10 10 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam sin cos 1 2 sin 2 . Dengan rumus ini, kalian mendapatkan: 1 sin (3 1) cos (3 1) sin (6 2) 2 1 sin (6 2) 2 1 1 cos (6 2) 2 6 1 cos (6 2) 12 x x dx x dx x dx x c x c Jadi, 1sin 3 1 cos 3 1 cos 6 2 12 x x dx x c b. Misalkan, x 3 sin t, maka sin t 3 x dan dx 3 cos t dt. Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini! Dari segitiga di samping, cos t 2 9 3 x 2 9 x 3 cos t 2 2 9 x dx x 2 (3sin ) 3cos 3cos t t dt t 9 2 sin t 1 (1 cos2 ) 2 t dt 2 2 9 x dx x 9 (1 cos2 ) 2 t dt 9 1 sin 2 2 2 t t c 9 9 sin 2 2 4 t t c 9 9 sin cos 2 2 t t t c 2 19 9 9 sin 2 3 2 3 3 x x x c 1 29 sin 9 2 3 2 x x x c Jadi, 2 1 2 2 9 sin 9 2 3 29 x x xdx x c x Ingat Integral bentuk: • 2 2 a x diubah menjadi x a sin t • 2 2 a x diubah menjadi x a tan t • 2 2 x a diubah menjadi x a sec t 3 t 2 9 x x Ingat, rumus kosinus sudut rangkap cos 2t 1 2 sin2 t a
Bab 1 Integral 11 2. Jika g’(x) 2x 3 dan g(2) 1, tentukanlah g(x). Jawab: g(x) '( )g x dx (2 3)x dx x2 3x c Karena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut. g(x) x2 3x c g(2) 22 3 2 c 1 4 6 c 1 2 c c 1 2 c 3 Jadi, g(x) x2 3x 3 3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik ( 2, 12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung 6 15 dy x dx . Jawab: dy dx 6x 15 y (6 15)x dx 3x2 15x c f(x) 3x2 15x c Karena kurva melalui titik ( 2, 12), maka: f( 2) 3( 2)2 15( 2) c 12 3 4 30 c 12 12 30 c 12 42 c c 12 42 c 30 Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) 3x2 15x 30. Asah Kompetensi 1 1. Hitunglah setiap integral berikut! a. 3 2x dx c. 4 31 ( 2 3) 4 x x dx b. 2 (4 3 5)x x dx d. 3 2 1 (5 10 3 ) 4 x x x dx 2. Jika g’(x) 4x 5 dan g(3) 6, tentukanlah g(x). 3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgung 3 dy x dx .

More Related Content

Integral tak tentu

  • 1. 4 4 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Jika n bilangan rasional dan n 1, maka n x dx 11 1 n x n c di mana c adalah konstanta. Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka ( )kf x dx k ( )f x dx Teorema 1 Teorema 2 B. Integral Tak Tentu d. g4 (x) 2 1 1 1 0 1 1 4 2 2 1 1 1 0 1 1 x x c x 3 2 11 4 1 3 2 2 x x x c 3 21 1 2 3 2 x x x c Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval ,a b sedemikian hingga ( ( ))d F x dx f(x), maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) c. Secara matematis, ditulis ( )f x dx F(x) c di mana dx Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c Konstanta Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan 3 2 3 x x dx c karena 3 2 3 d x c x dx Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.
  • 2. Bab 1 Integral 5 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ( ( ) ( ))f x g x dx ( ) ( )f x dx g x dx Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx Aturan integral substitusi Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka 11 ( ( )) ( ) ( ( )) 1 r r u x u x dx u x r c, di mana c adalah konstanta dan r 1. Aturan integral parsial Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka udv uv v du Teorema 3 Teorema 4 Teorema 5 Teorema 6 Aturan integral trigonometri • cos sinx dx x c • sin cosx dx x c • 2 1 tan cos dx x c x di mana c adalah konstanta Teorema 7
  • 3. 6 6 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan xn 1 c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. 1 ( )nd x c dx (n 1)xn 11 1 nd x c n dx 1 1 1 n n x n 1 1 n d x c dx n xn Sehingga 11 1 n n x dx x c n Pembuktian Teorema 1 1 Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan ( ) ( )f x dx g x dx yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x dx dx dx ( ) ( ) ( ) ( ) d f x dx g x dx f x g x dx Sehingga didapat: ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx . . . kalikan kedua ruas dengan 1 1n Hitunglah integral dari 2 (3 3 7) !x x dx Jawab: 2 2 (3 3 7) 3 3 7x x dx x dx x dx dx (Teorema 2, 3, dan 4) 2 13 3 7 2 1 1 1 x x x c (Teorema 1) 3 23 7 2 x x x c 2 3 23 Jadi, (3 3 7) 7 . 2 x x dx x x x c Contoh Pembuktian Teorema 3 dan 4
  • 4. Bab 1 Integral 7 Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi f(x) u(x) v(x) adalah ( ) ( ) d u x v x u x v x v x u x dx Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti berikut. d u x v x u x v x dx v x u x dx dx u x v x u x v x dx v x u x dx u x v x dx u x v x v x u x dx Karena v (x) dx dv dan u’(x) dx du Maka persamaan dapat ditulis u dv uv v du Pembuktian Teorema 6 B. 1. Aturan Integral Substitusi Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Hitunglah integral dari: a. 2 9x x dx b. sin x dx x c. 2 4 1 2 x dx x Jawab: a. Misalkan u 9 x2 , maka du 2x dx 2 dux dx 1 1 2 2 2 29 9 2 dux x dx x x dx u 3 1 2 2 21 1 2 2 3 uu du c 2 31 2 1 2 3 3 u c u u c 2 21 9 9 3 x x c Jadi, 2 2 219 9 9 3 x x dx x x c . Contoh
  • 5. 8 8 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Pembuktian Teorema 7 Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri, yaitu d dx (sin x) cos x, d dx (cos x) sin x, dan d dx (tan x) sec2 x. Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri menggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas seperti berikut. • Dari d dx (sin x) cos x diperoleh cosx dx sin x c • Dari d dx (cos x) sin x diperoleh sinx dx cos x c • Dari d dx (tan x) sec2 x diperoleh 2 sec x tan x c b. Misalkan u 1 2 x x du dx 1 2 1 1 2 2 x x dx 2 x du, sehingga sin sinx u dx x x 2 x 2 sin 2 cos 2 cos du u du u c x c c. Misalkan u 1 2x2 , maka du 4x dx dx 4 du x sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut. 42 1 2 x dx x 4 ( 4 ) x du u x (Teorema 5) 41 4 u du 31 1 4 3 u c 1 12 u 3 c Substitusi u 1 2x2 ke persamaan 12u 3 c 42 1 2 x dx x 1 12 u 3 c 1 12 (1 2x2 ) 3 c Jadi, 2 4 (1 2 ) x dx x 1 12 (1 2x2 ) 3 c 2 3 1 . 12(1 2 ) c x
  • 6. Bab 1 Integral 9 B. 2. Integral dengan Bentuk ,2 2 2 2 a x a x , dan 2 2 x a Pengintegralan bentuk-bentuk 2 2 2 2 ,a x a x , dan 2 2 x a dapat dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x a tan t , x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini. 1. Hitunglah setiap integral berikut! a. sin (3 1) cos (3 1)x x dx b. 2 2 9 x dx x Jawab: a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x 1) cos (3x 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu Contoh 2 2 a x 2 2 2 2 2 sin 1 sina a t a t 2 2 cos cosa t a t 2 2 a x 2 2 2 2 2 tan 1 tana a t a t 2 2 sec seca t a t 2 2 x a 2 2 2 2 2 sec sec 1a t a a t 2 2 tan tana t a t Ingat 1 1 2 1 a a a ax b dx ax b c ax b dx ax b c ax b dx ax b c cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) sec ( ) tan ( ) Gambar 1.1 Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri: (i) 2 2 cosa x a t , (ii) 2 2 seca x a t , (iii) 2 2 tanx a a t x a t 2 2 a x x a t 2 2 x a a x t 2 2 x a (i) (ii) (iii)
  • 7. 10 10 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam sin cos 1 2 sin 2 . Dengan rumus ini, kalian mendapatkan: 1 sin (3 1) cos (3 1) sin (6 2) 2 1 sin (6 2) 2 1 1 cos (6 2) 2 6 1 cos (6 2) 12 x x dx x dx x dx x c x c Jadi, 1sin 3 1 cos 3 1 cos 6 2 12 x x dx x c b. Misalkan, x 3 sin t, maka sin t 3 x dan dx 3 cos t dt. Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini! Dari segitiga di samping, cos t 2 9 3 x 2 9 x 3 cos t 2 2 9 x dx x 2 (3sin ) 3cos 3cos t t dt t 9 2 sin t 1 (1 cos2 ) 2 t dt 2 2 9 x dx x 9 (1 cos2 ) 2 t dt 9 1 sin 2 2 2 t t c 9 9 sin 2 2 4 t t c 9 9 sin cos 2 2 t t t c 2 19 9 9 sin 2 3 2 3 3 x x x c 1 29 sin 9 2 3 2 x x x c Jadi, 2 1 2 2 9 sin 9 2 3 29 x x xdx x c x Ingat Integral bentuk: • 2 2 a x diubah menjadi x a sin t • 2 2 a x diubah menjadi x a tan t • 2 2 x a diubah menjadi x a sec t 3 t 2 9 x x Ingat, rumus kosinus sudut rangkap cos 2t 1 2 sin2 t a
  • 8. Bab 1 Integral 11 2. Jika g’(x) 2x 3 dan g(2) 1, tentukanlah g(x). Jawab: g(x) '( )g x dx (2 3)x dx x2 3x c Karena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut. g(x) x2 3x c g(2) 22 3 2 c 1 4 6 c 1 2 c c 1 2 c 3 Jadi, g(x) x2 3x 3 3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik ( 2, 12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung 6 15 dy x dx . Jawab: dy dx 6x 15 y (6 15)x dx 3x2 15x c f(x) 3x2 15x c Karena kurva melalui titik ( 2, 12), maka: f( 2) 3( 2)2 15( 2) c 12 3 4 30 c 12 12 30 c 12 42 c c 12 42 c 30 Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) 3x2 15x 30. Asah Kompetensi 1 1. Hitunglah setiap integral berikut! a. 3 2x dx c. 4 31 ( 2 3) 4 x x dx b. 2 (4 3 5)x x dx d. 3 2 1 (5 10 3 ) 4 x x x dx 2. Jika g’(x) 4x 5 dan g(3) 6, tentukanlah g(x). 3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgung 3 dy x dx .