際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Interpolasi

Ariez Pernah Cuakep
Ariez Pernah Cuakep

Bab ini membahas beberapa metode interpolasi untuk menentukan titik-titik antara dari beberapa titik acuan, yaitu interpolasi linier, kuadratik, polinomial, dan Lagrange. Interpolasi linier menggunakan garis lurus, kuadratik menggunakan fungsi kuadrat, polinomial menggunakan fungsi polinomial, dan Lagrange menggunakan kombinasi deret titik acuan.

1 of 4
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 99 BAB 8 Interpolasi Linier, Kuadratik, Polinomial, dan Lagrange Tujuan : Mempelajari berbagai metode Interpolasi yang ada untuk menentukan titik- titik antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu. Metode Interpolasi yang dipelajari : 1. Interpolasi Linier 2. Interpolasi Kuadratik 3. Interpolasi Polinomial 4. Interpolasi Lagrange Dasar Teori : Interpolasi Linier Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus. Gambar 22.1. Kurva untuk interpolasi linier Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan: 12 1 12 1 xx xx yy yy = 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5*x+1 P1(x1,y1) P2(x2,y2) Q (x,y)
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 100 Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut: ( ) 11 12 12 yxx xx yy y + = Algoritma Interpolasi Linier : (1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dengan : ( ) 11 12 12 yxx xx yy y + = (4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y) Interpolasi Kuadratik Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat. Gambar 22.2. Kurva untuk interpolasi kuadratik Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut: ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( 2313 21 3 3212 31 2 3121 32 1 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yy + + = Algoritma Interpolasi Kuadratik: (1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 2*x**2-9*x+12 P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) Q(x,y)
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 101 (3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik: ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( 2313 21 3 3212 31 2 3121 32 1 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yy + + = (4) Tampilkan nilai x dan y Interpolasi Polinomial Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1: 1 1 2 210 ... ++++= n n xaxaxaay Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas: 1 11 3 13 2 121101 ... +++++= n n xaxaxaxaay 1 21 3 23 2 222102 ... +++++= n n xaxaxaxaay 1 31 3 33 2 323103 ... +++++= n n xaxaxaxaay . 1 1 3 3 2 210 ... +++++= n nnnnnn xaxaxaxaay Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, , an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan. Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut. Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui. (2) Memasukkan titik-titik yang diketahui ),( iii yxP = untuk i=1,2,3,,N (3) Menyusun augmented matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut: 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = n n nnn n n n y y y y xxx xxx xxx xxx J ... ...1 ............... ...1 ...1 ...1 3 2 1 12 1 3 2 33 1 2 2 22 1 1 2 11
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 102 (4) Menyelesaikan persamaan simultan dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan. (5) Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan di atas. { }10),,( も== niniJaaa ii (6) Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui (7) Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan = = 1 0 N i i i xay (8) Menampilkan titik (x,y) Interpolasi Lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan: = = N i ji j ij i xx xx yy 1 )( )( Algoritma Interpolasi Lagrange : (1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui (2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,,N (3) Tentukan x dari titik yang dicari (4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange = = N i ji j ij i xx xx yy 1 )( )( (5) Tampilkan nilai (x,y)

More Related Content

Interpolasi

  • 1. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 99 BAB 8 Interpolasi Linier, Kuadratik, Polinomial, dan Lagrange Tujuan : Mempelajari berbagai metode Interpolasi yang ada untuk menentukan titik- titik antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu. Metode Interpolasi yang dipelajari : 1. Interpolasi Linier 2. Interpolasi Kuadratik 3. Interpolasi Polinomial 4. Interpolasi Lagrange Dasar Teori : Interpolasi Linier Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus. Gambar 22.1. Kurva untuk interpolasi linier Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan: 12 1 12 1 xx xx yy yy = 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5*x+1 P1(x1,y1) P2(x2,y2) Q (x,y)
  • 2. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 100 Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut: ( ) 11 12 12 yxx xx yy y + = Algoritma Interpolasi Linier : (1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dengan : ( ) 11 12 12 yxx xx yy y + = (4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y) Interpolasi Kuadratik Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat. Gambar 22.2. Kurva untuk interpolasi kuadratik Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut: ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( 2313 21 3 3212 31 2 3121 32 1 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yy + + = Algoritma Interpolasi Kuadratik: (1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 2*x**2-9*x+12 P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) Q(x,y)
  • 3. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 101 (3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik: ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( 2313 21 3 3212 31 2 3121 32 1 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yy + + = (4) Tampilkan nilai x dan y Interpolasi Polinomial Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1: 1 1 2 210 ... ++++= n n xaxaxaay Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas: 1 11 3 13 2 121101 ... +++++= n n xaxaxaxaay 1 21 3 23 2 222102 ... +++++= n n xaxaxaxaay 1 31 3 33 2 323103 ... +++++= n n xaxaxaxaay . 1 1 3 3 2 210 ... +++++= n nnnnnn xaxaxaxaay Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, , an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan. Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut. Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui. (2) Memasukkan titik-titik yang diketahui ),( iii yxP = untuk i=1,2,3,,N (3) Menyusun augmented matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut: 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = n n nnn n n n y y y y xxx xxx xxx xxx J ... ...1 ............... ...1 ...1 ...1 3 2 1 12 1 3 2 33 1 2 2 22 1 1 2 11
  • 4. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS 102 (4) Menyelesaikan persamaan simultan dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan. (5) Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan di atas. { }10),,( も== niniJaaa ii (6) Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui (7) Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan = = 1 0 N i i i xay (8) Menampilkan titik (x,y) Interpolasi Lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan: = = N i ji j ij i xx xx yy 1 )( )( Algoritma Interpolasi Lagrange : (1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui (2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,,N (3) Tentukan x dari titik yang dicari (4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange = = N i ji j ij i xx xx yy 1 )( )( (5) Tampilkan nilai (x,y)