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K040 确率分布とchi2分布

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1 情報統計学 确率分布 独立性 期待値と分散 正規分布 20120525 一部修正
确率 2 ? A という結果が起きる确率→ Pr(A) と書く。
确率分布 3 ? 确率分布 その結果がどんな确率で起きるかをまとめたもの ? 離散型分布 ? 連続型分布 ? 特定の値 a を取る确率は 0 ? 幅をつけて考える
累積分布関数 Cummulative Distribution Function, CDF 4 ? 定義 ? 确率変数 X に対して を确率変数 X の累積分布関数という。 ? 确率密度関数 ? 累積分布関数 F(x) が微分可能なとき，導関数 を确率変数 X の（确率）密度関数 (probability density function, pdf) とい う。 确率密度関数があるときには，
分布関数の性质 5
関数のグラフ 6 ? R で関数のグラフを書く。 ? 确率密度関数 ? 累積分布関数 1.0 0.5 ? curve ? curve( 関数名 , 左端 , 　右端 ) sin (x) 0.0 ? curve(sin, 0, 2*pi) -0.5 ? curve variation ? curve(sin, 0, 2*pi) -1.0 ? curve(cos, 0, 2*pi) 0 1 2 3 4 5 6 x ? curve(sin, 0, 2*pi, add=T) ? curve(sin, 0, 2*pi, add=T, col=“red”) ? plot(sin, 0, 2*pi)
関数を探す 7 ? 正規分布 (normal distribution) ? 関数名に Normal が付くものを探す ? help.search(“Normal”) ? Normal の中に関連するものがありそう ? help(“Normal”) で使い方をみる または ? ?Normal でもよい。
分布に関连する関数 8 ? 分布名 ? 関数名の頭文字 ? 正規分布 norm ? p分布名 分布関数 ? ｔ - 分布 t ? Pr(X<x) ? カイ 2 乗分布 chisq ? d 分布名 密 ? F分布 f 度関数 ? 一様分布 ? density function unif ? 二項分布 ? q 分布名 分 binom 位点 ? ポアソン分 poi ? quantile ? r 分布名 乱 数 ? random number
標準正規分布 (standard Normal Distribution) 9 ? 累積分布関数 1.0 0.8 0.6 pnorm (x) 0.4 curve(pnorm, -4, 4) 0.2 0.0 ? 确率密度関数 -4 -2 0 x 2 4 0.4 0.3 dnorm (x) curve(dnorm, -4, 4) 0.2 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4
正規分布表の使い方 ? 数表は「標準正規分布」 Z ～ N(0,1) Pr(Z<0.91)
11 下側 α 点 qnorm 関数 qnorm(0.025, lower.tail = F) qnorm(0.025)
标準化、偏差値 12 ? 標準化 X ?? X ~ N (? ,σ ) ? Z = 2 ~ N (0,1) σ ? 偏差値 X ~ N (? ,σ ) 2 X ?? ? 偏差値 = ×10 + 50 ~ N (50,10 ) 2 σ
演習 ? Z ～ N(0,1) 、 X ～ N(158,25) のとき次の確 率を求めよ。 1) Pr(0 ≤ Z < 1) 2) Pr(1 ≤ Z ) 3) Pr(?2 ≤ Z < ?1) 4) Pr( Z ≥ k ) = 0.05　となるkの値 5) Pr(| Z |< 1) 6) Pr(| Z |> 2) 7) Pr(150 ≤ X < 160) 8) Pr(| X ? 158 |> k ) = 0.05　となるkの値
一様分布 14 ? 确率密度関数 curve(dunif, -0.5, 1.5) 1.0 0.8 0.6 dunif (x) 0.4 0.2 0.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 ? 累積分布関数 x curve(punif, -0.5, 1.5) 1.0 0.8 0.6 punif (x) 0.4 0.2 0.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x
二項分布 (Binomial distribution) ? 1 回の試行 ( 実験 ) で A という事象が起きるか、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　起 きないか ? A という事象が起きる确率が p 、 　　　　　　　　　　起きない确率が q=1-p ? この試行をｎ回行ったとき、 A が起きる回数を X とする。 ? X の分布を二項分布といい、 X ～ Bi(n, p) と表す。
二項分布　その２ ? X の取り得る値　　ｎ回中の回数なので 　　 0, 1, 2, …, n ? Pr(X=k) = A がｎ回中ｋ回起きる确率 　　　　　　 = nCk pk(1-p)n-k ? 分布関数 [ x] F ( x) = Pr( X ≤ x) = ∑ pk k =0 [ x] 　　　　　 ∑ n C x p k (1 ? p ) n ? k = k =0
二项分布　その３ pk = Pr( X = k ) ? 二項分布 Bi(10,1/6) 　　 Ck p k (1 ? p ) n ? k =n ? さいころを 10 回振っ て、 1 の目が出る回数 1 1 　　 Ck ( ) k (1 ? )10? k =10 X の分布 6 6 1.0 p3 = Pr( X = 3) 0.8 1 3 1 10?3 　　 C3 ( ) (1 ? ) =10 0.6 6 6 cdf 0.4 10 × 9 × 8 1 3 5 7 　　 = ( ) ( ) 0.2 3 × 2 ×1 6 6 0.0 0 2 4 6 8 10 　　0.1550454 = x
二項分布 Bi(10,1/6) の分布関数 階段関数 (step function) 1.0 0.8 pbinom(xx, 10, 1/6) 0.6 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10 xx > pbinom(x,10,1/6) [1] 0.1615056 0.4845167 0.7752268 0.9302722 0.9845380 0.9975618 0.9997325 [8] 0.9999806 0.9999992 1.0000000 1.0000000
シミュレーション　（数値実験）　 simulation 19 ? 複雑な問題で式を求めるのが難しい ? 費用がかかりすぎる?時間がかかりすぎる ? シミュレーションとは ? 乱数を使って理論的な結果を検証 ? 理論的には結果を得ることが難しい内容を求めること ? 乱数 ? R では ? 乱数は，分布名に r をつけたもの ? 例：一様乱数　 runif ? 　　正規乱数 rnorm
正規乱数　 rnorm 20 ? 正規分布に従う乱数 ? rnorm( 個数） Histogram of rnorm(100) ? 例えば 0.4 ? rnorm(100) 0.3 ? hist(rnorm(100), freq=F) Density 0.2 ? curve(dnorm, add=T) 0.1 0.0 -3 -2 -1 0 1 2 rnorm(100)
円周率のシミュレーション 21 ? 一辺の長さ 1 の正方形 ? 面積 1 ? 区間 [0, 1] の一様乱数を 2 個 ? 半径 1 の 1/4 円 ? それを x 座標， y 座標とする点 P (x, y) を考え ? 面積 π/4 る ? その点は正方形の中 ? さらに 1/4 円の中に落ちる比率は１： π/4 1.0 0.8 そういう点を n 個発生させ る 0.6 circ (x) ? 1/4 円内の点の個数を m 0.4 ? 全体の点の個数を n ?m/n ≒ π/4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x
22 circ <- function(x) sqrt(1 - x^2) 1.0 curve(circ, 0, 1) lines(c(1, 0), c(0, 0)) lines(c(0, 0), c(1, 0)) 0.8 > sim.pi(1000) 0.6 Type <Return> to start simulation : y 788 of 1000 in the circle. 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x
条件付确率 (conditional prob.) ? 事象 A が起きたという条件の下で 事象 B が起きる确率を考える ? 例　女性で身長が１７０ｃｍ以上 B Pr( A ∩ B ) Pr( B | A) = Pr( A) A Pr(身長 ≥ 170.0 　かつ　女性) Pr(身長 ≥ 170.0 | 女性) = Pr(女性) 0.03976 　　　　　　　　　　 = = 0.0082 0.485
独立事象 ? 条件付确率が条件に無関係のとき 2 つの事象は独立という Pr( B | A) = Pr( B ) Pr( A ∩ B ) Pr( B | A) = = Pr( B ) Pr( A) Pr( A ∩ B ) = Pr( A) Pr( B )
条件付分布 ? X=x という条件の下での Y の分布 G ( y | x) = Pr(Y < y | X = x) Pr(Y < y　and　X = x) 　　　　 = Pr( X = x) h ( x, y ) g ( y | x) = f ( x) h( x, y ) = f ( x ) g ( y | x ) 　　　　 g ( y ) f ( x | y ) =
独立性 ? 2 つの确率変数 X, Y が独立 ? 分布関数 H ( x, y ) = Pr( X < x, Y < y ) 　　　　 Pr( X < x) Pr(Y < y ) = 　　　　 F ( x)G ( y ) = ? 密度関数 h ( x, y ) = f ( x ) g ( y )
期待値 (Expectation) ? データの平均（代表値、どんな値） data : x1 , x2 ,? , xn x1 + x2 + ? + xn mean : x = n ? 确率変数（分布）の期待値（どんな値） 取り得る値 : a1 , a2 ,? , ak 各値の确率 : p1 , p2 ,? , pk 平均 : E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk
确率分布　　　　度数分布表 値 确率 階級 階級値 相対度数 a1 p1 a0~a1 m1 f1 a2 p2 a1~a2 m2 f2 ak pk ak-1~ak mk fk 合計 1.00 合計 1.00 E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk 　　x = m1 f1 + m2 f 2 + ? + mk f k
期待値と分散 X　　　确率変数 f ( x) 　　Xの密度関数 離散型の場合は Xの期待値(平均) 積分の代わりに ∞ 和 (Σ) を使う 　　E ( X ) = ∫ x f ( x)dx　 ?∞ ∞ 　　E (φ ( X )) = ∫ φ ( x) f ( x)dx ?∞ Xの分散 　　V ( X ) = E ( X ? E ( X )) 2 　　　φ ( x) = {x ? E ( X )}2 ∞ 　　　　　 ∫ {x ? E ( X )}2 f ( x)dx = ?∞ 　　　　　 E ( X 2 ) ? {E ( X )}2 =
主な分布の期待と分散 X ~ Bi (n, p ) 　　E ( X ) = np, 　　V ( X ) = npq X ~ Po(λ ) 　　E ( X ) = λ , 　　V ( X ) = λ X ~ U ( a, b) 　　E ( X ) = (a + b) / 2, 　　V ( X ) = (b ? a ) / 12 2 X ~ N (? ,σ ) 2 　　E ( X ) = ? , 　　　V ( X ) = σ 2
31 情報統計学 χ2 分布 t 分布 F 分布
标本分布 32 ? 正規分布から導かれる分布 ?χ2 分布 ?t 分布 ?F 分布
χ2 分布 33 ? 自由度 m の χ2 分布 ? 确率密度関数 ?E(Y)=m ?Var(Y)=2m
χ2 分布 34 ? 确率変数 Z が標準正規分布 N(0,12) に従っているとき， Y = Z2 の分布は自由度 1 の χ2 分布に従う。 ? 确率変数 X1, X2, …, Xn が互いに独立で， Xi が正規分布 N(0,12) に従うとき， Z = X12 + X22 + … + Xn2 は自由度 n の χ2 分布に従う。
χ2 分布の确率密度関数のグラフ 35 ? 自由度 1 ， 2 が特殊 curve(dchisq(x,1), 0, 10, col = 1) #1 は黒 curve(dchisq(x,2), 0, 10, col = 2, add = TRUE) #2 は赤 curve(dchisq(x,3), 0, 10, col = 3, add = TRUE) #3 は緑 curve(dchisq(x,5), 0, 10, col = 4, add = TRUE) #4 は青 1.2 1.0 0.8 dchisq(x, 1) 0.6 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10 x
シミュレーションによる导出 36 ? 標準正規分布を２乗すると χ2 分布になることを乱数を使って確かめる 1. 正規乱数 z を 1 つ取る 2. y=z2 を計算する 3. これを n 回繰り返し， y の値を n 個とる 4. Y の分布を図示し，理論的なものと比較する Histogram of nrdata > nrdata <- rnorm(1000) > summary(nrdata) 200 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -3.34300 -0.66630 0.11250 0.05922 0.75260 3.16000 > sd(nrdata) 150 [1] 1.025253 Frequency > hist(nrdata) 100 50 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 nrdata
nr2data <- nrdata^2 37 mean(nr2data) sd(nr2data) hist(nr2data, freq = F) curve(dchisq(x,1), 0, 9, col = 2, add = T) Histogram of nr2data 0.7 0.6 0.5 0.4 Density 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2 4 6 8 10 12 nr2data
レポート 38 1. X が自由度 m の χ2 分布に従い， Y が自由度 n の χ2 分布に従っ て，互いに独立であれば Z=X+Y の分布は，自由度 (m+n) の χ2 分布に従う。 　再生性というが，このことをシミュレーションを使って確認 せよ。 2. 正規分布も再生性を持つ。このことをシミュレーションを用 いて確かめよ。
t 分布 39 0.4 ? 密度関数のグラフは ? curve(dt(x, 10), -4, 4) 0.3 dt(x, 10) 0.2 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4 x
t 分布と正規分布の确率密度関数 40 ? curve(dt(x, 10), -4, 4) ? curve(dt(x, 2), -4, 4, col = 2, add = TRUE) ? curve(dnorm, -4, 4, col = 3, add = TRUE) 0.4 0.3 dt(x, 10) 0.2 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4
t 分布のパーセント点 41 > qt(0.05, 5) > qt(0.05, c(1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 50, 100)) [1] -6.313752 -2.919986 -2.353363 -2.131847 -2.015048 -1.812461 -1.724718 [8] -1.675905 -1.660234 > qt(c(0.05, 0.95), 5) [1] -2.015048 2.015048 > pt(2.015048, 5) [1] 0.95
シミュレーション 1 42 nrdata <- rnorm(1000) chi2data <- rchisq(1000, 10) 0.4 hist(chi2data) tdata <- nrdata / (sqrt(chi2data / 10)) mean(tdata) 0.3 sd(tdata) curve(dt(x, 10), -4, 4, col = 2) dt(x, 10) 0.2 hist(tdata, freq = F, add=TRUE) 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4 x
シミュレーション 2 43
44
45
46 tcalc <-function(x){ Histogram of sample.t barx <- mean(x) 0.4 sdx <- sd(x) tval <- barx / (sdx / sqrt(length(x))) 0.3 tval } ran <- sapply(rep(10, 1000), rnorm) Density 0.2 sample.t <- apply(ran, 2, tcalc) hist(sample.t, nclass = 20, freq = F) 0.1 curve(dt(x, 9), -4, 4, col = 2, add = T) 0.0 -4 -2 0 2 4
F 分布 47
F 分布の密度関数 48 > curve(df(x,1,10),0.00000001,5,ylim=c(0,1.5)) > curve(df(x,2,10),0.00000001,5,col=2,add=T) > curve(df(x,3,10),0,5,col=3,add=T) 1.5 > curve(df(x,8,10),0,5,col=4,add=T) > curve(df(x,8,20),0,5,col=5,add=T) 1.0 df(x, 1, 10) 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 x
シミュレーション 49 > c8rand <- rchisq(1000, 8) > c10rand <- rchisq(1000, 10) > fprop <- (c8rand / 8) / (c10rand / 10) > hist(fprop, nclass = 20, freq = F) > hist(fprop, nclass = 20, freq = F)$count > curve(df(x,8,10), 0, 5, col = 2, add = TRUE)
50 Histogram of fprop 0.7 0.6 0.5 0.4 Density 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2 4 6 8 10 fprop

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  • 11. 11 下側 α 点 qnorm 関数 qnorm(0.025, lower.tail = F) qnorm(0.025)
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  • 14. 一様分布 14 ? 确率密度関数 curve(dunif, -0.5, 1.5) 1.0 0.8 0.6 dunif (x) 0.4 0.2 0.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 ? 累積分布関数 x curve(punif, -0.5, 1.5) 1.0 0.8 0.6 punif (x) 0.4 0.2 0.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x
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  • 16. 二項分布　その２ ? X の取り得る値　　ｎ回中の回数なので 　　 0, 1, 2, …, n ? Pr(X=k) = A がｎ回中ｋ回起きる确率 　　　　　　 = nCk pk(1-p)n-k ? 分布関数 [ x] F ( x) = Pr( X ≤ x) = ∑ pk k =0 [ x] 　　　　　 ∑ n C x p k (1 ? p ) n ? k = k =0
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  • 21. 円周率のシミュレーション 21 ? 一辺の長さ 1 の正方形 ? 面積 1 ? 区間 [0, 1] の一様乱数を 2 個 ? 半径 1 の 1/4 円 ? それを x 座標， y 座標とする点 P (x, y) を考え ? 面積 π/4 る ? その点は正方形の中 ? さらに 1/4 円の中に落ちる比率は１： π/4 1.0 0.8 そういう点を n 個発生させ る 0.6 circ (x) ? 1/4 円内の点の個数を m 0.4 ? 全体の点の個数を n ?m/n ≒ π/4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x
  • 22. 22 circ <- function(x) sqrt(1 - x^2) 1.0 curve(circ, 0, 1) lines(c(1, 0), c(0, 0)) lines(c(0, 0), c(1, 0)) 0.8 > sim.pi(1000) 0.6 Type <Return> to start simulation : y 788 of 1000 in the circle. 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x
  • 23. 条件付确率 (conditional prob.) ? 事象 A が起きたという条件の下で 事象 B が起きる确率を考える ? 例　女性で身長が１７０ｃｍ以上 B Pr( A ∩ B ) Pr( B | A) = Pr( A) A Pr(身長 ≥ 170.0 　かつ　女性) Pr(身長 ≥ 170.0 | 女性) = Pr(女性) 0.03976 　　　　　　　　　　 = = 0.0082 0.485
  • 24. 独立事象 ? 条件付确率が条件に無関係のとき 2 つの事象は独立という Pr( B | A) = Pr( B ) Pr( A ∩ B ) Pr( B | A) = = Pr( B ) Pr( A) Pr( A ∩ B ) = Pr( A) Pr( B )
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  • 26. 独立性 ? 2 つの确率変数 X, Y が独立 ? 分布関数 H ( x, y ) = Pr( X < x, Y < y ) 　　　　 Pr( X < x) Pr(Y < y ) = 　　　　 F ( x)G ( y ) = ? 密度関数 h ( x, y ) = f ( x ) g ( y )
  • 27. 期待値 (Expectation) ? データの平均（代表値、どんな値） data : x1 , x2 ,? , xn x1 + x2 + ? + xn mean : x = n ? 确率変数（分布）の期待値（どんな値） 取り得る値 : a1 , a2 ,? , ak 各値の确率 : p1 , p2 ,? , pk 平均 : E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk
  • 28. 确率分布　　　　度数分布表 値 确率 階級 階級値 相対度数 a1 p1 a0~a1 m1 f1 a2 p2 a1~a2 m2 f2 ak pk ak-1~ak mk fk 合計 1.00 合計 1.00 E ( X ) = a1 p1 + a2 p2 + ? + ak pk 　　x = m1 f1 + m2 f 2 + ? + mk f k
  • 29. 期待値と分散 X　　　确率変数 f ( x) 　　Xの密度関数 離散型の場合は Xの期待値(平均) 積分の代わりに ∞ 和 (Σ) を使う 　　E ( X ) = ∫ x f ( x)dx　 ?∞ ∞ 　　E (φ ( X )) = ∫ φ ( x) f ( x)dx ?∞ Xの分散 　　V ( X ) = E ( X ? E ( X )) 2 　　　φ ( x) = {x ? E ( X )}2 ∞ 　　　　　 ∫ {x ? E ( X )}2 f ( x)dx = ?∞ 　　　　　 E ( X 2 ) ? {E ( X )}2 =
  • 30. 主な分布の期待と分散 X ~ Bi (n, p ) 　　E ( X ) = np, 　　V ( X ) = npq X ~ Po(λ ) 　　E ( X ) = λ , 　　V ( X ) = λ X ~ U ( a, b) 　　E ( X ) = (a + b) / 2, 　　V ( X ) = (b ? a ) / 12 2 X ~ N (? ,σ ) 2 　　E ( X ) = ? , 　　　V ( X ) = σ 2
  • 31. 31 情報統計学 χ2 分布 t 分布 F 分布
  • 32. 标本分布 32 ? 正規分布から導かれる分布 ?χ2 分布 ?t 分布 ?F 分布
  • 33. χ2 分布 33 ? 自由度 m の χ2 分布 ? 确率密度関数 ?E(Y)=m ?Var(Y)=2m
  • 34. χ2 分布 34 ? 确率変数 Z が標準正規分布 N(0,12) に従っているとき， Y = Z2 の分布は自由度 1 の χ2 分布に従う。 ? 确率変数 X1, X2, …, Xn が互いに独立で， Xi が正規分布 N(0,12) に従うとき， Z = X12 + X22 + … + Xn2 は自由度 n の χ2 分布に従う。
  • 35. χ2 分布の确率密度関数のグラフ 35 ? 自由度 1 ， 2 が特殊 curve(dchisq(x,1), 0, 10, col = 1) #1 は黒 curve(dchisq(x,2), 0, 10, col = 2, add = TRUE) #2 は赤 curve(dchisq(x,3), 0, 10, col = 3, add = TRUE) #3 は緑 curve(dchisq(x,5), 0, 10, col = 4, add = TRUE) #4 は青 1.2 1.0 0.8 dchisq(x, 1) 0.6 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10 x
  • 36. シミュレーションによる导出 36 ? 標準正規分布を２乗すると χ2 分布になることを乱数を使って確かめる 1. 正規乱数 z を 1 つ取る 2. y=z2 を計算する 3. これを n 回繰り返し， y の値を n 個とる 4. Y の分布を図示し，理論的なものと比較する Histogram of nrdata > nrdata <- rnorm(1000) > summary(nrdata) 200 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -3.34300 -0.66630 0.11250 0.05922 0.75260 3.16000 > sd(nrdata) 150 [1] 1.025253 Frequency > hist(nrdata) 100 50 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 nrdata
  • 37. nr2data <- nrdata^2 37 mean(nr2data) sd(nr2data) hist(nr2data, freq = F) curve(dchisq(x,1), 0, 9, col = 2, add = T) Histogram of nr2data 0.7 0.6 0.5 0.4 Density 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2 4 6 8 10 12 nr2data
  • 38. レポート 38 1. X が自由度 m の χ2 分布に従い， Y が自由度 n の χ2 分布に従っ て，互いに独立であれば Z=X+Y の分布は，自由度 (m+n) の χ2 分布に従う。 　再生性というが，このことをシミュレーションを使って確認 せよ。 2. 正規分布も再生性を持つ。このことをシミュレーションを用 いて確かめよ。
  • 39. t 分布 39 0.4 ? 密度関数のグラフは ? curve(dt(x, 10), -4, 4) 0.3 dt(x, 10) 0.2 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4 x
  • 40. t 分布と正規分布の确率密度関数 40 ? curve(dt(x, 10), -4, 4) ? curve(dt(x, 2), -4, 4, col = 2, add = TRUE) ? curve(dnorm, -4, 4, col = 3, add = TRUE) 0.4 0.3 dt(x, 10) 0.2 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4
  • 41. t 分布のパーセント点 41 > qt(0.05, 5) > qt(0.05, c(1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 50, 100)) [1] -6.313752 -2.919986 -2.353363 -2.131847 -2.015048 -1.812461 -1.724718 [8] -1.675905 -1.660234 > qt(c(0.05, 0.95), 5) [1] -2.015048 2.015048 > pt(2.015048, 5) [1] 0.95
  • 42. シミュレーション 1 42 nrdata <- rnorm(1000) chi2data <- rchisq(1000, 10) 0.4 hist(chi2data) tdata <- nrdata / (sqrt(chi2data / 10)) mean(tdata) 0.3 sd(tdata) curve(dt(x, 10), -4, 4, col = 2) dt(x, 10) 0.2 hist(tdata, freq = F, add=TRUE) 0.1 0.0 -4 -2 0 2 4 x
  • 44. 44
  • 45. 45
  • 46. 46 tcalc <-function(x){ Histogram of sample.t barx <- mean(x) 0.4 sdx <- sd(x) tval <- barx / (sdx / sqrt(length(x))) 0.3 tval } ran <- sapply(rep(10, 1000), rnorm) Density 0.2 sample.t <- apply(ran, 2, tcalc) hist(sample.t, nclass = 20, freq = F) 0.1 curve(dt(x, 9), -4, 4, col = 2, add = T) 0.0 -4 -2 0 2 4
  • 47. F 分布 47
  • 48. F 分布の密度関数 48 > curve(df(x,1,10),0.00000001,5,ylim=c(0,1.5)) > curve(df(x,2,10),0.00000001,5,col=2,add=T) > curve(df(x,3,10),0,5,col=3,add=T) 1.5 > curve(df(x,8,10),0,5,col=4,add=T) > curve(df(x,8,20),0,5,col=5,add=T) 1.0 df(x, 1, 10) 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 x
  • 49. シミュレーション 49 > c8rand <- rchisq(1000, 8) > c10rand <- rchisq(1000, 10) > fprop <- (c8rand / 8) / (c10rand / 10) > hist(fprop, nclass = 20, freq = F) > hist(fprop, nclass = 20, freq = F)$count > curve(df(x,8,10), 0, 5, col = 2, add = TRUE)
  • 50. 50 Histogram of fprop 0.7 0.6 0.5 0.4 Density 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2 4 6 8 10 fprop

Editor's Notes

  • #18: ## binomial distribution ## CDF plot (sterp function) ## parameters n, p n&lt;-10 p&lt;-1/6 x&lt;-0:n prob&lt;-dbinom(x,n,p) cprob&lt;-cumsum(prob) y&lt;-cprob x0&lt;-c(-2,x) y0&lt;-c(0,y) x1&lt;-c(x,n+2) y1&lt;-c(0,y) plot(0.5,0.5,xlim=c(-1,n+1),ylim=c(0,1),typ=&quot;n&quot;,xlab=&quot;x&quot;,ylab=&quot;cdf&quot;) abline(h=0,lty=3) abline(h=1,lty=3) segments(x0,y0,x1,y1,lw=2,col=&quot;red&quot;) segments(x,cprob,x,cprob-prob,lty=2)