際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Kata Hubung Kalimat Logika Matematika

Eman Mendrofa
Eman Mendrofa

Dokumen tersebut membahas lima jenis kata hubung kalimat dalam logika matematika yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional beserta contoh-contoh dan tabel kebenaran masing-masing.

1 of 37
Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika
Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata tidak, dan, atau, jika. . . maka. .., jika dan hanya jika. Marilah sekarang kita memperhatikan penggunaan kata-kata itu dengan lebih cermat dalam matematika (dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari). Kita pelajari sifat-sifatnya untuk memperjelas cara berpikir kita dan terutama karena pentingnya kata-kata itu untuk melakukan pembuktian. Dalam pelajaran logika (matematika), kata-kata itu disebut kata hubung kalimat atau perangkai. Ada lima macam kata hubung kalimat yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional. Negasi tidak menghubungkan dua buah pernyataan sederhana, tetapi tetap dianggap sebagai kata hubung kalimat, yaitu menegasikan pernyataan sederhana (ada yang menganggap bahwa negasi suatu pernyataan sederhana bukan pernyataan majemuk).
NEGASI (INGKARAN ATAU PENYANGKALAN) Perhatikan pernyataan : Sekarang hari hujan bagaimana ingkaran pernyataan itu? Anda dapat dengan mudah menjawab : "Sekarang hari tidak hujan. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah. Sesungguhnya, penambahan "tidak" ke dalam kalimat semula tidaklah cukup. Coba anda pikirkan bagaimana negasi dari kalimat : Beberapa pemuda adalah atlet. Definisi: Ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Ingkaran pernyataan p ditulis ~p
Contoh: 1. Jika p : Jakarta ibu kota RI (B) maka ~p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S) atau ~p : Jakarta bukan ibu kota RI (S) 2. Jika q : Zainal memakai kaca mata maka ~q : Tidak benar bahwa Zainal memakai kaca mata atau ~q : Zainal tidak memakai kaca mata ~q akan bernilai salah jika Zainal benar-benar memakai kaca mata.
3. Jika r : 6 + 1 < 8 (B) maka ~r : Tidak benar bahwa 6 + 1 < 8 (S) atau ~r : 6 + 1 = 8 (S) atau ~r : 6 + 1 > 8 (S) 4. Jika s : Ada anak berkacamata di kelasku (B) (dimisalkan bahwa pernyataan ini benar) maka ~s : Tidak benar bahwa ada anak berkacamata di kelasku (S) Perhatikan baik-baik cara membuat ingkaran di atas, jangan membuat ingkaran yang salah.
Kesimpulan: Membentuk ingkaran suatu pernyataan dapat dengan menambahkan kata- kata tidak benar bahwa di depan pernyataan aslinya, atau jika mungkin dengan menambah bukan atau tidak di dalam pernyataan itu, tetapi untuk pernyataan-pernyataan tertentu tidak demikian halnya. Berdasarkan defenisi di atas, dapat dibuat Tabel kebenaran untuk ingkaran seperti berikut: p ~p B S S B
KONJUNGSI (DAN) Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan kata hubung dan dengan lambang p q, dibaca p dan q. Definisi: Suatu konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar hanya dalam keadaan kedua komponennya bernilai benar. Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk konjungsi seperti berikut: p q p q B B B B S S S B S S S S
DISJUNGSI (ATAU) Sekarang perhatikan pernyataan: Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet berbakat. Membaca pernyataan itu akan timbul tafsiran: 1. Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, tetapi tidak kedua-duanya, atau 2. Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, mungkin kedua-duanya. Tafsiran pertama adalah contoh disjungsi eksklusif dan tafsiran kedua adalah contoh disjungsi inklusif.
Jika pernyataan semula benar, maka keduanya dari tafsiran 1 atau 2 adalah benar (untuk disjungsi inklusif), mungkin benar salah satu (untuk disjungsi eksklusif), dan sebaliknya. Lebih dari itu, jika pernyataan semula salah, maka kedua tafsiran itu tentu salah (untuk disjungsi inklusif dan eksklusif). Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan atau merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula. Dibedakan antara: 1. disjungsi inklusif yang diberi simbol dan 2. disjungsi eksklusif yang diberi simbol .
Disjungsi inklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p q, dan disjungsi eksklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p q, dan dibaca: p atau q. pernyataan p q juga disebut sebagai pernyataan disjungtif. Contoh : 1. Jika p : Aku tinggal di Indonesia q : Aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP maka p q : Aku tinggal di Indonesia atau belajar Bahasa Inggris sejak SMP Pernyataan p q bernilai benar jika Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar belajar Bahasa Inggris sejak SMP.
2. Jika r : Aku lahir di Gunungsitoli, dan s : Aku lahir di Jakarta, maka r s : Aku lahir di Gunungsitoli atau di Jakarta. Pernyataan r s bernilai benar jika Aku benar-benar lahir di salah satu kota Gunungsitoli atau Jakarta, dan tidak di kedua tempat itu. Mustahil aku lahir di dua kota dalam waktu yang sama.
Definisi: Suatu disjungsi inklusif bernilai benar apabila paling sedikit satu komponennya bernilai benar. Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk disjungsi inklusif seperti berikut: p q p q B B B B S B S B B S S S
Definisi: Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar apabila hanya salah satu komponennya bernilai benar Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk disjungsi eksklusif seperti berikut: p q p q B B S B S B S B B S S S
Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen: 1. ~(p q) ~p ~q 2. ~(p q) ~p ~q 3. p (q r) (p q) (p r) 4. p (q r) (p q) (p r)
PEMBUKTIAN: 1. ~(p q) ~p ~q p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B
PEMBUKTIAN: 2. ~(p q) ~p ~q p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B
PEMBUKTIAN: 3. p (q r) (p q) (p r) p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) B B B B B B B B B B S S B B B B B S B S B B B B B S S S B B B B S B B B B B B B S B S S S B S S S S B S S S B S S S S S S S S S
PEMBUKTIAN: 4. p (q r) (p q) (p r) p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B S S S S S B S B S S S S S S B B S S S S S S S S S S S S
KONDISIONAL (IMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT) Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk dimana p merupakan sebab/alasan/hipotesa (anteseden) dan q merupakan akibat (kesimpulan) atau konklusi (konsekuen). Implikasi dilambangkan dengan p q. Pernyataan p q dapat dibaca: a. Jika p maka q b. p berimplikasi q c. p hanya jika q d. q jika p
Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat bahwa Jika p maka q dapat diartikan sebagai Bilamana p terjadi maka q juga terjadi atau dapat juga, diartikan sebagai Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi. Definisi: Implikasi p q bernilai salah jika anteseden benar dan konsekuen salah. Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk implikasi seperti berikut. p q p q B B B B S S S B B S S B
Contoh: 1. Jika p : burung mempunyai sayap (B), dan q : 2 + 3 = 5 (B) maka p q : jika burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B) 2. Jika r : x bilangan cacah (B), dan s : x bilangan bulat positif (S) maka p q : jika x bilangan cacah maka x bilangan bulat positif (S).
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Turunan dari pernyataan-pernyataan implikasi yang mempunyai nilai kebenaran dari bentuk implikasi yakni: 1. Konvers 2. Invers 3. Kontraposisi
Konvers adalah pernyataan majemuk dari pembalikkan tempat pada implikasi dimana pernyataan pertama (implikasi) menjadi pernyataan kedua (konvers) dan sebaliknya. Konvers ditulis q p. Tabel kebenarannya adalah: KONVERS p q p q q p B B B B B S S B S B B S S S B B
Invers adalah suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk yang merupakan ingkaran masing-masing pernyataan. Ingkaran tersebut adalah ingkaran pada implikai. Jadi invers dinyatakan dengan lambang ~p ~q dibaca jika negasi p maka negasi q. Tabel kebenarannya adalah: INVERS p q ~p ~q ~p ~q B B S S B B S S B B S B B S S S S B B B
Kontraposisi adalah suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk yang merupakan pembalikkan tempat dari ingkaran implikasi. Jadi kontraposisi dinyatakan dengan lambang ~ q ~ p dibaca jika negasi q maka negasi p. Tabel kebenarannya adalah: KONTRAPOSISI p q ~p ~q ~q ~p B B S S B B S S B S S B B S B S S B B B
Definisi : Konvers dari implikasi p q adalah q p Invers dari implikasi p q adalah ~ p ~ q Kontraposisi dari implikasi p q adalah ~ q ~ p Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini: Konvers Invers Konvers Invers p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p
BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT GANDA) Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung jika dan hanya jika atau bila dan hanya bila dengan lambang p q dibaca p jika dan hanya jika q. Pernyataan p jika dan hanya jika q berarti jika p maka q dan jika q maka p, sehingga juga berarti p adalah syarat perlu dan cukup bagi q dan sebaliknya. Atau dengan kata lain pernyataan majemuk biimplikasi yakni pernyataan prasyarat yang umumnya bersyarat mutlak.
Definisi: Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen- komponennya bernilai sama. Contoh: 1. Jika p : 2 bilangan genap (B) q : 3 bilangan ganjil (B) maka p q : 2 bilangan genap jika dan hanya jika 3 bilangan ganjil (B) 2. Jika r : 2 + 2 5 (B) s : 4 + 4 < 8 (S) maka r s : 2 + 2 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (S)
3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (S) b : 23 = 6 (S) maka a b : Surabaya ada di jawa barat jika dan hanya jika 23 = 6 (B) Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk biimplikasi seperti berikut. p q p q B B B B S S S B S S S B
Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen: 5. p q ~p q 6. p q ~q ~p 7. ~(p q) p ~q 8. (p q) (p q) (q p) 9. (p q) (~p q) (~q p) 10. ~(p q) (p ~q) (q ~p)
PEMBUKTIAN: 5. p q ~p q p q ~p p q ~p q B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B
PEMBUKTIAN: 6. p q ~q ~p p q ~p ~q p q ~q ~p B B S S B B B S S B S S S B B S B B S S B B B B
PEMBUKTIAN: 7. ~(p q) p ~q p q ~q p q ~(p q) p ~q B B S B S S B S B S B B S B S B S S S S B B S S
PEMBUKTIAN: 8. (p q) (p q) (q p) p q p q q p p q (p q) (q p) B B B B B B B S S B S S S B B S S S S S B B B B
PEMBUKTIAN: 9. (p q) (~p q) (~q p) p q ~p ~q ~p q ~q p p q (~p q) (~q p) B B S S B B B B B S S B S B S S S B B S B S S S S S B B B B B B
PEMBUKTIAN: 10. ~(p q) (p ~q) (q ~p) p q ~p ~q p ~q q ~p p q ~(p q) (p ~q) (q ~p) B B S S S S B S S B S S B B S S B B S B B S S B S B B S S B B S S B S S
Selesaikan dengan menggunakan tabel kebenaran operasi simbolik berikut 1. [{~p (p ~q)} (p q)] (~p ~q) 2. [(~p q) {(p ~q) (~p q)} (~q p)]

More Related Content

Kata Hubung Kalimat Logika Matematika

  • 1. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika
  • 2. Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata tidak, dan, atau, jika. . . maka. .., jika dan hanya jika. Marilah sekarang kita memperhatikan penggunaan kata-kata itu dengan lebih cermat dalam matematika (dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari). Kita pelajari sifat-sifatnya untuk memperjelas cara berpikir kita dan terutama karena pentingnya kata-kata itu untuk melakukan pembuktian. Dalam pelajaran logika (matematika), kata-kata itu disebut kata hubung kalimat atau perangkai. Ada lima macam kata hubung kalimat yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional. Negasi tidak menghubungkan dua buah pernyataan sederhana, tetapi tetap dianggap sebagai kata hubung kalimat, yaitu menegasikan pernyataan sederhana (ada yang menganggap bahwa negasi suatu pernyataan sederhana bukan pernyataan majemuk).
  • 3. NEGASI (INGKARAN ATAU PENYANGKALAN) Perhatikan pernyataan : Sekarang hari hujan bagaimana ingkaran pernyataan itu? Anda dapat dengan mudah menjawab : "Sekarang hari tidak hujan. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah. Sesungguhnya, penambahan "tidak" ke dalam kalimat semula tidaklah cukup. Coba anda pikirkan bagaimana negasi dari kalimat : Beberapa pemuda adalah atlet. Definisi: Ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Ingkaran pernyataan p ditulis ~p
  • 4. Contoh: 1. Jika p : Jakarta ibu kota RI (B) maka ~p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S) atau ~p : Jakarta bukan ibu kota RI (S) 2. Jika q : Zainal memakai kaca mata maka ~q : Tidak benar bahwa Zainal memakai kaca mata atau ~q : Zainal tidak memakai kaca mata ~q akan bernilai salah jika Zainal benar-benar memakai kaca mata.
  • 5. 3. Jika r : 6 + 1 < 8 (B) maka ~r : Tidak benar bahwa 6 + 1 < 8 (S) atau ~r : 6 + 1 = 8 (S) atau ~r : 6 + 1 > 8 (S) 4. Jika s : Ada anak berkacamata di kelasku (B) (dimisalkan bahwa pernyataan ini benar) maka ~s : Tidak benar bahwa ada anak berkacamata di kelasku (S) Perhatikan baik-baik cara membuat ingkaran di atas, jangan membuat ingkaran yang salah.
  • 6. Kesimpulan: Membentuk ingkaran suatu pernyataan dapat dengan menambahkan kata- kata tidak benar bahwa di depan pernyataan aslinya, atau jika mungkin dengan menambah bukan atau tidak di dalam pernyataan itu, tetapi untuk pernyataan-pernyataan tertentu tidak demikian halnya. Berdasarkan defenisi di atas, dapat dibuat Tabel kebenaran untuk ingkaran seperti berikut: p ~p B S S B
  • 7. KONJUNGSI (DAN) Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan kata hubung dan dengan lambang p q, dibaca p dan q. Definisi: Suatu konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar hanya dalam keadaan kedua komponennya bernilai benar. Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk konjungsi seperti berikut: p q p q B B B B S S S B S S S S
  • 8. DISJUNGSI (ATAU) Sekarang perhatikan pernyataan: Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet berbakat. Membaca pernyataan itu akan timbul tafsiran: 1. Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, tetapi tidak kedua-duanya, atau 2. Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, mungkin kedua-duanya. Tafsiran pertama adalah contoh disjungsi eksklusif dan tafsiran kedua adalah contoh disjungsi inklusif.
  • 9. Jika pernyataan semula benar, maka keduanya dari tafsiran 1 atau 2 adalah benar (untuk disjungsi inklusif), mungkin benar salah satu (untuk disjungsi eksklusif), dan sebaliknya. Lebih dari itu, jika pernyataan semula salah, maka kedua tafsiran itu tentu salah (untuk disjungsi inklusif dan eksklusif). Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan atau merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula. Dibedakan antara: 1. disjungsi inklusif yang diberi simbol dan 2. disjungsi eksklusif yang diberi simbol .
  • 10. Disjungsi inklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p q, dan disjungsi eksklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p q, dan dibaca: p atau q. pernyataan p q juga disebut sebagai pernyataan disjungtif. Contoh : 1. Jika p : Aku tinggal di Indonesia q : Aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP maka p q : Aku tinggal di Indonesia atau belajar Bahasa Inggris sejak SMP Pernyataan p q bernilai benar jika Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar belajar Bahasa Inggris sejak SMP.
  • 11. 2. Jika r : Aku lahir di Gunungsitoli, dan s : Aku lahir di Jakarta, maka r s : Aku lahir di Gunungsitoli atau di Jakarta. Pernyataan r s bernilai benar jika Aku benar-benar lahir di salah satu kota Gunungsitoli atau Jakarta, dan tidak di kedua tempat itu. Mustahil aku lahir di dua kota dalam waktu yang sama.
  • 12. Definisi: Suatu disjungsi inklusif bernilai benar apabila paling sedikit satu komponennya bernilai benar. Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk disjungsi inklusif seperti berikut: p q p q B B B B S B S B B S S S
  • 13. Definisi: Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar apabila hanya salah satu komponennya bernilai benar Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk disjungsi eksklusif seperti berikut: p q p q B B S B S B S B B S S S
  • 14. Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen: 1. ~(p q) ~p ~q 2. ~(p q) ~p ~q 3. p (q r) (p q) (p r) 4. p (q r) (p q) (p r)
  • 15. PEMBUKTIAN: 1. ~(p q) ~p ~q p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B
  • 16. PEMBUKTIAN: 2. ~(p q) ~p ~q p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B
  • 17. PEMBUKTIAN: 3. p (q r) (p q) (p r) p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) B B B B B B B B B B S S B B B B B S B S B B B B B S S S B B B B S B B B B B B B S B S S S B S S S S B S S S B S S S S S S S S S
  • 18. PEMBUKTIAN: 4. p (q r) (p q) (p r) p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B S S S S S B S B S S S S S S B B S S S S S S S S S S S S
  • 19. KONDISIONAL (IMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT) Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk dimana p merupakan sebab/alasan/hipotesa (anteseden) dan q merupakan akibat (kesimpulan) atau konklusi (konsekuen). Implikasi dilambangkan dengan p q. Pernyataan p q dapat dibaca: a. Jika p maka q b. p berimplikasi q c. p hanya jika q d. q jika p
  • 20. Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat bahwa Jika p maka q dapat diartikan sebagai Bilamana p terjadi maka q juga terjadi atau dapat juga, diartikan sebagai Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi. Definisi: Implikasi p q bernilai salah jika anteseden benar dan konsekuen salah. Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk implikasi seperti berikut. p q p q B B B B S S S B B S S B
  • 21. Contoh: 1. Jika p : burung mempunyai sayap (B), dan q : 2 + 3 = 5 (B) maka p q : jika burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B) 2. Jika r : x bilangan cacah (B), dan s : x bilangan bulat positif (S) maka p q : jika x bilangan cacah maka x bilangan bulat positif (S).
  • 22. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Turunan dari pernyataan-pernyataan implikasi yang mempunyai nilai kebenaran dari bentuk implikasi yakni: 1. Konvers 2. Invers 3. Kontraposisi
  • 23. Konvers adalah pernyataan majemuk dari pembalikkan tempat pada implikasi dimana pernyataan pertama (implikasi) menjadi pernyataan kedua (konvers) dan sebaliknya. Konvers ditulis q p. Tabel kebenarannya adalah: KONVERS p q p q q p B B B B B S S B S B B S S S B B
  • 24. Invers adalah suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk yang merupakan ingkaran masing-masing pernyataan. Ingkaran tersebut adalah ingkaran pada implikai. Jadi invers dinyatakan dengan lambang ~p ~q dibaca jika negasi p maka negasi q. Tabel kebenarannya adalah: INVERS p q ~p ~q ~p ~q B B S S B B S S B B S B B S S S S B B B
  • 25. Kontraposisi adalah suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk yang merupakan pembalikkan tempat dari ingkaran implikasi. Jadi kontraposisi dinyatakan dengan lambang ~ q ~ p dibaca jika negasi q maka negasi p. Tabel kebenarannya adalah: KONTRAPOSISI p q ~p ~q ~q ~p B B S S B B S S B S S B B S B S S B B B
  • 26. Definisi : Konvers dari implikasi p q adalah q p Invers dari implikasi p q adalah ~ p ~ q Kontraposisi dari implikasi p q adalah ~ q ~ p Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini: Konvers Invers Konvers Invers p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p
  • 27. BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT GANDA) Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung jika dan hanya jika atau bila dan hanya bila dengan lambang p q dibaca p jika dan hanya jika q. Pernyataan p jika dan hanya jika q berarti jika p maka q dan jika q maka p, sehingga juga berarti p adalah syarat perlu dan cukup bagi q dan sebaliknya. Atau dengan kata lain pernyataan majemuk biimplikasi yakni pernyataan prasyarat yang umumnya bersyarat mutlak.
  • 28. Definisi: Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen- komponennya bernilai sama. Contoh: 1. Jika p : 2 bilangan genap (B) q : 3 bilangan ganjil (B) maka p q : 2 bilangan genap jika dan hanya jika 3 bilangan ganjil (B) 2. Jika r : 2 + 2 5 (B) s : 4 + 4 < 8 (S) maka r s : 2 + 2 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (S)
  • 29. 3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (S) b : 23 = 6 (S) maka a b : Surabaya ada di jawa barat jika dan hanya jika 23 = 6 (B) Berdasarkan definisi diatas dapat disusun tabel kebenaran untuk biimplikasi seperti berikut. p q p q B B B B S S S B S S S B
  • 30. Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen: 5. p q ~p q 6. p q ~q ~p 7. ~(p q) p ~q 8. (p q) (p q) (q p) 9. (p q) (~p q) (~q p) 10. ~(p q) (p ~q) (q ~p)
  • 31. PEMBUKTIAN: 5. p q ~p q p q ~p p q ~p q B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B
  • 32. PEMBUKTIAN: 6. p q ~q ~p p q ~p ~q p q ~q ~p B B S S B B B S S B S S S B B S B B S S B B B B
  • 33. PEMBUKTIAN: 7. ~(p q) p ~q p q ~q p q ~(p q) p ~q B B S B S S B S B S B B S B S B S S S S B B S S
  • 34. PEMBUKTIAN: 8. (p q) (p q) (q p) p q p q q p p q (p q) (q p) B B B B B B B S S B S S S B B S S S S S B B B B
  • 35. PEMBUKTIAN: 9. (p q) (~p q) (~q p) p q ~p ~q ~p q ~q p p q (~p q) (~q p) B B S S B B B B B S S B S B S S S B B S B S S S S S B B B B B B
  • 36. PEMBUKTIAN: 10. ~(p q) (p ~q) (q ~p) p q ~p ~q p ~q q ~p p q ~(p q) (p ~q) (q ~p) B B S S S S B S S B S S B B S S B B S B B S S B S B B S S B B S S B S S
  • 37. Selesaikan dengan menggunakan tabel kebenaran operasi simbolik berikut 1. [{~p (p ~q)} (p q)] (~p ~q) 2. [(~p q) {(p ~q) (~p q)} (~q p)]