Kef 5 μελετη βασικων συναρτησεων mathematica
- 1. 5.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ 157 3. Οι διαστάσεις x, y ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται, έτσι ώστε η περίμε- τρός του να παραμένει σταθερή και ίση με 20 μ . i) Να εκφράσετε το y συναρτήσει του x και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο Ε = f ( x) που δίνει το εμβαδόν E του ορθογωνίου συναρτήσει του x. ii) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για x = 5 και να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. 4. 'Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ 6cm . Με πλευρές τα ΜΑ και ΜΒ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Για ποια θέση του Μ το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ελάχιστο; 5. Ένας κτηνοτρόφος έχει σύρμα 200m και θέλει να περιφράξει δύο συνεχόμε- νους ορθογώνιους υπαίθριους χώρους με διαστάσεις x και y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για ποιες τιμές των x και y το εμβαδόν και των δύο χώρων μεγιστοποιείται; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν η παραβολή y αx , α 0 διέρχεται από το σημείο 2 Α Ψ A(1, 2) , τότε βρίσκεται στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο. (1ο και 2ο τετ) 2. Αν το τριώνυμο f ( x) αx βx γ, α 0 έχει ρίζες τους 2 αριθμούς x1 1 και x2 3 , τότε έχει άξονα συμμετρίας την Α Ψ ευθεία x 1 . 3. Για οποιουσδήποτε α, β η παραβολή y αx 2 και η υ- β Α Ψ περβολή y έχουν ένα και μοναδικό κοινό σημείο. x 1 4. H υπερβολή y και η ευθεία y x τέμνονται. Α Ψ x (η y=1/x με x ≠0 στο 1 και 3 τεταρτημόριο ενώ η y=-x στο 2 και 4 άρα δεν τέμνονται) ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ
- 2. 158 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω δύο περιπτώσεις με τα σύμβολα της ισότητας ή της ανισότητας. 1. Αν το τριώνυμο f x 2 x 2 βx γ έχει ρίζες τους αριθμούς x1 1 και x2 3 , τότε θα ισχύει: S=-β/α=3-1=2 άρα β=-2α=-4 P=γ/α=-3 άρα γ=-6<0 f 5 … 0 , > f 1 … 0 , < f 5 … 0 , > < γ …0 = β … 4 . 2. Αν το τριώνυμο f x x 2 βx γ έχει ρίζες τους αριθμούς x1 3 και x2 1 , θα ισχύει: S=-β/α=-3+1=-2 άρα β=2α=-2 P=γ/α=-3 άρα γ=3>0 f 5 … 0 , < f 2 … 0 , > f 5 … 0 , < > γ …0 , = β … 2 . III. Δίνεται το τριώνυμο f x αx 2 βx γ , α 0 . Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. Αν α 2 και το τριώνυμο f έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 3 , τότε Α) f x 2 x 1 3 Β) f x 2 x 1 3 2 2 Γ) f x 2 x 1 3 Δ) f x 2 x 1 3 . 2 2 2. Αν f 1 0 , f 3 0 και f 5 0 , τότε Α) Δ 0 και α 0 Β) Δ 0 και α 0 Γ) Δ 0 και α 0 . 3. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 2 και α 0 , τότε: Α) Δ 0 Β) Δ 0 Γ) Δ 0 Δ) γ 0 . 4. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ 1, 0 , τότε Α) β 0 Β) Δ 0 Γ) Δ 0 Δ) Δ 0 . IV. Οι παρακάτω καμπύλες C1, C2, C3 και C4 είναι οι γραφικές παραστάσεις των συ- ναρτήσεων f1 ( x) x 2 4 x γ1 , f 2 ( x) 2 x 2 8 x γ2 , f 3 ( x) x 2 4 x γ3 και f 4 ( x) 2 x 2 8 x γ4 , όχι όμως με την ίδια σειρά. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις παραπάνω συναρτήσεις με τη γραφική της παράσταση. f1 f2 f3 f4 C2 C4 C1 C3 Κορυφή για x=-β/2α άρα f1 και f2 είναι 4/2=8/4=2 f1→C2 & f2 →C4 ίδιο x μεγαλύτερο y f3 και f4 είναι 4/(-2)=8/(-4)=-2 f3→C1 & f4 →C3 ίδιο x μεγαλύτερο y (λόγω του διπλάσιου συντελεστή στα x και x 2) ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ