�ݺ�ߣ

เฉลยข้อสอบ O-NET คณิตศาสตร์ ครั้งที่ 1 ปี 2553

1. ตอบข้อ 3
มาดูข้อ 1.กันก่อนครับ A-B คือตัวที่อยูใน A แต่ไม่อยูใน B นั่นคือ A-B = {1,2,3,4,5} ซึ่งมีสมาชิก 5 ตัว ดังนั้นข้อ 1 จึงถูกต้อง
่ ่
ต่อมาเรามาดูข้อ 2 กัน B-A คือตัวที่อยูใน B แต่ไม่อยูใน A นั่นคือเราต้องตัด 6,7,8,…. ออกจาก B ทั้งหมด ทาให้ B-A =
่ ่
{{1,2},{3,4,5}} ซึ่งมีสมาชิก 2 ตัว ดังนั้นสมาชิกของเพาเวอร์เซตของ B-A เท่ากับ 22 = 4 สรุปว่าข้อ 2 ก็ยังถูกต้อง
มาดูข้อ 3. (A-B) (B-A) = {1,2,3,4,5,{1,2},{3,4,5}} มีสมาชิกทังหมด 7 ตัว ซึ่งไม่ใช่จานวนคู่ ดังนั้นข้อ 3 ผิด ฮั่นแน่ เราเจอละ
้
ตอบข้อนี้ได้เลย ถ้าขยันหน่อยก็ดูข้อ 4 ต่อกันเลยครับ A B = {6,7,8,…} เป็นจานวนนับที่มากกว่า 5 ดังนั้นข้อ 4 ถูก
เรามาพิจารณาสิ่งทีโจทย์ให้มาคือ 1 เหตุ และ 1 ผล
่
เหตุ : เห็ดเป็นพืชมีดอก ผล : เห็ดเป็นพืชชั้นสูง เราจะสังเกตได้ว่ามีอยู่ 3 คาได้แก่ เห็ด พืชมีดอก และพืชชั้นสูง แต่ทแน่ๆ
ี่
ตอนนี้เรารู้ว่า เห็ดเป็นพืชมีดอก ถ้าเราอยากจะให้เห็ดเป็นพืชชั้นสูงด้วย เราต้องกาหนดว่าพืชมีดอกทุกชนิดจะต้องเป็นพืชชั้นสูง
ดังนั้นเราตอบข้อ 3
ทศนิยมไม่รจบมี 2 ประเภทคือ
ู้
หนึ่ง --- ทศนิยมไม่รจบแบบซ้า (หรือแบบมีรูปแบบ) เช่น 0.33333…. , 0.535353… ซึ่งเป็นจานวนตรรกยะ
ู้
สอง --- ทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้าหรือไม่มีรูปแบบ เช่น ค่า = 3.14159… ซึ่งจะมีทศนิยมไม่ซ้ากันเลย เราเรียกจานวนนี้ว่า
จานวนอตรรกยะ
ดังนั้นข้อ ก. ที่ว่าทศนิยมไม่รจบบางจานวนเป็นจานวนอตรรกยะจึงเป็นจริง เพราะใช้คาว่า บางจานวน ส่วนข้อ ข. นั้นคือ ทศนิยมไม่
ู้
รู้จบบางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ ข้อ ข. ก็จริงเช่นกันเพราะใช้คาว่าบางจานวน ดังนั้นตอบข้อ 1 คือถูกทังข้อ ก.และ ข.
้
กาหนด ให้ s < t และ u < v เราเอา -1 คูณตลอด จะได้ว่า –t < -s และ –v < -u ดังนั้นลองเอา s < t มาบวกกับ –v < -u จะได้ s-v
< t-u ทาให้ข้อ ข. เป็นจริง ส่วนข้อ ก. นั้นไม่จาเป็นจะต้องเป็นจริง ยกตัวอย่างเช่น ถ้า s=10, t=20 และ u=9, v=100 เราจะได้วา s-u
่
= 10-9 = 1 และ t-v = 20-100 = -80 ซึ่งจะเห็นได้ว่า s-u > t-v
จาก |a| = a หรือ –a ดังนั้นเราจะสามารถหาคาตอบของสมการได้สองคาตอบ คือ
และ ดังนั้น x= 4.5 และ 5.5 ตามลาดับ ซึ่งอยู่ในช่วง (-3,6) ตามข้อ 4
วิธีท1 เนื่องจาก เป็นผลเฉลยของสมการ
ี่ ดังนั้น จะต้องเป็นหนึ่งในตัวประกอบของ
ดังนั้น โดยผลเฉลยอีกตัวหนึงคือ
่
จากนั้นเปรียบเทียบสัมประสิทธิหน้า x แต่ละดีกรี จะได้ว่า
์
พจน์แรก ทาให้ และพจน์ที่ 3 ได้ ทาให้ และพจน์ที่ 2 จะได้
ดังนันผลเฉลยอีกตัวหนึงคือ
้ ่
วิธีที่ 2 พิจารณาสมการ ซึ่งมีผลเฉลยคือ a และ b และเมื่อคูณกระจายออกมา เราจะได้

ดังนั้นเราจึงสรุปว่าได้ว่า สัมประสิทธิ์หน้า x จะมีค่าเท่ากับค่าติดลบของผลบวกของผลเฉลย และพจน์สุดท้ายคือ ผลคูณของผลเฉลย
เมื่อเราย้อนกลับมาพิจารณา และถ้าเราเอา 4 หารตลอดเพือจะทาให้สัมประสิทธิ์หน้า
่ เป็น 1 เราจะได้
ดังนั้นเราจะได้ผลคูณของผลเฉลยเท่ากับ ดังนั้นถ้าผลเฉลยตัวหนึ่งคือ อีกผลเฉลยหนึ่งจะเท่ากับ

สถาบันปั้นน้อง 1
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจ้าพ่อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: punnong.school@gmail.com

ครั้งที่ 1 ปี 2553 เฉลยข้อสอบ O-NET คณิตศาสตร์


ดังนั้นตอบข้อ 2
พิจารณา , และ ดังนั้น
ทาให้

เนื่องจากว่าโจทย์กาหนดให้ a เป็นจานวนจริงบวก (a>0) และ n เป็นจานวนคู่บวก ทาให้ หรือในทานอง
เดียวกัน ดังนั้นถูกทั้งข้อ ก.และ ข.

***เพิมเติม : ถ้าโจทย์ไม่ได้กาหนดว่า a เป็นจานวนจริงบวกและไม่ได้กาหนดว่า n เป็นจานวนคู่บวก แต่กาหนดแค่ว่า a เป็นจานวน
่
จริง และ n เป็นจานวนเต็มบวก จะทาให้ a สามารถติดลบได้ เราสามารถแยกพิจารณาได้ดังนี้

>> ถ้า n เป็นจานวนคู่บวก จะทาให้ ไม่เป็นจานวนจริง ส่งผลให้ข้อ ก. ผิดทันที เพราะ |a| เป็นจานวนจริง ส่วน ยังคง
เป็นจานวนจริง และมีค่าเป็นบวกด้วย ดังนั้น นั้นถูกต้อง

>> ถ้า n เป็นจานวนคี่บวก จะทาให้ ยังคงเป็นจานวนจริงแต่จะติดลบ ซึ่งคือ a ซึ่งไม่เท่ากับ |a| ทาให้ข้อ ก. ผิด ส่วนข้อ ข.
ก็เท่ากับ a เช่นกันซึ่งไม่เท่ากับ |a| ดังนั้น ข. ก็ผิด

เป็นพาราโบลา (parabola) ซึ่งสามารถจัดรูปโดยใช้หลักการทางกาลังสองสัมบูรณ์ดังนี้

ทาให้ได้ว่าพาราโบลานี้เป็นแบบคว่า โดยมีจุดสูงสุดคือ (หรือจุดวกกลับนั่นเอง) ดังนั้นเราสรุปได้ว่าข้อ 2 ,3 และ 4 ผิดหมด
ต่อไปเรามาเช็คว่า 1 ถูกจริงหรือไม่ ดังนี้

ต่อมาเรามาเขียนเส้นจานวน
- + -
-1 2
ได้ว่า เมื่อ ดังนั้น 1 ถูกต้อง

2 สถาบันปั้นน้อง


11. ตอบข้อ 4 วิธีดว่าอันไหนเป็นฟังก์ชั่น ใช้หลักง่ายๆก็คือ ถ้าหน้า(x) ตัวหนึ่งจะต้องมีคู่ของมัน (y) ได้แค่ตัวเดียวเท่านั้น ดังนั้น ข้อ 1
ู
เราเจอ (2,3) และ (2,4) ดังนั้น ไม่ใช่ฟงก์ชั่น ต่อมาดูข้อ 2 เราเจอ (3,1) และ (3,3) ดังนั้นไม่ใช่ฟังก์ชั่น ข้อ 3 เราพบว่า 1 มีคู่ตั้ง 4
ั
ตัว ดังนั้นก็ไม่ใช่ฟังก์ชั่นอีก ดังนั้นตอบข้อ 4 เพราะถูกต้องตามนิยามฟังก์ชั่น
โดเมน(Df)ของ หาได้โดยพิจารณาว่าภายในรากที่สองจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 ดังนั้น หรือ
หรือเขียนได้ในรูป
เรนจ์(Rg)ของ หาได้โดยพิจารณาว่า เสมอ ดังนั้นเรนจ์คือ
หรือ
ดังนั้น Df U Rg =

-2 3
วิธีง่ายและรวดเร็วที่สุดคือการดูจากกราฟเลยครับ (เราสามารถหาสมการของกราฟของ
ฟังก์ชัน f ได้แต่จะเสียเวลามากกว่าดูจากกราฟ)

เราได้ f(-11) = 7, f(-3) = -1 และ f(3) =3 นาไปแทนค่าได้ดังนี้

พื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากในรูป มีพื้นที่ 600 ตร.ม. ซึ่งมีค่าเท่ากับ ฐาน สูง

x ดังนั้น ม. และความยาวด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งคือ
ม. และความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 50 ม. เราจะได้เส้นรอบรูปยาวเท่ากับ 30+40+50 = 120 ม.
0.75x

X แถวตามแนวพาเหรด โจทย์ให้ขบวนพาเหรดนี้มีอยู่ x แถวและแต่ละแถว ขอสมมติว่าแต่ละ
x á¶Ç
แถวมีจานวนคนเท่ากับ y คน จากที่โจทย์บอกเราว่าจานวนคนรอบนอก
...
มีทั้งหมด 50 คน (จุดทึบทั้งหมด) เราจะได้ว่า
...
(ตัดหัวและตัดท้ายy) และเมื่อทาการลด
...
...
...

...
...
...
...
...

. . ศของพาเหรด
ทิ . แต่ละแถวมี y คน รูปเราจะได้ หรือ แต่โจทย์ให้ว่ามี
...
จานวนคนในพาเหรดทั้งหมดเท่ากับ N คน ซึ่งเท่ากับ xy ดังนั้นเราจะ
...
ได้ หรือ




A จากรูป เราลากเส้นเชื่อม AB และต่อเส้น DC

จากทฤษฎีบทปีธาโกรัส เราจะได้ว่า และ ต่อมาก็
D B
C พิจารณา เราจะได้ และ
2x x

x
ความยาวด้านสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือ ใช้ทฤษฎีบทปีธาโกรัสอีก
รอบเราจะได้ว่า

ดังนั้น มีความยาวเป็น เท่าของด้านกว้าง

ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจก่อนว่า … มุมที่เล็กที่สุดคือมุมที่อยู่ตรงกันข้ามกับด้านที่สั้นที่สุด
25
7
ดังนั้นมุมที่อยู่ตรงกันข้ามกับด้านที่มีความยาวเท่ากับ 7 จะเป็นมุมที่เล็กที่สุด ในที่นี้เราให้เท่ากับ
24 ลองค่า ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับ 0.961 จากในตาราง ดังนั้น จึงมีคา่
ใกล้เคียงกับ (จาก ) ดังนั้นเราจะได้ว่า มุมที่เล็กที่สุด
จะมีค่าใกล้เคียงกับ


สมมติให้ด้านทียาวอันดับสองยาวเท่ากับ
่ (เพราะว่ามุม มีขนาดเป็นอันดับสอง ดังนั้นมุมตรงข้ามก็จะมี
ความยาวเป็นอันดับสองเช่น) จากรูปเราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว และด้านที่สั้นที่สุด
ยาว จากทีโจทย์ให้มาคือเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ
่

ดังนั้น


ได้ระยะตามแนวนอน ดังรูป ดังนั้น ระยะบนพื้นที่กล้องสามารถมองเห็นได้คือ

เมตร

ดังนั้นตอบข้อ ข 1.46




ลาดับเลขคณิตสามารถเขียนได้อยู่ในรูป โดยมี และ ดังนั้น สูตรของลาดับเลขคณิตคือ
โดย ดังนั้น


พจน์ที่ 40 หรือ

พจน์ทจะมีค่าเท่ากับ พจน์ที่ 40 จะต้องเป็นพจน์ลาดับเลขคู่ เพราะจะต้องทาให้
ี่ เหมือนพจน์ที่ 40 ดังนั้นคาตอบคือ
จานวนคู่ตงแต่ 2 จนถึง 40 นั่นเอง ดังนั้นคาตอบคือ
ั้ ตัว


ลาดับเรขาคณิตเขียนได้ในรูป โดย

และ ดังนั้น จะได้ว่า และ

จากผลบวกของลาดับเรขาคณิต คือ

ดังนั้น ผลบวก 10 พจน์แรก คือ


เหรียญที่ 1 ขาว แดง แซมเปิ้ลสเปซ n(S) = โอกาสที่เกิดจากการโยนเหรียญที่ 1 โอกาสที่เกิดจาก
เหรียญที่ 2 แดง ฟ้า การโยนเหรียญที่ 2 โอกาสที่เกิดจากการโยนเหรียญที่ 3 = 2 x 2 x 2 = 8
เหรียญที่ 3 ฟ้า ขาว
ต่อมาเรามาคานวณหาจานวนโอกาสที่เหรียญทัง 3 จะออกหน้าแตกต่างกัน มี
้
เพียง 2 กรณีคือ ขาวแดงฟ้า และ แดงฟ้าขาว ความน่าจะเป็นทีต้องการคือ
่


 ก่อนอื่นเรามาหาแซมเปิ้ลสเปซก่อนเลย

หยิบสลากครั้งที่ 1 จะมีทางเลือกหรือโอกาสได้ทั้งหมด 10 แบบ เมื่อหยิบมาแล้วไม่ใส่คืน จะทาให้เหลือสลากทั้งหมด 9 ใบซึงก็คือ
่
โอกาสในการหยิบครั้งที่ 2 นั่นเอง ดังนั้นจานวนแบบทีจะหยิบสลาก 2 ใบ โดยหยิบทีละใบไม่ใส่คอคือ 10 x 9 = 90 แบบ = n(S)
่ ื

 จานวนฉลากที่น้อยกว่า 5 มีทั้งหมด 4 สลาก ได้แก่ 1,2,3 และ 4 และจานวนสลากทีมีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไปมีทั้งหมด 6 สลาก ได้แก่
่
5,6,7,8,9 และ 10

 กรณีที่ 1 – หยิบครั้งแรก ได้สลากที่น้อยกว่า 5 และหยิบครั้งที่สองที่ได้สลากตังแต่ 5 ขึ้นไป ดังนั้นมีได้ทั้งหมด 4 x 6 = 24
้



 กรณีที่ 2 – หยิบครั้งแรก ได้สลากตั้งแต่ 5 ขึ้นไป และหยิบครั้งที่สองที่ได้สลากที่น้อยกว่า 5 ดังนั้นมีได้ทั้งหมด 6 x 4 = 24
 ดังนั้นจานวนแบบทังหมดคือ 24+24 = 48 แบบ ซึ่งมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 48/90 = 8/15
้


เนื่องจากข้อมูลเป็นข้อมูลทางด้านส่วนสูงของนักเรียน ทาให้มีแต่ S เท่านั้นที่เขียนไว้ชดเจนว่าเป็นส่วนสูง ส่วน T เป็นเพียงจานวนธรรมดา
ั
ดังนั้น S เท่านั้นถึงจะเป็น แซมเปิลสเปซ


 หาแซมเปิลสเปซก่อนเลยนะครับ มีคนทั้งหมด 10 คน ต้องการเลือกมา 3 คนสาหรับ 3 ตาแหน่ง (เหมือนกับการเลือกลูกบอล 10
ลูก และเลือกหยิบออกมาทีละลูก ไม่คืน) ดังนั้น

ตาแหน่งแรก เลือกได้ 10 แบบ ตาแหน่งที่สอง เลือกได้ 9 แบบ และตาแหน่งที่สามเลือกได้ 8 แบบ ดังนั้นแซมเปิลสเปซ
เท่ากับ 10x9x8 = 720 แบบ

 โจทย์ต้องการหาความน่าจะเป็นในการทีจะได้ประธานและรองประธานเป็นหญิง เราแจกแจงกรณีได้ดังนี้
่
ตาแหน่งประธาน – จานวนแบบที่จะเลือกได้คือ 6 แบบ (จานวนผู้หญิง)
ตาแหน่งรองประธาน – จานวนแบบที่จะเลือกได้คือ 5 แบบ (เลือกไปแล้วหนึ่งคน จึงเหลืออีก 5 คน)
ตาแหน่งเลขานุการ – จานวนแบบที่เลือกได้คือ 4+4 = 8 แบบ (หญิงที่เหลือ 4 คนและผู้ชาย 4 คน)
ดังนั้นจานวนแบบทีจะได้ประธานเป็นหญิงและรองประธานเป็นหญิงคือ 6x5x8 = 240 แบบ ซึ่งก็คือความน่าจะเป็น
่
เท่ากับ 240/720 = 1/3


เนื่องจากเป็นข้อมูลที่ครูสอนวิทยาศาสตร์เป็นคนเก็บเอง และข้อมูลเป็นแบบคุณภาพ ดังนั้นเป็นข้อมูลปฐมภูมิ เชิงคุณภาพ


ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักของพนักงานบริษัท =
น้าหนักรวมชาย น้าหนักรวมหญิง น้าหนักรวมชาย
จานวนพนักงานทั้งหมด

ดังนั้นน้าหนักรวมชาย =


เมื่อนาข้อมูลทั้งหมดมาเรียงกันจะได้ 57, 58, 67, 68,69, 70, 74, 74, 77,81

ฐานนิยมคือ 74 ดังนั้น 1 ถูก

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 695/10 = 69.5 และมัธยฐานคือ (69+70)/2 = 69.5 ดังนั้นข้อ 2 ก็ยงถูก
ั


น้าหนักไข่ไก่ที่น้อยกว่า 70 มีทั้งหมด 5 ฟอง ดังนั้นข้อ 3 ก็ถูก

ไข่ไก่ที่มีน้าหนักสูงกว่าฐานนิยม (74) มีทั้งหมด 2 ฟอง และไข่ไก่ที่มีน้าหนักเท่ากับฐานนิยมก็มเี ท่ากับ 2 ฟองเช่นกัน ดังนั้นข้อ 4 เท็จ


ฐานนิยมนั้นจะต้องมาจากข้อมูลที่มีจานวนซ้ามากที่สุด ดังนั้นยังไงก็ตามฐานนิยมก็ต้องมีคาเท่ากับข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งแน่นอน
่


41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48

จากข้อมูล สังเกตได้วามี 88, 95 ซึ่งมีค่าแตกต่างจากค่าตัวอื่นอย่างมาก ทาให้มีผลต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยของค่าสูงสุดต่าสุด
่
และเนื่องจากไม่มีตัวใดซ้ากันเลยทาให้ฐานนิยมก็ไม่เหมาะสมเช่นกัน ดังนั้น มัธยฐานจะเหมาะสมที่สุด


จากแผนภูมิกล่องจะได้ว่า

ค่าต่าสุด = 10 ค่าสูงสุด = 24 ควอไทล์ที่ 1 = 12 ควอไทล์ที่ 2 = 16 ควอไทล์ที่ 3 = 18

แต่ละช่วงควอไทล์จะมีอยู่ 25 คน ดังนั้นข้อ 2 ไม่ถูกต้อง เพราะว่า 12-18 คลอบคลุมถึงสองช่วงควอไทล์ ส่วน 18-24 คลุมแค่หนึ่งควอไทล์


ควอไทล์ที่ 3 หมายความว่ามีจานวนคนที่ได้คะแนนสอบน้อยกว่านาย ก อยู่ ทั้งหมด 75% ของ 400 หรือเท่ากับ 300 คนนั้นเอง ส่วน
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 มีความหมายว่ามีจานวนคนที่ได้คะแนนน้อยกว่านาย ข อยู่ทั้งหมด 60% ของ 400 หรือเท่ากับ 240 คน ดังนั้นส่วนต่าง
ของ ควอไทล์ที่ 3 และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 คือ 300-240 = 60 คน


เราสามารถเติมเต็มตารางแจกแจงความถี่ ได้โดยใช้

ความถี่สะสม = ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่น้อยกว่า 1 ชั้น +ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นที่น้อยกว่า 1 ชั้น

ความถี่สัมพัทธ์ = ความถี่ของอันตรภาคชั้นนั้นๆ หารด้วย จานวนความถี่รวมทั้งหมด (ข้อมูลทั้งหมด)
อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่สัมพัทธ์
2-6 7 7 7/20=0.35
7-11 0.2x20 = 4 11 0.2
12-16 3 14 3/20=0.15
17-21 6 14+6 = 20 0.3



ความถี่อันตรภาคชั้น
จากอันตรภาคชั้น 17-21 จะได้วา จานวนข้อมูลทั้งหมดเท่ากับ
่ ความถี่สัมพัทธ์

ทาให้ได้ว่าความถี่ของอันตรภาคชั้น 7-11 จะมีคาเท่ากับ 0.2x20 = 4 จากนั้นก็ค่อยๆเติมตารางจนเต็ม
่

ดังนั้นสรุปได้ว่า อันตรภาคชั้น 2-6 มีความถี่สูงที่สุด คือ 7


พิจารณา ก. จานวนผูว่างงานในภาคใต้ในเดือน กย. ปี 2550 ไม่จาเป็นต้องเท่ากับ ผู้วางงานในเดือน กย. ปี
้ ่ 2551 เนื่องจากแม้วาอัตรา
่
การว่างงานจะเท่ากันแต่จานวนกาลังแรงงานของปี 2550 กับ 2551 ไม่จาเป็นต้องเท่ากัน

พิจารณา ข. จานวนผู้อยูในกาลังแรงงานทัวประเทศในเดือนกันยายน 2551 =
่ ่ คน ดังนั้น ข. ถูกต้อง


ก่อนที่จะเก็บข้อมูล เราก็ควรจะรูก่อนว่าจะเอาข้อมูลอะไรบ้าง ดังนั้น ข้อ 4 จึงเป็นคาตอบที่ถูกต้อง
้

37. ตอบ 101 คน

ให้ M เป็นเซตของนักเรียนที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์

S เป็นเซตของนักเรียนที่สอบผ่านวิชาสังคมศึกษา

T เป็นเซตของนักเรียนที่สอบผ่านวิชาภาษาไทย

โดยแผนภาพเวนน์ออยเลอร์

M
S
36-10-5- 50-10-
10
2 =19 5-7 =28

5
2 7

44-2-5-7 T
=30

ดังนั้นมีนักเรียนที่สอบผ่านอย่างน้อย 1 วิชาคือ 19+28+30+10+5+2+7 = 101 คน

38. ตอบ 390 ต้น

ลาดับเลขคณิตสาหรับจานวนต้นไม้แต่ละแถวคือ

12, 14, 16,… ซึ่งแทนได้ดวย
้ โดยที่ และ ดังนั้นลาดับเลขคณิตแทนด้วย



เมื่อใส่เครื่องหมาย เข้าไปทั้งสองข้าง จะได้วา
่

ถ้า n=15 จะได้วาจานวนต้นไม้ทงหมด(ทั้งสิบห้าแถว) เท่ากับ
่ ั้

(ใช้สูตร )

39. ตอบ 280 จานวน

จานวนทีมีบางหลักซ้ากัน = จานวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด – จานวนที่แต่ละหลักไม่ซ้ากันเลย
่

จานวนทีเ่ ป็นไปได้ทั้งหมด หาได้โดย

หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย

10 x 10 x 10 = 900 จานวน

จานวนที่แต่ละหลักไม่ซากันเลย
้
หลักสิบ หลักหน่วย
หลักร้อย
(ใช้ไป 1 ตัวแล้ว) (ใช้ไป2 ตัวแล้ว)

10 x 9 x 8 = 720 จานวน

ดังนั้นจานวนที่มีบางหลักซ้ากันมีทั้งหมดเท่ากับ 900-720 = 280 จานวน

40. ตอบ 240 วิธี

1. เลือกว่าสามีภรรยาที่นั่งติดกันอยู่อยู่ตรงไหนก่อน เลือกได้ทั้งหมด 5 แบบดังรูป

2. แต่ละแบบด้านบนจะมีทว่าง 4 ที่ซึ่งสามารถนั่งสลับกันยังไงก็ได้ ดังนั้นจะได้ทั้งหมด 4x3x2x1 = 24 แบบ
ี่

3. พิจารณาแต่ละคู่สามีภรรยาที่นั่งติด ก็สามารถนั่งสลับกันได้ ดังนั้นมีได้ทงหมด 2 แบบ
ั้

สรุปก็คือจานวนแบบการนั่งโดยที่มีสามีภรรยาคู่หนึ่งนั่งติดกันคือ 5x24x2 = 240 แบบ


�ݺ�ߣ

Key o net53math

More Related Content

Key o net53math