Khoi d.2010
- 1. B畛 GIO D畛C V O T畉O 畛 CHNH TH畛C 畛 THI TUY畛N SINH 畉I H畛C NM 2010 M担n: TON; Kh畛i: D Th畛i gian lm bi: 180 ph炭t, kh担ng k畛 th畛i gian ph叩t 畛 PH畉N CHUNG CHO T畉T C畉 TH SINH (7,0 i畛m) C但u I (2,0 i畛m) Cho hm s畛 .4 2 6y x x= + 1. Kh畉o s叩t s畛 bi畉n thi棚n v v畉 畛 th畛 (C) c畛a hm s畛 達 cho. 2. Vi畉t ph動董ng tr狸nh ti畉p tuy畉n c畛a 畛 th畛 (C), bi畉t ti畉p tuy畉n vu担ng g坦c v畛i 動畛ng th畉ng 1 1 6 y x= . C但u II (2,0 i畛m) 1. Gi畉i ph動董ng tr狸nh sin 2 cos2 3sin cos 1 0.x x x x + = 2. Gi畉i ph動董ng tr狸nh 3 3 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4x x x x x x+ + + + + + = + (x R). C但u III (1,0 i畛m) T鱈nh t鱈ch ph但n 1 3 2 ln e dI x x x = x . C但u IV (1,0 i畛m) Cho h狸nh ch坦p S.ABCD c坦 叩y ABCD l h狸nh vu担ng c畉nh a, c畉nh b棚n SA = a; h狸nh chi畉u vu担ng g坦c c畛a 畛nh S tr棚n m畉t ph畉ng (ABCD) l i畛m H thu畛c o畉n AC, AH = 4 AC . G畛i CM l 動畛ng cao c畛a tam gi叩c SAC. Ch畛ng minh M l trung i畛m c畛a SA v t鱈nh th畛 t鱈ch kh畛i t畛 di畛n SMBC theo a. C但u V (1,0 i畛m) T狸m gi叩 tr畛 nh畛 nh畉t c畛a hm s畛 2 2 4 21 3 1y x x x x= + + + + 0 . PH畉N RING (3,0 i畛m) Th鱈 sinh ch畛 動畛c lm m畛t trong hai ph畉n (ph畉n A ho畉c B) A. Theo ch動董ng tr狸nh Chu畉n C但u VI.a (2,0 i畛m) 1. Trong m畉t ph畉ng to畉 畛 Oxy, cho tam gi叩c ABC c坦 畛nh A(3; 7), tr畛c t但m l H(3; 1), t但m 動畛ng tr嘆n ngo畉i ti畉p l I(2; 0). X叩c 畛nh t畛a 畛 畛nh C, bi畉t C c坦 honh 畛 d動董ng. 2. Trong kh担ng gian to畉 畛 Oxyz, cho hai m畉t ph畉ng (P): x + y + z 3 = 0 v (Q): x y + z 1 = 0. Vi畉t ph動董ng tr狸nh m畉t ph畉ng (R) vu担ng g坦c v畛i (P) v (Q) sao cho kho畉ng c叩ch t畛 O 畉n (R) b畉ng 2. C但u VII.a (1,0 i畛m) T狸m s畛 ph畛c z th畛a m達n: | z | = 2 v z2 l s畛 thu畉n 畉o. B. Theo ch動董ng tr狸nh N但ng cao C但u VI.b (2,0 i畛m) 1. Trong m畉t ph畉ng t畛a 畛 Oxy, cho i畛m A(0; 2) v l 動畛ng th畉ng i qua O. G畛i H l h狸nh chi畉u vu担ng g坦c c畛a A tr棚n . Vi畉t ph動董ng tr狸nh 動畛ng th畉ng , bi畉t kho畉ng c叩ch t畛 H 畉n tr畛c honh b畉ng AH. 2. Trong kh担ng gian to畉 畛 Oxyz, cho hai 動畛ng th畉ng 1: 3x t y t z t = +ｧ ｪ =ｨ ｪ =ｩ v 2: 2 1 2 1 2 x y = = z . X叩c 畛nh t畛a 畛 i畛m M thu畛c 1 sao cho kho畉ng c叩ch t畛 M 畉n 2 b畉ng 1. C但u VII.b (1,0 i畛m) Gi畉i h畛 ph動董ng tr狸nh 2 2 2 4 2 0 2log ( 2) log 0 x x y x ｧ + + =ｪ ｨ y =ｪｩ (x, y R). ---------- H畉t ---------- Th鱈 sinh kh担ng 動畛c s畛 d畛ng ti li畛u. C叩n b畛 coi thi kh担ng gi畉i th鱈ch g狸 th棚m. H畛 v t棚n th鱈 sinh: .............................................; S畛 b叩o danh: ................................ Thi th畛 畉i h畛c www.toanpt.net
- 2. Trang 1/4 B畛 GIO D畛C V O T畉O ｯｯｯｯｯｯｯｯ 畛 CHNH TH畛C P N THANG I畛M 畛 THI TUY畛N SINH 畉I H畛C NM 2010 M担n: TON; Kh畛i D (叩p 叩n - thang i畛m g畛m 04 trang) P N THANG I畛M C但u 叩p 叩n i畛m 1. (1,0 i畛m) T畉p x叩c 畛nh: R. S畛 bi畉n thi棚n: - Chi畛u bi畉n thi棚n: 'y = 4x3 2x = 2x(2x2 + 1); 'y (x) = 0 x = 0. 0,25 - Hm s畛 畛ng bi畉n tr棚n kho畉ng (; 0); ngh畛ch bi畉n tr棚n kho畉ng (0; +). - C畛c tr畛: Hm s畛 畉t c畛c 畉i t畉i x = 0; yC = 6. - Gi畛i h畉n: lim x y = lim x y + = . 0,25 - B畉ng bi畉n thi棚n: 0,25 畛 th畛: 0,25 2. (1,0 i畛m) Do ti畉p tuy畉n vu担ng g坦c v畛i 動畛ng th畉ng y = 1 6 x 1, n棚n ti畉p tuy畉n c坦 h畛 s畛 g坦c b畉ng 6. 0,25 Do 坦, honh 畛 ti畉p i畛m l nghi畛m c畛a ph動董ng tr狸nh 4x3 2x = 6 0,25 x = 1, suy ra t畛a 畛 ti畉p i畛m l (1; 4). 0,25 I (2,0 i畛m) Ph動董ng tr狸nh ti畉p tuy畉n: y = 6(x 1) + 4 hay y = 6x + 10. 0,25 1. (1,0 i畛m) Ph動董ng tr狸nh 達 cho t動董ng 動董ng v畛i: 2sinxcosx cosx (1 2sin2 x) + 3sinx 1 = 0 0,25 (2sinx 1)(cosx + sinx + 2) = 0 (1). 0,25 Do ph動董ng tr狸nh cosx + sinx + 2 = 0 v担 nghi畛m, n棚n: 0,25 II (2,0 i畛m) (1) sinx = 1 2 x = 6 + k2 ho畉c x = 5 6 + k2 ( k Z). 0,25 'y + 0 y 6 x 0 + y x 6 2 2 O
- 3. Trang 2/4 C但u 叩p 叩n i畛m 2. (1,0 i畛m) i畛u ki畛n: x 2. Ph動董ng tr狸nh 達 cho t動董ng 動董ng v畛i: ( )( )32 24 4 4 2 2 2 2 0xx x+ = . 0,25 24x 24 = 0 x = 1. 0,25 2 2 2 x + 3 4 2x = 0 2 2x + = x3 4 (1). Nh畉n x辿t: x 3 4 . 0,25 X辿t hm s畛 f(x) = 2 2x + x3 + 4, tr棚n )3 4;｡ +｣ . 'f (x) = 1 2x + 3x2 < 0, suy ra f(x) ngh畛ch bi畉n tr棚n )3 4;｡ +｣ . Ta c坦 f(2) = 0, n棚n ph動董ng tr狸nh (1) c坦 nghi畛m duy nh畉t x = 2. V畉y ph動董ng tr狸nh 達 cho c坦 hai nghi畛m: x = 1; x = 2. 0,25 I = 1 3 2 ln d e x x x x = 1 2 ln d e x x x 1 ln 3 d e x x x . 0,25 畉t u = lnx v dv = 2xdx, ta c坦: du = dx x v v = x2 . 1 2 ln d e x x x = ( )2 1 ln e x x 1 d e x x = e2 2 1 2 e x = 2 1 2 e + . 0,25 1 ln d e x x x = ( ) 1 ln d ln e x x = 2 1 1 ln 2 e x = 1 2 . 0,25 III (1,0 i畛m) V畉y I = 2 2 e 1. 0,25 M l trung i畛m SA. AH = 2 4 a , SH = 2 2 SA AH = 14 4 a . 0,25 HC = 3 2 4 a , SC = 2 2 SH HC+ = a 2 SC = AC. Do 坦 tam gi叩c SAC c但n t畉i C, suy ra M l trung i畛m SA. 0,25 Th畛 t鱈ch kh畛i t畛 di畛n SBCM. M l trung i畛m SA SSCM = 1 2 SSCA VSBCM = VB.SCM = 1 2 VB.SCA = 1 2 VS.ABC 0,25 IV (1,0 i畛m) VSBCM = 1 6 SABC.SH = 3 14 48 a . 0,25 i畛u ki畛n: 2 x 5. Ta c坦 ( x2 + 4x + 21) ( x2 + 3x + 10) = x + 11 > 0, suy ra y > 0. 0,25 y2 = (x + 3)(7 x) + (x + 2)(5 x) 2 ( 3)(7 )( 2)(5 )x x x x+ + = ( ) 2 ( 3)(5 ) ( 2)(7 )x x x x+ + + 2 2, suy ra: 0,25 y 2 ; d畉u b畉ng x畉y ra khi v ch畛 khi x = 1 3 . 0,25 V (1,0 i畛m) Do 坦 gi叩 tr畛 nh畛 nh畉t c畛a y l 2 . 0,25 S CD BA M H
- 4. Trang 3/4 C但u 叩p 叩n i畛m 1. (1,0 i畛m) 動畛ng tr嘆n ngo畉i ti畉p tam gi叩c ABC c坦 ph動董ng tr狸nh: (x + 2)2 + y2 = 74. Ph動董ng tr狸nh AH: x = 3 v BC AH, suy ra ph動董ng tr狸nh BC c坦 d畉ng: y = a (a 7, do BC kh担ng i qua A). Do 坦 honh 畛 B, C th畛a m達n ph動董ng tr狸nh: (x + 2)2 + a2 = 74 x2 + 4x + a2 70 = 0 (1). 0,25 Ph動董ng tr狸nh (1) c坦 hai nghi畛m ph但n bi畛t, trong 坦 c坦 鱈t nh畉t m畛t nghi畛m d動董ng khi v ch畛 khi: | a | < 70 . Do C c坦 honh 畛 d動董ng, n棚n B( 2 2 74 a ; a) v C( 2 + 2 74 a ; a). 0,25 AC BH, suy ra: .AC BH = 0 ( )2 74 5a ( )2 74 5a + + (a + 7)( 1 a) = 0 a2 + 4a 21 = 0 0,25 a = 7 (lo畉i) ho畉c a = 3 (th畛a m達n). Suy ra C( 2 + 65 ; 3). 0,25 2. (1,0 i畛m) Ta c坦 vect董 ph叩p tuy畉n c畛a (P) v (Q) l畉n l動畛t l Pn = (1; 1; 1) v Qn = (1; 1; 1), suy ra: ,P Qn n｡ ､ ｣ ｦ = (2; 0; 2) l vect董 ph叩p tuy畉n c畛a (R). 0,25 M畉t ph畉ng (R) c坦 ph動董ng tr狸nh d畉ng x z + D = 0. 0,25 Ta c坦 d(O,(R)) = , 2 D suy ra: 2 D = 2 D = 2 2 ho畉c D = 2 2 . 0,25 VI.a (2,0 i畛m) V畉y ph動董ng tr狸nh m畉t ph畉ng (R): x z + 2 2 = 0 ho畉c x z 2 2 = 0. 0,25 G畛i z = a + bi, ta c坦: 2 2 z a b= + v z2 = a2 b2 + 2abi. 0,25 Y棚u c畉u bi to叩n th畛a m達n khi v ch畛 khi: 2 2 2 2 2 0 a b a b ｧ + =ｪ ｨ =ｪｩ 0,25 2 2 1 1. a b ｧ =ｪ ｨ =ｪｩ 0,25 VII.a (1,0 i畛m) V畉y c叩c s畛 ph畛c c畉n t狸m l: 1 + i; 1 i; 1 + i; 1 i. 0,25 1. (1,0 i畛m) G畛i t畛a 畛 H l (a; b), ta c坦: 2 2 2 ( 2)AH a b= + v kho畉ng c叩ch t畛 H 畉n tr畛c honh l | b |, suy ra: a2 + (b 2)2 = b2 . 0,25 Do H thu畛c 動畛ng tr嘆n 動畛ng k鱈nh OA, n棚n: a2 + (b 1)2 = 1. 0,25 T畛 坦, ta c坦: 2 2 2 4 4 0 2 0. a b a b b ｧ + =ｪ ｨ + =ｪｩ Suy ra: (2 5 2; 5 1)H ho畉c ( 2 5 2; 5 1)H . 0,25 VI.b (2,0 i畛m) V畉y ph動董ng tr狸nh 動畛ng th畉ng l ( 5 1) 2 5 2 0x y = ho畉c ( 5 1) 2 5 2 0x y + = . 0,25 I A B C H O H y x A P Q R O
- 5. Trang 4/4 C但u 叩p 叩n i畛m 2. (1,0 i畛m) Ta c坦: + M 1, n棚n M(3 + t; t; t). + 2 i qua A(2; 1; 0) v c坦 vect董 ch畛 ph動董ng v = (2; 1; 2). 0,25 Do 坦: AM = (t + 1; t 1; t); ,v AM｡ ､ ｣ ｦ = (2 t; 2; t 3). 0,25 Ta c坦: d(M, 2) = ,v AM v ｡ ､ ｣ ｦ = 2 2 10 17 3 t t + , suy ra: 2 2 10 17 3 t t + = 1 0,25 t2 5t + 4 = 0 t = 1 ho畉c t = 4. Do 坦 M(4; 1; 1) ho畉c M(7; 4; 4). 0,25 i畛u ki畛n: x > 2, y > 0 (1). 0,25 T畛 h畛 達 cho, ta c坦: 2 4 2 0 2 x x y x y ｧ + + =ｪ ｨ =ｪｩ 0,25 2 3 0 2 x x y x ｧ =ｪ ｨ = ｪｩ 0 2 x y =ｧ ｨ = ｩ ho畉c 3 1. x y =ｧ ｨ =ｩ 0,25 VII.b (1,0 i畛m) 畛i chi畉u v畛i i畛u ki畛n (1), ta c坦 nghi畛m c畛a h畛 l (x; y) = (3; 1). 0,25 ------------- H畉t ------------- M 2 1 d =1 H