Kombinatorika
- 2. Kombinatorika. Induksioni matematik ( N谷 lib谷r, faqe 173-175 ) 2 Kombinatorika 谷sht谷 deg谷 e matematik谷s e cila merret me studimin e mund谷sive t谷 renditjes dhe t谷 grupimit t谷 elementeve t谷 bashk谷sive t谷 fundme. Nga bashk谷sia = 1, 2, , marrim n谷nbashk谷si, t谷 cilat p谷rmbajn谷 t谷 gjitha apo disa elemente nga , ku radha e elementeve merret apo nuk merret parasysh. do n谷nbashk谷si e till谷 quhet rrokje ose kompleks. Var谷sisht nga m谷nyra e formimit t谷 rrokjeve, nga p谷rfshirja e t谷 githa elementeve t谷 bashk谷sis谷 ose vet谷m e nj谷 pjes谷 t谷 tyre dhe nga renditja e elementeve n谷 rrokje, rrokjet quhen: variacione permutacione dhe kombinacione
- 4. Shembulli 1 ( Faqe 174 ) Duke shfryt谷zuar induksionin matematik, t谷 v谷rtetohet se p谷r 巽do num谷r natyror vlen barazimi: 1 + 2 + 3 + + = (+1) 2 Zgjidhje 1) P谷r = 1, kemi: 1 = 1(1+1) 2 1 = 12 2 1 = 1 q谷 谷sht谷 barazim i sakt谷. D.m.th. barazimi 谷sht谷 i v谷rtet谷 p谷r = 1 . 2) Supozojm谷 se barazimi vlen p谷r = , d.m.th. se vlen: 1 + 2 + 3 + + = +1 2 V谷rtetojm谷 se barazimi i dh谷n谷 vlen edhe p谷r = + 1 . V谷rtet谷 kemi: 1 + 2 + 3 + + + + 1 = = (+1) 2 + + 1 = + 1 + 2 + 1 2 = ( + 1)( + 2) 2 = ( + 1)( + 1 + 1) 2 q谷 tregon se barazimi i dh谷n谷 vlen edhe p谷r = + 1 . N谷 baz谷 t谷 induksionit matematik p谷rfundojm谷 se barazimi i dh谷n谷 vlen p谷r 巽do num谷r natyror . 4
- 5. Duke shfryt谷zuar induksionin matematik, t谷 v谷rtetohet se p谷r 巽do num谷r natyror vlen barazimi: 2 > Zgjidhje 1) P谷r = 1, kemi: 21 > 1 2 > 1 q谷 谷sht谷 jobarazim i sakt谷. D.m.th. jobarazimi i dh谷n谷 谷sht谷 i v谷rtet谷 p谷r = 1 . 2) Supozojm谷 se jobarazimi vlen p谷r = , d.m.th. se vlen: 2 > V谷rtetojm谷 se barazimi i dh谷n谷 vlen edhe p谷r = + 1 . Pasi 2 > dhe 2 > 1 p谷r 巽do , at谷her谷 duke mbledhur an谷 p谷r an谷 dy jobarazimet e fundit, marrim: 2 + 2 > + 1 2 2 > + 1 2 +1 > +1 . N谷 baz谷 t谷 induksionit matematik p谷rfundojm谷 se jobarazimi i dh谷n谷 vlen p谷r 巽do num谷r natyror . 5 Shembulli 2