�ݺ�ߣ

Космология
Наука о возникновении
и развитии Вселенной
Дмитрий Доценко
Prezentacii.com

2 лекция
Космологические модели
• Закон Хаббла
– Красное смещение
• Ньютоновская космология
• Релятивистская космология
– Основы ОТО
– Фридмановские модели
• Наша Вселенная
• Обобщение космологических моделей

Закон Хаббла (продолжение)
• Интерпретируя сдвиг длин волн как результат
эффекта Допплера, скорость галактик
пропорциональна этому сдвигу
На самом деле это не эффект Допплера!!!
• Итак, скорость удаления галактики пропорцио-
нальна расстоянию до неё
• Значит ли это, что вблизи нашей Галактики
произошел гигантский взрыв?
HRV 

Закон Хаббла
• Итак, в случае линейной зависимости
удаление всех тел не означает
существования центра расширения
• Все тела удаляются от всех!
• Но когда-то тела были ближе... Может
даже все галактики, вся Вселенная
расширяется из одной точки...

Красное смещение
• Сдвиг длины волны определяют как
z = ( – 0) / 0, где
0 – длина волны, измеренная в лаборатории
 – наблюдаемая длина волны
• Обычно ее называют красным
смещением, так как
– Если z > 0, то  > 0 – линия сдвигается в сто-
рону больших длин волн («красная» сторона)
– В космологии чаще всего z > 0

• Причины для изменения длины волны
– Эффект Допплера (взаимное движение
источника и наблюдателя)
– Гравитационное смещение (различные
гравитационные потенциалы источника и
наблюдателя)
– Расширение пространства (фотон «расши-
ряется», пока движется в пространстве)
– Старение фотонов (фотон «краснеет» из-за
свойств пространства)
Ничтожный
эффект

Эффект Допплера
• Длина волны изменяется из-за того, что
наблюдатель движется и изменяется проме-
жуток времени между пучностями волны света
• Из-за изменения частоты меняется и
регистрируемая длина волны
• При взаимном удалении источника и
наблюдателя возникает красное смещение, при
сближении – фиолетовое смещение

Эффект Допплера
• Точная формула:
– v – модуль скорости относительного движения
–  - угол между направлением движения
источника и линией наблюдения
– c – скорость света в вакууме
• Примерная формула при v << c
2
20
1
cos1
c
v
c
v





2
2
0
1
cos1
1
c
v
c
v
zDopl






c
v
c
v
z r
Dopl 
cos

Расширение пространства
• Длина волны изменяется, так как в течение
свободного движения фотона пространство
успело расшириться и «растянуть» фотон
• При расширении пространства возникает
красное смещение, при сжатии – фиолетовое
смещение

Расширение пространства
• Интегральная формула:
– a – масштабный фактор (показывает, во
сколько раз пространство расширилось по
сравнению с определенным моментом)
– a2 соответсвует времени регистрации
фотона, а a1 – времени излучения
• Дифференциальная формула:
– a = da/dt
121 aazH 
 
lll
H dttHdt
a
a
dzz )(


• Так как красное смещение галактики
складывается из действия обоих эффектов, то
• Причина закона Хаббла – расширение
пространства, а разброс вокруг прямой даёт
эффект Допплера, который вызывают
случайные движения отдельных галактик
относительно центра масс скопления галактик
   HDoplобщ zzz  111

Суть постоянной Хаббла
• Размерность постоянной Хаббла –
км/с/Мпк или просто 1/с
• Она показывает, насколько в относитель-
ных единицах расширяется пространство
в единицу времени
• Значит, величина, обратная постоянной
Хаббла, приблизительно разна возрасту
Вселенной

Метагалактика
• Отсюда следует, что у Вселенной есть
предел наблюдаемой области
• Наблюдаемую часть Вселенной
называют Метагалактикой
• Расстояние до границы Метагалактики
примерно RМ = c / H0 = 1.3·1026 м

• Космологической моделью называют
математическую модель, описывающую
усредненное распределение материи в
пространстве и его эволюцию
• Модели делят на классы по теории, в
рамках которой она построена:
– Ньютоновская космология – всемирный
закон притяжения
– Релятивистская космология – ОТО

• Основные предположения, на которых
основываются все космологические модели:
– Вселенная однородна и изотропна
– Законы физики одинаковы во всей Вселенной
• Применимость этих предположений следует из
многих данных различных наблюдений

Ньютоновская космология
• Рассмотрим «типичный» шар,
равномерно заполненный материей.
• Пусть радиальные скорости частиц под-
чиняются закону Хаббла (что неизбежно
при наших предположениях):
• Пусть H>0 и не зависит от пространст-
венных координат (только от времени)
rHv



• Пусть в момент времени t0 координата
частицы есть . Тогда эта координата
меняется по закону (R(t) –
масштабный фактор).
• Так как , то
0r

rtHdtrdv

)(/ 
 
dt
tdR
tRdt
tRrd
tRrdt
trd
tr
tH
)(
)(
1)(
)(
1)(
)(
1
)( 0
0





)()( 0 tRrtr 


• Для определения зависимости R(t) и
H(t) от времени, используем законы
сохранения массы и полной
механической энергии.
– Масса шара не меняется
или, записывая по другому,
3
3
4
rM  
constR 3


• Закон сохранения механической энергии
для элемента на краю шара:
– Кинетическая энергия
– Потенциальная энергия
• Полная энергия постоянна:
2
2
1
vdmT


r
Mdm
GU


const
r
M
Gv 2
2
1 

• Запишем полную механическую энергию
(постоянную) в виде . Тогда22
02
1
ckr
22
02
1
3
3
4
22
2
1
ckr
r
r
GrH 



2
22
8
3
8
3
GR
kc
G
H

  (*)

• Это уравнение вместе с начальными
условиями полностью определяют R(t),
т.е. все динамические свойства
космологической модели.
• В уравнение (*) не входит размер шара
материи, поэтому его можно применять
для шара любого размера, как и для всей
Вселенной, равномерно заполненной
веществом.

• Качественно можно оценить R(t) даже
без интегрирования уравнения (*):
2
22
8
3
8
3
GR
kc
G
H

 

• Если k<0, то полная механическая энергия
положительна (кинетическая больше
потенциальной) и данный элемент объёма
будет вечно отдаляться от начала координат.
• Если k>0, то полная энергия отрицательна.
Через какое-то время расширение
затормозится и сменится сжатием (H<0)
• k=0 – пограничный случай: 0)(lim



tv
t

• Знак постоянной k и характер движения
материи зависит от знака разности
, где
называют критической плотностью.
Введём также обозначение
c 
G
H
c


8
3 2

c



• Если , то расширение шара
остановится и сменится сжатием.
• Если , то расширение будет
продолжаться вечно.
• Значение критической плотности (как и
сама плотность) меняется со временем, но
знак разности плотностей не меняется.
 1 c
)1(  c

• Решим уравнение эволюции (*) в случае,
когда k = 0.
0
8
3 2

G
H

 3
0)( 
 Rt 
0
1
8
3
2
3
0 





 
dt
dR
RG
R



3
80 G
Rdt
dR 

t
G
tR  0
2/3
3
2
3
8
)( 

3/23
06)( tGtR  
t
tH
3
2
)( 

Масштабный
фактор а
Время

• Классическая космология Ньютона
применима лишь малым интервалам
пространства и времени (локально)
• Качественно верно описывает эволюцию
вселенной и ее зависимость от средней
плотности
• Неприменима для описания всей
вселенной, так как скорость взаимо-
действия считается бесконечной

Релятивистская космология
• Согласно экспериментальным данным,
скорость света постоянна во всех
системах отсчета.
• Это противоречит теории Ньютона, но
верно в специальной теории
относительности (СТО)
• Но в СТО не включено гравитационное
взаимодействие. Теория, описывающая и
его, учитывая конечность скорости
взаимодействия, есть ОТО.

История
• В 1916 году А. Эйнштейн создает
общую теорию относительности (ОТО)
• Она рассматривает объекты, которые
движутся с большими скоростями в
сильных гравитационных полях
• Он (и другие) ищут решения ОТО для
описания эволюции Вселенной
• Вселенную представляют однородной и
изотропной (космологический принцип)

История
• В 1917 году А. Эйнштейн создает модель
стационарной вселенной, дополняя урав-
нения гравитационного поля «-членом»
• В 1917 году В. де Ситтер находит реше-
ние для динамической пустой вселенной
• Закон Хаббла (1929 г.) соответствует
ожиданиям ОТО и соответствует случаю
расширения Вселенной

История
Albert Einstein (1879 – 1955)
W. de Sitter
(1872 – 1934)

История
• В 1922 году А.А. Фридман и, независимо
от него, в 1927 году Г.Е. Леметр развили
далее модель нестационарной вселенной,
учитывая массу, гравитацию и кривизну
пространства
• Согласно этой теории вселенная расширя-
ется из начальной пространственно-вре-
менной сингулярности до современного
состояния и дальше

История
Александр Фридман
(1888 – 1925)
Abbe Lemaitre

Основные понятия
• Основные понятия ньютоновской теории
гравитации
– Однородное и изотропное пространство, в
котором происходит движение
– Однородное время как параметр движения
– Движущаяся масса
– Гравитационное взаимодействие,
моментально действующее по закону
2
21
r
MM
GF 

Основные понятия
• Основные понятия СТО
– Пространство-время Минковского
– Инерциальная система отсчета (ИСО)
– Скорость света c, с которой
распространяются взаимодействия
• Что отсутствует в этой теории
– Гравитационное поле

Основные понятия ОТО
• Локально-инерциальная система
отсчета (ЛИСО), которая вводится из-за
невозможности построения единой
глобальной ИСО в пространстве с
гравитационным полем.
• В СТО ускорение тела может быть
скомпенсировано ускорением система
отсчета. В ОТО это невозможно.

• Пространство-время Римана – кривое
4-х мерное пространство (т.е. элемент
интервала ds нельзя глобально
преобразовать в форму Минковского)
• Геометрические свойства (кривизну)
определяет движение и распределение
массы. Но и само движение определя-
ется кривизной пространства.

• Кривые 4-х мерные пространства
– У сферы положительная кривизна
– У «седла» отрицательная кривизна

• Согласно ОТО, гравитационное поле
проявляется в кривизне пространства.
Чем больше отличие от плоского
пространства, тем сильнее поле.
• Уравнения гравитационного поля ОТО
– система десяти нелинейных
дифференциальных уравнений второго
порядка

Уравнения Эйнштейна
• Кривизну с распределением массы
связывают уравнения Эйнштейна
– Rik и R=gikRik характеризуют кривизну
– gik – метрический тензор
– Tik характеризует распределение и движение
материи
–  – постоянная Эйнштейна
ikikik TRgR  2
1
4
8
c
G
 
kiik eeg



Тензор энергии-импульса
• Рассмотрим вид тензора энергии-импульса
Tik в наиболее частых случаях
• Компонента T00 равна плотности энергии
вещества  = c2
• Компоненты Tii (i = 1, 2, 3) равны давлению
вещества p
• Недиагональные члены в ЛИСО – нули

• Тензор энергии-импульса для пыли:
– Пыль определена как среда с низкой темпе-
ратурой (т.е. тепловые скорости движения
много меньше скорости света с)
– Отсюда давление пыли равно нулю и
единственная ненулевая компонента тензора
Tik есть
2
00 cT 

• Тензор энергии-импульса для ультра-
релятивистских частиц:
– Их 4-импульс равен
– Тогда , где  - плотность
энергии
– И
cEp /
 ET00
3
1
2
22
2
2
333
1
 
E
c
E
E
c
p
E
c
Tii


• Открытый вид тензора энергии-импульса
для ультра-релятивистского вещества (в
его системе отсчета):
• Для излучения (фотонов) Tik такой же!



















3
1
3
1
3
1
000
000
000
000
ik
T

Уравнение состояния
• Давление с плотностью вещества связано
уравнением вещества, общий вид
которого p = c2
• Из вида тензора Tik следует, что для пыли
 = 0, а для ультра-релятивистского
вещества и излучения  = 1/3
Наша Вселенная

Фридмановские модели
• Основные приближения
– Пространство однородно и изотропно
– Описание системы происходит в ЛИСО
• Тогда уравнения Эйнштейна сводятся к
0
022
22
3
8
T
c
G
a
kca 


3
32
2
22
1
122
22
888
2 T
c
G
T
c
G
T
c
G
a
kca
a
a 





• Основные приближения
– Пространство однородно и изотропно
– Материя есть «пыль»
• Тогда уравнения Эйнштейна сводятся к
0
022
22
3
8
T
c
G
a
kca 


02 2
22



a
kca
a
a 

• Эти уравнения не независимы, и второе
из них эквивалентно уравнению (*), если
на место T0
0 подставить его значение c2
2
22
2
2
3
8
c
c
G
a
kc
H 


2
22
8
3
8
3
Ga
kc
G
H

 

• Хотя уравнения математически иден-
тичны, они описывают разную «физику»
Ньютоновская
космология
k – непрерывная величи-
на, характеризующая
энергию системы
k принимает значения 0,
1 или –1 и характеризует
кривизну пространства
H описывает взаимное
движение частиц
H описывает расши-
рение пространства

• Но так как уравнения идентичны, то и
решения тоже одинаковы!

Эволюция Вселенной
• Эволюция зависит от одного параметра –
параметра плотности .
• Если  < 1, то вселенная вечно расширя-
ется. Пространство открыто.
• Если  > 1, то вселенная после стадии
расширения начинает сжиматься
обратно. Пространство замкнуто.
• Если  = 1, то пограничный случай –
пространство плоское

Масштабный
фактор а
Время

• Постоянная Хаббла – мера скорости
изменения масштаба Вселенной а:
• Со временем она меняется!
• При наблюдении объекта рассчитанная
постоянная Хаббла зависит от эволюции
вселенной во все моменты между
излучением и регистрацией фотона
aaH 

• Мы рассмотрели общую схему
эволюции вселенной, заполненной
пылевидной материей
• Возникает закономерный интерес –
годится ли разработанная теория для
описания нашей Вселенной
• И если годится, то каковы реальные
значения параметров модели?

• Преобразуем уравнение Фридмана (УФ),
учитывая форму Tik (Tik). Итак,
• Оно показывает, что эволюция зависит
от уравнения состояния p = c2
2
2
2
2
8
3
8
2 c
c
G
c
c
G
a
a






 

31
3
4
2
2
 a
G
dt
ad

• Во Вселенной одновременно есть типы
материи с разными значениями 
• Последние данные (WMAP, февраль 2003
года) убедительно показывают, что
около 2/3 от общей энергии занимает т.н.
тёмная энергия
• Попробуем понять, что же это такое!
Если не хотят понять

 - член
• Исторически первая модель вселенной
Эйнштейна (1917 г.) была по построению
статичной. Однако, как мы видели,
уравнения Эйнштейна не допускают такое
решение
• Чтобы решить это противоречие,
Эйнштейн добавил в уравнения дополни-
тельный скалярный член (т.н. -член)

 - член
• Уравнения Эйнштейна:
• Уравнения, дополненные -членом
ikikik TRgR  2
1
ikikikik TgRgR  2
1

 - член
• Найдём эффективное уравнение состоя-
ния -члена. Для этого представим себе,
что материи вообще нет. Тогда
• Эффективный тензор энергии-импульса
в ЛИСО есть
ikikik gRgR  2
1
  ,,,11
diaggT ik
vac
ik 

 - член
• Сравнивая с общим видом тензора
энергии импульса в ЛИСО, т.е.
видим, что для -члена  = – 1.
• Значит, если плотность энергии -члена
доминирует, то Вселенная расширяется
ускоренно!
),,,( 2222
ccccdiagTik 

 - член
• Действительно, из уравнения Фридмана:
• Если  = – 1 (т.е. всю плотность энергии
составляет -член), то d2a/dt2 положите-
лен и расширение происходит ускоренно.
• Причина – сильное отрицательное
«давление»
 

31
3
4
2
2
 a
G
dt
ad

• Итак, обычное вещество с   0 способствует
сжатию Вселенной, а -член – ее расширению.
• Так как в нашей Вселенной доминирует -член,
то она будет расширятся вечно и ускоренно.
• Пока на ясна физическая причина
существования ненулевого -члена. К примеру,
это могла бы быть энергия вакуумных нулевых
флуктуаций...
Но об этом в следующий раз!

Модель эволюции Вселенной
• Обобщим закономерности, выведенные на
этой лекции
• Выведем зависимости характеристик
вещества от времени для
– Пыли
– Ультра-релятивистского вещества и излучения
– Космологической постоянной
Фотоны - всегда
ультра-релятивистские частицы

Состояния вещества
• Пыль:
– Плотность энергии 
– Давление p = 0,  = 0
• Ультра-релятивистское вещество и излучение:
– Плотность энергии  = c2
– Давление p = 1/3 ,  = 1/3
• Космологическая постоянная :
– Плотность энергии  = 
– Давление p = -,  = -1

Плотность энергии
• Уравнение, описывающее зависимость
плотности энергии  от масштабного
фактора a:
  03 23
 paa
da
d

033 223
 aa
da
d
a 

  da
a
d
1
13
1
 


Плотность энергии
)1(3 
 
 a
Пыль УР вещество,
излучение
-член
3
 a 4
 a const
Видно, что положительное давление ускоряет
уменьшение энергии, а отрицательное –
замедляет его

Масштабный фактор
• Уравнение Фридмана описывает зависи-
мость масштабного фактора от времени:
0
022
22
3
8
T
c
G
a
kca 


dta
c
G
a
da )1(2/3
2
3
8  

dt
c
G
daa 2
1)1(2/3
3
8


Масштабный фактор
• Если   -1, то
• Если  = -1, то
)1(3
2

 ta
t
ea 
Пыль УР вещество,
излучение
-член
3/2
ta  ta  t
ea 
Зависимость истинна, если данный тип
вещества доминирует во Вселенной

Постоянная Хаббла
• Если a(t) – степенная функция, то посто-
янная Хаббла обратно пропорциональна
времени
• Если a(t) – экспонента, то постоянная
Хаббла не зависит от времени
a
a
H


tt
t
H
3
2
3/2
3/1
3
2


tt
t
H
2
1
2/1
2/1
2
1



Температура
• Зависимость температуры излучения от а
есть , так как
плотность энергии излучения есть
• Зависимость температуры пыли от
времени не так проста, так как на нее
влияют эффекты выделения внутренней
энергии (притяжение, ядерные и
химические реакции и др.)
4
T
  14/144/1 
 aaT 

Параметры вещества
Пыль
( = 0)
УР, излучение
( = 1/3)
-член
( = -1)
3
 a 4
 a const
3/2
ta  ta  t
ea 
1
3
2 
 tH 1
2
1 
 tH constH 
1
 aT

Выводы
• Узнали главные экспериментальные
факты внегалактической астрономии
• Ознакомились с некоторыми моделями
эволюции Вселенной на основе теории
Ньютона и ОТО
• На следующей лекции проследим
эволюцию Вселенной с точки зрения
теории Большого Взрыва

Спасибо за внимание!

�ݺ�ߣ

Kosmologiya

More Related Content

Kosmologiya