際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Lagrangian

Download as DOCX, PDF
P
Pupus Qira
1 of 4
Nama : Pupus Qira Nim : M0213070 Konsep Sederhana Lagrangian dan Hamiltonian Sebelum membahas tentang penggunaan teori Lagrangian dan Hamiltonian, kita perlu meninjau ulang tentang prinsip Newtonian dimana persoalan gerak suatu benda diselesaikan dengan menerapkan prinsip hukum pertama, kedua, dan ketiga Newton. Hukum Newton I tentang gerak yang terkadang disebut hukum inersia, mendefinisikan suatu kerangka acuan khusus yang disebut kerangka inersia. Hukum I Newton menjelaskan jika sebuah benda tidak berinteraksi dengan benda lainnya, maka kita dapat mengidentifikasi suatu kerangka acuan di mana benda itu memiliki percepatan nol (Serway, 2009). Dalam bahasa yang lebih sederhana dapat dikatakan bahwa apabila suatu benda pada keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan yang konstan jika tidak diberi gaya luar maka benda tersebut akan tetap pada keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan konstan. Perlu diperhatikan bahwa Hukum I Newton tidak menjelaskan mengenai resultan gaya yang bekerja sama dengan nol. Hukum ini menjelaskan jika tidak ada gaya yang bekerja pada benda tersebut. Sedangkan pada Hukum II Newton akan dijelaskan mengenai apa yang terjadi pada benda yang mengalami gaya resultan sebesar nol. Hukum II Newton menyatakan bahwa sebuah benda dikenakan sebuah gaya sebesar F maka benda tersebut akan mengalami perubahan momentum setiap waktu. Perubahan momentum inilah yang menyebabkan benda mengalami sebuah percepatan. Secara matematis dapat dituliskan : dt md dt d )( v F p F
aF v F m dt d m Dari persamaan (1) menujukkan bahwa jika suatu benda diberikan gaya maka benda tersebut akan mengalami percepatan. Jika resultan gaya nya nol maka percepatan dari benda tersebut adalah nol. Resultan gaya-gaya itu sendiri dijelaskan pada Hukum III Newton tentang gaya aksi-reaksi, ketika dua buah benda saling berinteraksi satu sama lain, maka gaya-gayanya akan memiliki besar yang sama, dengan arah yang berlawanan dan parallel terhadap garis lurus yang menghubungkan gaya tersebut (Gregory, 2006). Secara matematis hukum III Newton dapat dituliskan 211 21 FF FF F 緒 緒 2 12 0 0 Persamaan (2) menjelaskan bahwa ketika gaya benda pertama dikenakan pada benda dua 21F sama dengan gaya benda dua yang dikenakan pada benda pertama 21F . Contoh sederhana dari Hukum III Newton adalah ketika meletakkan buku diatas meja yang datar seperti pada gambar 1 F12 F21 y x Gambar 1. Sebuah buku diletakkan diatas permukaan sebuah meja (2) (1)
Pada gambar 1 menunjukkan bahwa gaya-gaya yang bekerja pada buku tersebut hanya pada sumbu y dimana gaya tersebut terdiri dari gaya buku ke meja 21F dan gaya meja ke buku 21F , dengan besar yang sama tetapi dengan arah yang berlawanan. Pada kasus-kasus mekanika sederhana, kita dapat memecahkan kasus tersebut menggunakan prinsip Newtonian. Akan tetapi penyelesaian menggunakan prinsip Newtonian akan jauh lebih sulit dikerjakan pada kasus-kasus yang lebih rumit seperti teori gerak osilasi dan dinamika benda kaku. Maka dari itu Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia),(1736-1813) mengenalkan kepada kita semua tentang penentuan persamaan gerak suatu benda ditinjau dari energi kinetic (T) dan energy potensial (U). Formulasi Lagrange dapat dituliskan tqqLtqqqqqqL nn ,,),,...,,,,...,,( 2121 Formulasi diatas menyatakan bahwa lagrange L merupakan fungsi dari tqq ,, . Dimana q merupakan posisi benda atau nilai potensial benda pada titik tersebut, q menunjukkan kecepatan atau kinetic benda tersebut, sedangkan t fungsi waktu. Persamaan Lagrange merupakan reprentasi dari Hukum II Newton dimana menggunakan peninjauan energy kinetic (T) dan energy potensial (U). Untuk energy kinetic menggunakan persamaan : 2 2 1 qmT Untuk energy potensial menggunakan persamaan : mgqU Dimana q merupakan posisi dari benda Karena persamaan Lagrange merupakan selisih dari dari energi kinetik dan energi potensial, maka : UTL Dari persamaan (3), (4), dan (5) (3) (4) (5)
mgqqmL UTL 2 2 1 Untuk menentukan persamaan gerak fungsi lagrange dari suatu partikel maka dapat digunakan persamaan Euler-Lagrange : 0 q L dt d q L Dari persamaan (6) dan (7) Dari persamaan (8) dapat dianalogikan dengan persamaan (7) dimana mg q L merupakan gaya F qm q L dt d merupakan perubahan momentum Dari pembuktian diatas dimana persamaan Lagrange didasarkan pada perubahan momentum dimana terdapat nilai kecepatan yang artinya terdapat energy kinetik, selain itu terdapat posisi yang artinya memiliki potensial tertentu. (6) (7) 0 0 0 2 1 2 1 22 緒 緒 緒 qmmg qm dt d mg mgqqm qdt d mgqqm q (8)

More Related Content

Lagrangian

  • 1. Nama : Pupus Qira Nim : M0213070 Konsep Sederhana Lagrangian dan Hamiltonian Sebelum membahas tentang penggunaan teori Lagrangian dan Hamiltonian, kita perlu meninjau ulang tentang prinsip Newtonian dimana persoalan gerak suatu benda diselesaikan dengan menerapkan prinsip hukum pertama, kedua, dan ketiga Newton. Hukum Newton I tentang gerak yang terkadang disebut hukum inersia, mendefinisikan suatu kerangka acuan khusus yang disebut kerangka inersia. Hukum I Newton menjelaskan jika sebuah benda tidak berinteraksi dengan benda lainnya, maka kita dapat mengidentifikasi suatu kerangka acuan di mana benda itu memiliki percepatan nol (Serway, 2009). Dalam bahasa yang lebih sederhana dapat dikatakan bahwa apabila suatu benda pada keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan yang konstan jika tidak diberi gaya luar maka benda tersebut akan tetap pada keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan konstan. Perlu diperhatikan bahwa Hukum I Newton tidak menjelaskan mengenai resultan gaya yang bekerja sama dengan nol. Hukum ini menjelaskan jika tidak ada gaya yang bekerja pada benda tersebut. Sedangkan pada Hukum II Newton akan dijelaskan mengenai apa yang terjadi pada benda yang mengalami gaya resultan sebesar nol. Hukum II Newton menyatakan bahwa sebuah benda dikenakan sebuah gaya sebesar F maka benda tersebut akan mengalami perubahan momentum setiap waktu. Perubahan momentum inilah yang menyebabkan benda mengalami sebuah percepatan. Secara matematis dapat dituliskan : dt md dt d )( v F p F
  • 2. aF v F m dt d m Dari persamaan (1) menujukkan bahwa jika suatu benda diberikan gaya maka benda tersebut akan mengalami percepatan. Jika resultan gaya nya nol maka percepatan dari benda tersebut adalah nol. Resultan gaya-gaya itu sendiri dijelaskan pada Hukum III Newton tentang gaya aksi-reaksi, ketika dua buah benda saling berinteraksi satu sama lain, maka gaya-gayanya akan memiliki besar yang sama, dengan arah yang berlawanan dan parallel terhadap garis lurus yang menghubungkan gaya tersebut (Gregory, 2006). Secara matematis hukum III Newton dapat dituliskan 211 21 FF FF F 緒 緒 2 12 0 0 Persamaan (2) menjelaskan bahwa ketika gaya benda pertama dikenakan pada benda dua 21F sama dengan gaya benda dua yang dikenakan pada benda pertama 21F . Contoh sederhana dari Hukum III Newton adalah ketika meletakkan buku diatas meja yang datar seperti pada gambar 1 F12 F21 y x Gambar 1. Sebuah buku diletakkan diatas permukaan sebuah meja (2) (1)
  • 3. Pada gambar 1 menunjukkan bahwa gaya-gaya yang bekerja pada buku tersebut hanya pada sumbu y dimana gaya tersebut terdiri dari gaya buku ke meja 21F dan gaya meja ke buku 21F , dengan besar yang sama tetapi dengan arah yang berlawanan. Pada kasus-kasus mekanika sederhana, kita dapat memecahkan kasus tersebut menggunakan prinsip Newtonian. Akan tetapi penyelesaian menggunakan prinsip Newtonian akan jauh lebih sulit dikerjakan pada kasus-kasus yang lebih rumit seperti teori gerak osilasi dan dinamika benda kaku. Maka dari itu Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia),(1736-1813) mengenalkan kepada kita semua tentang penentuan persamaan gerak suatu benda ditinjau dari energi kinetic (T) dan energy potensial (U). Formulasi Lagrange dapat dituliskan tqqLtqqqqqqL nn ,,),,...,,,,...,,( 2121 Formulasi diatas menyatakan bahwa lagrange L merupakan fungsi dari tqq ,, . Dimana q merupakan posisi benda atau nilai potensial benda pada titik tersebut, q menunjukkan kecepatan atau kinetic benda tersebut, sedangkan t fungsi waktu. Persamaan Lagrange merupakan reprentasi dari Hukum II Newton dimana menggunakan peninjauan energy kinetic (T) dan energy potensial (U). Untuk energy kinetic menggunakan persamaan : 2 2 1 qmT Untuk energy potensial menggunakan persamaan : mgqU Dimana q merupakan posisi dari benda Karena persamaan Lagrange merupakan selisih dari dari energi kinetik dan energi potensial, maka : UTL Dari persamaan (3), (4), dan (5) (3) (4) (5)
  • 4. mgqqmL UTL 2 2 1 Untuk menentukan persamaan gerak fungsi lagrange dari suatu partikel maka dapat digunakan persamaan Euler-Lagrange : 0 q L dt d q L Dari persamaan (6) dan (7) Dari persamaan (8) dapat dianalogikan dengan persamaan (7) dimana mg q L merupakan gaya F qm q L dt d merupakan perubahan momentum Dari pembuktian diatas dimana persamaan Lagrange didasarkan pada perubahan momentum dimana terdapat nilai kecepatan yang artinya terdapat energy kinetik, selain itu terdapat posisi yang artinya memiliki potensial tertentu. (6) (7) 0 0 0 2 1 2 1 22 緒 緒 緒 qmmg qm dt d mg mgqqm qdt d mgqqm q (8)