ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

லாப்லாஸ் மாறுபாடு (Laplace Transform)

•Download as PPTX, PDF•
•
P
Paramasivan Eswaran

Laplace Transform in Tamil

1 of 8
Download to read offline
லாப்லாஸ் மாற்றம் (அ) லாப்லாஸ் மாறுபாடு (Laplace Transform) L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt ஒரு சார்பை (function), த ாபையிடலின் மூலம் வேத ாரு சார்ைாை மாற்றி (லாப்லாஸின் மாற் ம்), தீர்வு ைாணும் முப
Laplace transform of f(t) = 1 L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(1) = F s = 0 ∞ e−st (1) dt = e−st −s 0 ∞ = e−∞ −s - e0 −s = 1 s
Laplace transform of f(t) = tn L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(tn) = F s = 0 ∞ e−st (tn) dt = 0 ∞ e−u u s n du s = 1 s(n+1) 0 ∞ e−u u n+1 −1du ∵ 0 ∞ e−x xn−1dx, where n > 0 =⎾ n = Gamma function = ⎾(n + 1) s(n + 1) , where n > 0 = n! s(n + 1) , where n = 0,1, 2,… st = u என பிரதியிட ∵⎾(n + 1) = n!
Laplace transform of f(t) = eat L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(eat) = F s = 0 ∞ e−st(eat)dt = e−(s−a)t −(s−a) 0 ∞ = e−∞ −(s−a) - e0 −(s−a) = 1 s − a
Laplace transform of f(t) = cosh at L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(cosh at) = F s = 0 ∞ e−st 1 2 eat + e−at dt = 1 2 0 ∞ e−st(eat)dt + 0 ∞ e−st(e−at)dt = 1 2 1 s − a + 1 s + a = s s2 − a2 ∵ cosh at = 1 2 eat + e−at
Laplace transform of f(t) = sinh at L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(sinh at) = F s = 0 ∞ e−st 1 2 eat − e−at dt = 1 2 0 ∞ e−st(eat)dt − 0 ∞ e−st(e−at)dt = 1 2 1 s − a − 1 s + a = a s2 − a2 ∵ sinh at = 1 2 eat − e−at
Laplace transform of cos 𝑎t and sin 𝑎t L(cos at) = 0 ∞ e−st cos at dt ILATE (inverse trigonometric, log, algebraic, trigonometric, exponential) விதிப்ைடி, ைகுதி த ாபையிட (Integrating by parts), L(cos at) = cos at e−stdt 0 ∞ − d(cos at) dt e−st dt dt 0 ∞ ∵ uv dx = u vdx − du dx vdx dx Here, u = cos ωt; v = e−st = cos at e−st −s 0 ∞ − −a sin at e−st −s dt 0 ∞ = cos ∞ 0 −s −1 1 −s - a s 0 ∞ e−st sin at dt = 1 s − a s L( sin at) இவ வைால், L(sin at) = 0 ∞ e−st sin at dt = sin at e−stdt 0 ∞ − d(sin at) dt e−st dt dt 0 ∞ = sin at e−st −s 0 ∞ − a cos at e−st −s dt 0 ∞ = sin ∞ 0 −s − 0 1 −s + a s 0 ∞ e−st cos at dt = a s L( cos at) L(sin at)-வின் மதிப்பை L(cos at)-விற்ைான சமன்ைாட்டில் பிரதியிட L(cos at) = 1 s − a s a s L( cos at) L(cos at) 1+ a2 s2 = 1 s L(cos at) = s s2+a2 L(cos at) -வின் மதிப்பை L(sin at)-விற்ைான சமன்ைாட்டில் பிரதியிட L(sin at) = a s 1 s − a s L( sin at) L(sin at) 1+ a2 s2 = a s2 L(sin at) = a s2+a2
தைாதுோன சில சார்புைளின் லாப்லாஸ் மாறுைாடுைள்

More Related Content

லாப்லாஸ் மாறுபாடு (Laplace Transform)

  • 1. லாப்லாஸ் மாற்றம் (அ) லாப்லாஸ் மாறுபாடு (Laplace Transform) L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt ஒரு சார்பை (function), த ாபையிடலின் மூலம் வேத ாரு சார்ைாை மாற்றி (லாப்லாஸின் மாற் ம்), தீர்வு ைாணும் முப
  • 2. Laplace transform of f(t) = 1 L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(1) = F s = 0 ∞ e−st (1) dt = e−st −s 0 ∞ = e−∞ −s - e0 −s = 1 s
  • 3. Laplace transform of f(t) = tn L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(tn) = F s = 0 ∞ e−st (tn) dt = 0 ∞ e−u u s n du s = 1 s(n+1) 0 ∞ e−u u n+1 −1du ∵ 0 ∞ e−x xn−1dx, where n > 0 =⎾ n = Gamma function = ⎾(n + 1) s(n + 1) , where n > 0 = n! s(n + 1) , where n = 0,1, 2,… st = u என பிரதியிட ∵⎾(n + 1) = n!
  • 4. Laplace transform of f(t) = eat L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(eat) = F s = 0 ∞ e−st(eat)dt = e−(s−a)t −(s−a) 0 ∞ = e−∞ −(s−a) - e0 −(s−a) = 1 s − a
  • 5. Laplace transform of f(t) = cosh at L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(cosh at) = F s = 0 ∞ e−st 1 2 eat + e−at dt = 1 2 0 ∞ e−st(eat)dt + 0 ∞ e−st(e−at)dt = 1 2 1 s − a + 1 s + a = s s2 − a2 ∵ cosh at = 1 2 eat + e−at
  • 6. Laplace transform of f(t) = sinh at L f t = F s = 0 ∞ e−st f t dt L(sinh at) = F s = 0 ∞ e−st 1 2 eat − e−at dt = 1 2 0 ∞ e−st(eat)dt − 0 ∞ e−st(e−at)dt = 1 2 1 s − a − 1 s + a = a s2 − a2 ∵ sinh at = 1 2 eat − e−at
  • 7. Laplace transform of cos 𝑎t and sin 𝑎t L(cos at) = 0 ∞ e−st cos at dt ILATE (inverse trigonometric, log, algebraic, trigonometric, exponential) விதிப்ைடி, ைகுதி த ாபையிட (Integrating by parts), L(cos at) = cos at e−stdt 0 ∞ − d(cos at) dt e−st dt dt 0 ∞ ∵ uv dx = u vdx − du dx vdx dx Here, u = cos ωt; v = e−st = cos at e−st −s 0 ∞ − −a sin at e−st −s dt 0 ∞ = cos ∞ 0 −s −1 1 −s - a s 0 ∞ e−st sin at dt = 1 s − a s L( sin at) இவ வைால், L(sin at) = 0 ∞ e−st sin at dt = sin at e−stdt 0 ∞ − d(sin at) dt e−st dt dt 0 ∞ = sin at e−st −s 0 ∞ − a cos at e−st −s dt 0 ∞ = sin ∞ 0 −s − 0 1 −s + a s 0 ∞ e−st cos at dt = a s L( cos at) L(sin at)-வின் மதிப்பை L(cos at)-விற்ைான சமன்ைாட்டில் பிரதியிட L(cos at) = 1 s − a s a s L( cos at) L(cos at) 1+ a2 s2 = 1 s L(cos at) = s s2+a2 L(cos at) -வின் மதிப்பை L(sin at)-விற்ைான சமன்ைாட்டில் பிரதியிட L(sin at) = a s 1 s − a s L( sin at) L(sin at) 1+ a2 s2 = a s2 L(sin at) = a s2+a2