1. http://matematica.noads.biz
http://matematica.noads.biz
Exerci釘ii rezolvate cu legi de compozi釘ie
Enun釘uri
Ex.1.
Pe mul釘imea numerelor reale 臓 definim opera釘ia 4 4 12x y xy x y= + + +o , oricare ar fi ,x y 臓 .
a)Verifica釘i identitatea ( 4)( 4) 4x y x y= + + o , oricare ar fi ,x y 臓 .
b)Demonstra釘i c ( 4) 4x = o , oricare ar fi ,x y 臓 .
c)Arta釘i c legea de compozi釘ie o este asociativ.
d)Calcula釘i ( 2009) ( 2008) ... 2009 o o o .
e)Rezolva釘i in 臓 ecua釘ia 12x x x x =o o o .
Variante M2 bac 2009
Ex.2.
Variante M2 bac 2009
Ex.3.
Variante M2 bac 2009
Ex.4.
Variante M2 bac 2009
Ex.5.
Pentru a,b din mul釘imea [ )0,M = + se definete opera釘ia ln( 1)a b
a b e e = + .
Variante M1 bac 2009
Rezolvri:
2. http://matematica.noads.biz
Ex.1.
a)( 4)( 4) 4 4 4 16 4 4 4 12x y xy x y xy x y x y+ + = + + + = + + + = o i identitatea din cerin釘 este
demonstrat.
b) ( 4) ( 4)( 4 4) 4 4,x x x = + + = o 臓 .
c)Legea de compozi釘ie o este asociativ dac ( ) ( ), , ,x y z x y z x y z= o o o o 臓 .
[ ]( ) ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4)( 4) 4, , ,
a
x y z x y z a z a z x y z x y z= + + = = + + = + + + o o o o 臓
144424443
[ ]( ) ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4)( 4) 4, , ,
b
x y z x y z x b x b x y z x y z= + + = = + + = + + + o o o o 臓
144424443
Din cele dou rela釘ii de mai sus rezult c legea o este asociativ.
d)
( 2009) ( 2008) ... 2009 ( 2009) ( 2008) ... ( 5) ( 4) ( 3) ... 2008 2009 ( 4) 4
x y
x y = = = o o o o o o o o o o o o o
1444442444443 144424443
conform punctului b).
e) 2
( 4)( 4) 4 ( 4) 4x x x x x= + + = + o
3
4
( 4) 4
( 4) 4
x x x x
x x x x x
= +
= +
o o
o o o
Ecua釘ia dat devine
4 4 2 2
0
( 4) 4 12 ( 4) 16 0 ( 4) 4 ( 4) 4 0x x x x
>
錚 錚 錚 錚+ = + = + + + =錚 錚 錚 錚1442443 .
Cum x 臓 rezult c
12 2
2
2
( 4) 4 0 ( 4) 4 4 2
6
x
x x x
x
= 錚
+ = + = + = 賊 錚
= 錚
.
Ex.2.
2.a)2( 3)( 3) 3 2( 3 3 9) 3 2 6 6 21 , ,x y xy x y xy x y x y x y + = + + = + = o 臓 c.c.t.d.
b) 2 2
11 2 12 10 0 6 5 0x x x x x x= + = + =o care are solu釘iile 1 1x = i 2 5x = .
c)Observm c 3 3 3,x x x= = o o 臓
1 2 3 ... 9 ... 2009 1 2 3 ... 8 3 10 ... 2009 3
x y
= =o o o o o o o o o o o o o o144424443 1442443 .
Ex.3.
2.a)( 2)( 2) 2 2 2 4 2 2 2 6 2( ) 6 , ,x y xy x y xy x y xy x y x y x y + = + + = + = + + = o 臓 c.c.t.d.
b) 2 ( 2)(2 2) 2 2,x x x= + = o 臓 .
c)S mai observm c i 2 (2 2)( 2) 2 2,x x x= + = o 臓 .
Observa釘i in acea compunere rolul important al lui 2!
Utilizand proprietatea de asociativitate a opera釘iei precum i faptul c 2 2,x x= o 臓 i 2 2,x x= o 臓 se
ob釘ine c E=2.
( 2009) ( 2008) ... 0 1 2 3 ... 2009 2
yx
E = =o o o o o o o o142431444442444443 .
Ex.4.
a)e este element neutru dac ,x e e x x x= = o o 臓 .
( 4)( 4) 4 ,
( 4)( 4) ( 4) 0,
( 4)( 4 1) 0,
5 0 5.
x e x e x x
x e x x
x e x
e e
= + =
=
=
= =
o 臓
臓
臓
b) 2
( 4) 4x x x= +o
2 2 3
( 4) 4 ( 4) ( 4) 4 ( 4) 4x x x x x x x x錚 錚= + = + = +錚 錚o o o
Ecua釘ia dat devine:
3. 3 3 2
( 4) 4 ( 4) ( 4) 0 ( 4) ( 4) 1 0x x x x x x錚 錚高 + = = =錚 錚
( 4)( 4 1)( 4 1) 0x x x + = (am folosit formula 2 2
( )( )a b a b a b = + .
Ob釘inem ecua釘ia ( 4)( 5)( 3) 0x x x = care are solu釘iile
1
2
3
3
4
5
x
x
x
=錚
錚
=錚
錚 =錚
.
c) ( 4)( 4) 4a b a b= + o 促 .
Observm c dac lum
3
4
5
a = i
5
4
3
b = vom ob釘ine 1 4 5a b = + = o 促
Din
3
4
5
a = ob釘inem
3 23
4
5 5
a = + = iar din
5
4
3
b = ob釘inem
5 17
4
3 3
b = + = .
Evident a i b sunt numere ra釘ionale , a b造 蔵 .
Ex.5.
a)Fie , [0, )a b M = +
1
1 1 ln( 1) 0 ln( 1)
1
a
a b a b a b
b
e
e e e e e e M a b M
e
+ + +
b)Legea de compozi釘ie * este asociativ dac ( ) ( ), , ,x y z x y z x y z M =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ln( 1) ln 2
( ) ln( 1) ln 2
y z x y z
x y x y z
x y z x e e e e e
x y z e e z e e e
= + = + +
= + = + +
deci legea este asociativ.
c) ln(2 1)a
a a e =
ln(3 2)a
a a a e =
Demonstrm prin induc釘ie c ( )( ) : ... ln ( 1) , 1a
de n ori a
P n a a a ne n n = 14243 este adevrat.
Etapa verificrii:
Pentru n=1 avem (1) :P a a= este adevrat.
Etapa demonstra釘iei:
Presupunem P(k) adevrat i demonstrm c P(k+1) este adevrat.
( )( ) : ... ln ( 1)a
de k ori a
P k a a a ke k = 14243 este adevrat.
( )
1
( 1) : ... ln ( 1) a
de k ori a
P k a a a k e k
+
+ = + 14243 trebuie demonstrat.
( )( ) ( ) ( )
1
... ln ( 1) ln ( 1) 1 ln ( 1)a a a a
de k ori a
a a a ke k a ke k e k e k
+
= = + = + 14243 c.c.t.d.
Egalitatea
... 2
de n ori a
a a a a =14243 devine ( )ln ( 1) 2a
ne n a =
2 2
( 1) 1 0a a a a
ne n e e ne n = + = .Notm a
e x= i ob釘inem ecua釘ia de gradul doi 2
1 0x nx n + =
care are solu釘iile 1 1x = i 2 1x n= .
Revenind la nota釘ie , ob釘inem 0a = sau ln( 1)a n=
 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4)( 4) 4, , ,
a
x y z x y z a z a z x y z x y z= + + = = + + = + + + o o o o 臓
144424443
[ ]( ) ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4) 4 ( 4)( 4)( 4) 4, , ,
b
x y z x y z x b x b x y z x y z= + + = = + + = + + + o o o o 臓
144424443
Din cele dou rela釘ii de mai sus rezult c legea o este asociativ.
d)
( 2009) ( 2008) ... 2009 ( 2009) ( 2008) ... ( 5) ( 4) ( 3) ... 2008 2009 ( 4) 4
x y
x y = = = o o o o o o o o o o o o o
1444442444443 144424443
conform punctului b).
e) 2
( 4)( 4) 4 ( 4) 4x x x x x= + + = + o
3
4
( 4) 4
( 4) 4
x x x x
x x x x x
= +
= +
o o
o o o
Ecua釘ia dat devine
4 4 2 2
0
( 4) 4 12 ( 4) 16 0 ( 4) 4 ( 4) 4 0x x x x
>
錚 錚 錚 錚+ = + = + + + =錚 錚 錚 錚1442443 .
Cum x 臓 rezult c
12 2
2
2
( 4) 4 0 ( 4) 4 4 2
6
x
x x x
x
= 錚
+ = + = + = 賊 錚
= 錚
.
Ex.2.
2.a)2( 3)( 3) 3 2( 3 3 9) 3 2 6 6 21 , ,x y xy x y xy x y x y x y + = + + = + = o 臓 c.c.t.d.
b) 2 2
11 2 12 10 0 6 5 0x x x x x x= + = + =o care are solu釘iile 1 1x = i 2 5x = .
c)Observm c 3 3 3,x x x= = o o 臓
1 2 3 ... 9 ... 2009 1 2 3 ... 8 3 10 ... 2009 3
x y
= =o o o o o o o o o o o o o o144424443 1442443 .
Ex.3.
2.a)( 2)( 2) 2 2 2 4 2 2 2 6 2( ) 6 , ,x y xy x y xy x y xy x y x y x y + = + + = + = + + = o 臓 c.c.t.d.
b) 2 ( 2)(2 2) 2 2,x x x= + = o 臓 .
c)S mai observm c i 2 (2 2)( 2) 2 2,x x x= + = o 臓 .
Observa釘i in acea compunere rolul important al lui 2!
Utilizand proprietatea de asociativitate a opera釘iei precum i faptul c 2 2,x x= o 臓 i 2 2,x x= o 臓 se
ob釘ine c E=2.
( 2009) ( 2008) ... 0 1 2 3 ... 2009 2
yx
E = =o o o o o o o o142431444442444443 .
Ex.4.
a)e este element neutru dac ,x e e x x x= = o o 臓 .
( 4)( 4) 4 ,
( 4)( 4) ( 4) 0,
( 4)( 4 1) 0,
5 0 5.
x e x e x x
x e x x
x e x
e e
= + =
=
=
= =
o 臓
臓
臓
b) 2
( 4) 4x x x= +o
2 2 3
( 4) 4 ( 4) ( 4) 4 ( 4) 4x x x x x x x x錚 錚= + = + = +錚 錚o o o
Ecua釘ia dat devine:](https://image.slidesharecdn.com/legi-de-compozitie-130530105655-phpapp02/85/Legi-de-compozitie-2-320.jpg)
