�ݺ�ߣ

1
LIMIT FUNGSI KOMPLEKS
Limit fungsi yang terdefinisi pada daerah D untuk peubah z mendekati dengan titik
limit D.
Jika dan hanya jika nilai f(z) dapat dibuang ke sebarang dekat ke L dengan cara membuat z
cukup dekat ke .
Jika dan hanya jika jarak f(z) dengan L dibuat sebarang kecil, jika jarak z ke cukup kecil.
Jika dan hanya jika sebarang kecil, jika cukup kecil.
Jika dan hanya jika untuk setiap bilangan , jika untuk
suatu bilangan .
Dengan kata lain,
Jika dan hanya jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga jika
berlaku .
Jika dan hanya jika untuk setiap lingkungan terdapat lingkungan
terhapuskan sehingga jika berlaku .
Dengan demikian pengertian limit fungsi yang terdefinisi pada daerah D untuk peubah z
mendekati dengan merupakan titik limit D, disajikan pada definisi berikut ini.
DEFINISI 4. 2. 1
Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi pada daerah
a)
Jika dan hanya jika untuk setiap bilangan terhadap bilangan sehingga jika
berlaku .

2
b)
Jika dan hanya jika untuk setiap lingkungan terdapat lingkungan
terhapuskan sehingga jika berlaku .
Contoh:
a)
b)
Penyelesaian:
a) Misalkan Akan ditunjukan bahwa untuk setiap bilangan
terdapat bilangan sehingga jika
Hasil yang ingin dicapai dapat ditulis:
Langkah proses pembuktiannya adalah sebagai berikut:
Diambil maka untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga jika
berlaku :
Jadi terbukti bahwa
b)
Akan ditunjukan bahwa setiap bilangan terdapat bilangan sehinga jika
.
Hasil yang ingin dicapai dapat ditulis :

3
Hal ini mengakibatkan:
Sehingga diperoleh:
Dengan mengambil , hasil yang ingin dicapai dapat ditulis dalam
bentuk :
.
.
SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPLEKS
TEOREMA 4.2.2
Diberika fungsi kompleks f terdefinisikan pada daerah .
Bukti :
Diberikan bilangan sebarang. Terdapat bilangan sehingga jika
. Oleh karena itu, diperoleh :

4
TEOREMA 4.2.3
Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah
Bukti ( c ) :
c) Pada bagian ini yang akan dibuktikan untuk kasus . Hasil yang ingin
dicapai dapat ditulis:
Diberikan bilangan sebarang. Karena , maka terdapat bilangan
dan bilangan k>0 sehingga berlaku
;
Terdapat bilangan sehingga jika
Terdapat bilangan sehingga jika

5
Dengan kata lain terbukti bahwa :
LIMIT DARI NILAI MUTLAK SUATU FUNGSI
TEOREMA 4.2.4
Diberikan fungsi komplek f yang terdefinisi pada daerah
Bukti (a) :
Diberikan bilangan sebarang, maka terdapat bilangan sehingga jika
berlaku :
Maka terbukti bahwa
TEOREMA 4.2.5
Diberikan fungsi f, g dan h didefinisikan pada daerah .

6
Bukti :
Diberikan bilangan sebarang, maka :
Jadi terbukti bahwa
Contoh :
Penyelesaian :
TEOREMA 4.2.6

7
Bukti:
Berlaku :
Jadi, untuk bilangan di atas terdapat bilangan sehingga jika
berlaku :
Jadi terbukti bahwa :
.
Karena , berarti terdapat bilangan sehingga jika
Dengan kata lain, untuk
bilangan di atas terdapat sehingga jika

8
=
Kontrapositif dari teorema di atas merupakan suatu pernyataan yang benar, yaitu :
TEOREMA 4.2.7
Akibat dari teorema di atas adalah sebagai berikut:
.
Contoh :
Penyelesaian :

9
Karena sepanjang garis y = 0 dan sepanjang garis y = x nilai limitnya berbeda, maka
.
Contoh:
Penyelesaian:
Berdasarkan (1) dan (2), disimpulkan bahwa:
Contoh:

10
Penyelesaian:
Karena sepanjang dua garis yang berbeda menghasilkan nilai limit yang
berbeda maka
LATIHAN
1. Hitunglah limit fungsi berikut
2. Selidikilah apakah limit berikut ada

�ݺ�ߣ

Limit

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Limit