1. Sebelum kita masuk ke logika matematika, kita harus tahu dulu definisi logika tersebut yang nantinya
sangat berperan dalam pemahaman logika matematika sendiri. Logika berasal dari kata Yunani kuno
λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan
dalam bahasa. Logika mempunyai beberapa manfaat, yaitu :
ï‚· Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus,
tetap, tertib, metodis dan koheren.
ï‚· Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
ï‚· Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
ï‚· Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas -asas
sistematis
ï‚· Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir,
kekeliruan, serta kesesatan.
ï‚· Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
ï‚· Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )
ï‚· Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana tersebut
pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.
Setelah kita mengetahui tentang Logika kita akan lebih mudah dalam mempelajari logika matematika.
Berikut ini hal-hal yang menyangkut logika matematika.
1. Pernyataan
Yang dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi
tidak sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan pernyataan jika kita tidak
dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Terdapat
dua jenis pernyataan matematika yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan
tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka
yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya perhatikan contoh
dibawah ini.
contoh :
6×5 = 30 ( pernyataan tertutup yang benar )
6+5=10 ( pernyataan tertutup yang salah )
gula putih rasanya manis ( pernyataan terbuka )
Jarak jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )
2. Ingkaran Pernyataan ( negasi )
Ingkaran merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat
dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar dinotasikan ~.
2. contoh :
pernyataan B : Sepeda motor beroda dua
negasi pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua
3. Pernyataan Majemuk
3.1. Konjungsi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk
pernyataan majemuk ‘ p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan
Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan majemuk
konjungsi.
Jika menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga kita dapat
menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.
3.2. Disjungsi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk
pernyataan majemuk ‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan dengan
3. Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk
disjungsi.
Sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk disjungsi kita
tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat
majemuk disjungsinya.
3.3. Implikasi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga membentuk
pernyataan majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan dilambangkan dengan
Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk
implikasi.
sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk implikasi kita
tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk
kalimat majemuk implikasinyanya.
3.4. Biimplikasi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga
membentuk pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut dengan biimplikasi dan
dilambangkan dengan
4. Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk
biimplikasi.
sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk biimplikasi
kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana
bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan soal
yang nanti akan kita hadapi.
4. Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk
Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi
dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk
pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan
majemuk disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe
soal yang nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan
disamping.
Tidak perlu bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa
menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan pastinya
kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal.
5. 5. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari
implikasi tersebut
6. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam
yaitu :
6.1 Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor
universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk setiap).
contoh : ∀ x R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.
6.2 Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa,
sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada, beberapa, terdapat,
sebagian )
contoh : ∀ x R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.
7. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga
sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.
contoh :
p : beberapa siswa SMA rajin belajar
~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar
8. Penarikan Kesimpulan
Penarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang
disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang
baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan
6. seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya
benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan,
yaitu :
8.1 Modus ponens
premis 1 : p →q
premis 2 : p ( modus ponens)
__________________
Kesimpulan: q
Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“. sebagai
contoh :
premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senang
premis 2 : bapak datang
__________________
Kesimpulan: Adik senang
8.2 Modus Tollens
premis 1 : p →q
premis 2 : ~q ( modus tollens)
__________________
Kesimpulan: ~p
Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“. sebagai contoh
:
premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payung
premis 2 : Adik tidak memakai payung
___________________
Kesimpulan : Hari tidak hujan
8.3 Silogisme
premis 1 : p→q
premis 2 : q → r ( silogisme)
7. _________________
Kesimpulan: p →r
Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“. sebagai contoh :
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.
__________________________________________________
Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.
Catatan Tambahan:
Hukum de Morgan:
¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
Ekuivalensi implikasi:
(p → q) ≡ (¬p V q)