Matematika-Logika revisi
- 1. Aljabar Logika Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar a. Dapat menggunakan Nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implikasinya dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah Waktu : 2 x 50 Menit Metode : - Ceramah - Lat soal dan Tanya jawab Logika merupakan ilmu yangmempelajariu aturan aturan dalam penalaran (berfikir logis) baik dalam matematika, sains, dan lain-lain khususnya dalam penelitian. Karena logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh sebab itu dalam logika hanya dikenal dua kemungkinan kebenaran saja yaitu benar atau salah. Masih ingatkah kita tentang bilangan biner yang hanya mempergunakan angka 0 dan 1 yang dipergunakan dalam setiap instruksi komputer, dan instruksi ini pada hakekatnya merupakan serangkaian kombinasi logis. 1. Pernyataan/Statement, nilai kebenarn dan kalimat terbuka A. Pernyataan/Statement Kalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sehingga memiliki makna yang benar. Kalimat ini dikelompokkan mejadi kalimat pernyataan dan bukan pernyataan. Dalam matematika, kalimat pernyataan memiliki ciri sebagai berikut Sifat Dasar : Benar atau salah, tapi tidak keduanya dan disebut dengan nilai kebenarannya Contoh: a. Sembilan adalah bilangan genap b. Ibukota Negara Indonesia adalah Jakarta 1
- 2. Kalimat diatas adalah kalimat pernyataan karena kita dapat menentukan bahwa kalimat tersebut salah untuk (a) dan benar untuk (b) c. P adalah bilangan prima Adalah bukan kalimat pernyataan tetapi kalimat pemberitahuan yang jika diberi nilai untuk p maka akan kelihatan benar dan salahnya d. Ani adalah gadis yang cantik adalah bukan kalimat pernyataan yang mana kata cantik itu relatif, tergantung dari siapa yang mengatakan B. Lambang dan Nilai Kebenaran Dalam matematika, kalimat pernytaan dapat dinotasikam dengan huruf kecil tanpa tanda tambahan Contoh : p, q, r p : Bilangan cacah terkecil adalah 0 q : Tidak Bilangan genap yang prima Setiap kalimat poernytaan mempunyai nilai kebenaran (B) jika kalimat itu benar dan (S) jika kalimat itu salah. Lambang dari kebenaran tersebut adalah (dibaca tau) dari huruf bahasa Yunani Sehingga diperoleh (p) = B dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah Benar (q) = S dibaca nilai kebenaran pernyataan q adalah Salah C. Kalimat terbuka Adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung variable Contoh ax + 6 = 9 bp adalah bilangan ganjil Dua kalimayt diatas bukan kalimat pernyataan yang dapat diubah menjadi kalimat pernyataan benar atau salah dengan mengganti nilai x dan p 2
- 3. 2. Konjugasi ( and/dan) Symbol : Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata dan yang membentuk pernyataan baru Tabel kebenaran p S Q S pq S S B S B S S B B B Suatu konjugasi menghasilkan nilai pernyataan itu benar jika kedua dari pernyataan itu benar Contoh Tentukan nilai kebenaran dari kunjugasi berikut: a. Ibukota negara RI adalah Jakarta dan Jakarta berada di Pulau Jawa p= Ibukota negara RI adalah Jakarta adalah benar q= Jakarta berada di Pulau Jawa (p ^ q) = adalah B b. Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty dan Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh p= Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty bernilai benar q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah (p ^ q) = adalah S 3. Disjungsi ( or/atau) Symbol : Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata atau yang membentuk pernyataan baru Tabel kebenaran P Q pq 3
- 4. S S S S B B B S B B B B Suatu Disjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah jika kedua pernyaan tersebut slah dan mempunyai Nilai pernyataan itu benar jika kedua dari pernyataan itu benar atau salah satu dari pernyatan itu benar Contoh a. Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari atau Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh p= Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari adalah salah q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah (p V q) = adalah S b. Semua bilangan prima adalah genap atau semua persegi panjang mempunyai sisi sama panjang p= Semua bilangan prima adalah genap adalah salah q= semua persegi panjang mempunyai sisi sama panjang adalah B (p V q) = adalah B 4. Kalimat ingkar (negasi/negative) Dalam kehidupan sehari-hari kita sering kali melakukan penyangkalan atau pengingkaran sesuatu. Untuk pengingkaran tersebutkita menggunakan kata-kata tidak, tidak benar, atau bukan Symbol : ~ pernyataan yang diinverskan atau kebalikan membentuk pernyataan baru Tabel kebenaran p S p B B S Nilai pernyataan itu adalah negative dari pernyataan yang ada Contoh r : Semua orang bersekolah 4
- 5. r : tidak semua oarang bersekolah atau ada orang yang tidak bersekolah 5. Implikasi/ Kondisional (jika, maka) Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk dari pernyataan p dan pernyataan q dengan Symbol : Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata jika, maka yang membentuk pernyataan baru. Dimana p pernyataan sebab dan q adalah pernyataan akibat. Jadi implikasi adalah suatu hubungan pernyataan yang mengandung hubungan sebab akibat walaupun pada dasarnya nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk tidak harus ada hubungan anatara komponen-komponen pembentuknya Tabel kebenaran p S Q S p q B S B B B S S B B B Pada tabel diatas terlihat bahwa jika pernyataan sebab benar dan akibat salah maka dia akan menghasilkan nilai kebaran yang salah Contoh Jika sesorang tergigit nyamuk Aedes Agepty maka Terdapat bintik pada kulit dan demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD p= sesorang tergigit nyamuk Aedes Age adalah benar q= Terdapat bintik pada kulit dan demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD adalah benar p q maka menghasilkan benar Dari suatu implikasi kita dapat mengubahnya menjadi pernytaan baru yaitu invers, konvers dan kontraposisi p q Invers nya adalaha p - q p q Konvers nya adalaha q p p q Kontraposisi nya adalaha q - p 5
- 6. 6. Biimplikasi/Bikondisional ( jika dan hanya jika) Merupakan kalimat implikasi dua arah ytang menyatakan pernyataan majemuk dari pernytaan p dan pernyatan q yang berbentuk ( p q ) ^ ( q p) dibaca q jika p dan p jika q sehingga menghasilkan bentuk p q dengan simbol : Dibaca : a. p jika dan hanya jika q b. p syarat perlu dan cukup bagi q c. q syarat perlu dan cukup bagi p Tabel kebenaran P S Q S p q B S B S B S S B B B Suatu pernyataan berbiimplikasi bernilai benar bila mempunyai keduanya pernyataan yang bernilai sama Contoh 3 Log 27 = 3 jika dan hanya jika 3 3 = 27 p= 3 Log 27 = 3 adalah benar q= 3 3 = 27 adalah benar maka p q menghasilkan pernyataan benar 7. Ekuivalensi Kita ketahui bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk merupakan fungsi dari nilai kebenaran pernytaan penyususnnya. Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalensi jika memeilki nilai kebenaran yang samma A = B Berikut ini beberapa ekuivalensi yangperelu diketahui a. Hukum Komulatif pvq =qvp p^q =q^p 6
- 7. b. Hukum assosiatif p ^ ( q ^ r) = ( p ^ q ) ^ r p v ( q v r ) = (p v q ) v r c. Hukum distributif p ^ ( q v r) = ( p ^ q ) v ( p ^ r ) p v ( q ^ r ) = (p v q ) ^ (p v r) d. Hukum De morgan - ( p ^ q ) = - p v q -(pvq)=-p^-q 8. Tautologi Tabel kebenaran P S p B p p B B S B Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu table kebenaran yang bernilai benar semuanya 9. Kontradiksi Tabel kebenaran P S p B p p S B S S Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu table kebenaran yang bernilai salah semuanya 10. Kontingensi Suatu pernyatan majemuk merupakan kontingensi jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah Tabel kebenaran P S p B p p S 7
- 8. B 11. S S Silogisme Suatu pernyataan baru akibat dari beberapa premis yang kemudian menghasilkan kongklusi Contoh Jika p mengakibatkan q (premis I) p q Jika q mengakibatkan r (premis II q r Maka p mengakibatkan r (konklusi) p r Contoh Jika kita sabar, maka disayang Allah Jika kita disayang Allah maka kita akan bahagia premis 1 premis 2 Jadzi konklusinya adalah jika kita sabar, maka kita akan bahagia 8