際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Makalah untuk agus

Download as DOCX, PDF
Agus Durri
Agus Durri
1 of 22
MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA Diajukan sebagai salah satu tugas Ujian Akhir Semester Mata Kuliah : Bahasa Indonesia Dosen Pengampu : Indrya Mulyaningsih, M.Pd Disusun Oleh : Agus Ahmad Durri (14121510609) Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika Kelas / Semester : C / 2 (dua) IAIN SYEKH NURJATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132 Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926 2013
2 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Azza wa jalla yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah serta Inayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul Logika Matematika. Shalawat serta salam, senantiasa penulis curahkan kepada baginda Rasul yakni Nabi Besar Muhammad Saw dan keluarganya, sahabatnya, sampai pada umatnya akriruzaman. Semoga Allah Azza wa jalla menjadikan makalah ini sebagai wasilah untuk penulis dan para pembaca dalam meraih syafaatul uzma Rasulullah SAW. Makalah ini Insya Allah tersusun dengan sistematis berisikan tentang logika matematika, dengan pembahasannya mengenai konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Ucapan terima kasih yang mendalam penulis haturkan kepada rekan-rekan dan semua pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan kritik dan sarannya yang bersifat membangun, agar penulis dapat menyusun makalah lebih baik lagi, penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah ini, karena kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya Cirebon, Mei 2013 Agus Ahmad Durri
3 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL / COVER............................................................................... 1 KATA PENGANTAR.............................................................................................. 2 DAFTAR ISI............................................................................................................. 3 DAFTAR TABEL .................................................................................................... 4 BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 5 A. Latar Belakang ......................................................................................................... 5 B. Tujuan Penulisan...................................................................................................... 6 C. Manfaat Penlisan...................................................................................................... 6 BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................... 7 A. Oprasi Negasi........................................................................................................... 7 B. Konjungsi ................................................................................................................ 7 C. Disjungsi .................................................................................................................. 8 D. Implikasi................................................................................................................... 9 E. Biimplikasi............................................................................................................... 12 F. Konvers, Invers dan Kontraposisi ....................................................................... 13 G. Bilangan Berkuantor ............................................................................................. 14 H. Penarikan Kesimpulan ............................................................................................. 16 1. Modus Ponens..................................................................................................... 17 2. Modus Tollens .................................................................................................... 17 3. Silogisme ............................................................................................................ 18 I. Hubungan Antara Logika dan Himpunan ................................................................ 19 BAB III PENUTUP.................................................................................................. 20 A. Kesimpulan .............................................................................................................. 20 B. Saran......................................................................................................................... 21 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 22
4 DAFTAR TABEL Tabel 1 : Tabel kebenaran oprasi negasi.............................................................. 7 Tabel 2 : Tabel kebenaran konjungsi ................................................................... 7 Tabel 3 : Tabel kebenaran disjungsi..................................................................... 8 Tabel 4 : Tabel kebenaran implikasi .................................................................... 10 Tabel 5 : Tabel kebenaran tautologi..................................................................... 11 Tabel 6 : Tabel kebenaran kontradiksi................................................................. 11 Tabel 7 : Tabel kebenaran implikasi logis ........................................................... 12 Tabel 8 : Tabel kebenaran biimplikasi................................................................. 12 Tabel 9 : Tabel kebenaran biimplikasi logis ........................................................ 13 Tabel 10 : Tabel kebenaran modus ponens............................................................ 17 Tabel 11 : Tabel kebenaran modus tollens............................................................. 18 Tabel 12 : Tabel kebenaran silogisme.................................................................... 18
5 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Di zaman yang modern ini berbagai kajian ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka- angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran penalaran yang logis atas sistem matematis. Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematika diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematika ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika. Theresia Tirta Saputro (1992:3) berpendapat bahwa logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya. Logika sebagai suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Pada abad ke-18 Masehi, G.W.Leibniz. ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika yang lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, dan Bertrand Russel (Sartono Wirodikromo dkk, 1999:5). Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarati ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara pealaran yang benar dengan penalaran yang salah (Kusumah, 1986:1). Proses berpikir yang terjadi disaat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan- pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran. Hal ini merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari.
6 Merupakan matakuliah penting terutama bagi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam seperti Ilmu Komputer. Topik ini sangat penting karena dapat meningkatkan daya nalar mahasiswa dan dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata dan pada saat mempelajari matakuliah lainnya. Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para mahasiswa memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang mata kuliah Logika Matematika. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi? 2. Bagaimanakah invers, konvers, dan kontraposisi itu? 3. Apa itu bilangan berkuantor? 4. Bagaimana penarikan kesimpulan terakhirnya? C. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 2. Untuk mengetahui invers, konvers, dan kontroposisi dalam logika matematika. 3. Untuk mengetahui apa itu bilangan berkuantor. 4. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan dalam logika matematika.
7 BAB II PEMBAHASAN A. Operasi Negasi Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan ~. Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.1 Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar. Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: Tabel 1 B S S B Contoh: p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia ~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia B. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari dua pernyataan dengan kata hubung dan. Kalau tersebut dinotasikan dengan "" . Dua pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk disebut konjungsi dan dibaca dan . Suatu pernyataan yang apabila kedua-duanya memenuhi permintaan benar (B) maka jawabannya benar. Jika tidak demikian maka salah. Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 2 B B B B S S S B S S S S 1 Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu, hal. 56
8 Contoh : 1) B B S S B S S S S B B B S S B S 2) : Dana lahir di Madura : Dana Kuliah di Malang : Dana lahir di Madura dan Kuliah di Malang C. Disjungsi Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk sebuah pernyataan baru dengan kata penghubung atau yang dinotasikan . Dua pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk disebut disjungsi dan dibaca atau . Sesuatu pernyataan apabila salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi benar, jika tidak demikian bernilai salah. Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 3 B B B B S B S B B S S S Contoh : 1) B B S S S B S S B B S B B S B S S B B B 2) Zahro membeli baju
9 Zahro membeli tas Zahro membeli baju atau tas 3) Diketahui : p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara Ditanya : Buatlah tabel kebenarannya Penyelesaian p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara p q : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika atau menjadi juara Tabel kebenarannya adalah : p q p q Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika (B) Siswa MA Nurul Huda menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda meme- nangkan piala olimpiade mate- matika atau menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika (B) Siswa MA Nurul Huda tidak menjadi juara (S) Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika (B) Siswa MA Nurul Huda tidak memenangkan piala olimpiade matematika (S) Siswa MA Nurul Huda menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda tidak memenangkan piala olimpiade matematika (S) Siswa MA Nurul Huda tidak menjadi juara (S) Tidak mendapat juara (S) D. Implikasi Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk implikasi dinyatakan dengan pernyataan baru yaitu Jika p maka q. Hal ini dinotasikan dengan p q atau . Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar atau yang lebih mudah dipahami suatu pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak demikian bernilai benar. Jadi pernyataan p q terjadi pernyataan salah, hanya karena p benar, q salah.
10 Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 4 B B B B S S S B B S S B Contoh : 1) B B B B B S S S S B S B S S S B 2) : Lisa memilih jurusan IPA : Nilai rata-rata dibidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8 : Lisa memilih jurusan IPA maka nilai rata-rata bidang studi MIPA sekurang- kurangnya 8 Dalam implikasi terdapat implikasi logis sebagai salah satu bentuk ekuivalensi logis dalam logika matematika. Dibawah ini akan diuraikan mengenai implikasi logis, namun terlebih dahulu akan diuraikan bentuk-bentuk pernyataan logika matematika yaitu tautologi dan kontradiksi. a. Tautologi Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar untuk nilai suatu kebenaran atau sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.2 Untuk menentukan atau membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi. Kita dapat menggunakan tabel kebenaran berikut ini : 2 Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga, hal.24
11 Tabel 5 p q p q ( p q ) q B B S S B S B S B S S S B B B B Pada kolom terakhir terdapat ( p q ) q yaitu notasi tautologi yang terbentuk dari pernyataan jika ( p dan q ) maka q. Yang nilai kebenarannya selalu benar untuk semua komponen komponennya. b. Kontradiksi Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran atau suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah.3 Dalam sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Hal ini merupakan kebalikan dari tautologi yang tersusun dari komponen p dan negari q ( p ~ q), sebagaimana tabel berikut ini: Tabel 6 p q ~ q p ~ q q ( p ~ q ) B B S S B S B S S B S B S B S S S S S S Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semua komponen bernilai salah. Oleh karena itu q ( p ~ q ) adalah suatu kontradiksi. c. Implikasi logis Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai logika selalu benar untuk nilai kebenaran dari komponennya.4 Dengan kata lain, implikasi logis adalah implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan dengan Contoh : Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa ( p q ) ( p q ) merupakan suatu implikasi logis. 3 Ibid., hal.25 4 Ibid., hal.27
12 Penyelesaian : Tabel 7 p q p q p V q (p q ) (p V q ) B B S S B S B S B S S S B B B S B B B B Pada kolom kel enam tabel di atas, tampak bahwa nilai logika ( p q ) ( p q ) selalu benar. Hal ini yang dinamakan implikasi logis. E. Biimplikasi Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk .... jika dan hanya jika .... dinamakan diimplikasi yang dinyatakan dengan notasi p q atau (dibaca : p jika dan hanya jika q ) artinya menurut Theresia Tirta Saputro (1992:35) memberikan kesimpulan bahwa sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. Biimplikasi memiliki niliai kebenaran yang sama dengan bentuk singkat dari ( p q ) ( p q ). Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 8 B B B B S S S B S S S B Untuk menentukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan table kebenaran dengan meninjau . B B B B B B B S S S B S S B S B S S S S B B B B
13 Contoh : 1) B B B B B S S S S B S S S S S B 2) : 3 bilangan prima : 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi : 3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang merupakan tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar. Diimplikasi logis dilambangkan 鰍. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis ( p ~ q ) ( q ~ p ). Tabel 9 p q ~ p ~ q p ~q q ~p (p ~ q) (q ~ p) B B S S B S B S S S B B S B S B S B B B S B B B B B B B F. Konvers, Invers dan Kontraposisi 1. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers Implikasi : Jika x2 bilangan asli, maka x adalah bilangan asli Konvers : Jika x adalah bilangan asli, maka x2 bilangan asli 2. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers Implikasi : Jika fungsinya linier, maka grafiknya garis lurus. Invers : Jika fungsinya bukan linier, maka grafinya bukan garis lurus.
14 3. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi Implikasi : Jika harga naik, maka permintaan turun. Invers : Jika permintaan tidak turun, maka harga tidak naik. Pengertian diatas dapat ditarik kesimpulan dalam bentuk Skema konvers, invers dan kontraposisi sebagai berikut: p q konvers q p invers kontraposisi invers ~p ~q konvers ~q ~p Contoh: Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan: Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah. Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama. Contoh: Jika p : 2 bilangan genap (B) q : 3 bilangan ganjil (B) maka p q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B) G. Bilangan Berkuantor 1. Pernyataan Berkuantor Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.
15 Contoh pernyataan berkuantor: Semua manusia fana Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa Ada bunga mawar yang berwarna merah Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter. Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).5 Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan. Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan Semua manusia fana maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x). 2. Kuantor Umum (Kuantor Universal) Simbol yang dibaca untuk semua atau untuk setiap disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ( x A) p(x) atau x, p(x) atau x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan untuk semua x, berlaku p(x). 3. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial) Simbol dibaca ada atau untuk beberapa atau untuk paling sedikit satu disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ( x A) p(x) atau x! p(x) atau x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan atau Untuk beberapa x, p(x). ada yang menggunakan simbol ! Untuk menyatakan Ada hanya satu. 4. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut. Contoh: Negasi dari pernyataan: Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas adalah Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas 5 Budiono, op.cit, hal. 82
16 Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka Semua manusia adalah tidak kekal atau x p(x) bernilai benar, dan Beberapa manusia kekal atau x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : ~ [ x p(x)] x ~ p(x) 5. Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An. H. Penarikan Kesimpulan Penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan tunggal yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya , kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk. Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis. Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui) disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis-premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis- premisnya disebut argumen.6 Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argument sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran. Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk. Premis (1) Premis (2) 6 Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito, hal.141
17 Premis (3) Premis (n) Konklusi Berberapa pola penarikan kesimpulan yang sah, yaitu : 1. MODUS PONENS Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk atau dituliskan : (suatu pernyataan yang benar) (suatu pernyataan yang benar) (suatu pernyataan yang benar) Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens merupakan argumentasi yang sah yaitu : Tabel 10 B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Contoh : Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama. Jika diskriminan persamaan sama dengan nol, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang sama Persamaan mempunyai dua akar real yang sama. 2. MODUS TOLLENS Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk atau dituliskan: (benar) (benar) (benar)
18 Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens merupakan argumentasi yang sah yaitu : Tabel 11 B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B Contoh : Jika sama sisi, maka bukan segitiga sama sisi 3. SILOGISME Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk atau dituliskan : (benar) (benar) (benar) Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan argumentasi yang sah yaitu : Tabel 12 B B S B S B B S S B S B S B B B B B S S B S S B Contoh : Jika pada berlaku maka Jika atau maka adalah sama kaki atau siku-siku
19 Jika pada berlaku maka sama kaki atau siku-siku. I. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan 1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) ) x, B(x) R(x) B(x) R(x) 2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) ) x, P(x) G(x) 2 P(x) G(x) 3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) ) Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap x, J(x) ~ G(x) J(x) ~ G(x)
20 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Dalam logika matematika terdapat operasi logika sebagai salah satu kajian ilmu logika matematika, diantaranya : 1. Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. 2. Konjungsi merupakan pernyataan kebenaran apabila p dan q benar, bila tidak demikian bernilai salah. 3. Disjungsi yaitu p atau q ( p V q ), suatu pernyataan harus salah satu kompenen yang bernilai benar atau keduanya, maka akan bernilai benar. 4. Implikasi yaitu pernyataan jika p amaka q dengan ketentuan q tidak boleh salah (S) untuk mendapatkan nilai kebenaran yang benar, kecuali kedua-duanya salah (S). 5. Biimplikasi (.... jika dan hanya jika ... yaitu suatu pernyataan bernilai benar apabila komponen komponennya memiliki kebenaran yang sama. 6. Konvers, invers, dan kontraposisi yaitu jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers, jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers, dan jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi 7. Pernyataan berkuantor meliputi kuantor umum (uantor universal), kuantor khusus (kuantor eksistensial), negasi suatu pernyatan yang mengandung kuantor, dan fungsi pernyataan yang mengandung lebih dari satu variabel. 8. Penarikan kesimpulan meliputi modus ponens, modus tollens,dan silogisme. Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk 9. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan o Semua bilangan bulat adalah bilangan real o Ada bilangan prima yang genap o Tidak ada bilangan ganjil yang genap
21 B. Saran Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap kepada pembaca khususnya para mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti serta semoga pengetahuan mengenai logika matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalm banyak aspek kehidupan. Melalui logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar atau salah.
22 DAFTAR PUSTAKA Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Tirta, S.T. 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga. Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu. Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga. Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Depdiknas, 2003. Kurikulum Berbasis Kompotensi Untuk Sekolah Menengah Umum, Jakarta: Depdiknas. Ajah, Diki. 2012. Disjungsi,konjungsi,negasi,implikasi dan biimplikasi. http://kuskuskom.blogspot.com/2012/10/disjungsikonjungsinegasiimplikasi- dan.html (diakses tanggal 05 Mei 2013) Italiana. 2012. Logika Matematika. http://ronyflush.blogspot.com/2013/01/makalah-logika- matematika.html (diakses tanggal 05 Mei 2012) Ismayani, Ani. 2009. Logika Matematika. http://www.matematikamenyenangkan.com/logika- matematika/ (diakses tanggal 20 Mei 2013) Harahap, E.M. 2012. Makalah Logika Matematika. http://makalahmajannaii.blogspot.com/2012/10/makalah-logika-matematika.html (diakses tanggal 20 Mei 2013) Noverdi, Fajar. 2012. Kuantor. http://fajarnoverdi.blogspot.com/2010/12/pengertian- kuantor.html (diakses tanggal 20 Mei 2013)

More Related Content

Makalah untuk agus

  • 1. MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA Diajukan sebagai salah satu tugas Ujian Akhir Semester Mata Kuliah : Bahasa Indonesia Dosen Pengampu : Indrya Mulyaningsih, M.Pd Disusun Oleh : Agus Ahmad Durri (14121510609) Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika Kelas / Semester : C / 2 (dua) IAIN SYEKH NURJATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132 Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926 2013
  • 2. 2 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Azza wa jalla yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah serta Inayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul Logika Matematika. Shalawat serta salam, senantiasa penulis curahkan kepada baginda Rasul yakni Nabi Besar Muhammad Saw dan keluarganya, sahabatnya, sampai pada umatnya akriruzaman. Semoga Allah Azza wa jalla menjadikan makalah ini sebagai wasilah untuk penulis dan para pembaca dalam meraih syafaatul uzma Rasulullah SAW. Makalah ini Insya Allah tersusun dengan sistematis berisikan tentang logika matematika, dengan pembahasannya mengenai konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Ucapan terima kasih yang mendalam penulis haturkan kepada rekan-rekan dan semua pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan kritik dan sarannya yang bersifat membangun, agar penulis dapat menyusun makalah lebih baik lagi, penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah ini, karena kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya Cirebon, Mei 2013 Agus Ahmad Durri
  • 3. 3 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL / COVER............................................................................... 1 KATA PENGANTAR.............................................................................................. 2 DAFTAR ISI............................................................................................................. 3 DAFTAR TABEL .................................................................................................... 4 BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 5 A. Latar Belakang ......................................................................................................... 5 B. Tujuan Penulisan...................................................................................................... 6 C. Manfaat Penlisan...................................................................................................... 6 BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................... 7 A. Oprasi Negasi........................................................................................................... 7 B. Konjungsi ................................................................................................................ 7 C. Disjungsi .................................................................................................................. 8 D. Implikasi................................................................................................................... 9 E. Biimplikasi............................................................................................................... 12 F. Konvers, Invers dan Kontraposisi ....................................................................... 13 G. Bilangan Berkuantor ............................................................................................. 14 H. Penarikan Kesimpulan ............................................................................................. 16 1. Modus Ponens..................................................................................................... 17 2. Modus Tollens .................................................................................................... 17 3. Silogisme ............................................................................................................ 18 I. Hubungan Antara Logika dan Himpunan ................................................................ 19 BAB III PENUTUP.................................................................................................. 20 A. Kesimpulan .............................................................................................................. 20 B. Saran......................................................................................................................... 21 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 22
  • 4. 4 DAFTAR TABEL Tabel 1 : Tabel kebenaran oprasi negasi.............................................................. 7 Tabel 2 : Tabel kebenaran konjungsi ................................................................... 7 Tabel 3 : Tabel kebenaran disjungsi..................................................................... 8 Tabel 4 : Tabel kebenaran implikasi .................................................................... 10 Tabel 5 : Tabel kebenaran tautologi..................................................................... 11 Tabel 6 : Tabel kebenaran kontradiksi................................................................. 11 Tabel 7 : Tabel kebenaran implikasi logis ........................................................... 12 Tabel 8 : Tabel kebenaran biimplikasi................................................................. 12 Tabel 9 : Tabel kebenaran biimplikasi logis ........................................................ 13 Tabel 10 : Tabel kebenaran modus ponens............................................................ 17 Tabel 11 : Tabel kebenaran modus tollens............................................................. 18 Tabel 12 : Tabel kebenaran silogisme.................................................................... 18
  • 5. 5 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Di zaman yang modern ini berbagai kajian ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka- angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran penalaran yang logis atas sistem matematis. Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematika diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematika ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika. Theresia Tirta Saputro (1992:3) berpendapat bahwa logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya. Logika sebagai suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Pada abad ke-18 Masehi, G.W.Leibniz. ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika yang lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, dan Bertrand Russel (Sartono Wirodikromo dkk, 1999:5). Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarati ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara pealaran yang benar dengan penalaran yang salah (Kusumah, 1986:1). Proses berpikir yang terjadi disaat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan- pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran. Hal ini merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari.
  • 6. 6 Merupakan matakuliah penting terutama bagi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam seperti Ilmu Komputer. Topik ini sangat penting karena dapat meningkatkan daya nalar mahasiswa dan dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata dan pada saat mempelajari matakuliah lainnya. Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para mahasiswa memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang mata kuliah Logika Matematika. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi? 2. Bagaimanakah invers, konvers, dan kontraposisi itu? 3. Apa itu bilangan berkuantor? 4. Bagaimana penarikan kesimpulan terakhirnya? C. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 2. Untuk mengetahui invers, konvers, dan kontroposisi dalam logika matematika. 3. Untuk mengetahui apa itu bilangan berkuantor. 4. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan dalam logika matematika.
  • 7. 7 BAB II PEMBAHASAN A. Operasi Negasi Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan ~. Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.1 Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar. Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: Tabel 1 B S S B Contoh: p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia ~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia B. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari dua pernyataan dengan kata hubung dan. Kalau tersebut dinotasikan dengan "" . Dua pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk disebut konjungsi dan dibaca dan . Suatu pernyataan yang apabila kedua-duanya memenuhi permintaan benar (B) maka jawabannya benar. Jika tidak demikian maka salah. Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 2 B B B B S S S B S S S S 1 Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu, hal. 56
  • 8. 8 Contoh : 1) B B S S B S S S S B B B S S B S 2) : Dana lahir di Madura : Dana Kuliah di Malang : Dana lahir di Madura dan Kuliah di Malang C. Disjungsi Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk sebuah pernyataan baru dengan kata penghubung atau yang dinotasikan . Dua pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk disebut disjungsi dan dibaca atau . Sesuatu pernyataan apabila salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi benar, jika tidak demikian bernilai salah. Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 3 B B B B S B S B B S S S Contoh : 1) B B S S S B S S B B S B B S B S S B B B 2) Zahro membeli baju
  • 9. 9 Zahro membeli tas Zahro membeli baju atau tas 3) Diketahui : p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara Ditanya : Buatlah tabel kebenarannya Penyelesaian p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara p q : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika atau menjadi juara Tabel kebenarannya adalah : p q p q Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika (B) Siswa MA Nurul Huda menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda meme- nangkan piala olimpiade mate- matika atau menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika (B) Siswa MA Nurul Huda tidak menjadi juara (S) Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika (B) Siswa MA Nurul Huda tidak memenangkan piala olimpiade matematika (S) Siswa MA Nurul Huda menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda menjadi juara (B) Siswa MA Nurul Huda tidak memenangkan piala olimpiade matematika (S) Siswa MA Nurul Huda tidak menjadi juara (S) Tidak mendapat juara (S) D. Implikasi Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk implikasi dinyatakan dengan pernyataan baru yaitu Jika p maka q. Hal ini dinotasikan dengan p q atau . Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar atau yang lebih mudah dipahami suatu pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak demikian bernilai benar. Jadi pernyataan p q terjadi pernyataan salah, hanya karena p benar, q salah.
  • 10. 10 Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 4 B B B B S S S B B S S B Contoh : 1) B B B B B S S S S B S B S S S B 2) : Lisa memilih jurusan IPA : Nilai rata-rata dibidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8 : Lisa memilih jurusan IPA maka nilai rata-rata bidang studi MIPA sekurang- kurangnya 8 Dalam implikasi terdapat implikasi logis sebagai salah satu bentuk ekuivalensi logis dalam logika matematika. Dibawah ini akan diuraikan mengenai implikasi logis, namun terlebih dahulu akan diuraikan bentuk-bentuk pernyataan logika matematika yaitu tautologi dan kontradiksi. a. Tautologi Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar untuk nilai suatu kebenaran atau sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.2 Untuk menentukan atau membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi. Kita dapat menggunakan tabel kebenaran berikut ini : 2 Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga, hal.24
  • 11. 11 Tabel 5 p q p q ( p q ) q B B S S B S B S B S S S B B B B Pada kolom terakhir terdapat ( p q ) q yaitu notasi tautologi yang terbentuk dari pernyataan jika ( p dan q ) maka q. Yang nilai kebenarannya selalu benar untuk semua komponen komponennya. b. Kontradiksi Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran atau suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah.3 Dalam sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Hal ini merupakan kebalikan dari tautologi yang tersusun dari komponen p dan negari q ( p ~ q), sebagaimana tabel berikut ini: Tabel 6 p q ~ q p ~ q q ( p ~ q ) B B S S B S B S S B S B S B S S S S S S Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semua komponen bernilai salah. Oleh karena itu q ( p ~ q ) adalah suatu kontradiksi. c. Implikasi logis Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai logika selalu benar untuk nilai kebenaran dari komponennya.4 Dengan kata lain, implikasi logis adalah implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan dengan Contoh : Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa ( p q ) ( p q ) merupakan suatu implikasi logis. 3 Ibid., hal.25 4 Ibid., hal.27
  • 12. 12 Penyelesaian : Tabel 7 p q p q p V q (p q ) (p V q ) B B S S B S B S B S S S B B B S B B B B Pada kolom kel enam tabel di atas, tampak bahwa nilai logika ( p q ) ( p q ) selalu benar. Hal ini yang dinamakan implikasi logis. E. Biimplikasi Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk .... jika dan hanya jika .... dinamakan diimplikasi yang dinyatakan dengan notasi p q atau (dibaca : p jika dan hanya jika q ) artinya menurut Theresia Tirta Saputro (1992:35) memberikan kesimpulan bahwa sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. Biimplikasi memiliki niliai kebenaran yang sama dengan bentuk singkat dari ( p q ) ( p q ). Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini. Tabel 8 B B B B S S S B S S S B Untuk menentukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan table kebenaran dengan meninjau . B B B B B B B S S S B S S B S B S S S S B B B B
  • 13. 13 Contoh : 1) B B B B B S S S S B S S S S S B 2) : 3 bilangan prima : 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi : 3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang merupakan tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar. Diimplikasi logis dilambangkan 鰍. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis ( p ~ q ) ( q ~ p ). Tabel 9 p q ~ p ~ q p ~q q ~p (p ~ q) (q ~ p) B B S S B S B S S S B B S B S B S B B B S B B B B B B B F. Konvers, Invers dan Kontraposisi 1. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers Implikasi : Jika x2 bilangan asli, maka x adalah bilangan asli Konvers : Jika x adalah bilangan asli, maka x2 bilangan asli 2. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers Implikasi : Jika fungsinya linier, maka grafiknya garis lurus. Invers : Jika fungsinya bukan linier, maka grafinya bukan garis lurus.
  • 14. 14 3. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi Implikasi : Jika harga naik, maka permintaan turun. Invers : Jika permintaan tidak turun, maka harga tidak naik. Pengertian diatas dapat ditarik kesimpulan dalam bentuk Skema konvers, invers dan kontraposisi sebagai berikut: p q konvers q p invers kontraposisi invers ~p ~q konvers ~q ~p Contoh: Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan: Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah. Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama. Contoh: Jika p : 2 bilangan genap (B) q : 3 bilangan ganjil (B) maka p q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B) G. Bilangan Berkuantor 1. Pernyataan Berkuantor Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.
  • 15. 15 Contoh pernyataan berkuantor: Semua manusia fana Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa Ada bunga mawar yang berwarna merah Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter. Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).5 Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan. Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan Semua manusia fana maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x). 2. Kuantor Umum (Kuantor Universal) Simbol yang dibaca untuk semua atau untuk setiap disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ( x A) p(x) atau x, p(x) atau x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan untuk semua x, berlaku p(x). 3. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial) Simbol dibaca ada atau untuk beberapa atau untuk paling sedikit satu disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ( x A) p(x) atau x! p(x) atau x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan atau Untuk beberapa x, p(x). ada yang menggunakan simbol ! Untuk menyatakan Ada hanya satu. 4. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut. Contoh: Negasi dari pernyataan: Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas adalah Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas 5 Budiono, op.cit, hal. 82
  • 16. 16 Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka Semua manusia adalah tidak kekal atau x p(x) bernilai benar, dan Beberapa manusia kekal atau x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : ~ [ x p(x)] x ~ p(x) 5. Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An. H. Penarikan Kesimpulan Penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan tunggal yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya , kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk. Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis. Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui) disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis-premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis- premisnya disebut argumen.6 Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argument sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran. Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk. Premis (1) Premis (2) 6 Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito, hal.141
  • 17. 17 Premis (3) Premis (n) Konklusi Berberapa pola penarikan kesimpulan yang sah, yaitu : 1. MODUS PONENS Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk atau dituliskan : (suatu pernyataan yang benar) (suatu pernyataan yang benar) (suatu pernyataan yang benar) Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens merupakan argumentasi yang sah yaitu : Tabel 10 B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Contoh : Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama. Jika diskriminan persamaan sama dengan nol, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang sama Persamaan mempunyai dua akar real yang sama. 2. MODUS TOLLENS Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk atau dituliskan: (benar) (benar) (benar)
  • 18. 18 Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens merupakan argumentasi yang sah yaitu : Tabel 11 B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B Contoh : Jika sama sisi, maka bukan segitiga sama sisi 3. SILOGISME Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk atau dituliskan : (benar) (benar) (benar) Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan argumentasi yang sah yaitu : Tabel 12 B B S B S B B S S B S B S B B B B B S S B S S B Contoh : Jika pada berlaku maka Jika atau maka adalah sama kaki atau siku-siku
  • 19. 19 Jika pada berlaku maka sama kaki atau siku-siku. I. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan 1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) ) x, B(x) R(x) B(x) R(x) 2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) ) x, P(x) G(x) 2 P(x) G(x) 3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) ) Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap x, J(x) ~ G(x) J(x) ~ G(x)
  • 20. 20 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Dalam logika matematika terdapat operasi logika sebagai salah satu kajian ilmu logika matematika, diantaranya : 1. Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. 2. Konjungsi merupakan pernyataan kebenaran apabila p dan q benar, bila tidak demikian bernilai salah. 3. Disjungsi yaitu p atau q ( p V q ), suatu pernyataan harus salah satu kompenen yang bernilai benar atau keduanya, maka akan bernilai benar. 4. Implikasi yaitu pernyataan jika p amaka q dengan ketentuan q tidak boleh salah (S) untuk mendapatkan nilai kebenaran yang benar, kecuali kedua-duanya salah (S). 5. Biimplikasi (.... jika dan hanya jika ... yaitu suatu pernyataan bernilai benar apabila komponen komponennya memiliki kebenaran yang sama. 6. Konvers, invers, dan kontraposisi yaitu jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers, jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers, dan jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi 7. Pernyataan berkuantor meliputi kuantor umum (uantor universal), kuantor khusus (kuantor eksistensial), negasi suatu pernyatan yang mengandung kuantor, dan fungsi pernyataan yang mengandung lebih dari satu variabel. 8. Penarikan kesimpulan meliputi modus ponens, modus tollens,dan silogisme. Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk 9. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan o Semua bilangan bulat adalah bilangan real o Ada bilangan prima yang genap o Tidak ada bilangan ganjil yang genap
  • 21. 21 B. Saran Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap kepada pembaca khususnya para mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti serta semoga pengetahuan mengenai logika matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalm banyak aspek kehidupan. Melalui logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar atau salah.
  • 22. 22 DAFTAR PUSTAKA Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Tirta, S.T. 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga. Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu. Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga. Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Depdiknas, 2003. Kurikulum Berbasis Kompotensi Untuk Sekolah Menengah Umum, Jakarta: Depdiknas. Ajah, Diki. 2012. Disjungsi,konjungsi,negasi,implikasi dan biimplikasi. http://kuskuskom.blogspot.com/2012/10/disjungsikonjungsinegasiimplikasi- dan.html (diakses tanggal 05 Mei 2013) Italiana. 2012. Logika Matematika. http://ronyflush.blogspot.com/2013/01/makalah-logika- matematika.html (diakses tanggal 05 Mei 2012) Ismayani, Ani. 2009. Logika Matematika. http://www.matematikamenyenangkan.com/logika- matematika/ (diakses tanggal 20 Mei 2013) Harahap, E.M. 2012. Makalah Logika Matematika. http://makalahmajannaii.blogspot.com/2012/10/makalah-logika-matematika.html (diakses tanggal 20 Mei 2013) Noverdi, Fajar. 2012. Kuantor. http://fajarnoverdi.blogspot.com/2010/12/pengertian- kuantor.html (diakses tanggal 20 Mei 2013)