�ݺ�ߣ

UKURAN PEMUSATAN
STATISTIKA
Disusun oleh :
KELOMPOK 3
1. Nuruljanah
2. Ranny Novitasari
3. Ria Puspita Sari
4. Rina Anggraini
5. Rusmaini
6. Rindi Antikasari
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
INDARALAYA

UKURAN PEMUSATAN
A. DEFINISI UKURAN PEMUSATAN
Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data (a set
of data).Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang
disusun menurut besar /kecilnya nilai. Dengan perkataan lain, nilai rata-rata mempunyai
kecenderungan memusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures
of central tendency). Beberapa jenis rata-rata yang sering dipergunakan adalah rata-rata
hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean saja), rata-rata ukur (geometric mean)
dan rata-rata harmonis (harmonic mean).Setiap rata-rata tersebut selain mempunyai
keunggulan juga memiliki kelemahan, dan ketepatan penggunaannya sangat tergantung pada
sifat dari data dan tujuannya (misalnya, untuk melakukan analisis). (Supranto,J:95)
Disini, yang dimaksud dengan rata-rata ialah rata-rata hitung, kecuali apabila ada
keterangan atau penjelasan lain. Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata ini lebih banyak
dikenal.Contohnya, rata-rata nilai hasil ujian seorang mahasiswa, rata-rata peminat program
studi matematika, dan lain sebagainya. Rata-rata hitung, yang untuk selanjutnya kita singkat
rata-rata, sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok nilai atau
lebih.(Supranto,J:95)
Misalnya ada dua mahasiswa, yaitu Ria dan Tia dari Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan Universitas Sriwijaya, yang menempuh ujian lima mata pelajaran, yaitu :
Statistik, Kalkulus Lanjut, Alpro II, Belajar dan Pembelajaran, dan Geometri. Untuk
menentukan mana yang lebih pandai antara Ria dan Tia, dapat dipergunakan rata-rata.
Misalkan hasil ujian Ria dan Tia adalah seperti disajikan dalam Tabel 1.1.
Mata Pelajaran Hasil Ujian Ria
(X)
Hasil Ujian Tia
(Y)
Statistik
Kalkulus Lanjut
Alpro II
Belajar dan Pembelajaran
Geometri
8
7
6
8
7
7
6
5
6
6

Jumlah 36 30
Rata-rata 36/5 =7,2 30/5=6
Dari nilai rata-rata tersebut dapat disimpulkan bahwa Ria lebih pandai dari Tia.
I. Rata-rata Hitung
Apabila kita mempunyai nilai variable X, sebagai hasil pengamatan atau observasi
sebanyak N kali, yaitu X1,X2,…,Xi,…,XN, maka :
a) Rata-rata sebenarnya (populasi):
dibaca “myu”, yaitu symbol rata-rata sebenarnya yang disebut parameter. Rata-rata ini
dihitung berdasarkan populasi.Oleh karena itu, rata-rata sebnarnya sering disebut juga rata-
rata populasi. (Supranto,J:96)
b) Rata-rata perkiraan (sampel):
Apabila rata-rata tersebut dihitung berdasarkan sampel sebanyak n dimana n < N
observasi, maka rata-rata yang diperoleh disebut rata-rata perkiraan, atau rata-rata sampel,
yang diberi symbol yang rumusnya adalah sebagai berikut :(Supranto,J:96)
dibaca “X bar”, yaitu symbol rata-rata
merupakan perkiraan
Contoh1 : Misalkan X Hasil ujian Statistika Dasar Mahasiswa Matematika FKIP “X”. Hasil
ujian dari 30 orang mahasiswa adalah sebagai berikut :
X1 = 60 X2 = 65 X3= 71 X4= 78 X5= 82

X6= 75
X7= 80
X8= 68
X9= 77
X10= 85
X11= 83
X12=70
X13= 75
X14= 85
X15= 77
X16= 70
X17 = 78
X18 = 71
X19 = 82
X20 =75
X21 = 65
X22 = 80
X23 = 80
X24 = 71
X25 = 78
X26 = 85
X27 = 60
X28 = 83
X29 = 68
X30 = 65
a. Berdasarkan data tersebut hitunglah rata-rata hasil ujian yang sebenarnya.
b. Kemudian ambil sampel sebanyak n = 10 dan hitunglah rata-rata perkiraan, jika sampel
yang terambil X2, X5, X7, X9,X14, X17, X21, X23, X26, X28, X29.
Penyelesaian:
a.
=
=
= 74,73
b.
=
=
=
= 84,48

Rata-rata sampel ternyata jauh lebih tinggi. Nilai perkiraan ini akan lebih mendekati nilai
sebenarnya apabila jumlah elemen sampel ditambah, misalnya n=1 atau lebih besar lagi.
n=13
X1 = X27=60
X2 = X21=65
X3 = X18=71
X4 = X17=78
X5 = X19=82
X6 =X 13=75
X7 = X22=80
X8 = X29=68
X9 = X15=77
X10=X26=85
X11 =X28=83
X12=X16=70
=
=
= 74,5 dekat sekali dengan rata-rata (
Pada umumnya, makin besar elemen sampel (nilai n makin besar), makin baik perkiraan yang
diperoleh.Karena pengumpulan data umumnya didasarkan atas sampel, maka hasilnya
merupakan suatu perkiraan.Untuk selanjutnya, kita pergunakan rumus rata-rata perkiraan
sebagai perkiraan dari dan sampel yang diselidiki sebanyak n elemen. (Supranto, J:98)
II. Rata-rata Hitung Data Berkelompok
Apabila data sudah disajikan dalam bentuk tabel frekuensi, dimana X1 terjadi f1 kali ,
X2 terjadi f2 kali, dan seterusnya sampai Xk terjadi fk kali, maka rumus rata-rata dari data
yang sudah dibuat tabel frekuensinya adalah sebagai berikut :
Karena maka ;
atau

di mana M1 = nilai tengah kelas interval ke-I (untuk data berkelompok).
Contoh 2: Tabel berikut memuat data nilai ujian statistikMahasiswa Matematika FKIP “Y”
dan jumlah mahasiswa yang mendapat nilai X, f.
X 61 64 67 70 73
f 5 8 7 10 9
Hitung rata-rata nilai ujian mahasiswa tersebut.
Penyelesaian :
=
=
= 67,76
Jadi, rata-rata nilai ujian mahasiswa di atas adalah 67,76.
Contoh 3: berikut adalah tabel Hasil ujian Statistika Dasar Mahasiswa Matematika FKIP “X”.
Rentang Nilai Banyak Mahasiswa
58-62
63-67
68-72
73-77
78-82
83-87
2
3
7
5
8
5
Hitunglah rata-rata nilai ujian mahasiswa tersebut.
Penyelesaian :

Tabel Hasil ujian Statistika Dasar Mahasiswa Matematika FKIP “X”
Rentang Nilai M F Mf
58-62
63-67
68-72
73-77
78-82
83-87
60
65
70
75
80
85
2
3
7
5
8
5
120
195
490
375
640
425
Jumlah
M1 = …., M6 = =85
=
= 74,83
Jadi, rata-rata perkiraan hasil ujian per mahasiswa adalah 74,83.
III. Rata-rata Hitung Tertimbang
Sering kali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai nilai bobot /
timbangan tertentu, misalnya X1dengan timbangan W1 , X2 dengan timbangan W2 , dan
seterusnya sampai Xn dengan timbangan Wn . oleh karena itu, rata-rata yang
menggunakan timbangan tersebut disebut rata-rata tertimbang (weighted arithmetic mean)
dengan rumus sebagai berikut : (Supranto, J:101)
Dalam rumus tersebut timbangannya berupa frekuensi ( )

Contoh 4: Seorang mahasiswa FKIP Universitas “X”, menempuh ujian untuk mata kuliah
Kalkulus Lanjut (3 kredit), Statistik (3 kredit), BDP (4 kredit) dan Bahasa Inggris (1
kredit). Ternyata hasilnya menunjukkan bahwa nilai Kalkulus II = 82, Statistik = 86, BDP
= 90, dan Bahasa Inggris = 85. Hitung rata-rata nilai hasil ujian dari mahasiswa tersebut !
Penyelesaian :
Diketahui X1= 82, X2=86, X3= 90, X4= 85, W1=3, W2=3, W3=4, W4=1.
=
=
= 86,27 jadi, rata-rata nilai ujian mahasiswa tersebut adalah 86,27.
B. Beberapa Sifat / Ciri Rata-rata Hitung
1. Jumlah deviasi atau selisih dari suatu kelompok nilai terhadap rata-ratanya adalah sama
dengan nol, yaitu :(Supranto,J :102)
di mana, atau
2. Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k akan minimum
(terkecil) jika k = . Maksudnya,
3. Apabila ada kelompok nilai :
Kelompok pertama sebanyak f1 nilai dengan rata-rata 1
Kelompok kedua sebanyak f2 nilai dengan rata-rata 2
Kelompok ke-I sebanyak fi nilai dengan rata-rata i
Kelompok ke-k sebanyak fk nilai dengan rata-rata k
Oleh karenanya, rata-rata dari seluruh nilai adalah sebagai berikut :(Supranto,J :103)

4. Apabila k adalah sembarang nilai yang merupakan nilai rata-rata asumsi / anggapan dan d
merupakan deviasi atau selisih dari nilai Xi terhadap k (di = Xi – ki, I = 1,2,…,n), maka
diperoleh rata-rata sebagai berikut :(Supranto,J :104)
sebagai pengganti
sebagai pengganti , i= 1,2,…,k.
5. Jika suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat
mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut dengan baik. Rata-rata
hitung hanya dapat mewakili dengan sempurna atau nilainya tepat apabila
kelompok datanya homogen ( semua nilai dalam kelompok sama ). Semakin
heterogen datanya semakin tidak tepat.
Suatu kelompok data dikatakan homogen atau tidak bervariasi jika semua nilai
dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen jika nilai-nilai
tersebut sangat berbeda satu sama lain atau sangat bervariasi. Antara homogen dan
sangat heterogen disebut relatif homogen, yaitu perbedaan antara nilai yang satu
dengan lainnya tidak begitu besar. Untuk mengukur tingkat homogenitas atau
tingkat variasi tersebut, sering dipergunakan kriteria yang disebut simpangan baku
(standard deviation). (Supranto,J :107)
C. MEDIAN (DATA TIDAK BERKELOMPOK)
Apabila ada sekelompok data nilai sebanyak n diurutkan mulai dari yang terkecil X1
sampai dengan yang terbesar Xn, maka nilai yang ada di tengah disebut Median (Med).
(Supranto,J :107)
1. Untuk n Ganjil
Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n ganjil, maka selalu dapat ditulis :
Atau
Contoh 5: Nilai ujian Statistika dari 9 mahasiswa FKIP “X”, masing-masing adalah
sebagai berikut : 90, 70, 60,75, 65, 80, 55, 50, 85. Berapa besarnya nilai median ?

Penyelesaian:
Data diurutkan terlebih dahulu dari nilai terkecil sampai dengan yang terbesar.
X1 = 50, X2 = 55, X3 = 60, X4 = 65, X5= 70, X6 = 75, X7 = 80, X8 = 85, X9 = 90
9 = 2k + 1
k =
Med = Xk+1 = X4+1 = X5 = 70
2. Untuk n Genap
Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n genap, maka selalu dapat ditulis n = 2k,
atau k = . Misalkan n = 8, maka k = 4.
Median =
Contoh6 : dari contoh 5, bukan 9 orang mahasiswa, melainkan ada 10 orang dengan nilai
ujian sebagai berikut : 45, 90, 70, 60,75, 65, 80, 55, 50, 85. Berapa besarnya median dari
nilai ujian Statistika tersebut?
Penyelesaian : X1 = 40, X2 = 50, X3 = 55, X4 = 60, X5= 65, X6 = 70, X7 = 75, X8 = 80, X9
= 85, X10 =90
10 = 2k
k = 5
Med =
=
=
= 67,5 jadi, median nilai ujian Statistik = 67,5

D. MEDIAN (DATA BERKELOMPOK)
Untuk data yang berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang
rumusnya adalah sebagai berikut : (Supranto,J:110)
Med =
Di mana :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median;
n = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi;
= jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median
(kelas yang mengandung median tak termasuk);
= frekuensi dari kelas yang mengandung median;
= besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya atau besarnya
kelas interval yang mengandung median.
Secara geometric, median juga merupakan nilai X dari absis (sumbu horizontal)
sesuai dengan jarak tegak lurus yang membagi suatu histogram (seluruh kurva) menjadi
dua daerah yang sama luasnya (50% sebelah kiri median, 50% sebelah kanan median).
Jadi, seluruh observasi seolah-olah dibagi menjadi dua, setengah di sebelah kiri median
(yang terdiri dari observasi yang nilainya sama atau lebih kecil dari median) dan
setengahnya lagi di sebelah kanan median ( yang terdiri dari obsevasi yang nilainya sama
atau lebih besar dari median). (Supranto,J:111)
Contoh7 : dengan menggunakan rumus interpolasi, hitunglah nilai median dari data
berikut:
Tabel Hasil ujian Statistika Dasar Mahasiswa Matematika FKIP “X”
(f)
58-62
63-67
68-72
73-77
78-82
83-87
2
3
7
5
8
5
Jumlah 30

Penyelesaian :
Setengah dari observasi = 30/2 = 15 (f1+f2+f3 = 12), dan untuk mencapa 15 masih
kurang 3, sehingga perlu ditambah dengan frekuensi kelas keempat. Jadi median terletak
pada kelas ke-4, yaitu kelas 73-77.
c = 77,5 – 72,5 = 5
L0 = 72,5
n/2 = 15
= 12
fm = 5
Med =
=
= 72,5 + 5 (0,6)
= 72,5 + 3
= 75,5 jadi, median untuk data tersebut adalah 75,5
E. MODUS (DATA TIDAK BERKELOMPOK)
Modus dari suatu kelompok nilai adalah nilai kelompok tersebut yang mempunyai
frekuensi tertinggi, atau nilai yang paling banyak terjadi di dalam suatu kelompok
nilai.Biasanya modus dapat disingkat menjadi Mod. (Supranto, J: 114)
Xi = modus = mod kalau f1mempunyai nilai terbsear
dibandingkan dengan frekuensi lainnya.
untuk semua i
X F
(1) (2)
X1
X2
.
.
.
Xi
.
.
.
Xn
f1
f2
.
.
.
fi
.
.
.
fn

Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai mod atau mungkin mempunyai dua mod atau
lebih.Distribusi disebut Unimodal (jika mempunyai satu mod), Bimodal (jika mempunyai dua
mod), atau Multimodal (jika mempunyai lebih dari dua mod).(Supranto, J: 114)
Contoh 8: dari data berikut apakah ada mod nya? Kalau ada, tentukan nilainya!
2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18
Langkah pertama, buatlah tabel frekuensinya.
Mod
Jadi, mod = 9, sebab nilai observasiini yang paling banyak atau mempunyai frekuensi terbesar.
F. MODUS (DATA BERKELOMPOK)
Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka dalam
mencari modusnya harus dipergunakan rumus berikut ini :
Mod =
Di mana :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang memuat modus;
= frekuensi dari kelas yang memuat modus;
= selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi
kelas sebelumnya (bawahnya);
X F
2
5
7
9
10
11
12
18
2
1
1
3
2
1
1
1

= selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi
kelas sesudahnya (atasnya)
= besarnya jarak antara nilai batas atas dan nilai batas bawah dari kelas yang memuat
modus.
Contoh 9: dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi berikut ini, carilah modusnya.
(f)
58-62
63-67
68-72
73-77
78-82
83-87
2
3
7
5
8
5
Jumlah 30
Penyelesaian:
Kelas yang berisi modus = 8
L0= = 77,5
Nilai batas atas = = 82,5
c = 82,5 – 77,5 = 5
= 8-5 = 3
= 8-5 = 3
Mod =
=
= 77,5 + 5(0,5)
= 77,5 + 0,25
= 77,75

G. RATA-RATA DI LUAR UKURAN PEMUSATAN
I. Rata-rata Ukur
Nilai rata-rata ukur diberi symbol U, dimana U = . Jadi, rata-rata ukut
suatu kelompok nilai merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-
masing nilai kelompok tersebut.untuk mencari rata-rata ukur, juga dapat dipergunakan
rumus berikut: (Supranto,J:119)
Atau
U menggunakan perbandingan yang relative tetap sehingga seolah-olah urutan data
merupakan barisan geometri.Misalnya dan seterusnya.Di mana
dan seterusnya. U banyak digunakan untuk data teknik atau yang bersifat
enginering.(Herrhyanto & Hamid:4.7)
II. Rata-rata Harmonis
Rata-rata harmonis (RH) dari n angka adalah nilai yang diperoleh
dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut.
(Supranto,J:123)
Rumusnya adalah sebagai berikut :

III. Nilai Rata-rata Kuadratis (NKR)
Biasanya nilai rata-rata kuadratis disebut juga “Akar Nilai Rata-rata Kuadratis” atau
dikatakan sebagai “Nilai Rata-rata Kuadratis” dari kumpulan bilangan yang merupakan
urutan dan diberi symbol dengan :
i = sampai dengan N
Biasanya NKR ini digunakan dalam ilmu-ilmu fisika, Teknik yang banyak hubungannya
dengan Fisika.(Herrhyanto & Hamid:4.8)
H. KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL (DATA TAK BERKELOMPOK)
I. Kuartil
Apabila median dapat dikatakan sebagai ukuran perduaan, maka kuartil dapat dikatakan
sebagai ukuran perempatan. Artinya nilai-nilai kuartil akan membagi 4 sama banyak
terhadap banyak data. Dengan demikian kita kenal kuartil pertama (Q1), kuartil kedua
(Q2), dan kuartil ketiga (Q3).(Herrhyanto & Hamid:5.3)
Jika suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang
terbesar (Xn), maka untuk menghitung Q1,Q2, dan Q3 dipergunakan rumus sebagai berikut
:
Contoh10: berikut ini adalah data nilai ujian Statistika dari 13 mahasiswa FKIP “X”,
masing-masing adalah sebagai berikut : 90, 70, 60,75, 65, 80, 55, 50, 85,40, 45, 95,65.
(n=13). Carilah nilai Q1,Q2, dan Q3.
Penyelesaian : Pertama-tama data diurutkan terlebih dahulu ;
X1 = 40,X2 =45,X3 = 50, X4 = 55, X5 = 60, X6= 65, X7= 65, X8 = 70, X9 = 75, X10 = 80,
X11 = 85, X12=90, X13= 95
(berarti rata-rata dari X3 dan X4 )
Jadi,

Jadi,
(berarti rata-rata dari X10 dan X11 )
Jadi,
II. Desil
Untuk kelompok data di mana dapat ditentukan 9 nilai yang membagi
kelompok data tersebut menjadi 10 bagian yang sama, misalnya, . artinya
setiap bagian memiliki jumlah observasi yang sama. Nilai tersebut dinamakan desil
pertama, kedua, dan seterusnya sampai desil kesembilan. Jika nilai kelompok data
tersebut sudah diurutkan dari yang terkecil ( sampai yang terbesar , maka
rumus desil adalah sebagai berikut : (Supranto,J:125)
Contoh 11: berdasarkan contoh 10, hitunglah
(berarti
Jadi, 40+
(berarti
Jadi, 45+
(berarti
Jadi, 90+
III. Persentil

Untuk kelompok data dimana , dapat ditentukan 99 nilai, ,
yang disebut persentil pertama, kedua, dan ke-99 yang membagi kelompok data tersebut
menjadi 100 bagian; masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang
sama dan sedemikian rupa. Apabila data sudah disusun dari yang terkecil ( sampai
yang terbesar ( maka rumus persentil adalah sebagai berikut :
I. KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL (DATA BERKELOMPOK)
Untuk data berkelompok, yaitu data yang sudah dibuat tabel frekuensinya, maka rumus-
rumus untuk kuartil, desil, dan persentil adalah sebagai berikut: (Supranto,J:126)
Rumus Kuartil :
Di mana:
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang memuat kuartil ke-i;
= jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil ke-i
(kelas yang mengandung kuartil ke-i tidak termasuk);
= frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i;
= besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i atau jarak nilai batas bawah
(atas) kelas terhadap nilai batas bawah (atas) kelas berikutnya.
Rumus Desil :
Rumus Persentil :

Di mana:
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang memuat desil ke-i (persentil ke-i);
= jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang memuat desil ke-i
(persentil ke-i);
= frekuensi dari kelas yang mengandung desil ke-i;
= frekuensi dari kelas yang mengandung persentil ke-i
= besarnya kelas interval yang mengandung desil ke-i (persentil ke-i).
Contoh 12: Berdasarkan data berikut, hitunglah Q1, D6, dan P20.
(f)
58-62
63-67
68-72
73-77
78-82
83-87
2
3
7
5
8
5
Jumlah = n =30
Untuk menghitung Q1: = 5 belum mencapai 25% (7,5). Agar mencapai frekuensi
7,5, harus ikut dijumlahan frekuensi kelas ke-3, dengan demikian diketahui kelas ke-3
memuat Q1.
= 5;
= 7
Nilai batas bawah = = 67,5

c = 72,5-67,5 = 5
Untuk menghitung D6: = 17, jumlah ini belum mencapai 60% (=18).
Agar mencapai nilai 18, harus ditambah dengan frekuensi dari kelas ke-5, dengan
demikian kels ke-6 memuat D6.
= 17;
= 8
c = 82,5-77,5 = 5

Untuk menghitung P20: = 5, jumlah ini belum mencapai 20% (=6). Agar mencapai
nilai 6, harus ditambah dengan frekuensi dari kelas ke-3, dengan demikian kels ke-3
memuat P20.
= 5;
= 7
c = 72,5-67,5 = 5

Daftar Pustaka
Supranto, J. 2008. STATISTIK Teori dan Aplikasi.Jakarta : Erlangga.
Herrhyanto, Hamid. 2007. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas Terbuka

�ݺ�ߣ

Makalah3 ,ukuran pemusatan

More Related Content

Makalah3 ,ukuran pemusatan