�ݺ�ߣ

www.tutorsah.com
1
MATEMATIK TAMBAHAN SPM
TINGKATAN 4
Bab 6
Geometri Koordinat
www.tutorsah.com

www.tutorsah.com
2
1. Jarak di Antara Dua Titik
Dalam suatu garis lurus seperti di atas, jarak antara dua titik A dan B
dicari menggunakan rumus
2 2
1 2 1 2( ) ( )Jarak x x y y   
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y

www.tutorsah.com
3
2 2
1 2 1 2
2 2
2 2
Jarak AB ( ) ( )
(1 5) (2 12)
( 4) ( 10)
16 100
116
10.77 unit
x x y y   
   
   
 


A
B
Contoh:
Cari jarak di antara
titik A dan B di sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12)

www.tutorsah.com
4
2. Pembahagian Tembereng Garis
Dalam suatu garis lurus seperti di atas, titik tengah antara dua titik A dan B
boleh dicari menggunakan rumus
1 2 1 2
Titik tengah ,
2 2
x x y y  
  
 
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y

www.tutorsah.com
5
 
1 2 1 2
Titik tengah ,
2 2
1 5 2 12
,
2 2
6 14
,
2 2
3,7
x x y y  
  
 
  
  
 
 
  
 

A
B
Contoh:
Cari titik tengah di antara
titik A dan B di sebelah.
Penyelesaian:
Titik tengah

www.tutorsah.com
6
Jika dalam garis lurus di atas, titik C dibahagikan dengan nisbah m:n
maka koordinat titik C boleh dicari dari rumus
1 2 1 2
,
nx mx ny my
m n m n
  
 
  
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
C

www.tutorsah.com
7
 
1 2 1 2
Koordinat C ,
3(1) 1(5) 3(2) 1(12)
,
1 3 1 3
8 18
,
4 4
2,4.5
nx mx ny my
m n m n
  
  
  
  
  
  
 
  
 

1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
C
Contoh:
Cari koordinat titik C jika nisbah
jarak titik A dan B ialah 1:3.
Penyelesaian:
Nisbam m:n = 1:3

www.tutorsah.com
8
3. Luas Poligon
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
3 3( , )C x y
Luas segitiga rajah di atas boleh diperolehi melalui rumus
1 2 3 1
1 2 3 1
1
2
x x x x
y y y y

www.tutorsah.com
9
Contoh:
Cari luas segitiga dalam rajah di
sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (3, 6) , titik B (10, 10)
Dan titik C (6, 2)
A
B
C
1 2 3 1
1 2 3 1
2
1
Luas segitiga
2
3 10 6 31
6 10 2 62
1
(3 10 10 2 6 6) (6 10 10 6 2 3)
2
1
62 126
2
1
64
2
1
(64)
2
32 unit
x x x x
y y y y


           
 
 


Jika luas segitiga = 0,
maka semua titik adalah
segaris!

www.tutorsah.com
10
Luas segempat rajah di atas boleh diperolehi melalui rumus
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
1
2
x x x x x
y y y y y
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
3 3( , )C x y
4 4( , )D x y

www.tutorsah.com
11
Contoh:
Cari luas segiempat dalam rajah di
sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (2, 5) , titik B (10, 11) ,
titik C (13, 7) dan titik D (5, 1)
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
2
1
Luas segiempat
2
2 10 13 5 21
5 11 7 1 52
1
(2 11 10 7 13 1 5 5) (5 10 11 13 7 5 1 2)
2
1
130 230
2
1
100
2
1
(100)
2
50 unit
x x x x x
y y y y y


               
 
 


1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
3 3( , )C x y
4 4( , )D x y
Jika luas segiempat = 0,
maka semua titik adalah
segaris!

www.tutorsah.com
12
4. Persamaan Garis Lurus
Pintasan-x ialah nilai koordinat x di mana garis lurus menyilang paksi-x (melintang).
Pintasan-y ialah nilai koordinat y di mana garis lurus menyilang paksi-y (menegak).
Pintasan-y = 6Pintasan-x = -4

www.tutorsah.com
13
Kecerunan garis lurus
(6,12)B
( 10, 4)A  
2 koordinat yang dilalui garis
lurus menggunakan rumus
2 1
2 1
y y
m
x x



ATAU
Nilai pintasan-x dan pintasan-y
menggunakan rumus
pintasan-y
pintasan-x
m  
Kecerunan (m) boleh dicari dari:

www.tutorsah.com
14
(6,12)B
( 10, 4)A  
Bagi garis lurus di atas,
kecerunan: 2 1
2 1
(12) ( 4)
(6) ( 10)
16
16
1
y y
m
x x



 

 


ATAU
pintasan-y
pintasan-x
(6)
( 6)
1
m  
 



www.tutorsah.com
15
Persamaan garis lurus
boleh dicari dari
1. Kecerunan dan
satu titik
2. Dua titik
3. Pintasan-x dan
pintasan-y
1
x y
a b
 1 2 1
1 2 1
y y y y
x x x x
 

 
1
1
y y
m
x x




www.tutorsah.com
16
Mencari persamaan garis lurus dari kecerunan dan satu titik:
( 4,0)A 
(0,6)B
2 1
2 1
(6) (0)
(0) ( 4)
6
4
1.5
y y
m
x x





 


Kecerunan:
Katakan titik B (0,6), maka persamaan garis lurus adalah
1
1
6
1.5
0
6 1.5( 0)
1.5 6
y y
m
x x
y
x
y x
y x






  
 

www.tutorsah.com
17
Mencari persamaan garis lurus dari dua titik:
( 4,0)A 
(0,6)B
Bagi titik A (-4, 0) dan B (0,6),
persamaan garis lurus adalah
1 2 1
1 2 1
(0) (6) (0)
( 4) (0) ( 4)
6
4 4
1.5
4
1.5( 4)
1.5 6
y y y y
x x x x
y
x
y
x
y
x
y x
y x
 

 
 

   




 
 

www.tutorsah.com
18
Mencari persamaan garis lurus dari pintasan-x dan pintasan-y:
Dari pintasan-x dan pintasan-y diatas,
persamaan garis lurus adalah
 
1
1
( 4) (6)
6 1 6
( 4) (6)
6 6
6
4 6
1.5 6
1.5 6
x y
a b
x y
x y
x y
x y
y x
 
 

 
    
 
 

  
 
Pintasan-y = 6
Pintasan-x = -4

www.tutorsah.com
19
Bentuk am persamaan garis lurus: 0ax by c  
Jika diberi satu persamaan garis lurus , maka kecerunan
serta pintasan-x dan pintasan-y boleh dicari dengan menukarkan bentuk
am persamaan kepada
2 4 6 0x y  
Bentuk kecerunan
y mx c 
dan
1
x y
a b
 
Bentuk pintasan

www.tutorsah.com
20
Contoh: Cari kecerunan, pintasan-x dan pintasan-y bagi persamaan garis lurus
4 2 8 0.x y  
Penyelesaian:
4 2 8 0
2 4 8
4 8
2
2 4
x y
y x
x
y
y x
  
 


 
dan
4 2 8 0
4 2 6
4 2 8
8 8
1
2 4
x y
x y
x y
x y
  
  
 

 

y mx c 
1
x y
a b
 
Maka,
kecerunan = 2
Pintasan-x = -2
Pintasan-y = 4

www.tutorsah.com
21
Sekiranya dua garis lurus bersilang, maka koordinat titik persilangan boleh
ditentukan melalui kaedah penggantian.
Contoh: Kedua-dua persamaan garis lurus pada rajah di atas bersilang pada
koordinat A. Tentukan koordinat A.
A

www.tutorsah.com
22
Penyelesaian:
A
2 4y x 
1y x  
2 4y x 
1y x  
1
2
Gantikan ke dalam :1 2
2 4 1
3 3
1
x x
x
x
   
 
 
Gantikan ke dalam :1x   1
2 4
2( 1) 4
2
y x
y
y
 
  

Oleh itu, koordinat A (-1, 2)

www.tutorsah.com
23
5. Garis Lurus Selari dan Garis
Lurus Serenjang
Kecerunan bagi dua garis lurus yang selari seperti rajah di atas adalah sama.
Kecerunan m1 Kecerunan m2
1 2m m

www.tutorsah.com
24
2 7y x  2 4y x 
Kecerunan yang sama, m = 2

www.tutorsah.com
25
Membentuk persamaan garis lurus yang melalui satu titik tertentu dan selari
dengan garis lurus yang diberi
3 4y x 
(6,34)A
Kedua garis lurus
merah dan biru adalah
selari, oleh itu
mempunyai kecerunan
yang sama = 3.
Contoh: Cari persamaan garis lurus merah jika kedua garis lurus merah dan
biru adalah selari.
1
1
34
3
6
34 3( 6)
3 18 34
y y
m
x x
y
x
y x
y x






  
  
Maka, persamaan garis lurus merah:
3 16y x  

www.tutorsah.com
26
Sekiranya kedua garis lurus serenjang, maka hubungan kecerunan adalah
1 2 1m m  
Kecerunan m1
Kecerunan m2

www.tutorsah.com
27
Mencari persamaan garis lurus yang melalui satu titik tertentu dan
berserenjang dengan garis lurus yang diberi
3 4y x 
(30,14)A
Kecerunan garis lurus merah (m2):
1 2
2
2
1
(3) 1
1
3
m m
m
m
 
 
 
Maka, persamaan garis lurus merah:
1
2
1
14 1
30 3
1
14 ( 30)
3
24
3
y y
m
x x
y
x
y x
x
y




 

   
  

www.tutorsah.com
28
6. Persamaan Lokus yang
Melibatkan Jarak Antara Dua
Titik
Persamaan lokus titik A dibentuk dari satu titik tetap B akan
membentuk sebuah bulatan berjejari r.
( , )A x y
1 1( , )B x y
r
   
2 2
1 1r x x y y   

www.tutorsah.com
29
( , )A x y
1 1( , )B x y
2 2( , )C x y
Sekiranya titik A melalui garis lurus BC bernisbah m:n, persamaan lokus titik A
adalah
   
   
2 2
1 1
2 2
2 2
x x y ym
n x x y y
  

  

www.tutorsah.com
30
( , )A x y
1 1( , )B x y
2 2( , )C x y
Sekiranya jarak m = n (nisbah m:n = 1), persamaan lokus titik A adalah
   
   
   
   
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1
x x y ym
n x x y y
x x y y
x x y y
  

  
  

  
       
2 2 2 2
1 1 2 2x x y y x x y y       

www.tutorsah.com
31
Tamat
Disediakan oleh:
www.tutorsah.com
tutorsah@gmail.com

�ݺ�ߣ

Matematik tambahan spm tingkatan 4 geometri koordinat {add maths form 4 coordinate geometry}

More Related Content

Matematik tambahan spm tingkatan 4 geometri koordinat {add maths form 4 coordinate geometry}