�ݺ�ߣ

Matematika Dasar 2
Vektor 2
Nugroho Imam Setiawan, Ph.D
2004
O
B
P
n
m
𝑎
𝑏
𝑝

Perbandingan ruas garis
• Titik P membagi ruas garis AB dengan
perbandingan m : n

A

P

B
AP : PB = m : n
m n

• Bila P di dalam AB, maka AP dan PB
mempunyai arah yang sama.
• Sehingga m dan n tandanya sama.

A

P

B
m n
AP : PB = m : n

• Bila P di luar AB, maka AP dan PB mempunyai
arah yang berlawanan.
• Sehingga m dan n tandanya berbeda.

A

P

B
AP : PB = m : (-n)
m
-n

Contoh Soal
• Ruas garis PQ dibagi menjadi lima bagian yang
sama oleh titik A, B, C, dan D. Hitunglah nilai-
nilai perbandingan:
a. PA : PD
b. PB : BQ
c. AQ : QD
d. AC : QP

6
Jawaban:

A

P

Q

B

C

D
a. PA : PD = 1 : 4
b. PB : BQ = 2 : 3
c. AQ : QD = 4 : (-1)
d. AC : QP = 2 : (-5)

Pembagian dalam bentuk vektor
O
B
A
P
n
m
𝑎
𝑏
𝑝
• 𝑎, 𝑏, dan 𝑝
berturut-turut
adalah vektor posisi
dari titik A, B, dan P.
• Titik P membagi
garis AB dengan
perbandingan m : n
𝑝 =
𝑚𝑏 + 𝑛𝑎
𝑚 + 𝑛

Contoh Soal 1
O
B
A
P
n
m
𝑎
𝑏
𝑝
• 𝑎, 𝑏, dan 𝑝
berturut-turut
adalah vektor posisi
dari titik A, B, dan P.
• Titik P membagi
garis AB dengan
perbandingan 3 : 1
• Maka vektor 𝑝
adalah?

Contoh Soal 2
• Titip P membagi ruas garis AB di luar dengan
perbandingan AP : PB = 9 : 4.
• Jika titik A (4,3,1) dan B (-6,8,1), maka
koordinat titik P adalah?

Contoh Soal 3
• P adalah titik (-1,1,3), Q adalah (2,0,1), dan R
adalah (-7,3,7).
• Tunjukkan bahwa P, Q, R adalah segaris
(kolinier) dan tentukan perbandingan PQ : QR.

Contoh Soal 4
• Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1), dan C (7,p-1,-5) yang
segaris.
• Tentukanlah nilai P?

Contoh soal perkalian skalar 1
• 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
• 𝜃 adalah sudut
antara vektor 𝑎 dan 𝑏
• Jika 𝑎 = 4, 𝑏 = 6
sudut antara kedua
vektor adalah 60 °.
• Maka 𝑎 ∙ 𝑏 ?

𝑏
𝑎

Contoh perkalian skalar 2
• Jika 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 +
𝑏3 𝑘. Maka 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
• 𝑎 = −2𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘,
𝑏 = −3𝑖 − 5𝑗 + 4𝑘,
𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −7𝑗 + 𝑘
• Tentukan 𝑎(𝑏 − 𝑐)

Contoh soal perkalian skalar 3
• Jika vektor 𝑎 dan 𝑏 membentuk sudut 60 °,
dimana 𝑎 = 4, 𝑏 = 3.
• Maka 𝑎 𝑎 + 𝑏 =?

Contoh perkalian skalar 4
• Dua vektor 𝑢 =
6
3
−2
dan 𝑣 =
0
𝑥
−3
saling
tegak lurus.
• Tentukan nilai x pada vektor tersebut.

• Perkalian skalar (titik) antara 𝑎 dengan 𝑏,
dituliskan dengan 𝑎 ∙ 𝑏 adalah suatu bilangan
yang didefinisikan sebagai
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃  cos 𝜃 =
𝑎∙𝑏
𝑎 𝑏
• Dengan 𝜃 adalah sudut yang dibentuk oleh 𝑎
dengan 𝑏 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Sudut antara dua vektor

Contoh soal sudut antara vektor 1
• Tentukan besar sudut antara vektor
• 𝑎 = −2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘,
𝑏 = −𝑗 + 𝑘

Contoh soal sudut antara vektor 2
• Diketahui titik-titik A (3,2,4), B (5,1,5), dan C
(4,3,6).
• AB wakil dari 𝑢 dan AC wakil dari 𝑣.
• Kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑢
dan 𝑣 adalah?

Proyeksi orthogonal suatu vektor pada
vektor lain
• Proyeksi skalar orthogonal 𝑎 pada
𝑏:
𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
• Panjang proyeksi vektor orthogonal
𝑎 pada 𝑏:
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
→ hasilnya positif
• Proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏:
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
2 ∙ 𝑏
A
o C
B
a

c

θ
b


.bpadaavektorProyeksid.
.apadaborthogonalskalarProyeksic.
.bpadaaorthogonalskalarProyeksib.
.bpadaaproyeksiPanjanga.
:tentukank4-j2i4bdan
k3-j6-i2aDiketahui









�ݺ�ߣ

Matematika dasar vektor SMA

More Related Content

Matematika dasar vektor SMA