Matematika-Mutasi dan kombinasi
- 1. PERMUTASI DAN KOMBINASI Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar a. Dapat menggunakan Permutasi dan kombinasi dan implikasinya dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah Waktu : 2 x 50 Menit Metode : - Ceramah - Lat soal dan Tanya jawab 1. Prinsip Perkalian Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p x q) cara. Contoh soal: Dari kota A ke kota B dilayani oleh 3 bus dan dari B ke C oleh 2 bus. Seseorang berangkat dari kota Ake kota C melalui B, kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, tentukan banyak cara perjalanan orang tersebut! Jawab: Dari kota A ke B ada 3 bus Kemudian dilanjutkan dari kota B ke C ada 2 bus Saat kembali dari kota C ke B tidak menggunakan bus yang sama, jadi hanya 1 bus yang tersedia. Dari kota B ke A juga tidak menggunakan bus yang sama, jadi hanya 2 bus yang tersedia. Maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah: 3 x 2 x 1 x 2 = 12 cara 2. Faktorial Rumus: n! = n (n - 1) (n - 2)........... 3-2-1 Contoh: a. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 b. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
- 2. Permutasi Adalah suatu susunan dari unsur-unsur dengan memerhatikan perubahan urutan atau cara penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutan (tempatnya). Contoh : dari unsur-unsur bilangan 2, 3 dan 4 dapat kita susun 432, 234, 423, 342, 324, 243 adalah permutasi. Macam-macam permutasi: a. Permutasi sekumpulan n elemen yang berlainan diambil secara bersama-sama. Rumus: nPn = n! Contoh soal: Kata "SAPI" terdiri atas 4 huruf, berapa banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat? Jawab: P =4! = 4*3 * 2 *1= 24 4 4 Jadi, banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat adalah 24 macam. b. Permutasi n elemen, diambil dari r sekaligus Rumus: n! (n r ) n 痢r = "Pr = (n-r)! n! Contoh soal: 1. Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3 huruf yang diambil dari abjad A, B, C, D, E! Jawab: 5 痢3 = 5! (5-3)! = 5! 2! = 5x4x3x2x1 2x1
- 3. = 5x4x3= 60 Jadi, banyaknya permutasi adalah 60. 2. Dari 7 orang calon akan dipilih 3 orang untuk jabatan ketua, sekertaris dan bendahara. Beberapa cara susunan dapat terjadi ? Jawab : 7P3 = 7! 7! = = 7.6.5 = 210 cara (7 3)! 4! c. Permutasi n elemen dengan beberapa elemen yang sama. Jika diketahui ada k unsuryang sama, maka banyaknya permutasi adalah: P = n! k! Keterangan, k = unsur yang sama. Contoh soal: Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata "EMBER" ! Jawab: n = 5 huruf k =2 huruf n! k! 5! = 2! P = = 5.4.3.2! 2! = 5-4-3 = 60 Jadi, banyaknya permutasi adalah 60. Jika diketahui ada n unsur yang sama, n unsur yang sama dan seterusnya sampai n berjenis k, maka banyaknya permutasi adalah: P = n! n1 n 2!...nk! ! Contoh soal: Tentukan banyaknya permutasi pada kata "MANTAN"!
- 4. Jawab: n = 6 huruf ; n 1 = A = 2huruf n2 = N = 2 huruf ; 6! P = 2!2! 6.5.4.3.2! = 2!2! 6.5.4.3 = 2! = 180 Jadi, banyaknya permutasi adalah 180
- 5. Berapa banyaknya berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata : MATEMATIKA ? Jawab : MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf dengan 3 huruf pertama sama (huruf A), 2 huruf kedua sama (huruf M), dan 2 huruf ketiga sama (huruf T) maka banyaknya susunan. 10! = 151200 cara 3!2!2! P= Kata SAYA, dapat disusun dalam beberapa susunan? Jawaban : Dari kata SAYA, disusun seperti SAYA, SAAY, SYAA dan sebagainya adalah permutasi terdiri dari 4 huruf dengan 2 buah huruf sama maka banyaknya susunan adalah = 痢( 4,4 ) 2! = 4! 2! = 4.3.2.1 2 .1 = 4.3 = 12 d. Permutasi Siklis yaitu permutasi yang letak elemen-elemennya tidak segaris, tetapi melingkar. Rumus: P = ( n 1) ! Contoh soal: Dengan beberapa cara 4 orang duduk pada 4 kursi di sebuah meja melingkar! P=(n1)! = (4 1 ) ! =3! =3.2.1 =6 Jadi ada 6 cara 4. Kombinasi Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsure yang berlainan adalah suatu pilihandari n unsur tanpa memperhatikan urutannya (r < n). kombinasi r unsure C(n,r) = n! r!( n r )!
- 6. yang diambil dari r unsur yang berlainan dinyatakan dengan nCr, C(n.r), Cn.r atau 錚n錚 錚 錚 dan dapat ditentukan dengan rumus. 錚r 錚 Contoh : 1. Suatu team bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 20 orang pemain. Berapa macam susunan dapat dibentuk ? Jawab : Susunan di atas adalah suatu kombinasi sebab tidak memperhatikan urutan pemain. 20! 5!( 20 5)! Banyaknya cara menyusun = C(20,5) = = 20! 5! ! 15 = 16.17.18.19.20 1.2.3.4.5 = 15504 cara 2. Ada beberapa cara 3 orang dipilih dari 6 orang untuk menjadi anggota inti tim cerdas cermat! Jawab: Banyaknya Cara menyusun = C(6,3) = 6! 3! (6 3)! = 6! 33 ! ! = 6.5.4 3.2.1 = 20 cara
- 7. KEJADIAN DAN PELUANG Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar a. Dapat menggunakan Kejadian dan peluang dan implikasinya dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat Waktu : 2 x 50 Menit Metode : - Ceramah - Lat soal dan Tanya jawab Pengertian Percobaan, Frekuensi Relatif, Kejadian dan Ruang Sampel. Untuk mempelajari pengertian tentang kejadian dan peluang, maka terlebih dahulu diadakan beberapa percobaan. Contoh : 1. Percobaan : Melempar mata uang Hasil yang mungkin : gambar atau angka. seringnyaxmuncul Frekuensi relative muncul x = banyaklemparan Contoh : 2. Misalkan dari hasil percobaan pelemparan dadu sebanyak 100 kali didapat data sebagai berikut : Angka 1 muncul 15 kali, angka 2 muncul 20 kali dan angka 6 muncul 21 kali. Jadi frekuensi relative muncul angka 1 = Frekuensi relative muncul angka genap = 15 100 20 + 10 + 21 51 = 100 100 Pada contoh no.1 di atas gambar maupun angka disebut titik sample dan kumpulan dari semua titik sample disebut ruang sample atau biasa juga disebut dengan hasil yang mungkin. Jika A merupakan himpunan bagian dari ruang sample, maka A itu disebut kejadian atau sering juga disebut dengan hasil yang dimaksud (diharapkan). a. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Yang dimaksud dengan peluang (Kemungkinan) suatu kejadian ialah kemungkinan terjadinya kejadian tersebut.
- 8. Jika hasil yang mungkin dapat terjadi sebanyak n kali dan diantara n kali hasil yang mungkin itu terjadi x kali kejadian A (yang dimaksud), maka kemungkinan terjadinya kejadian A ialah P(A) = x atau : n x n Contoh : 1. Dalam pelemparan suatu dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada pelemparan itu muncul angka yang merupakan bilangan prima. Jawaban : Hasil yang mungkin : 1,2,3,4,5,6 n = 6 Hasil yang dimaksud : 2,3,5 x = 3 P ( { 2,3,5} ) = 3 1 = 6 2 Jika A adalah suatu kejadian, maka bukan A adalah suatu kejadian juga yang mempunyai kemungkinan sama dengan satu dikurang kemungkinan A, atau : P (bukan A) = 1 P(A) atau P (A) = 1 P(A) Contoh : 1. Misalkan kemungkinan besok hujan adalah 2/5, maka kemungkinan besok tidak hujan adalah 1-2/5 = 3/5 b. Besarnya Peluang Suatu Kejadian Jika p menyatakan peluang sembarang kejadian, mka p terletak pada interval 0< p<1. pada p bernilai 0 disebut kemustahilan dan pada p bernilai 1 disebut kepastian. Contoh : 1. Tentukanlah peluang bahwa si Anu sautu saat akan meninggal. Jawaban : Karena setiap manusia sutu saat akan meninggal, maka p = 1
- 9. Menggabungkan Hasil-hasil a) Hasil-hasil yang saling lepas Kejadian A dan B dikatakan saling lepas (mutually esclusive) jika kedua kejadian itu tidak mungkin terjadi secara serentak atau A B = 陸 Jika kejadian A dan B saling lepas, maka : P (A atau B) = P(A) + P(B) P (A atau B) biasa juga ditulis sebagai P ( ) Contoh : 1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bawl jumlah kedua angka dadu sama dengan 4 atau 11. Jawab : Misalkan A kejadian jumlah angka keud dadu sama dengan 4, maka A = {(1,3), ( 2,2), (3,1)} Jadi P(A) = 3 36 Misalkan B kejadian jumlah angka kedua dadu sama dengan 11, maka B = {(5,6), (5,5)} Jadi P(B) = 2 36 Karena A B = 陸 , maka P (A atau B) = P(A) + P(B) = 3 2 + 36 36 = 5 36 Jadi kemungkinan bawl jumlah angka kedua dadu sama dengan 4 atau 11 adalah 5/36 b. Hasil-hasil Saling Bebas Dua buah kejadian disebut saling bebas (independent) jika terjadianya salah satu dari kejadian itu, atau tidak terjadinya, tidak akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya A tidak akan memperbesar atau memperkecil kemungkinan terjadinya kejadian B.
- 10. Jika A dan B dua buah kejadian yang saling bebas, maka : P(A dan B) = P(A) P(B) P(A dan B) biasa juga ditulis sebagai P(A B) Contoh : 1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada dadu pertama muncul angka 3 dan pada dadu kedua muncul angka 4. Jawab : Hasil-hasil yang mungkin diberikan oleh table di bawah ini : Dadu I 1 2 3 4 5 6 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 Dadu II (1,1) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Misalkan A : kejadian muncul angka 3 pada dadu I, maka P(A) = 6/36 B : kejadian muncul angka 4 pada dadu II, maka P(B) = 6/36 Karena kejadian A dan B salng bebas, maka : P(A B) = P(A).P(B) = 6/36.6/36 = 1/36 c. Hasil-hasil Tak Bebas Dua buah kejadian disebut tak bebas jika terjadinya salah satu dari kejadian itu, atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Jika A dan B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya A akan memperbesar atau memperkecil kemungkinan terjadinya B. Jiak kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka terjadinya kedua kejadian itu secara serentak mempunyai kemungkinan : P(A dan B) = P(A) P(B/A)
- 11. P(B/A) artinya kemungkinan terjadi B setelah kejadian A terjadi. Contoh : 1. Sebuah kotakberisi 4 bola merah dan 6 bola putih, jika diambil dua bola berturut-turut dengan tidak mengembalikan bola pertama ke dalam kotak, maka berapakah peluang bawl kedua pengambilan itu mendapatkan keduanya bola merah. Jawab : Jumlah semua bola = 10 Bola merah = 4 P(bola merah pertama) = P(A) = 4/10 P(bola merah kedua) = P(B/A) = 3/9 Jadi P(A dan B) = P(A).(P(B/A) = 4/10.3/9 = 2/15 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95. Peluang siswa A lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah .... a. 0,019 b. 0,049 c. 0,074 d. 0,935 e. 0,978 Jawaban: B Pembahasan: Peluang siswa A lulus =0,98 Peluang siswa A tidak lulus =0,02
- 12. Peluang siswa B lulus siswa B tidak lulus =0,05 - =0,95 Peluang Peluang siswa A lulus dan B tidak lulus = 0,98 x 0,05 = 0,049 2. Pengurus suatu organisasi yang terdiri atas: ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidakadajabatan rangkap adalah .... a. 7 b. 10 c. 21 d. 35 e. 210 Jawaban: E Pembahasan: Jumlah pengurus organisasi = ketua + wakil ketua + sekretaris =1+1+1 =3 Dipilih dari 7 orang calon Gunakan rumus permutasi: n!__ nPr=(n-r)!
- 13. Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi dengan tidakadajabatan rangkap: 7!__ 7Ps = (7-3)! =7654! 4! =7.6.5 P3=210 7 3. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika dua bola diambil dari dalam kantong satu persatu tanpa pengembalian, peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah .... 1 a. 72 1 b.2 7 1 c 16 1 d. 12 _1 e. 6 . Jawaban: E Pembahasan: Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Banyak pola dalam kantong adalah 9 buah. - Bola merah ada 4 buah 4 - Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) = 9 Sekarang bola merah tinggal 3 buah dan banyaknya bola dalam kantong ada 8 buah bola. 3 Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) = 8 4 3 1 1 Peluang terambilnya kedua bola merah = --- x --- = --- x --9 8 3 2 = 1/6 4. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah .... _5_ 7_ 8_ _9_ 11_ a 36 i b. 36 c 36 : d 36 e 36 Jawaban: B Pembahasan: Dadu l S n(l) Dadu II S n(ll) = = = = { (1,2,3,4,5,6)} 6 { (1,2,3,4,5,6)} 6 55
- 14. Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 9: {(6,3), (3,6), (5,4), (4,5)}n (A) = 4 Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 10: {(6,4), (4,6), (5,5), }n (A) = 3 n(A) n(B) p(AUB)= ------------ + ---------- n (I). n(II) n (I). n(II) = 4/36 + 3/36 = 7 / 36 5. Dari 10 peserta kontes kecantikan yang masuk nominasi, akan dipilih 3 nominasi terbaik secara acak. Banyak pilihan yang dapat dilakukan adalah .... a. 10 b. 20 c. 40 d. 120 e. 720 Jawaban: D Pembahasan: . , , > 10!___ 10C3 =3!(10-3)! = __10!_ 3! 7! = 10.9.8.7! = 10.9.8 3.2.1.7! 3.2.1 = 720 6 = 120 LATIHAN 1. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata "SEKOLAH"adalah.... a. 1260 b. 920 c. 840 d. 740 e. 240 2. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata "ACARA"ada.... a. 50 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10 3. Dari 10 orang finalis lomba menyanyi akan dipilih juara 1,2 dan 3. Banyaknya cara memilih urutan ada .... cara. a. 960 b. 720 c. 580 d. 210 e. 94 56
- 15. 4. Dari 5 orang pengurus suatu organisasi, akan dipilih seorang ketua, seorang bendahara, dan seorang sekretaris. Banyaknya susunan yang mungkin dibentuk ada.... cara a. 20 b. 50 c. 90 d. 80 e. 60 5. Dari 10 bola yang terdiri atas 3 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih, 2 bola berwarna biru, dan 2 bola berwarna hijau, akan disusun secara berdampingan. Banyak cara untuk menyusun semua bola itu ada ... cara a. 120.000 c. 25.200 e. 956 b. 38.620 d. 9800 6. Dalam suatu rapat, ada 8 peserta yang akan menempati 8 buah kursi yang mengelilingi meja bundar. Banyak susunan yang mungkin terjadi ada ... cara a. 2600 c. 10.800 e. 16.200 b. 5040 d. 12.500 7. banyaknya cara yang dapat disusun yang terdiri atas 3 angka dari angkaangka 5,6, 7, 8,9jika boleh berulang ada .... cara a. 125 b. 200 c. 240 d. 300 e. 310 8. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar sekali. Peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan prima ganjil pada dadu adalah .... a. 遜 b. 1/3 c. 2/3 d. 1/6 e. 1/5 9. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola biru dan 5 bola kuning. Jika diambil secara acak dua bola sekaligus, dan dilakukan sebanyak 180 kali percobaan, maka besarnya frekuensi harapan terambilnya dua bola berlainan warna adalah.... a. 60 b. 80 c. 100 d. 120 e. 140 10. Dari 10 orang siswa akan dipilih dua orang untuk menjadi ketua kelas dan wakil ketua kelas. Banyak susunan yang dapat dibentuk adalah .... a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 11.Dalam suatu acara silaturahmi terdapat 30 orang yang hadir. Jika setiap orang saling bersalaman, maka banyaknya salaman yang terjadi adalah .... a. 435 b. 525 c. 675 d. 715 e. 830 12.Peluang terambilnya sebuah kartu bukan As yang dilakukan secara acak pada tumpukan seperangkat kartu adalah .... 12 4 1 2 1 a b C d e 13 ' 13 ' 52 ' 13 ' 13 13. Pada sebuah keranjang terdapat 10 buah telor yang baik dan 6 buah telor yang busuk. Akan diambil dua buah telor sekaligus secara acak. Maka peluang terambilnya dua telor yang semuanya baik adalah .... 57
- 16. a. 5/8 b. 4/15 c. 2/5 d. 1/8 58 e. 3/8