![INTEGRAL TENTU
A. Pengertian Integral Tentu
Integral dengan batas-batas integrasi dinamakan integral tentu. Jika f(x) merupakan turunan dari
F(x), maka integral tentu dari f(x) menuju x pada interval [a, b] dinotasikan dengan
π
π
π π₯ ππ₯.
Nilai integral tentu tersebut dirumuskan dengan :
π
π π₯ ππ₯ = πΉ π β πΉ(π)
π
Bentuk πΉ π β πΉ(π) ditulis dengan notasi khusus
πΉ(π₯)
π
π
yamg dinamakan notasi kurung siku,
sehingga :
π
π π₯ ππ₯ = πΉ(π₯)
π
π
= πΉ π β πΉ(π)
π
Dengan a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas pengintegralan. Interval [a, b]
dinamakan wilayah pengintegralan.
B. Sifat-Sifat Integral Tentu
Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b] , dan k adalah
konstanta, maka :
π
1.
π
π π₯ ππ₯ = 0
2.
π
π
π π₯ ππ₯ = β
3.
π
π
π π π₯ ππ₯ = π
4.
π
π
π π₯ Β± π(π₯) ππ₯ =
5.
π
π
π π₯ ππ₯ =
π
π
π
π
π π₯ ππ₯
π
π
π π₯ ππ₯
π
π
π π₯ ππ₯ +
π π₯ ππ₯ Β±
π
π
π
π
π π₯ ππ₯
π π₯ ππ₯, dengan a < c < b
6. a. Jika π(π₯) β₯ 0 pada interval π β€ π₯ β€ π, maka
π
π
π π₯ ππ₯ β₯ 0
b. Jika π(π₯) β€ 0 pada interval π β€ π₯ β€ π, maka
π
π
π π₯ ππ₯ β€ 0
Contoh :
3
2π₯ + 3 ππ₯ = π₯ 2 + 3π₯
3
1
= 18 β 4 = 14
1
8](https://image.slidesharecdn.com/materiintegraltaktentu-140206204439-phpapp01/85/Materi-integral-tak-tentu-9-320.jpg)
Materi integral tak tentu
- 1. Mata Kuliah : Kalkulus II Program Studi : Pendidikan Matematika Dosen Pengampu : Isna Farahsanti, S.Pd. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO 2011
- 2. INTEGRAL TAK TENTU A. Pengertian Integral Secara matematis, istilah integral adalah menentukan suatu fungsi yang turunannya atau diferensialnya diberikan. Dengan kata lain, integral atau pengintegralan merupakan operasi invers dari diferensial atau pendiferensialan. Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, dan beberapa aplikasi lainnya. Lambang Κ menyatakan opersai integral, diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 β 1716). B.Pengertian Integral Tak Tentu Pada kalkulus diferensial telah dibicarakan cara-cara menentukan fungsi turunan, misalnya suatu fungsi f merupakan turunan dari fungsi F, maka πΉ β² (π₯) = Misal : F(x) = x2, F(x) = x2 β 5, F(x) = x2 + 10, F(x) = x2 + c, π πΉ(π₯) π (π₯) . maka f(x) = 2x maka f(x) = 2x maka f(x) = 2x maka f(x) = 2x, (c = konstanta) Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan anti turunan yang umum dari suatu fungsi yang diberikan. Integral tak tentu dinyatakan sebagai π π₯ ππ₯ (dibaca βintegral dari f(x) terhadap xβ) adalah fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan : π π = π π + πͺ dengan : F(x) dinamakan fungsi integral umum dan Fβ(x) = f(x), f(x) dinamakan fungsi integran, c adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sebarang). Dari contoh di atas, dapat ditulis : 2π₯ ππ₯ = π₯ 2 + πΆ C.Rumus-Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real, maka : 1. ππ₯ = π₯ + πΆ 2. π ππ₯ = ππ₯ + πΆ 3. π π₯ Β± π π₯ 4. π π π₯ ππ₯ = π ππ₯ = π π₯ ππ₯ Β± π π₯ ππ₯ π π₯ ππ₯ 1
- 3. 5. Dalam kasus π β β1, maka : 1 a. π₯ π ππ₯ = b. π π₯ π ππ₯ = π₯ π+1 + πΆ π +1 π π +1 π₯ π+1 + πΆ 6. Dalam kasus n = -1, maka : 1 a. π₯ π b. π₯ = ln π₯ + πΆ = π ln π₯ + πΆ Contoh : 1. 2. 5 5 5π₯ 2 ππ₯ = 2+1 π₯ 2+1 + π = 3 π₯ 3 + πΆ 1 ππ₯ = π₯3 1 1 π₯ β3 ππ₯ = β2 π₯ β2 + πΆ = β 2π₯ 2 + πΆ Soal : (kerjakan) Carilah integral berikut ini! 1. 2. 3. 4 π₯ 3 ππ₯ 3 3 4 π₯ π₯2 6. 4π₯ 5 +π₯ 3 β2 π₯ dx 7. 5π₯ 2 π₯ ππ₯ ππ₯ 11. 2π₯ 2 π¦ β 4π₯ 5 π¦ 3 ππ₯ 12. ππ5 π + 5ππ 6 π 3 β 12π4 π ππ 1 8. (π₯ β π₯ )2 ππ₯ ππ₯ 4. 5π₯ 3 + π₯ ππ₯ 9. 5. (8π₯ 3 + 2 π₯ 2 β π₯ + 5) ππ₯ 10. 1 π₯(π₯ + 5)2 ππ₯ (2βπ₯)2 π₯ ππ₯ D.Aplikasi Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Menentukan Fungsi F(x), jika Fβ(x) dan F(a) Diketahui Jika F(x) dan F(a) diketahui (a konstanta real), maka konstanta c pada hasil pengintegralan mempunyai nilai tertentu. Sebagai akibatnya diperoleh fungsi F(x) tertentu pula. Nilai x = a dinamakan sebagai syarat awal atau syarat batas bagi F(x). Contoh : Jika diketahui Fβ(x) = 2x + 3 dan F(1) = 14, tentukan F (x) ! Jawab : Fβ(x) = 2x + 3 F(x) = 2π₯ + 3 ππ₯ = π₯ 2 + 3π₯ + πΆ F(1) = 14 β (1)2 + 3(1) + C = 14 4 + C = 14 C = 10 2 β΄ F(x) = π₯ + 3π₯ + 10 2
- 4. Soal : (kerjakan) Tentukan F(x), jika diketahui : 1 1. Fβ(x) = 3 β 1 dan F(2) = 3 2 π₯2 2. Fβ(x) = 6x2 + 2x dan F(1) = -3 1 3. Fβ(x) = π₯ β 4. Fβ(x) = 1 dan F(2) = 42 π₯2 π₯ dan F(0) = 0 5. Fβ(x) = 6x β 6, Fβ(2) = 0, dan F(2) = -4 Menentukan Persamaan Kurva y = f(x) jika Diketahui π π π π dan Sebuah Titik pada Kurva. Salah satu penerapan integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva y = F(x) ππ¦ apabila diketahui ππ₯ dan sebuah titik yang terletak pada kurva tersebut. Contoh : Gradien garis singgung dari suatu kurva y = F(x) memenuhi hubungan ππ¦ ππ₯ =1β 4 π₯2 . Tentukanlah persamaan kurva tersebut jika kurva melalui titik (2, 5)! Jawab : ππ¦ ππ₯ 4 = π¦β² = 1 β π₯2 β π¦= πΉ π₯ = 1β π¦ = π₯ + 4π₯ 4 π₯2 β1 ππ₯ + πΆ Melalui titik (2, 5) ο 5 = 2 + 4(2)-1 + C 5 =4+C C=1 Jadi, persamaan kurva adalah π¦ = π₯ + 4π₯ β1 + 1 Soal : (kerjakan) Tentukan persamaan kurva y = F(x) jika diketahui : 1. π¦ β² = 6π₯ 2 β 2π₯ dan kurva melalui titik (1,4) 2. π¦ β² = 2π₯ β 3. π¦ β² = π₯β 1 π₯2 1 π₯ dan kurva melalui titik (1, 5) dan kurva melalui titik (1, -2) 4. π¦" = 6(π₯ β 2), gradien garis singgung di titik x = 2 adalah -12, dan kurva melalui titik (2, -16) 3
- 5. E. Teorema (Aturan Pangkat yang Digeneralisasi) Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r adalah suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka π π π+π π π π π = + πͺ π+ π π π π β² Cara penulisan Leibniz : Jika ditentukan π’ = π π₯ β ππ’ ππ₯ = πβ² (π₯) Jadi ππ’ = πβ² π₯ ππ₯ Sehingga integral di atas dapat ditulis sebagai : π’ π+1 π’ ππ’ = + πΆ , π’ππ‘π’π π β β1 π+1 π Contoh : π₯ 3 + 2π₯ Hitunglah 25 3π₯ 2 + 2 ππ₯. Solusi : Misalkan π π₯ = π₯ 3 + 2π₯; maka πβ² π₯ = 3π₯ 2 + 2. Jadi, menurut Teorema : π₯ 3 + 2π₯ 25 3π₯ 2 + 2 ππ₯ = 25 π π₯ π π₯ = 26 πβ² (π₯) 26 π₯ 3 + 2π₯ = 26 + πΆ 26 + πΆ Soal : (kerjakan) Hitunglah! 1. π₯ 3 + 6π₯ 2. π₯ 2 β 3π₯ + 2 3. π₯2 + 4 4. 5π₯ 3 β 18 7 15π₯ 2 ππ₯ π₯3 5 15 6π₯ 2 + 12 ππ₯ 2 2π₯ β 3 ππ₯ π₯ ππ₯ + 3 )2 π₯ 2 ππ₯ 5. ( 6. 3π₯ 3π₯ 2 + 7 ππ₯ 7. 5π₯ 2 + 1 (5π₯ 3 + 3π₯ β 8)6 ππ₯ 8. 5π₯ 2 + 1 2 5π₯ 3 + 3π₯ β 2 ππ₯ 4
- 6. F. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Pengetahuan prasyarat yang harus dimiliki sebelum kita menguraikan tentang integral fungsi trigonometri adalah turunan fungsi trigonometri. Sekarang perhatikan turunan dari fungsi-fungsi trigonometri berikut! No f(x) fβ(x) No f(x) fβ(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. sin π₯ cos π₯ tan π₯ sin ππ₯ cos ππ₯ tan ππ₯ sin(ππ₯ + π) cos(ππ₯ + π) tan(ππ₯ + π) cos π₯ β sin π₯ sec 2 π₯ π cos ππ₯ βπ sin ππ₯ π sec 2 π₯ π cos(ππ₯ + π) βπ sin(ππ₯ + π) π sec 2 (ππ₯ + π) 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. cot π₯ sec π₯ cosec π₯ cot ππ₯ sec ππ₯ cosec ππ₯ cot (ππ₯ + π) sec(ππ₯ + π) cosec(ππ₯ + π) βcosec 2 π₯ tan π₯ sec π₯ βcot π₯ cosec π₯ βπ cosec 2 ππ₯ π tan ππ₯ sec ππ₯ βπ cot ππ₯ cosec ππ₯ βπ cosec 2 (ππ₯ + π) π tan(ππ₯ + π) sec(ππ₯ + π) βπ cot ππ₯ + π cosec (ππ₯ + π) Dari tabel di atas, dapat ditentukan rumus-rumus dasar integral tak tentu fungsi trigonometri sebagai berikut. Tipe 1: 1. cos π₯ ππ₯ = sin π₯ + πΆ 4. cosec 2 π₯ ππ₯ = β cot π₯ + πΆ 2. sin π₯ ππ₯ = β cos π₯ + πΆ 5. tan π₯ sec π₯ ππ₯ = sec π₯ + πΆ 3. sec 2 π₯ ππ₯ = tan π₯ + πΆ 6. cot π₯ cosec π₯ ππ₯ = βcosec π₯ + πΆ 4. cosec 2 ππ₯ ππ₯ = β π cot ππ₯ + πΆ 5. tan ππ₯ sec ππ₯ ππ₯ = π sec ππ₯ + πΆ 6. cot ππ₯ cosec ππ₯ ππ₯ = β Tipe 2 : 1 1. cos ππ₯ ππ₯ = π sin ππ₯ + πΆ 2. sin ππ₯ ππ₯ = β π cos ππ₯ + πΆ 3. sec 2 ππ₯ ππ₯ = π tan ππ₯ + πΆ 1 1 1 1 1 π cosec ππ₯ + πΆ Tipe 3 : 1 1. cos ππ₯ + π ππ₯ = π sin ππ₯ + π + πΆ 2. sin ππ₯ + π ππ₯ = β cos ππ₯ + π + πΆ 1 π 1 3. sec 2 ππ₯ + π ππ₯ = π tan ππ₯ + π + πΆ 4. cosec 2 ππ₯ + π ππ₯ = β π cot ππ₯ + π + πΆ 5. tan ππ₯ + π sec ππ₯ + π ππ₯ = π sec ππ₯ + π + πΆ 6. cot ππ₯ + π cosec ππ₯ + π ππ₯ = β 1 1 1 π cosec ππ₯ + π + πΆ 5
- 7. Contoh : 1. (π₯ 2 + sin π₯) ππ₯ = 2. (cos π₯ β sin π₯) ππ₯ = 1 π₯ 2 ππ₯ + sin π₯ ππ₯ = 3 π₯ 3 β cos π₯ + πΆ cos π₯ ππ₯ β sin π₯ ππ₯ = sin π₯ + cos π₯ + πΆ Dalam pemgintegralan fungsi trigonometri seringkali digunakan rumus-rumus fungsi trigonometri berikut. Rumus Kebalikan, Perbandingan, dan Identitas Pythagoras a. Rumus Kebalikan 1. sin πΌ Γ cosec πΌ = 1 βΊ sin πΌ = 1 πππ ππ πΌ 1 2. cos πΌ Γ cot πΌ = 1 βΊ cos πΌ = sec πΌ 1 πΌ 1 3. tan πΌ Γ cot πΌ = 1 βΊ tan πΌ = cot 1 βΊ πππ ππ πΌ = sin βΊ sec πΌ = cos πΌ 1 πΌ βΊ cot πΌ = tan πΌ b. Rumus Perbandingan sin πΌ 1. tan πΌ = cos 2. cot πΌ = πΌ cos πΌ sin πΌ c. Identitas Pythagoras 1. π ππ2 πΌ + πππ 2 πΌ = 1 2. 1 + π‘ππ2 πΌ = π ππ 2 πΌ 3. 1 + πππ‘ 2 πΌ = πππ ππ 2 πΌ Rumus-Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Untuk setiap sudut πΌ sebarang, berlaku : 1 1. sin 2πΌ = 2 sin πΌ cos πΌ 3. sin2 πΌ = 2 (1 β cos 2πΌ) 2. cos 2πΌ = cos 2 πΌ β sin2 πΌ 4. cos 2 πΌ = 2 (1 + cos 2πΌ) 1 Rumus-Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Untuk setiap sudut πΌ dan π½ sebarang, berlaku : 1. 2 sin πΌ cos π½ = sin πΌ + π½ + sin(πΌ β π½) 2. 2 cos πΌ sin π½ = sin πΌ + π½ β sin(πΌ β π½) 3. 2 cos πΌ cos π½ = cos πΌ + π½ + cos πΌ β π½ 4. 2 sin πΌ sin π½ = βcos πΌ + π½ + cos(πΌ β π½) 6
- 8. Soal : (Kerjakan) 1. 2 sec 2 π₯ ππ₯ 2. cos 2π₯ ππ₯ 3. sin 4π₯ β 2 ππ₯ 4. (sin π₯ + 3 cos π₯) ππ₯ 5. (sec π₯ tan π₯ β 5 sin π₯) ππ₯ 6. 2 sec 2 π₯ β 7. cos 3π₯ β 2 β 9 sin(2 β 3π₯) ππ₯ π₯ ππ₯ 8. (sin π₯ β cos π₯)2 ππ₯ 9. sin2 π₯ ππ₯ 10. 4 sin 2π₯ cos 2π₯ ππ₯ 11. πππ ππ π₯ β 2 πππ ππ π₯ + 2 ππ₯ 12. 2 sin 11π₯ cos 5π₯ ππ₯ 13. cos 4 π₯ ππ₯ 14. 6 cos 8π₯ cos 2π₯ ππ₯ 15. 4 sin 3π₯ sin 3π₯ + 3 π ππ₯ 7
- 9. INTEGRAL TENTU A. Pengertian Integral Tentu Integral dengan batas-batas integrasi dinamakan integral tentu. Jika f(x) merupakan turunan dari F(x), maka integral tentu dari f(x) menuju x pada interval [a, b] dinotasikan dengan π π π π₯ ππ₯. Nilai integral tentu tersebut dirumuskan dengan : π π π₯ ππ₯ = πΉ π β πΉ(π) π Bentuk πΉ π β πΉ(π) ditulis dengan notasi khusus πΉ(π₯) π π yamg dinamakan notasi kurung siku, sehingga : π π π₯ ππ₯ = πΉ(π₯) π π = πΉ π β πΉ(π) π Dengan a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas pengintegralan. Interval [a, b] dinamakan wilayah pengintegralan. B. Sifat-Sifat Integral Tentu Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b] , dan k adalah konstanta, maka : π 1. π π π₯ ππ₯ = 0 2. π π π π₯ ππ₯ = β 3. π π π π π₯ ππ₯ = π 4. π π π π₯ Β± π(π₯) ππ₯ = 5. π π π π₯ ππ₯ = π π π π π π₯ ππ₯ π π π π₯ ππ₯ π π π π₯ ππ₯ + π π₯ ππ₯ Β± π π π π π π₯ ππ₯ π π₯ ππ₯, dengan a < c < b 6. a. Jika π(π₯) β₯ 0 pada interval π β€ π₯ β€ π, maka π π π π₯ ππ₯ β₯ 0 b. Jika π(π₯) β€ 0 pada interval π β€ π₯ β€ π, maka π π π π₯ ππ₯ β€ 0 Contoh : 3 2π₯ + 3 ππ₯ = π₯ 2 + 3π₯ 3 1 = 18 β 4 = 14 1 8
- 10. Soal : (kerjakan) Hitunglah integral berikut! 1. 4 1 6. 1 β1 3π₯ 2 β 2π₯ ππ₯ 2. 3 0 π₯ 2 β 1 ππ₯ 7. 2 1 π₯3 β 3. 2 2 2π₯ β 1 ππ₯ 8. 3 1 4. 2 5 1 π₯ 2 + π₯ ππ₯ 9. 4 ( 0 5. 3 1 1 π₯3 ππ₯ 10. π₯ ππ₯ 1 0 1 π₯3 ππ₯ π₯ β 2 3π₯ + 1 ππ₯ π₯ + 1)2 ππ₯ π₯ 3 π₯ + 2 3 π₯ ππ₯ Tentukanlah nilai k jika diketahui : π 1. 0 2. 0 3. π π₯ ππ₯ = 16 3 π₯ 4 β π₯ ππ₯ = 0 2π ππ₯ β1 π₯ 2 1 =2 9