![实验四 用 Mathematica 软件作导数应用
实验目的:
1. 掌握用 Mathematica 软件作求函数极大值和极小值的语句和方法。
2. 熟悉软件在建模中应用
实验过程与要求:
教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。
实验的内容:
一、求函数的极小值
在 Mathematica 系统中用 FindMinimum 函数求函数的极小值，基本格式为：
FindMinimum [f[x],{x,x0}]
其中 x0 为初始值，表示求出的是 f[x]在 x0 附近的极小值.因此，一般需借
助于 Plot 函数先作出函数的图像，由图像确定初始值，再利用 FindMinimum 求
出 f[x]在 x0 附近的极小值.
?x
实验 1 求y=e 2 sin x 的极小值.
解 In[1]:= y=Exp[-x/2]Sin[x]
Plot[y,{x,-5,6}]
FindMinimum[y,{x,-3}]
图像如图
5
4
3
2
1
-4 -2 2 4 6
-1
-2
二、求函数的极大值
因为函数 f[x]的图像与函数-f[x]的图像对于 x 轴是对称的，f[x]取得极大
值时，-f[x]正好取得极小值，因此仍用 FindMinimum 函数求函数的极大值，基
本格式为：
FindMinimum [-f[x],{x,x0}]
其中 x0 为初始值，表示求出的是-f[x]在 x0 附近的极小值，设为 W，实际
上间接地求出了 f[x]在 x0 附近的极大值，为-W.](https://image.slidesharecdn.com/mathematica-090724223822-phpapp01/85/Mathematica-1-320.jpg)
![3x
实验 2 求 y = 1 + x 2 的极值.
解 In[4]:= y=3x/(1+x^2)
Plot[y,{x,-2,2}]
FindMinimum[y,{x,0}]
In[7]:=FindMinimum[-y,{x,0}]
图像如图
1.5
1
0.5
-2 -1 1 2
-0.5
-1
-1.5
实验一
求下列函数的极值：
1. y = x 3 + 2 x 2 ? 3 2. y = ( x 2 ? 1) 2 ? 1
1
3. y = 2 x ? x 2 4. y = 5 ? 2( x + 1) 3
建模与实验
1、 问题
一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸
入花园宽 2 ，高 ，温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用
m 3m
梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，因为温室是不能承受梯子
压力的，所以梯子太短是不行的，现清洁工只有一架 长的梯子，你认为它能达 7m
到要求吗？能满足要求的梯子的最短长度为多少？
二、实验目的
掌握求一元函数极值的驻点法，掌握 求极小值的命令 Mathematica
并会用它解决一些实际问题。
FindMinimum](https://image.slidesharecdn.com/mathematica-090724223822-phpapp01/85/Mathematica-2-320.jpg)
![三、预备知识
1．一元函数的极值及最值的求法。
2． 求极小值命令提示
Mathematica
[ f , {x, xo}] f ( x)
FindMinimum
在选取的初始点 xo
附近求 的极小值；
[ f , {x, xo, x1}] f ( x)
FindMinimum
在选取的两个不同的初始点 x0
与 x1
附近求 的
f
极小值，当 的微分符号形式求不出时，必须用这种命令命令形式。
四、实验要求
1．动态观测梯子长度随倾角变化的变化。
2．设温室宽为 ，高为 ，梯子倾斜的角度为 ，当梯子与温室顶端 A 处
a b x
L( x )
恰好接触时，梯子的长度 L
只与 x
有关。试写出函数 及其定义域。
Clear [ x ] L( x )
3. 在 Mathematicca
环境，先用命令 清除 x
的值，再定义函数 ，
并求导。
a ,b L( x )
4.将 赋值，画出 的图形。注意自变量 x
的范围选取。
L ′( x ) = 0
5．求驻点，即求方程 的根，用语句。
L( x )
6．用语句 FindMinumum
直接求 的极小值并与（5）的结果比较。
a = , b = .8
2 2
7．取 ，重新运行程序，结果如何？
五、实验内容与步骤
1．问题分析与建立模型
问题很容易转化为数学模型：
a b ? π? π
L( x ) = + ? 0, ? 0< x<
cos x sin x ? 2? 2
即： 求函数 在区间 的最小值。因 ，所以
b
x = arctan 3
a
可用手算得唯一稳定点 从而得梯子的最小长度为：
Lmin = (
3
a 2 +3 b 2 ) 3
2
a, b
然而代入 的值，却使我们无法用手算得到数值结果，故宜上机计算
2．运行以下 Mathematica
程序
clear [a, b, x ]
In[1]：=
L[x ?] := / cos[ x ] + / sin[ x ]
a b
；
diff =D[L[ x ], x ]
；
a = , b =
2 3
；
Plot [ L (x ) 7} { ,0.7,1 , Axesorigin ? { .7,7}
{ , , x } >0 ]
3．程序运行结果
4．结果分析
a =2, b =3 Lmin ≈ .02348
7 (x ≈ .852771)
0
当 时，输出表明 。 7 米长的梯子是
即
不行的。
a = , b = .8
2 2 {6.75659, {x → .84136}
0 }
当 时，运行结果为 。即 7 米长的梯子
已足够。](https://image.slidesharecdn.com/mathematica-090724223822-phpapp01/85/Mathematica-3-320.jpg)
实验四 用Mathematica软件作导数应用
- 1. 实验四 用 Mathematica 软件作导数应用 实验目的: 1. 掌握用 Mathematica 软件作求函数极大值和极小值的语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、求函数的极小值 在 Mathematica 系统中用 FindMinimum 函数求函数的极小值，基本格式为： FindMinimum [f[x],{x,x0}] 其中 x0 为初始值，表示求出的是 f[x]在 x0 附近的极小值.因此，一般需借 助于 Plot 函数先作出函数的图像，由图像确定初始值，再利用 FindMinimum 求 出 f[x]在 x0 附近的极小值. ?x 实验 1 求y=e 2 sin x 的极小值. 解 In[1]:= y=Exp[-x/2]Sin[x] Plot[y,{x,-5,6}] FindMinimum[y,{x,-3}] 图像如图 5 4 3 2 1 -4 -2 2 4 6 -1 -2 二、求函数的极大值 因为函数 f[x]的图像与函数-f[x]的图像对于 x 轴是对称的，f[x]取得极大 值时，-f[x]正好取得极小值，因此仍用 FindMinimum 函数求函数的极大值，基 本格式为： FindMinimum [-f[x],{x,x0}] 其中 x0 为初始值，表示求出的是-f[x]在 x0 附近的极小值，设为 W，实际 上间接地求出了 f[x]在 x0 附近的极大值，为-W.
- 2. 3x 实验 2 求 y = 1 + x 2 的极值. 解 In[4]:= y=3x/(1+x^2) Plot[y,{x,-2,2}] FindMinimum[y,{x,0}] In[7]:=FindMinimum[-y,{x,0}] 图像如图 1.5 1 0.5 -2 -1 1 2 -0.5 -1 -1.5 实验一 求下列函数的极值： 1. y = x 3 + 2 x 2 ? 3 2. y = ( x 2 ? 1) 2 ? 1 1 3. y = 2 x ? x 2 4. y = 5 ? 2( x + 1) 3 建模与实验 1、 问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸 入花园宽 2 ，高 ，温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用 m 3m 梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，因为温室是不能承受梯子 压力的，所以梯子太短是不行的，现清洁工只有一架 长的梯子，你认为它能达 7m 到要求吗？能满足要求的梯子的最短长度为多少？ 二、实验目的 掌握求一元函数极值的驻点法，掌握 求极小值的命令 Mathematica 并会用它解决一些实际问题。 FindMinimum
- 3. 三、预备知识 1．一元函数的极值及最值的求法。 2． 求极小值命令提示 Mathematica [ f , {x, xo}] f ( x) FindMinimum 在选取的初始点 xo 附近求 的极小值； [ f , {x, xo, x1}] f ( x) FindMinimum 在选取的两个不同的初始点 x0 与 x1 附近求 的 f 极小值，当 的微分符号形式求不出时，必须用这种命令命令形式。 四、实验要求 1．动态观测梯子长度随倾角变化的变化。 2．设温室宽为 ，高为 ，梯子倾斜的角度为 ，当梯子与温室顶端 A 处 a b x L( x ) 恰好接触时，梯子的长度 L 只与 x 有关。试写出函数 及其定义域。 Clear [ x ] L( x ) 3. 在 Mathematicca 环境，先用命令 清除 x 的值，再定义函数 ， 并求导。 a ,b L( x ) 4.将 赋值，画出 的图形。注意自变量 x 的范围选取。 L ′( x ) = 0 5．求驻点，即求方程 的根，用语句。 L( x ) 6．用语句 FindMinumum 直接求 的极小值并与（5）的结果比较。 a = , b = .8 2 2 7．取 ，重新运行程序，结果如何？ 五、实验内容与步骤 1．问题分析与建立模型 问题很容易转化为数学模型： a b ? π? π L( x ) = + ? 0, ? 0< x< cos x sin x ? 2? 2 即： 求函数 在区间 的最小值。因 ，所以 b x = arctan 3 a 可用手算得唯一稳定点 从而得梯子的最小长度为： Lmin = ( 3 a 2 +3 b 2 ) 3 2 a, b 然而代入 的值，却使我们无法用手算得到数值结果，故宜上机计算 2．运行以下 Mathematica 程序 clear [a, b, x ] In[1]：= L[x ?] := / cos[ x ] + / sin[ x ] a b ； diff =D[L[ x ], x ] ； a = , b = 2 3 ； Plot [ L (x ) 7} { ,0.7,1 , Axesorigin ? { .7,7} { , , x } >0 ] 3．程序运行结果 4．结果分析 a =2, b =3 Lmin ≈ .02348 7 (x ≈ .852771) 0 当 时，输出表明 。 7 米长的梯子是 即 不行的。 a = , b = .8 2 2 {6.75659, {x → .84136} 0 } 当 时，运行结果为 。即 7 米长的梯子 已足够。
- 4. 练习与思考 1. 梯子长度问题思考 a =1.8 （1）取 ，在只用 6.5 长梯子的情况下，温室最多能修建多高？ m （2）一条 1 宽的通道与另一条 2 宽的通道相交成直角，一个梯子需要水平绕 m m 过拐角，试问梯子的最大长度是多少？ 1 f ( x) = ,1 ≤ x ≤ 2 x4 2. 作函数 的图形，并验证是否满足拉格朗日定理条件。 y =2 x 3 ? x 6 2 ? + 18 1 3. 求 极值。