Matriks
- 2. Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat menentukan penyelesaian persoalan matriks dengan menggunakan operasi perkalian matriks dan invers matriks beserta sifat-sifatnya. 2 November 2013 2
- 3. Perkalian matriks dengan matriks Perhatikan ilustrasi berikut: Randy dan Lya ingin membeli buku dan pensil. Randy membeli 3 buku dan 1 pensil. Lya membeli 4 buku dan 2 pensil. 2 November 2013 3
- 4. Jika harga sebuah buku Rp500,00 dan sebuah pensil Rp150,00; Berapa masing-masing mereka harus membayar? 2 November 2013 4
- 5. Randy Lya Jawab: = 3 x 500 + 1 x 150 = Rp1.650,00 = 4 x 500 + 2 x 150 = Rp2.300,00 Penyelesaian di atas dapat diselesaikan dengan perkalian matriks sebagai berikut: 2 November 2013 5
- 6. 3 錚 錚 錚 4 錚 1 錚 錚 錚 500 錚 錚 錚 2 錚 錚 錚 150 錚 錚 錚 (2 x 2) kolom = baris (2 x 1) 錚+ 1 x 150 3 x 500 = 錚 2 x 150 錚 4 x 500 + 錚 錚 錚 1650 =錚錚 錚 錚 2300 (2 x 錚 錚1) 2 November 2013 錚 錚 錚 錚 6
- 7. Syarat Perkalian Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A = banyak baris matriks B 2 November 2013 7
- 8. Jika matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n x p maka A x B = C dengan C berordo m x p Am 2 November 2013 xn x Bn x p = C m x p 8
- 9. Cara Mengalikan Matriks misal A x B = C maka elemen matriks C adalah penjumlahan dari hasil kali elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B yang bersesuaian 2 November 2013 9
- 10. Am x n x B n x p = C m x p 錚Baris 1 錚 x 錚 錚Baris 2 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = 錚 錚 K ol o m 1 K ol o m 2 錚 錚 錚 錚 錚 錚 Baris 1 x kolom 1 Baris 1 x kolom 2 Baris 1 x. Baris 2 x kolom 1 Baris 2 x kolom 2 .. .x kolom1 2 November 2013 .. 10
- 11. Contoh 1: 錚1 錚3 錚 2 4 錚刻 5 x 錚削 6 錚誌０ 1x5 + 2x6 錚 = 錚 3x5 + 4x6 錚 2 November 2013 7 8 錚 錚 錚 錚 錚 3x7 + 4x8 錚 1x7 + 2x8 11
- 12. = = 2 November 2013 1x5 + 2x6 錚1 x 7 + 2 x 8 錚 錚 錚 3x5 + 4x6 錚3 x 7 + 4 x 8 錚 17 錚 錚 39 錚 23錚 錚 53錚 12
- 13. Contoh 2: 錚5 錚6 錚 = = 2 November 2013 1 錚 錚 x錚 錚 3 8 錚 錚 7 2 4 錚 錚 錚 5x1 + 7x3 5 錚x2 + 7x4 錚 錚x2 + 8x4 錚 6x1 + 8x3 6 錚 錚 錚 26 錚 30 錚 38 錚 44 錚 錚 13
- 14. Contoh 3: 錚 2 5錚 錚 3 1錚 錚 dan B = 錚 A=錚 錚 1 8錚 錚 錚2 4 錚 錚 錚 錚 錚 Hitunglah: A x B dan B x A 2 November 2013 14
- 15. 錚3 -1錚 錚-2 5錚 AxB= 錚 錚2 4錚 錚 1 8錚 錚件 錚 錚 錚醐 錚 錚3 x (-2) + (-1) x 1 3 x 5 + (-1) x 8 錚 錚 =錚 錚 錚 錚2 x (-2) + 4 x 1 2x5+4x8 錚 錚 7錚 -7 = 錚 錚 錚 42錚 0 錚 錚 2 November 2013 15
- 16. 錚-2 5錚 錚 3 -1 錚 錚 錚 錚 B x A =錚 錚1 8錚 錚 2 4錚 錚 錚 錚 錚 (-2) 錚 x 3 + 5 x 2 (-2) x (-1) + 5 x 4錚 錚 = 錚 錚 錚 1 錚 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4 錚 錚4 22 錚 =錚 錚 錚 錚 錚 31 錚 19 2 November 2013 16
- 17. kesimpulan AxB BxA artinya perkalian matriks tidak bersifat komutatif 2 November 2013 17
- 18. Contoh 4: Nilai a dari persamaan matriks: 錚 1 d 錚 錚 4 5 錚 錚 2 1錚 錚 2c 1 錚 錚 錚 =錚 錚 b 3錚+錚 錚 錚 錚 錚 4 3 錚 錚 c a + 1錚 錚件 錚 錚 錚 錚 3 b 錚 錚 錚醐 錚 adalah. 2 November 2013 18
- 19. Bahasan 錚-1 d 錚 錚 4 -5錚 錚= 錚 錚+錚 錚 錚 錚 錚 -b -3 b錚 錚 3錚 錚 錚 d-5 3 錚 錚 -b - 3 錚 3+b 錚2 -1錚 錚 2c 錚 錚件 錚 c -4 3錚 錚 錚 錚醐 1 錚 錚 a +1錚 錚 4c 錚 + (-c) 2 + (-1)(a + 1)錚 錚 錚 = 錚 + 1) 錚 錚 錚 錚 -8c -4+ 3(a 錚 + 3c 錚 錚 d 5 錚 錚 3c 2 - a -1 錚 錚 3 錚 錚 b 3 3 + b 錚 = 錚 5c 4 + 3a + 3 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 2 November 2013 19
- 20. 3 = 3c c = 1 -b 3 = -5c -b 3 = -5 -b = -2 b = 2 3 + b = -1 + 3a 3 + 2 = -1 + 3a 5 = -1 + 3a 6 = 3a Jadi nilai a = 2 2 November 2013 20
- 21. Invers Matriks Pengertian: Jika hasil kali dua buah matriks adalah matriks identitas, (A x B = B x A = I) maka matriks A adalah invers matriks B atau sebaliknya matriks B invers matriks A 2 November 2013 21
- 22. Contoh 1 錚 5 3錚 3錚 錚 1 錚 dan B = 錚 A= 錚 錚 2 1錚 錚 錚 2 5錚 錚 錚 錚 錚 3 錚 錚 5 3錚 錚 1 AxB=錚 錚 2 5錚 錚 2 1 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 -5+6 -3+3錚 錚 =錚 錚 10-10 6-5 錚 錚 錚 錚 1 0錚 = 錚 錚 0 1錚 = I 錚 錚 錚 2 November 2013 22
- 23. Contoh 2 錚 5 3錚 3錚 錚 1 錚 dan B = 錚 A= 錚 錚 2 1錚 錚 錚 2 5錚 錚 錚 錚 錚 3錚 錚 5 3錚 錚 1 BxA= 錚 錚 2 1 錚 錚 2 5錚 錚件 錚 錚 錚醐 錚 錚 -15+15錚 -5+6 錚 =錚 錚 2-2 6-5 錚 錚 錚 錚 1 0錚 = 錚 錚 0 1錚 = I 錚 錚 錚 2 November 2013 23
- 24. karena A x B = B x A = I berarti B = invers A, atau A = invers B. Jika B = invers A dan di tulis A-1 maka A. A-1 = A-1. A = I 2 November 2013 24
- 25. Invers Matriks (2 x 2) 錚a Jika A = 錚 錚c 錚 b錚 錚 d錚 錚 maka invers matriks A 錚 -b 錚 1 d 錚 錚 錚 錚 ad - bc 錚 -c a 錚 adalah A-1 = ad bc = determinan matriks A 2 November 2013 25
- 26. Jika ad bc = 0 berarti matriks tsb tidak mempunyai invers. Sebuah matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular 2 November 2013 26
- 27. Contoh 錚 2 1錚 Jika A = 錚 錚 5 3錚 錚 錚 錚 maka invers matriks A adalah. 2 November 2013 27
- 28. Bahasan 1 錚 d b錚 錚 A = 錚 c a 錚 錚 ad - bc 錚 錚 1 錚2 A =錚 錚5 錚 1錚 錚 -1錚 1 3 1 錚撃 A = 錚 錚 錚 錚 錚 3錚 2.3 - 1.5 錚 -5 2錚 1 錚 3 1錚 錚 = 錚 5 2 錚 錚 6-5錚 錚 錚 3 1錚 =錚 錚 5 2 錚 錚 錚 錚 2 November 2013 28
- 29. Sifat-sifat Invers Matriks: 1. 2. (A. B)-1 = B-1. A-1 3. 2 November 2013 A.A-1 = A-1.A = I (A-1 )-1 = A 29
- 30. Contoh 1 錚1 2錚 錚 錚 Diketahui A = 錚 3 4 錚 錚 錚 錚 2 0 錚 dan B = 錚 3 1錚 錚 錚 錚 錚 maka (AB)-1 adalah. 2 November 2013 30
- 31. Bahasan 錚1 2錚 錚 2 0 錚 AB = 錚 錚 3 4 錚 錚 3 1錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚6 -2 + 錚 = 錚12 -6 + 錚 錚 4 2錚 =錚 錚 6 4錚 錚 錚 錚 2 November 2013 0 - 2錚 錚 0-4錚 錚 31
- 32. 錚 4 2錚 錚 AB = 錚 錚 6 4錚 錚 錚 錚-4 2錚 1 1 錚 (AB) = 錚-6 4錚 錚 16 (12) 錚 錚 1 錚 4 2錚 錚 = 錚 6 4錚 錚 4錚 錚 錚1 -1 Jadi (AB) = 錚 1 錚1 錚 2 2 November 2013 1錚 2 錚 1錚 錚 32
- 33. Contoh 2 錚3 1錚 Jika invers matriks A = 錚 錚4 2錚 錚 錚 錚 maka matriks A adalah. 2 November 2013 33
- 34. Bahasan A = (A-1 )-1 錚3 1錚 A =錚 錚4 2錚 錚 錚 錚 錚2 -1錚 1 1 1 錚 錚 (A ) = 錚 -4 3錚 3.2 1.4 錚 錚 1 錚 2 1錚 = 錚 錚 4 3 錚 錚 2錚 錚 1 2 November 2013 34
- 35. 1 錚 2 1錚 (A ) = A = 錚 錚 4 3 錚 錚 2錚 錚 1 1 錚 1 1錚 2 錚 Jadi matriks A = 錚 錚 2 3 錚 2 錚 錚 2 November 2013 35
- 36. Penyelesian Persamaan Matriks Jika A, B dan M adalah matriks ordo (2x2) dan A bukan matriks singular maka penyelesaian persamaan matriks AM = B adalah M = A-1.B MA = B adalah M = B.A-1 2 November 2013 36
- 37. Contoh 1 錚 5 3錚 錚 2 1錚 Jika A = 錚 錚 2 1 錚 dan B = 錚 5 0 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 Tentukan matriks M berordo (2x2) yang memenuhi: a. AM = B b. MA = B 2 November 2013 37
- 38. Bahasan 錚 5 3錚 A=錚 錚 2 1錚 錚 錚 錚 1 錚 1 3錚 錚 A = 錚 2 5 錚 錚 5.1 - 3.2 錚 錚 1 1 錚 1 3錚 錚 1 3 錚 錚=錚 錚 = 錚 -1 錚 2 5 錚 錚 2 5 錚 錚 錚 錚 錚 2 November 2013 38
- 39. a.Jika AM = B maka M = A-1.B 錚 1 3 錚 錚 2 1錚 =錚 錚 2 5 錚 x錚 5 0 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 (1)x(2) + 3x5 (1)x1 + 3x0 錚 =錚 錚 2x(2) + (5)x5 2x1 + (5)x0 錚 錚 錚 錚 1錚 錚 17 錚 Jadi M = 錚 錚 29 2 錚 錚 錚 2 November 2013 39
- 40. b. Jika MA = B maka M = B.A-1 錚 2 1 錚 錚 -1 3錚 =錚 錚 5 0 錚 x錚 2 5 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 2 + 2 ( 6) + ( 5) 錚 錚 =錚 錚 ( 5) + 0 15 + 0 錚 錚 錚 錚 4 11錚 Jadi M = 錚 錚 5 15 錚 錚 錚 錚 2 November 2013 40
- 41. Contoh 2 Diketahui hasil kali matriks 錚 4 3錚 錚 a 錚 錚 1 2 錚x錚 c 錚 錚 錚 錚 錚 b 錚 錚16 3 錚 錚=錚 錚 錚 9 7錚 錚 d錚 錚 錚 Nilai a + b + c + d sama dengan. 2 November 2013 41
- 42. Bahasan 錚 4 3 錚 錚 a b 錚 錚16 3 錚 錚 錚 1 2 錚x錚 c d 錚 = 錚 9 7 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚a b 錚 1 錚 2 3 錚駈16 3 錚 錚 錚 c d 錚 = 8 3 錚 1 4 錚件 9 7 錚 錚 錚 錚件 錚 錚 錚 錚 錚醐 錚 錚a 錚 錚c 錚 2 November 2013 b 錚 1 錚 32 27 6 21 錚 錚= 錚 錚 5 錚 16 + 36 3 + 28 錚 錚 d錚 錚 錚 1 錚 5 15 錚 = 錚 錚 20 25 錚 錚 5錚 錚 42
- 43. 錚a 錚 錚c 錚 b 錚 1 錚 5 15 錚 錚= 錚 錚 5 錚 20 25 錚 錚 d錚 錚 錚 錚a 錚 錚c 錚 b 錚 錚 1 3錚 錚=錚 錚 錚4 5 錚 錚 d錚 錚 錚 diperoleh a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5 berarti a+b+c+d=13+4+5=7 2 November 2013 43
Editor's Notes
- {}