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Ipazzi Dellasecondag
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Cos’ è un numero primo? • Un NUMERO PRIMO è un numero naturale divisibile unicamente per se stesso e per uno, e diverso da uno. • Ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... • L'unico numero primo pari è 2.
Importanza dei numeri primi TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA Ogni numero naturale può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica.
Scomposizione in fattori primi Scomponiamo il 12 e il 18 in fattori primi 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 Si ottiene: 12= 22x3 e 18= 2x32
Massimo comun divisore Scomponiamo i numeri in fattori primi. Scegliamo solo i fattori comuni con il più piccolo esponente 8 2 6 2 Calcoliamo il M.C.D. (6;8) 4 2 3 3 6=2x3 8=23 2 2 1 1 M.C.D. (6;8)=2
Minimo comune multiplo scomponiamo i numeri in fattori primi si scelgono tutti i fattori comuni e non comuni. tra quelli comuni si prendono quelli con l’esponente maggiore. 12 2 18 2 Calcoliamo il m.c.m. (12;18) 6 2 9 3 12= 22x3 3 3 3 3 18= 2x32 m.c.m. (12;18)= 22x32 =36 1 1
Quesito Un fioraio prepara dei mazzi di fiori uguali con 70 rose, 42 margherite e 84 tulipani. Quanti mazzi ottiene?
Soluzione Affinché i mazzi siano tutti uguali, il fioraio dovrà farne in numero tale che sia divisibile per 70, 42 e 84. Quindi tale numero è il MCD(70,42,84) 7 2 4 2 8 2 0 2 4 70=2x5x7 3 5 2 3 4 2 42=2x3x7 5 1 2 84=22x3x7 7 7 7 7 2 3 1 Si prendono tutti i fattori 1 1 1 7 7 comune presi una sola volta col minimo esponente 1 M.C.D (70,42,84)=2x7=14
I TRE AEREI Tre aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Verona e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni. Dopo quanti giorni i tre aerei si troveranno di nuovo insieme a Verona ?
Risposta Il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni. Problema di MINIMO COMUNE MULTIPLO: 5 5 10 2 6 2 5=5 10=2x5 1 5 5 3 3 6=2x3 1 1 mcm (5; 10; 6) = 5x2x3=30 giorni
Metodo di Euclide • C’e’ un altro metodo per calcolare il M.C.D. di due numeri, questo metodo è stato scoperto da Euclide intorno al 400a.c.: • Dati due numeri a,b il MCD di a e b si calcola sostituendo ad a e b il minore di a e b e la differenza di a e b fino ad arrivare a 0, il MCD tra a e b è il numero prima di 0 • ESEMPI
Divisibilità per 2 un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari
divisibilità per 3 un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3
divisibilità per 4 un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4
divisibilità per 5 un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5
divisibilità per 6 un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3
Divisibilità per 7 un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. » per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676. ESEMPIO
Divisibilità per 8 un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre
divisibilità per 9 un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9
divisibilità per 10 un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
divisibilità per 11 un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 » per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0
divisibilità per 12 un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4
Divisibilità per 13 un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 » per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)
divisibilità per 17 un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 » per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17
divisibilità per 19 un numero è divisibile per 19, dopo averlo scomposto nella forma 100a + b, solo se è divisibile a + 4b, oppure se in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7)
divisibilità per 20 un numero è divisibile per 20, se l'ultima cifra è 0 e la penultima è 0,2,4,6 o 8.
divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se è divisibile per 23 la somma della cifra delle decine e del settuplo della cifra delle unità, oppure se in questo la differenza fra le cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 16 è uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad esempio 1633 è divisibile per 23 perché lo è 163 - 3 x 16)
divisibilità per 25 un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75
divisibilità per 29 un numero è divisibile per 29 se (e solo se) lo è anche la cifra delle decine sommato al triplo della cifra delle sue unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 = 29), oppure se in questo la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 26 è uguale a 0, 29 o un multiplo di 29 (ad esempio, 957 è divisibile per 29 perché lo è 95 - 7 x 26)
divisibilità per 100 un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00
ESEMPIO PER 7 95676 23571 9567 -2x6 12 2357 -2x1 2 9555 2355 955 -2x5 10 235 -2x5 10 945 225 94 -2x5 10 22 -2x5 10 84 12 8 -2x4 8 0
ESEMPIO PER 13 8528 85676 8591 8567+4*6 884 852+4*8 863 859+4*1 104 88+4*4 98 85+4*3 26 10+4*4 41 9+8*3 Divisibile per 13 Non è divisibile per 13
ESEMPIO PER 17 85676 8597 8567-5*6 894 859-5*7 2103954 109 89-5*4 210375 210395-5*4 55 10-5*9 21012 21037-5*5 30 2091 2101-5*2 3 204 209-5*1 15 2584 0 20-5*4 Divisibile per 17 238 258-5*4 17 23-5*8 Divisibile per 17
EUCLIDE 18 12 12 18-12=6 6 12-6=6 6 6-6=0 MCD=6
EUCLIDE 2 225 405 225 405-225=180 180 225-180=45 45 180-45=135 45 135-45=90 45 90-45=45 45 45-45=0 MCD=45

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  • 2. Importanza dei numeri primi TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA Ogni numero naturale può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica.
  • 3. Scomposizione in fattori primi Scomponiamo il 12 e il 18 in fattori primi 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 Si ottiene: 12= 22x3 e 18= 2x32
  • 4. Massimo comun divisore Scomponiamo i numeri in fattori primi. Scegliamo solo i fattori comuni con il più piccolo esponente 8 2 6 2 Calcoliamo il M.C.D. (6;8) 4 2 3 3 6=2x3 8=23 2 2 1 1 M.C.D. (6;8)=2
  • 5. Minimo comune multiplo scomponiamo i numeri in fattori primi si scelgono tutti i fattori comuni e non comuni. tra quelli comuni si prendono quelli con l’esponente maggiore. 12 2 18 2 Calcoliamo il m.c.m. (12;18) 6 2 9 3 12= 22x3 3 3 3 3 18= 2x32 m.c.m. (12;18)= 22x32 =36 1 1
  • 6. Quesito Un fioraio prepara dei mazzi di fiori uguali con 70 rose, 42 margherite e 84 tulipani. Quanti mazzi ottiene?
  • 7. Soluzione Affinché i mazzi siano tutti uguali, il fioraio dovrà farne in numero tale che sia divisibile per 70, 42 e 84. Quindi tale numero è il MCD(70,42,84) 7 2 4 2 8 2 0 2 4 70=2x5x7 3 5 2 3 4 2 42=2x3x7 5 1 2 84=22x3x7 7 7 7 7 2 3 1 Si prendono tutti i fattori 1 1 1 7 7 comune presi una sola volta col minimo esponente 1 M.C.D (70,42,84)=2x7=14
  • 8. I TRE AEREI Tre aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Verona e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni. Dopo quanti giorni i tre aerei si troveranno di nuovo insieme a Verona ?
  • 9. Risposta Il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni. Problema di MINIMO COMUNE MULTIPLO: 5 5 10 2 6 2 5=5 10=2x5 1 5 5 3 3 6=2x3 1 1 mcm (5; 10; 6) = 5x2x3=30 giorni
  • 10. Metodo di Euclide • C’e’ un altro metodo per calcolare il M.C.D. di due numeri, questo metodo è stato scoperto da Euclide intorno al 400a.c.: • Dati due numeri a,b il MCD di a e b si calcola sostituendo ad a e b il minore di a e b e la differenza di a e b fino ad arrivare a 0, il MCD tra a e b è il numero prima di 0 • ESEMPI
  • 11. Divisibilità per 2 un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari
  • 12. divisibilità per 3 un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3
  • 13. divisibilità per 4 un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4
  • 14. divisibilità per 5 un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5
  • 15. divisibilità per 6 un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3
  • 16. Divisibilità per 7 un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. » per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676. ESEMPIO
  • 17. Divisibilità per 8 un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre
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  • 21. divisibilità per 12 un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4
  • 22. Divisibilità per 13 un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 » per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)
  • 23. divisibilità per 17 un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 » per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17
  • 24. divisibilità per 19 un numero è divisibile per 19, dopo averlo scomposto nella forma 100a + b, solo se è divisibile a + 4b, oppure se in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7)
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  • 30. ESEMPIO PER 7 95676 23571 9567 -2x6 12 2357 -2x1 2 9555 2355 955 -2x5 10 235 -2x5 10 945 225 94 -2x5 10 22 -2x5 10 84 12 8 -2x4 8 0
  • 31. ESEMPIO PER 13 8528 85676 8591 8567+4*6 884 852+4*8 863 859+4*1 104 88+4*4 98 85+4*3 26 10+4*4 41 9+8*3 Divisibile per 13 Non è divisibile per 13
  • 32. ESEMPIO PER 17 85676 8597 8567-5*6 894 859-5*7 2103954 109 89-5*4 210375 210395-5*4 55 10-5*9 21012 21037-5*5 30 2091 2101-5*2 3 204 209-5*1 15 2584 0 20-5*4 Divisibile per 17 238 258-5*4 17 23-5*8 Divisibile per 17
  • 33. EUCLIDE 18 12 12 18-12=6 6 12-6=6 6 6-6=0 MCD=6
  • 34. EUCLIDE 2 225 405 225 405-225=180 180 225-180=45 45 180-45=135 45 135-45=90 45 90-45=45 45 45-45=0 MCD=45