1. Cos’ è un numero primo?
Un NUMERO PRIMO è un numero naturale divisibile
unicamente per se stesso e per uno, e diverso da uno.
Ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...
L'unico numero primo pari è 2.
2. Importanza dei numeri primi
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL'ARITMETICA
Ogni numero naturale può essere scomposto in
fattori primi, e tale scomposizione è unica.
3. Scomposizione in fattori primi
Scomponiamo il 12 e il 18 in fattori primi
12 2 18 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 1
Si ottiene: 12= 22x3 e 18= 2x32
4. Massimo comun divisore
Scomponiamo i numeri in fattori primi.
Scegliamo solo i fattori comuni con il più
piccolo esponente
8 2 6 2 Calcoliamo il M.C.D. (6;8)
4 2 3 3
6=2x3
2 2 1
8=23
1
M.C.D. (6;8)=2
5. Minimo comune multiplo
scomponiamo i numeri in fattori primi
si scelgono tutti i fattori comuni e non comuni.
tra quelli comuni si prendono quelli con
l’esponente maggiore.
12 2 18 2
Calcoliamo il m.c.m. (12;18)
6 2 9 3
12= 22x3
3 3 3 3 18= 2x32
m.c.m. (12;18)= 22x32 =36
1 1
6. Quesito
Un fioraio prepara dei mazzi di fiori uguali con 70
rose, 42 margherite e 84 tulipani.
Quanti mazzi ottiene?
7. Soluzione
Affinché i mazzi siano tutti uguali, il fioraio dovrà farne
in numero tale che sia divisibile per 70, 42 e 84.
Quindi tale numero è il MCD(70,42,84)
7 2 4 2 8 2
0 2 4 70=2x5x7
3 5 2 3 4 2 42=2x3x7
5 1 2 84=22x3x7
7 7 7 7 2 3
1 Si prendono tutti i fattori
1 1 1 7 7 comune presi una sola
1
volta col minimo esponente
M.C.D (70,42,84)=2x7=14
8. I TRE AEREI
Tre aerei partono contemporaneamente
dall’aeroporto di Verona e vi ritorneranno dopo
aver percorso le loro rotte: il primo ogni 5 giorni,
il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni.
Dopo quanti giorni i tre aerei si troveranno di
nuovo insieme a Verona ?
9. Risposta
Il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il
terzo ogni 6 giorni.
Problema di MINIMO COMUNE MULTIPLO:
5 5 10 2 6 2 5=5
10=2x5
1 5 5 3 3 6=2x3
1 1
mcm (5; 10; 6) = 5x2x3=30 giorni
10. Metodo di Euclide
C’e’ un altro metodo per calcolare il
M.C.D. di due numeri, questo metodo è
stato scoperto da Euclide intorno al 400a.c.:
Dati due numeri a,b il MCD di a e b si
calcola sostituendo ad a e b il minore di a e
b e la differenza di a e b fino ad arrivare a
0, il MCD tra a e b è il numero prima di 0
ESEMPI
11. Divisibilità per 2
un numero è divisibile per 2 se termina con zero o
una cifra pari
12. divisibilità per 3
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è
3 o un multiplo di 3
13. divisibilità per 4
un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00
oppure formano un numero multiplo di 4
15. divisibilità per 6
un numero è divisibile per 6 se è
contemporaneamente divisibile per 2 e per 3
16. Divisibilità per 7
un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la
differenza del numero ottenuto escludendo la cifra
delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un
multiplo di 7.
» per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero
9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il
numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è
94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il
numero 95676.
ESEMPIO
17. Divisibilità per 8
un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o
se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue
ultime 3 cifre
18. divisibilità per 9
un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è
9 o un multiplo di 9
20. divisibilità per 11
un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in
valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e
la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un
multiplo di 11
» per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-
(6+5+3)=14-14=0
21. divisibilità per 12
un numero è divisibile per 12 se è
contemporaneamente divisibile per 3 e per 4
22. Divisibilità per 13
un numero con più di due cifre è divisibile per 13
se la somma del quadruplo della cifra delle unità
con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13
o un multiplo di 13
» per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero
730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto
75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)
23. divisibilità per 17
un numero con più di due cifre è divisibile per 17
se la differenza (presa in valore assoluto), fra il
numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e
il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un
multiplo di 17
» per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero
258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il
numero 23-5*8=17
24. divisibilità per 19
un numero è divisibile per 19, dopo averlo scomposto
nella forma 100a + b, solo se è divisibile a + 4b, oppure se
in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima
moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un
multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché
lo è 81 x 9 - 7)
25. divisibilità per 20
un numero è divisibile per 20, se l'ultima cifra è 0 e
la penultima è 0,2,4,6 o 8.
26. divisibilità per 23
un numero è divisibile per 23 se è divisibile per 23 la
somma della cifra delle decine e del settuplo della cifra
delle unità, oppure se in questo la differenza fra le cifre
precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 16 è
uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad esempio 1633 è
divisibile per 23 perché lo è 163 - 3 x 16)
27. divisibilità per 25
un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle
ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75
28. divisibilità per 29
un numero è divisibile per 29 se (e solo se) lo è anche la
cifra delle decine sommato al triplo della cifra delle sue
unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 = 29), oppure se in
questo la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e
l'ultima moltiplicata per 26 è uguale a 0, 29 o un
multiplo di 29 (ad esempio, 957 è divisibile per 29
perché lo è 95 - 7 x 26)
