Modul 1 2 kalkulus-ekstensi
Download as DOC, PDF
0 likes2,321 views
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi, termasuk definisi relasi dan fungsi, contoh-contoh relasi dan fungsi, grafik fungsi kuadrat, fungsi komposisi, fungsi invers, dan pengertian barisan serta konvergensi barisan dalam 3 kalimat."
Modul 1 2 kalkulus-ekstensi
- 1. KALKULUS PROGRAM EKSTENSI MODUL I FUNGSI A. RELASI Definisi : diberikan himpunan pasangan terurut (x, y) dimana x A & y B maka himpunaan (x,y) x A&y B dinamakan relasi dari x A ke y B dinotasikan sebagai xRy Himpunan A disebut domain (daerah asal) Himpunan B disebut codomain (daerah kawan) Himpunan bagian dari B yang mempunyai sifat xRy disebut range atau daerah hasil (jelajah) xRy artinya x tidak berelasi dengan y Contoh 1 : Diberikan suatu relasi R dari A ke B dengan A = (1,2 & B = a,b,c & R = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) maka y suatu relasi 1Ra, 1Rb, 1Rc, 2Ra, 2Rb, dan 2Rc A B 1 a 2 b c Contoh 2 : Diberikan persamaan y = x2, persamaan ini menghubangkan suatu relasi R antara bilangan real x dengan bilangan real y Relasi R adalah R = (x,y) x R & y = x2 = (x,x2) x R 1
- 2. Dalam hal ini adalah bilangan real R, codomain juga bilangan real R sedangkan range adalah y y R&y 0 B. FUNGSI Kejadian khusus dari suatu relasi Dalam aljabar digunakan istilah pemetaan Dalam analisa digunakan istilah fungsi Definisi : fungsi f dari A ke B ditulis f : A B dimaksud suatu aturan perkawanan yang pada anggota A menentukan dengan tunggal satu kawan (anggota) dalam B. Contoh : Diambil A adalah himpunan lima dadu yaitu A = D1, D2, D3, D4, D5 , sedangkan B adalah himpunan bilangan mata dadu 1 s.d. 6. Jadi B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Apabila kelima dadu itu kita lemparkan bersama, maka lemparan ini merupakan suatu fungsi f dari A ke B. A B D1 1 D2 2 D3 3 D4 4 D5 5 6 Himpunan 1, 4, 5, 6 yang merupakan bagian dari B disebut range (daerah hasil) dari fungsi f. Syarat fungsi : - domain harus habis - codomain tidak harus habis - anggota domain mempunyai kawan tunnggal 2
- 3. Latihan : Apakah diagram dibawah ini menunjukkan suatu fungsi ? A B A B 1 1 a 4 2 3 b 8 3 9 c 16 4 18 d e Suatu fungsi f dari A ke B disajikan dengan tanda :, f : A B. Apabila a A, maka kawannya (tunggal) di dalam B yang disajikan dengan tanda f (a), dan dikatakan bahwa a dibawa ke f (a), dengan simbol : a f (a). Adakalanya suatu fungsi f dapat juga disajikan dengan suatu rumus, misalnya domain dan codomain adalah himpunan bilangan-bilangan riil : f : a f (a) = a2 adalah suatu fungsi yang mengawankan bilangan riil anggota domain dengan bilangan riil kuadratnya di dalam codomain Domain Codomain -2 0 -1 1 0 2 1 3 2 4 Sehingga diperoleh hasil : -2 anggota domain mempunyai kawan 4 dalam kodomain atau f (-2) = 4, dst. f:x y = f (x) = x2 jadi rumus y = x2 menentukan suatu fungsi 3
- 4. C. GRAFIK KUADRAT Definisi : grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan semua pasangan (x, f (x)) dalam sistem koordinat dimana x anggota domain f (x) Contoh : f (x) = x2 yang didalam f pada interval (0, 2) maka grafiknya adalah y x y = x2 4 f (x) = x2 0 0 1 1 /2 /4 3 1 1 2 4 2 . . . . 1 . . 1 2 3 4 x Beberapa fungsi dan model grafiknya: 1. Fungsi Linear B.U : ax + by = c atau y = mx + n, m = gradien grafik fungsi tersebut. Contoh : Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 4 Penyelesaian : Titik potong dengan sumbu x y=0 y = 2x + 4 0 = 2x + 4 x = -2 A (-2, 0) Titik potong dengan sumbu y x=0 y = 2x + 4 = 2 . 0 + 4 = 4 B (0, 4) 4
- 5. Gambar : y 4 x -2 2. Fungsi Kuadrat B.U: Y = ax2 + bx + c Grafik fungsi kuadrat ini mempunyai : b a. Sumbu simetri pada garis x = - 2a b D b. Puncak di P (- , ), dengan D = b2 4 ac 2a 4a c. Apabila a > 0 maka grafik fungsi membuka ke atas d. Apabila a < 0 maka grafik fungsi membuka ke bawah e. Apabila ditinjau dari harga diskriminan (D), maka a>0 y = f (x) a>0 y = f (x) a>0 y = f (x) D>0 D=0 D<0 a<0 a<0 a<0 D>0 D=0 D<0 y = f (x) y = f (x) y = f (x) Contoh : 1. Grafik fungsi y = x2 5
- 6. b 0 y Sumbu simetri x = - =- =0 2a 2 b D Y = x2 Puncak di P (- , ) = (0, 0) 2a 4a D b 2 4ac 0 0 Sebab = = =0 4a 4a 4 x 2. Grafik fungsi y = x2 2x 3 y Titik potong dengan sumbu x y=0 x2 2x 3 = 0 (x + 1)(x 3) = 0 x = -1 A (-1, 0) x = 3 B (3, 0) b Sumbu simetri di x = - =1 2a b D Puncak P (- , ) = P (1, -4) 2a 4a Latihan : 1. y = x2 + 2x + 3 2. y = 2x2 + 8x + 6 3. Fungsi Trigonometri Dipelajari dalam mata kuliah trigonometri 4. Fungsi Komposisi Definisi : fungsi komposisi yang dinyatakan oleh f.g didefinisi sebagai (f.g) (x) = f g (x) dengan domain f.g adalah himpunan semua x sehingga g (x) anggota domain f g f x g (x) f (g(x)) Contoh : Diberikan fungsi f (x) = x & g (x) = 2x 3 6
- 7. Tentukan : a. f (x) apabila f (x) = (f.g) (x) b. Domain f (x) Penyelesaian : a. f (x) = (f.g) (x) = f (g(x)) = 2x 3 b. Domain dari g adalah (- , ) sedangkan domain f adalah (0, ) sehingga domain dari f adalah himpunan semua bilangan real x 2x 3 0 atau x 3 3 atau ( , ) 2 2 Contoh : Diberikan fungsi f (x) = x & g (x) = x2 1 Tentukan : a. f.g b. g.f c. Domain untuk f.g & g.f Penyelesaian : a. (f.g) (x) = f (g(x)) = f (x2 1) = x2 1 b. (g.f) (x) = g (f (x)) = ( x )2 1 = x 1 c. Domain dari f.g adalah himpunan semua bilangan real x x2 1 0 atau (x - 1) (x + 1) 0 + - + -1 1 yaitu himpunan (- , ) (1, ) atau sama dengan himpunan semua x diluar (-1,1) d. Domain (g.f) adalah himpunan semua x dalam domain f yaitu x x 0 5. Fungsi Tangga (Step Function) Definisi : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x yaitu x = n, jika n x< n + 1, dengan n bilangan bulat Dari definisi di atas maka : 1 =1 -3 = -3 1,2 =1 -4,8 = -5 7
- 8. 1 =0 dst 3 Contoh : a. Gambar grafik f (x) = x b. Gambar grafik f (x) = x - x 6. Fungsi Invers Definisi : fungsi f disebut fungsi matematika (one to one) apabila untuk setiap x1 x2 maka f (x1) f (x2) Contoh : a. Diberikan fungsi f (x) = x3 dengan x R b. Diberikan fungsi f (x) = x2 dengan x R Definisi : apabila f adalah fungsi satu-satu maka invers fungsi f yang diberi simbol f-1, adalah fungsi berharga tunggal yang didefinisikan pada rangenya f dan memenuhi fungsi komposisi : F (f-1(x)) = x untuk setiap x pada rangenya f Contoh : a. Tentukan fungsi invers dari fungsi f (x) = x3 b. Tentukan fungsi invers dari y = 2x 4 c. Tentukan fungsi invers dari y = sin x pada - x 2 2 d. Tentukan fungsi invers dari f (x) = a logx 8
- 9. MODUL 2 BARISAN DAN LIMIT FUNGSI A. BARISAN Suatu barisan (sequence) dan bilangan-bilangan : a1, a2, a3, adalah susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli. Tepatnya barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah bilangan asli 1, 2, 3, Perhatikan fungsi f : N R yang dinyatakan oleh rumus f (n) = n2 f N R 1 1 2 4 3 9 4 16 . . . . . . Maka f (n) akan membentuk sebuah barisan dengan suku-suku : f (n) = a (n) dan lazim ditulis = an 2 dimana : a1 = 1 = 1 a2 = 22 = 4 a3 = 32 = 9 a4 = 42 = 16 Sehingga diperoleh barisan : a1, a2, a3, a4, atau 1, 4, 9, 16, Selanjutnya untuk menyingkat barisan tersebut cukup ditulis dengan notasi an atau n2 9
- 10. Perhatikan contoh barisan berikut : 1 1 2 3 4 (i) an dengan an = 1 - mka barisan itu adalah 0, , , , , n 2 3 4 5 1 3 2 5 7 6 (ii) bn dengan bn = 1 + (-1)n maka barisan itu adalah 0, , , , , , n 2 3 4 6 7 1 3 2 5 4 7 6 (iii) cn dengan cn = (-1)n maka barisan tersebut adalah 0, , - , , - , , - , n 2 3 4 5 6 7 (iv) dn dengan dn = 0,999 maka barisan tersebut adalah 0,999, 0,999, 0,999, 0,999, a1 a2a3 -1 0 1 b1 b3b5 b4b2 -1 0 1 c5c3 c1 c4 c2 -1 0 1 d1 d2 d3 -1 0 1 Dari contoh keempat barisan tersebut maka nampak bahwa barisan an dan bn konvergen (memusat) menuju bilangan 1 artinya bahwa : a. nilai-nilai barisan itu untuk n b akan saling mendekati 1 b. nilai-nilai untuk n akan saling mendekati Dengan demikian barisan dn akan konvergen ke 0,999 namun barisan cn tidak konvergen sebab kedua syarat tidak terpenuhi, suatu baris yang tidak konvergen disebut divergen Definisi : baris an disebut konvergen menuju bilangan atau mempunyai limit dan ditulis : Limit an = 10
- 11. n bila dan hanya bila untuk setiap bilangan > 0, terdapatlah bilangan positif N sedemikian hingga untuk n > N berlaku an - < y 0 N x n N an - < 1 Perhatikan barisan an dengan an = 1 - maka untuk n harga an 1, dan dari n gambar nilai an akan semakin berdekatan dan mendekati nilai 1, dengan demikian dapat didekatkan bahwa : Barisan an konvergen menuju 1 atau 1 Limit an = Limit (1 - ) n n n 1 =1- = 10 =1 Theorema 1. Misalkan an dan bn adalah suatu barisan yang konvergen dan k suatu konstan maka 1. Limit k=k n 2. Limit k an = k Limit an n 3. Limit (an bn) = Limit an Limit bn n n n 4. Limit (an.bn) = Limit an . Limit bn 11
- 12. n n n a Limita n 5. Limit n = , asal Limit bn 0 bn Limitb n n n Contoh : n a. Tentukan suku-suku dari an apabila an = , selidiki apakah an konvergen 2n 1 hitunglah Limit an n 1 2 3 4 b. Diketahui barisan , , , , . Tentukan rumus umum suku-suku barisan itu dan 2 3 4 5 selidiki konvergensinya 3n 2 c. Tentukan Limit 7n2 1 B. LIMIT FUNGSI Pengertian limit fungsi adalah merupakan konsep dasar dalam mempelajari matematika.Untuk itu perhatikan fungsi berikut : 2x2 x 3 f (x) = x 1 Domain dari f (x) adalah semua real x R kecuali x = 1 Akan diselidiki harga fungsi f (x) untuk mendekati 1, tetapi tidak sama dengan 1, yaitu nilai f (x) untuk x mendekati 1 dari kanan x f (x) x f(x) 0 3 2 7 0,25 3,5 1,75 6,5 0,5 4 1,5 6,0 0,75 4,5 1,25 5,5 0,9 4,8 1,1 5,2 0,99 4,98 1,01 5,02 0,999 4,9981 1,001 5,002 0,9999 4,99981 1,0001 5,0002 0,99999 4,99998 1,00001 5,00002 12
- 13. Dari kedua tabel ini nampak bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, maka nilai f (x) semakin dekat dengan 5. Perhatikan bahwa apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,0001 yaitu x = 0,9999 dan x = 1,0001 maka nilai f (x) berbedad dari 5 dengan 0,0002 yaitu f(0,9999) = 4,9998 dan f (1,0001) = 5, 0002. Demikian pula apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,00001 yaitu x = 0,99999 dan x = 1,00001 maka nilai f (x) berbeda dari 5 dengan 0,00002 yaitu f (0,99999) = 4,99998 dan f (5,00002) = 5,00002, dan seterusnya. Kenyataan ini dapatlah ditarik kesimpulan bahwa kita dapat membuat harga f(x) cukup dekat denagn 5 apabila x cukup dekat kepada 1. Denagn kata lain harga f(x) - 5 dapat dibuat sekecil mungkin, dengan membuat harga x - 1 cukup kecil. Pernyataan ini secara metematis dapat dikatakan sebagai berikut : Untuk sembarang bilangan positif yang diberikan maka terdapatlah bilangan positif >0 sedemikian hingga 0 < x - a < dan berlaku f(x) - < . Selanjutnya pengertian ini diangkat sebagai definisi limit fungsi. Definisi : bilangan disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati suatu harga a, ditulis : Limit f(x) = x a Jika untuk setiap bilangan positif yang diberikan (bagaimanapun kecilnya) dapat ditemukan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk semua harga x dimana 0 < x - a < berlaku f(x) - < . Dengan logika matematika definisi limit dapat ditulis : Limit f(x) = (A > 0)(E > 0)(Ax) x a 0< x-a < f(x) - < 13
- 14. y L+ L L- 0 a x Contoh : a. Dengan menggunakan definisi dari limit fungsi, perlihatkan bahwa lim (x2 + 1) = 2 x 1 lim b. Buktikan bahwa (x2 + 3x + 1) = 1 x 0 Teorema Limit Limit Apabila f(x) = A dan g(x) = B, maka x a x a Limit 1. c f(x) = cA c = konstanta x a Limit Limit Limit 2. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = A + B x a x a x a Limit Limit Limit 3. f(x) . g(x) = f(x) . f(x) = A . B x a x a x a Limit Limit A 4. f(x) = f(x) = , asal B 0 x a x a B Limit g(x) x a Contoh : Limit a. (2x + 3) = . x 2 14
- 15. Limit 2 b. (x 4x + 1) = . x 1 Limit x 3 c. = . x 4 x 3 Limit x 2 d. = . x 2 x 2 Limit x 4 e. 2 = . x 4 x x 12 Lim it x 3 27 f. = . x 3 x2 9 Limit ( x h) 2 x2 g. = . h 0 h Limit 3 x 3 x h. Hitunglah = . x 0 3x 3 x Limit f ( x h) f ( x) i. Diberikan f(x) = x2 3x, hitunglah h 0 h Limit f ( x h) f ( x) j. Diberikan f(x) = 5x 1 , hitunglah h 0 h Limit 4 x2 k. Hitunglah x 2 3 x2 5 Limit 3 x x 1 l. Hitunglah x 2 x( 2 x) C. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN SUATU FUNGSI Pada pembicaraan mengenai limit fungsi di atas, kita sama sekali tidak memperhatikan bagaimana cara pendekatan harga x = a, sehingga harga limit itu ada di x = a. Walaupun harg ayang didekati aalah sama, mungkin suatu fungsi mempenyai harga limit yang bebeda-beda dengan cara pendekatan yang berbeda pula. Untuk hal yang demikian kita mengenal dua macam limit : 1. Limit Kiri 15
- 16. Limit kiri f(x) untuk y mendekati a (harga a didekati oleh x dari kiri), ditulis : Lim it Limit f(x) = f(x) x a x a 2. Limit Kanan Limit kanan f(x) untuk x mendekati a (harga a didekati oleh x dari kanan), ditulis : Lim it Limit f(x) = f(x) x a x a Definisi : bilangan L disebut limit kiri dari fungsi f(x) untuk x mendekati a, apabila untuk setiap > 0 yang diberikan, terdapatlah > 0, sedemikian hingga untuk semua x di mana a - < x < a, berlaku f(x) - L < Tentu saja definisi limit kanan analog Sebagai contoh diambil fungsi f(x) = x untuk x 2 x+1 untuk x > 2 y 0 2 x y=x Limit Diselidiki f(x) x 2 Dipandang untuk x mendekati 2 dari kanan, maka : Limit f(x) x 2 dst. 16