際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Modultheoremapythagorasmulyati 111218200849-phpapp02

D
Delita Nusantara

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang dua sisi siku-sikunya. Teorema ini ditemukan oleh matematikawan Yunani bernama Pythagoras dan sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti konstruksi bangunan.

1 of 21
Downloaded 80 times
Pythagoras of Samos, Sumber: www.arcitech.org
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 1 TEOREMA PYTHAGORAS Di lingkungan sekitarmu, kalian sering melihat berbagai jenis segitiga dan segitiga siku-siku digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagian besar penggunaan segitiga digunakan pada bangunan, misalnya atap rumah sebagian besar terbuat dari berbagai jenis segitiga. Pada gambar di samping, kalian bias melihat bahwa sebagian besar tembok dan atapnya terbuat dari berbagai bentuk bangun datar seperti persegi panjang, jajar genjang dan segitiga, khususnya segitiga siku-siku dan segitiga sama sisi. Kalian melihat bahwa puncak atap bangunan tersebut terbuat dari segitiga sama sisi. Jika ditarik garis tegak lurus dari puncak atapnya, maka terbentuk dua buah segitiga siku-siku, sehingga merupakan penerapan Teorema Pythagoras juga. Dengan demikian dapat dihitung ukuran-ukuran bangunan tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa Teorema Pythagoras sangat berperan dan tidak akan pernah lepas dari kehidupan kita sehari-hari. Sumber: http://xaej806.wordpress.com A. Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan Di kelas VII kalian telah mempelajari tentang kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan. Untuk memudahkan pemahaman dalam mempelajari materi Teorema Pythagoras ini kalian diingatkan kembali tentang kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan. Jika a suatu bilangan, maka kuadrat dari a adalah a2 = a x a. Misalnya 22 = 2 x 2 = 4. Sedangkan akar kuadrat (akar pangkat dua dari suatu bilangan adalah invers (kebalikan) dari kuadrat suatu bilangan. Jika a x a = b, untuk a > 0, maka akar kuadrat b ditulis b = a atau b 2 1 Agar tidak rancu biasanya tanda akar ( ) dimaksudkan sebagai akar positif. Hasil dari x adalah bilangan positif, sedangkan - x hasilnya bilangan negatif. Misalnya: 25 = 5 dan - 25 = -5. Akar bilangan negatif adalah tidak didefinisikan. Misalnya = 4 tidak didefinisikan. Contoh 5.1: 1. 62 = 6 x 6 = 36 maka 36 = 6 dan - 36 = - 6 2. (0,2)2 = 0,2 x 0,2 = 0,04 maka = 0,04 = 0,2 dan 0,04 = -0,2 Kalian dapat melihat penggunaan Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari lainnya di: http://blog.lib.umn.edu, dan http://airbornecombatengineer.typepad.com
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 2 B. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-siku 1. Luas persegi Perhatikan gambar di samping Luas suatu persegi dengan sisi s adalah: L = sisi x sisi = s2 Contoh 5.2: Tentukan luas persegi jika sisinya = 2 2 cm! Jawab: L = s2 = (2 2 )2 = 4 x 2 = 8 cm2 2. Luas segitiga siku-siku Perhatikan gambar di samping. Gambar di samping adalah persegi ABCD dengan panjang p dan lebar l, maka: Luas daerah ABCD = Luas ABC + Luas ADC = 2 x Luas ABC Atau luas ABC = 2 1 x luas daerah ABCD = 2 1 x (p x l) = 2 1 pl Luas segitiga dapat ditulis: L = 2 1 x alas x tinggi Luas segitiga siku-siku: L = 2 1 x hasil kali sisi siku-sikunya. Contoh 5.3: Hitunglah luas PQR jika PQ = 8 cm dan PR = 6 cm! Jawab: Luas PQR = 2 1 x PQ x PR = 2 1 x 8 x 6 = 24 cm2
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 3 C. Teorema Pythagoras 1. Menemukan Teorema Pythagoras Pada kertas berpetak gambarlah segitiga PQR siku-siku di P dengan panjang PQ = 2 satuan mendatar dan panjang PR = 2 satuan tegak. Kemudian gambarlah suatu persegi pada sisi PQ, sisi PR dan sisi QR dan berilah nama persegi I dan persegi II, dan III. Kemudian pada persegi III, bagilah menjadi 5 bagian terdiri 4 buah segitiga siku-siku yang berukuran sama dengan segitiga PQR seperti nampak pada gambar di samping. Berdasarkan gambar tersebut, nampak bahwa: Luas daerah persegi I = 3 x 3 = 9 satuan luas Luas daerah persegi II = 2 x 2 = 4 satuan luas Luas daerah persegi III = 4 x Luas segitiga kuning + 1 buah persegi hitam = 4 x ( 2 1 x 2 x 3) + 1 = 13 satuan luas Berdasarkan gambar diperoleh: Luas daerah persegi III = Luas daerah persegi I + Luas daerah persegi II Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi pada dua sisi siku-sikunya. Pembuktian di atas juga dapat dilakukan dengan cara lain. Perhatikan gambar di samping! Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa sebuah persegi besar tersusun dari sebuah persegi kecil ditambah 4 buah segitiga siku-siku PQR. Persegi besar panjang sisinya = (a + b) satuan panjang. Persegi kecil panjang sisinya = c satuan panjang. Segitiga siku-siku PQR panjang sisi siku-sikunya masing- masing a satuan dan b satuan. Dengan demikian: Luas persegi besar = (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Luas persegi kecil = c x c = c2 Luas 4 buah PQR = 4 x Luas PQR = 4 x 2 1 x a x b = 2ab
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 4 TANTANGAN Perhatikan gambar di samping! Gambar tersebut adalah sebuah trapezium yang terdiri dari 6 buah segitiga siku-siku. Dengan teman semejamu, cobalah tunjukkan bahwa dalam trapezium tersebut berlaku Teorema Pythagoras! Berdasarkan gambar di atas, maka: Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 x Luas daerah PQR a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + 2ab + b2 2ab = c2 + 2ab 2ab a2 + b2 = c2 Dengan demikian dapat disimpulkan: Jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku sama dengan luas daerah persegi pada sisi miring segitiga siku-siku tersebut. Pernyataan tersebut dinamakan Teorema Pythagoras, karena ditemukan oleh seorang ahli matematika bangsa Yunani yang bernama Pythagoras. Terorema Pythagoras dapat dinyatakan dengan gambar berikut: Contoh 5.4 Perhatikan gambar di samping! Gambar tersebut adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya masing-masing x satuan, y satuan, dan z satuan. Nyatakan panjang sisi-sisinya dengan Rumus Pythagoras! Untuk setiap siku-siku PQR, dengan panjang sisi siku-siku PQ = a satuan dan PR = b satuan, dan panjang sisi miringnya QR = c satuan, berlaku: QR2 = PQ2 + PR2 atau c2 = a2 + b2 Dapat diturunkan menjadi: PQ2 = QR2 - PR2 atau a2 = c2 b2 dan PR2 = QR2 - PQ2 atau b2 = c2 a2 Kalian dapat menemukan pembuktian Teorema Pythagoras lainnya di: http://jwilson.coe.uga.edu dan www.amazon.com
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 5 Jawab: Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, dengan: Panjang sisi miring = x satuan, panjang sisi siku-sikunya = y satuan dan z satuan. Sehingga berlaku: Kuadrat panjang sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. x2 = y2 + z2 atau y2 = x2 - z2 dan z2 = x2 y2 . 2. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung Panjang Sisi Segitiga Siku- siku Jika Panjang Dua Sisi Lainnya Diketahui. Teorema Pythagoras dapt digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi dari segitiga siku-siku, jika panjang dua sisi lainnya diketahui. Contoh 5.5 a. Hitunglah nilai a pada gambar di bawah ini! Jawab: a2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 a = 289 = 17 cm b. Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini! Jawab: x2 = 102 82 = 100 64 = 36 x = 36 = 6 cm Kegiatan Siswa 5.1 Berdasarkan gambar di sampingnya isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang benar menggunakan Teorema Pythagoras! 1. a2 = 92 + = 81 + a = ... = 2. x2 = 482 x = 2 48... = ... =
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 6 3. p2 + = 52 p2 = ... 25 p = ... = 4. AB2 = (2,5)2 AB = ... = cm Luas ABC = 2 1 x BC x = 2 1 x 1,5 x = cm2 5. + x2 = x2 = ... 160 x = ... = cm Tugas 5.1 A. Tentukan benar (B) atau salah (S) pernyataan berikut! 1. x2 = z2 + y2 ( ) 2. r2 = p2 + q2 ( ) 3. a = 20 ( )
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 7 4. Luas PQR = 84 cm2 , maka QR = 45 cm. ( ) 5. PQR sama sisi. Jika PQ = 10 cm, luas PQR = 50 3 cm2 . ( ) B. Pasangkan gambar segitiga di lajur kiri dengan jawaban yang benar di lajur kanan! 1. ( ) a. 8 2. ( ) b.10,25 3. ( ) c. 10 4. ( ) d. 10 2 5. ( ) e. 6 5
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 8 C. Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Diketahui persegi PQRS dengan panjang sisi PQ = x cm dan panjang diagonal PR = 8 2 cm. a. Sketsalah persegi tersebut! b. Hitunglah panjang sisinya! 2. Hitunglah nilai p pada gambar di bawah ini! a). b). c). 3. Tinggi suatu segitiga sama sisi adalah 15 cm. Tentukan panjang sisi segitiga tersebut! 4. Suatu segitiga ABC siku-siku di A dan panjang sisinya 34 cm, 30 cm, dan 16 cm. Tentukan luas segitiga ABC tersebut! 5. Hitunglah nilai x dan y pada gambar di bawah ini! D. Kebalikan Teorema Pythagoras 1. Segitiga siku-siku Suatu ABC dengan panjang sisi AB adalah c, panjang sisi BC adalah a, dan panjang sisi AC adalah b. Jika berlaku hubungan c2 = a2 + b2 , maka sudut C adalah sudut siku-siku. Sudut C adalah sudut di depan sisi AB, yaitu sisi yang terpanjang. Tiga bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras disebut tigaan Pythagoras atau tripel Pythagoras. Tiga bilangan, yaitu 5, 12, dan 13 merupakan tripel Pythagoras karena memenuhi teorema Pythagoras; 132 = 52 + 122 . Contoh 5.6: Pada ABC ditentukan panjang sisi AB = 15 cm, AC = 9 cm, dan BC = 12 cm. Buktikan bahwa ABC siku-siku!
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 9 Jawab: AB2 = 152 = 225 AC2 + BC2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 Dengan demikian AB2 = AC2 + BC2 , sehingga ABC siku-siku di titik C. 2. Segitiga tumpul Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi terpanjang. Jika terdapat hubungan c2 > b2 + a2 , maka ABC tersebut adalah segitiga tumpul. Contoh 5.7: Pada PQR, sisi PQ = 6 cm, QR = 8 cm, dan PR = 4 cm. Selidiki bahwa PQR segitiga tumpul! Jawab: Sisi terpanjang adalah QR, yaitu 8 cm, berarti QR2 = 82 = 64. Sisi yang lain adalah PQ dan PR, berarti PQ2 + PR2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52. QR2 > PQ2 + PR2 berarti kuadrat sisi terpanjang > jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Jadi, PQR adalah segitiga tumpul. 3. Segitiga lancip Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi terpanjang. Jika terdapat hubungan c2 < b2 + a2 , maka ABC tersebut adalah segitiga lancip. Contoh 5.8: Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 7 cm, dan 8 cm. Tunjukkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga lancip! Jawab: Sisi terpanjang adalah c = 8 cm, maka c2 = 82 = 64 a2 + b2 = 62 + 72 = 36 + 49 = 85 Karena c2 < b2 + a2 , maka segitiga tersebut segitiga lancip. Pada sebuah segitiga dengan panjang sisi-sisinya a satuan, b satuan dan c satuan, di mana c adalah sisi yang terpanjang berlaku: c2 = a2 + b2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku c2 > a2 + b2 maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul c2 < a2 + b2 maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 10 E. Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang dapat digunakan sebagai ukuran panjang sisi segitiga siku-siku jika menggunakan satuan panjang yang sama. Contoh 5.9: Di antara 3 bilangan berikut, manakah yang merupakan tripel Pythagoras? 1. 8, 15, dan 17 2. 2, 3, 5 Jawab: 1. Panjang sisi terpanjang = 17 172 = 289 Panjang sisi-sisi lainnya = 8 dan 15 82 + 152 = 64 + 225 = 289 Karena 82 + 152 = 172 , maka 8, 15 dan 17 merupakan Tripel Pythagoras. 2. Panjang sisi terpanjang = 5 52 = 25 Panjang sisi-sisi lainnya = 2 dan 3 22 + 32 = 4 + 9 = 13 Karena 22 + 32 42 , maka 2, 3 dan 5 bukan merupakan Tripel Pythagoras. Kegiatan Siswa 5.2 1. Di antara pasangan bilangan dari panjang sisi-sisi segitigaberikut, tunjukkan manakah yang merupakan segitiga siku-siku, lancip dan tumpul. a. 7 cm, 24 cm, 25 cm c. 2 2 1 cm, 6 cm, 6 2 1 cm b. 5 cm, 6 cm, dan 7 cm d. 1 m, 3 m, 5 m Jawab: a. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 = ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ................... b. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 < ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ................... c. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 = ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ................... d. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 > ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ...................
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 11 2. Di antara pasangan-pasangan bilangan berikut, manakah yang merupakan Tripel Pythagoras? a. 12, 16, 20 c. 18, 24, 20 b. 6, 8, 9 d. 1, 3 , 2 Jawab: a. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 = ......2 , maka 12, 16, 20 merupakan Tripel Pythagoras. b. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 ......2 , maka 6, 8, 9 ......................... Tripel Pythagoras. c. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 = ......2 , maka 18, 24, 20 ....................... Tripel Pythagoras. d. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 = ......2 , maka 1, 3 , 2 ....................... Tripel Pythagoras. F. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung Panjang Sisi-sisi Segitiga siku- siku dengan Sudut Khusus 1. Segitiga siku-siku dengan salah satu sudut 45o Segitiga di di samping adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga: AB = AC, ABC = ACB = 45o . Jika AB = 1 satuan, maka: BC2 = AB2 + AC2 = 12 + 12 = 2 BC = 2 Dari hasil di atas, dapat dibuat perbandingan sebagai berikut: Perbandingan sisi di hadapan sudut 90o dan sisi di hadapan 45o adalah 2 : 1 atau BC : AB : AC = 2 : 1 : 1 Contoh 5.9: Diketahui KLM siku-siku M. Jika panjang KL = 8 2 , hitunglah panjang KM!
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 12 Jawab: KM : KL = 1 : 2 KM : 8 2 = 1 : 2 2 KM = 8 2 KM = 2 28 = 8. Jadi panjang KM adalah 8 cm. 2. Segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 30o atau 60o Pada segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 30o atau 60o , panjang sisi miringnya adalah 2 kali sisi terpendek dan panjang sisi lainnya 3 kali sisi terpendek. Perhatikan gambar di samping! Dari gambar di samping, diperoleh: BC : AB : AC = a : a 3 : 2a = 1 : 3 : 2 Contoh 5.10: Pada PQR diketahui Q = 60o dan R = 30o . Jika panjang QR = 12 cm, maka tentukan panjang PR dan PQ! Jawab: PR : QR = 3 : 1 PR : 12 = 3 : 1 PR = 12 3 cm PQ : QR = 2 : 1 PQ : 12 = 2 : 1 PQ = 24 cm Jadi, panjang PR = 12 3 cm dan panjang PQ = 24 cm. Kegiatan Siswa 5.3 1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 13 cm, 12 cm, dan 5 cm. Misal sisi terpanjang adalah a = 13 cm, maka sisi yang lain adalah b = 12 cm dan c = 5 cm. a2 = 132 = b2 + c2 = + 52 = + 25 = Segitiga tersebut adalah segitiga . 2. Suatu segitiga dengan sisi 9 cm, 10 cm, dan 12 cm. a = a2 = b2 + c2 = 102 + = 100 + = Segitiga tersebut adalah segitiga .
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 13 3. Llihat gambar disamping! a. AC : BC = 1 : AC : = 1 : 2AC = AC = b. AB : BC = : 2 AB : = : 2 2AB = AB = 4. Lihat gambar disamping! PR : PQ = 2 : : PQ = 2 : 2 PQ = x 1 PQ = 2 ... PQ = 5. Lihat gambar disamping! a. KL : KM = 3 : : KM = 3 3 KM = KM = b. LM : KL = 2 : LM : = 2 : 3 LM = 2 x LM = Latihan Soal 5.2 A. Tentukan benar (B) atau salah (S) pernyataan di bawah ini! 1. a = 12 cm ( ) 2. DEF dengan DF = 7 cm, EF = 8 cm, dan DE = 10 cm, maka DEF tumpul. ( )
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 14 3. Segitiga dengan sisi 10 cm, 20 cm, dan 25 cm adalah segitiga tumpul. ( ) 4. BC = 10 ( ) 5. Pasangan sisi 20, 21, dan 29 adalah tripel Pythagoras. ( ) B. Jodohkan segitiga di lajur kiri dengan nilai x di lajur kanan! 1. ( ) a. 5 2 ( ) b. 24 3. ( ) c. 8 2 4. ( ) d. 8 3 5. ( ) e.9 3
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 15 C. Jawablah soal-soal di bawah ini! 1. Dalam ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 16 cm, dan AC = 18 cm. Tunjukkan bahwa ABC merupakan segitiga lancip? 2. Pada segitiga di samping ini, hitung panjang KL dan LM! 3. Gambarlah ABC dengan B = 90o , A = 60o , dan panjang BC = 6 3 cm. Hitunglah panjang AB dan AC! 4. Gambar di samping adalah trapesium sama kaki ABCD. Hitung: a. panjang BC b. keliling ABCD c. panjang AC 5. Perhatikan gambar di samping ini! a. Berapa besar BAD dan CAD? b. Berapa cm panjang AB dan AD? c. Berapa cm panjang AC G. Penerapan Teorema Pythagoras dalam Kehidupan Sehari-hari Contoh 5.9: Sebuah kapal berlayar dari suatu pelabuhan sejauh 8 km ke utara, kemudian 6 km ke arah timur. Berapakah jarak kapal dari pelabuhan? Jawab: PT2 = PU2 + UT2 PT2 = 82 + 62 PT2 = 64 + 36 PT2 = 100 PT = 10 km Jadi, jarak kapal dari pelabuhan adalah 10 km.
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 16 Latihan Soal 5.3 1. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar di dinding. Tinggi dinding sampai ujung tangga 4 m, tentukan jarak ujung bawah tangga dengan dinding! 2. Tanah Pak Tedy berbentuk persegi. Keliling tanah tersebut 320 m. Hitung jarak dari satu titik sudut ke sudut di hadapannya! 3. Kebun Tomi berbentuk segitiga siku-siku sama kaki. Jika luas kebun tersebut 50 cm2 , hitung panjang sisi-sisinya! 4. Sebuah helikopter terbang sejauh 120 km ke arah selatan, kemudian melanjutkan perjalanan sejauh 160 km ke arah timur. Berapakah jarak helikopter tersebut dari tempat semula? 5. Seorang arsitek meneropong puncak sebuah gedung dengan sudut 30o . Jika jarak arsitek dengan dasar gedung 60 m, tentukan tinggi gedung tersebut! UJI MOMPETENSI HARIAN 5 A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c atau d pada jawaban yang benar! 1. Sebuah segitiga siku-siku panjang sisi siku-sikunya masing-masing 6 cm dan 8 cm. Luas segitiga tersebut adalah . a. 48 cm2 c. 12 cm2 b. 24 cm2 d. 96 cm2 2. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di A. Jika AB = 8 cm dan AC = 15 cm, maka panjang BC adalah . a. 9 cm c. 13 cm b. 12 cm d. 17 cm 3. Luas persegi pada sisi XZ adalah . a. 6,25 cm2 c. 2 cm2 b. 2,25 cm2 d. 4 cm2 4. Suatu persegi panjang dengan ukuran 6 cm x 8 cm, maka panjang diagonalnya adalah . a. 16 cm c. 12 cm b. 14 cm d. 10 cm 5. Dari gambar berikut, nilai x adalah . a. 10 cm c. 20 cm b. 200 cm d. 5 cm 6. Sebuah persegi panjang ABCD, panjang AB = 24 cm dan panjang diagonal AC = 30 cm, maka panjang BC adalah . a. 21 cm c. 16 cm b. 20 cm d. 18 cm 7. Pada ABC di bawah, AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Panjang garis tinggi AD adalah . a. 10 cm c. 1,5 cm b. 15 cm d. 4,8 cm
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 17 8. Pada segitiga ABC berlaku AC2 = BC2 AB2 , maka segitiga ABC tersebut adalah segitiga . a. siku-siku di A c. siku-siku di C b. siku-siku di B d. lancip 9. PQR siku-siku di R. Jika panjang sisi PQ = 29 cm dan QR = 21 cm, maka panjang sisi PR adalah . a. 7,1 cm c. 20 cm b. 8 cm d. 35,8 cm 10. Tinggi jajar genjang DE adalah . a. 9 cm c. 15 cm b. 12 cm d. 18 cm 11. Suatu persegi panjang dengan ukuran panjang 15 cm dan panjang diagonalnya 17 cm. Luas persegi panjang itu adalah cm2 . a. 160 c. 60 b. 120 d. 30 12. Panjang AD pada gambar di bawah adalah . a. 8 cm c. 10 cm b. 9 cm d. 12 cm 13. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang kebun 12 m. Jika diagonal kebun 13 m, maka keliling kebun tersebut adalah . a. 25 m c. 34 m b. 50 m d. 36 m 14. Sebuah segitiga siku-siku sama kaki, hipotenusanya 20 cm. Panjang sisi siku- sikunya adalah . a. 20 cm c. 10 2 cm b. 20 2 cm d. 10 cm 15. Panjang BC pada gambar di bawah adalah . a. 3 cm c. 5 cm b. 4 cm d. 6 cm 16. Jika panjang sisi segitiga sama kaki adalah 25 cm dan tinggi segitiga tersebut 24 cm, maka luas segitiga tersebut adalah . a. 336 cm2 c. 168 cm2 b. 350 cm2 d. 175 cm2 17. Jika keliling belah ketupat di bawah adalah 60 cm dan panjang diagonal QS = 24 cm, maka panjang diagonal PR adalah . a. 36 cm c. 12 cm b. 18 cm d. 9 cm
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 18 18. Sebuah segitiga sama sisi panjang sisinya 10 cm. Luas segitiga tersebut adalah . a. 25 3 cm2 c. 5 3 cm2 b. 25 2 cm2 d. 5 2 cm2 19. Pasangan sisi-sisi berikut merupakan segitiga siku-siku, kecuali . a. 8 mm, 15 mm, dan 17 mm b. 2 m, 3 m, 5 m c. 3 cm, 5 cm, 34 cm d. 3,5 dm; 12 dm; dan 12,5 dm 20. Diketahui segitiga dengan ukuran-ukuran sebagai berikut: a. 3 cm, 4 cm, 5 cm b. 5 cm, 6 cm, 7 cm c. 6 cm, 8 cm, 12 cm d. 7 cm, 9 cm, 11 cm 21. Berdasarkan ukuran-ukuran tersebut yang dapat membentuk segitiga lancip adalah . a. (i) dan (ii) c. (ii) dan (iv) b. (ii) dan (iii) d. (iii) dan (iv) 22. Persegi ABCD mempunyai diagonal AC = 15 2 cm, maka luas persegi adalah . a. 60 cm2 c. 225 cm2 b. 75 cm2 d. 450 cm2 23. Nilai x dari gambar di bawah ini adalah . a. 7 b. 6 c. 5 d. 4 24. Dari sebuah segitiga siku-siku, hipotenusanya 4 3 cm dan salah satu sisi siku-sikunya 2 2 cm, maka panjang sisi siku-siku yang lain adalah . a. 2 10 cm c. 4 2 cm b. 3 5 cm d. 3 6 cm 25. Jika p, 12, dan 13 adalah tripel Pythagoras, maka nilai p adalah . a. 2 b. 5 c. 7 d. 10 26. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang sisi AB = 12 cm, AC = 4x cm, dan BC = 5x cm. Luas ABC adalah cm2 . a. 48 b. 96 c. 100 d. 128 27. Pernyataan yang salah dari gambar di bawah ini adalah . a. panjang BD = 9 cm b. panjang AC = 20 cm c. luas ABC = 125 cm2 d. ABC siku-siku 28. Segitiga sama kaki panjang hipotenusanya adalah 8 cm, maka luas segitiga tersebut adalah cm2 . a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 29. Segitiga PQR siku-siku di R. Jika Q = 60o dan panjang sisi QR = 8 cm, maka panjang sisi PQ adalah . a. 10 cm c. 14 cm b. 12 cm d. 16 cm
______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 19 30. Segitiga KLM siku-siku dengan K = 45o . Jika panjang sisi miringnya 8 cm, maka panjang sisi LM adalah . a. 8 cm c. 4 cm b. 6 cm d. 2 cm 31. Danu berjalan ke arah timur sejauh 6 km. Setelah sampai, ia berjalan lagi ke utara sejauh 8 km. Jarak yang ditempuh Danu sekarang dari tempat semula adalah . a. 10 km c. 14 km b. 12 km d. 16 km B. Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Pada gambar di bawah ini, carilah panjang x, y, dan z! 2. Dari KLM di bawah, hitung panjang: a. KM b. ML 3. Ditentukan segitiga dengan panjang sisinya seperti berikut ini. Manakah yang merupakan segitiga siku-siku, segitiga tumpul, dan segitiga lancip? a. 8 cm, 10 cm, 15 cm b. 9 cm, 15 cm, 16 cm c. 5 cm, 6 cm, 8 cm d. 8 cm, 15 cm, 17 cm 4. Perhatikan gambar di bawah ini! Hitung panjang: a. AC b. BD c. AB 5. Diketahui belah ketupat PQRS dengan TPS = 30o dan panjang PT = 10 3 cm. Hitung: a. panjang PS b. keliling PQRS c. luas PQRS
PENGAYAAN Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Hitunglah panjang x pada gambar di bawah ini! 2. Pada gambar di samping ini, tentukan: a. panjang PS b. panjang PQ c. panjang QS 3. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4a cm dan 3a cm. Jika panjang hipotenusanya 20 cm, tentukan keliling segitiga tersebut! 4. Berapakah luas segitiga KLM pada gambar di bawah ini? 5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A sejauh 180 km ke pelabuhan B dengan arah 045o kemudian dilanjutkan berlayar sejauh 240 km ke pelabuhan C dengan arah 135o . b. Sketsalah perjalanan kapal tersebut! c. Tentukan jarak dari pelabuhan A ke C!

More Related Content

Modultheoremapythagorasmulyati 111218200849-phpapp02

  • 1. Pythagoras of Samos, Sumber: www.arcitech.org
  • 2. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 1 TEOREMA PYTHAGORAS Di lingkungan sekitarmu, kalian sering melihat berbagai jenis segitiga dan segitiga siku-siku digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagian besar penggunaan segitiga digunakan pada bangunan, misalnya atap rumah sebagian besar terbuat dari berbagai jenis segitiga. Pada gambar di samping, kalian bias melihat bahwa sebagian besar tembok dan atapnya terbuat dari berbagai bentuk bangun datar seperti persegi panjang, jajar genjang dan segitiga, khususnya segitiga siku-siku dan segitiga sama sisi. Kalian melihat bahwa puncak atap bangunan tersebut terbuat dari segitiga sama sisi. Jika ditarik garis tegak lurus dari puncak atapnya, maka terbentuk dua buah segitiga siku-siku, sehingga merupakan penerapan Teorema Pythagoras juga. Dengan demikian dapat dihitung ukuran-ukuran bangunan tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa Teorema Pythagoras sangat berperan dan tidak akan pernah lepas dari kehidupan kita sehari-hari. Sumber: http://xaej806.wordpress.com A. Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan Di kelas VII kalian telah mempelajari tentang kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan. Untuk memudahkan pemahaman dalam mempelajari materi Teorema Pythagoras ini kalian diingatkan kembali tentang kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan. Jika a suatu bilangan, maka kuadrat dari a adalah a2 = a x a. Misalnya 22 = 2 x 2 = 4. Sedangkan akar kuadrat (akar pangkat dua dari suatu bilangan adalah invers (kebalikan) dari kuadrat suatu bilangan. Jika a x a = b, untuk a > 0, maka akar kuadrat b ditulis b = a atau b 2 1 Agar tidak rancu biasanya tanda akar ( ) dimaksudkan sebagai akar positif. Hasil dari x adalah bilangan positif, sedangkan - x hasilnya bilangan negatif. Misalnya: 25 = 5 dan - 25 = -5. Akar bilangan negatif adalah tidak didefinisikan. Misalnya = 4 tidak didefinisikan. Contoh 5.1: 1. 62 = 6 x 6 = 36 maka 36 = 6 dan - 36 = - 6 2. (0,2)2 = 0,2 x 0,2 = 0,04 maka = 0,04 = 0,2 dan 0,04 = -0,2 Kalian dapat melihat penggunaan Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari lainnya di: http://blog.lib.umn.edu, dan http://airbornecombatengineer.typepad.com
  • 3. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 2 B. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-siku 1. Luas persegi Perhatikan gambar di samping Luas suatu persegi dengan sisi s adalah: L = sisi x sisi = s2 Contoh 5.2: Tentukan luas persegi jika sisinya = 2 2 cm! Jawab: L = s2 = (2 2 )2 = 4 x 2 = 8 cm2 2. Luas segitiga siku-siku Perhatikan gambar di samping. Gambar di samping adalah persegi ABCD dengan panjang p dan lebar l, maka: Luas daerah ABCD = Luas ABC + Luas ADC = 2 x Luas ABC Atau luas ABC = 2 1 x luas daerah ABCD = 2 1 x (p x l) = 2 1 pl Luas segitiga dapat ditulis: L = 2 1 x alas x tinggi Luas segitiga siku-siku: L = 2 1 x hasil kali sisi siku-sikunya. Contoh 5.3: Hitunglah luas PQR jika PQ = 8 cm dan PR = 6 cm! Jawab: Luas PQR = 2 1 x PQ x PR = 2 1 x 8 x 6 = 24 cm2
  • 4. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 3 C. Teorema Pythagoras 1. Menemukan Teorema Pythagoras Pada kertas berpetak gambarlah segitiga PQR siku-siku di P dengan panjang PQ = 2 satuan mendatar dan panjang PR = 2 satuan tegak. Kemudian gambarlah suatu persegi pada sisi PQ, sisi PR dan sisi QR dan berilah nama persegi I dan persegi II, dan III. Kemudian pada persegi III, bagilah menjadi 5 bagian terdiri 4 buah segitiga siku-siku yang berukuran sama dengan segitiga PQR seperti nampak pada gambar di samping. Berdasarkan gambar tersebut, nampak bahwa: Luas daerah persegi I = 3 x 3 = 9 satuan luas Luas daerah persegi II = 2 x 2 = 4 satuan luas Luas daerah persegi III = 4 x Luas segitiga kuning + 1 buah persegi hitam = 4 x ( 2 1 x 2 x 3) + 1 = 13 satuan luas Berdasarkan gambar diperoleh: Luas daerah persegi III = Luas daerah persegi I + Luas daerah persegi II Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi pada dua sisi siku-sikunya. Pembuktian di atas juga dapat dilakukan dengan cara lain. Perhatikan gambar di samping! Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa sebuah persegi besar tersusun dari sebuah persegi kecil ditambah 4 buah segitiga siku-siku PQR. Persegi besar panjang sisinya = (a + b) satuan panjang. Persegi kecil panjang sisinya = c satuan panjang. Segitiga siku-siku PQR panjang sisi siku-sikunya masing- masing a satuan dan b satuan. Dengan demikian: Luas persegi besar = (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Luas persegi kecil = c x c = c2 Luas 4 buah PQR = 4 x Luas PQR = 4 x 2 1 x a x b = 2ab
  • 5. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 4 TANTANGAN Perhatikan gambar di samping! Gambar tersebut adalah sebuah trapezium yang terdiri dari 6 buah segitiga siku-siku. Dengan teman semejamu, cobalah tunjukkan bahwa dalam trapezium tersebut berlaku Teorema Pythagoras! Berdasarkan gambar di atas, maka: Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 x Luas daerah PQR a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + 2ab + b2 2ab = c2 + 2ab 2ab a2 + b2 = c2 Dengan demikian dapat disimpulkan: Jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku sama dengan luas daerah persegi pada sisi miring segitiga siku-siku tersebut. Pernyataan tersebut dinamakan Teorema Pythagoras, karena ditemukan oleh seorang ahli matematika bangsa Yunani yang bernama Pythagoras. Terorema Pythagoras dapat dinyatakan dengan gambar berikut: Contoh 5.4 Perhatikan gambar di samping! Gambar tersebut adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya masing-masing x satuan, y satuan, dan z satuan. Nyatakan panjang sisi-sisinya dengan Rumus Pythagoras! Untuk setiap siku-siku PQR, dengan panjang sisi siku-siku PQ = a satuan dan PR = b satuan, dan panjang sisi miringnya QR = c satuan, berlaku: QR2 = PQ2 + PR2 atau c2 = a2 + b2 Dapat diturunkan menjadi: PQ2 = QR2 - PR2 atau a2 = c2 b2 dan PR2 = QR2 - PQ2 atau b2 = c2 a2 Kalian dapat menemukan pembuktian Teorema Pythagoras lainnya di: http://jwilson.coe.uga.edu dan www.amazon.com
  • 6. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 5 Jawab: Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, dengan: Panjang sisi miring = x satuan, panjang sisi siku-sikunya = y satuan dan z satuan. Sehingga berlaku: Kuadrat panjang sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. x2 = y2 + z2 atau y2 = x2 - z2 dan z2 = x2 y2 . 2. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung Panjang Sisi Segitiga Siku- siku Jika Panjang Dua Sisi Lainnya Diketahui. Teorema Pythagoras dapt digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi dari segitiga siku-siku, jika panjang dua sisi lainnya diketahui. Contoh 5.5 a. Hitunglah nilai a pada gambar di bawah ini! Jawab: a2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 a = 289 = 17 cm b. Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini! Jawab: x2 = 102 82 = 100 64 = 36 x = 36 = 6 cm Kegiatan Siswa 5.1 Berdasarkan gambar di sampingnya isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang benar menggunakan Teorema Pythagoras! 1. a2 = 92 + = 81 + a = ... = 2. x2 = 482 x = 2 48... = ... =
  • 7. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 6 3. p2 + = 52 p2 = ... 25 p = ... = 4. AB2 = (2,5)2 AB = ... = cm Luas ABC = 2 1 x BC x = 2 1 x 1,5 x = cm2 5. + x2 = x2 = ... 160 x = ... = cm Tugas 5.1 A. Tentukan benar (B) atau salah (S) pernyataan berikut! 1. x2 = z2 + y2 ( ) 2. r2 = p2 + q2 ( ) 3. a = 20 ( )
  • 8. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 7 4. Luas PQR = 84 cm2 , maka QR = 45 cm. ( ) 5. PQR sama sisi. Jika PQ = 10 cm, luas PQR = 50 3 cm2 . ( ) B. Pasangkan gambar segitiga di lajur kiri dengan jawaban yang benar di lajur kanan! 1. ( ) a. 8 2. ( ) b.10,25 3. ( ) c. 10 4. ( ) d. 10 2 5. ( ) e. 6 5
  • 9. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 8 C. Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Diketahui persegi PQRS dengan panjang sisi PQ = x cm dan panjang diagonal PR = 8 2 cm. a. Sketsalah persegi tersebut! b. Hitunglah panjang sisinya! 2. Hitunglah nilai p pada gambar di bawah ini! a). b). c). 3. Tinggi suatu segitiga sama sisi adalah 15 cm. Tentukan panjang sisi segitiga tersebut! 4. Suatu segitiga ABC siku-siku di A dan panjang sisinya 34 cm, 30 cm, dan 16 cm. Tentukan luas segitiga ABC tersebut! 5. Hitunglah nilai x dan y pada gambar di bawah ini! D. Kebalikan Teorema Pythagoras 1. Segitiga siku-siku Suatu ABC dengan panjang sisi AB adalah c, panjang sisi BC adalah a, dan panjang sisi AC adalah b. Jika berlaku hubungan c2 = a2 + b2 , maka sudut C adalah sudut siku-siku. Sudut C adalah sudut di depan sisi AB, yaitu sisi yang terpanjang. Tiga bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras disebut tigaan Pythagoras atau tripel Pythagoras. Tiga bilangan, yaitu 5, 12, dan 13 merupakan tripel Pythagoras karena memenuhi teorema Pythagoras; 132 = 52 + 122 . Contoh 5.6: Pada ABC ditentukan panjang sisi AB = 15 cm, AC = 9 cm, dan BC = 12 cm. Buktikan bahwa ABC siku-siku!
  • 10. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 9 Jawab: AB2 = 152 = 225 AC2 + BC2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 Dengan demikian AB2 = AC2 + BC2 , sehingga ABC siku-siku di titik C. 2. Segitiga tumpul Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi terpanjang. Jika terdapat hubungan c2 > b2 + a2 , maka ABC tersebut adalah segitiga tumpul. Contoh 5.7: Pada PQR, sisi PQ = 6 cm, QR = 8 cm, dan PR = 4 cm. Selidiki bahwa PQR segitiga tumpul! Jawab: Sisi terpanjang adalah QR, yaitu 8 cm, berarti QR2 = 82 = 64. Sisi yang lain adalah PQ dan PR, berarti PQ2 + PR2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52. QR2 > PQ2 + PR2 berarti kuadrat sisi terpanjang > jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Jadi, PQR adalah segitiga tumpul. 3. Segitiga lancip Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi terpanjang. Jika terdapat hubungan c2 < b2 + a2 , maka ABC tersebut adalah segitiga lancip. Contoh 5.8: Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 7 cm, dan 8 cm. Tunjukkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga lancip! Jawab: Sisi terpanjang adalah c = 8 cm, maka c2 = 82 = 64 a2 + b2 = 62 + 72 = 36 + 49 = 85 Karena c2 < b2 + a2 , maka segitiga tersebut segitiga lancip. Pada sebuah segitiga dengan panjang sisi-sisinya a satuan, b satuan dan c satuan, di mana c adalah sisi yang terpanjang berlaku: c2 = a2 + b2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku c2 > a2 + b2 maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul c2 < a2 + b2 maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip
  • 11. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 10 E. Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang dapat digunakan sebagai ukuran panjang sisi segitiga siku-siku jika menggunakan satuan panjang yang sama. Contoh 5.9: Di antara 3 bilangan berikut, manakah yang merupakan tripel Pythagoras? 1. 8, 15, dan 17 2. 2, 3, 5 Jawab: 1. Panjang sisi terpanjang = 17 172 = 289 Panjang sisi-sisi lainnya = 8 dan 15 82 + 152 = 64 + 225 = 289 Karena 82 + 152 = 172 , maka 8, 15 dan 17 merupakan Tripel Pythagoras. 2. Panjang sisi terpanjang = 5 52 = 25 Panjang sisi-sisi lainnya = 2 dan 3 22 + 32 = 4 + 9 = 13 Karena 22 + 32 42 , maka 2, 3 dan 5 bukan merupakan Tripel Pythagoras. Kegiatan Siswa 5.2 1. Di antara pasangan bilangan dari panjang sisi-sisi segitigaberikut, tunjukkan manakah yang merupakan segitiga siku-siku, lancip dan tumpul. a. 7 cm, 24 cm, 25 cm c. 2 2 1 cm, 6 cm, 6 2 1 cm b. 5 cm, 6 cm, dan 7 cm d. 1 m, 3 m, 5 m Jawab: a. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 = ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ................... b. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 < ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ................... c. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 = ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ................... d. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 > ......2 + ......2 , maka segitiga tersebut adalah segitiga ...................
  • 12. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 11 2. Di antara pasangan-pasangan bilangan berikut, manakah yang merupakan Tripel Pythagoras? a. 12, 16, 20 c. 18, 24, 20 b. 6, 8, 9 d. 1, 3 , 2 Jawab: a. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 = ......2 , maka 12, 16, 20 merupakan Tripel Pythagoras. b. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 ......2 , maka 6, 8, 9 ......................... Tripel Pythagoras. c. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 = ......2 , maka 18, 24, 20 ....................... Tripel Pythagoras. d. Sisi terpanjang = ...... ......2 = ...... Panjang sisi-sisi lainnya = ...... dan ...... ......2 + ......2 = ...... + ...... = ...... Karena ......2 + ......2 = ......2 , maka 1, 3 , 2 ....................... Tripel Pythagoras. F. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung Panjang Sisi-sisi Segitiga siku- siku dengan Sudut Khusus 1. Segitiga siku-siku dengan salah satu sudut 45o Segitiga di di samping adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga: AB = AC, ABC = ACB = 45o . Jika AB = 1 satuan, maka: BC2 = AB2 + AC2 = 12 + 12 = 2 BC = 2 Dari hasil di atas, dapat dibuat perbandingan sebagai berikut: Perbandingan sisi di hadapan sudut 90o dan sisi di hadapan 45o adalah 2 : 1 atau BC : AB : AC = 2 : 1 : 1 Contoh 5.9: Diketahui KLM siku-siku M. Jika panjang KL = 8 2 , hitunglah panjang KM!
  • 13. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 12 Jawab: KM : KL = 1 : 2 KM : 8 2 = 1 : 2 2 KM = 8 2 KM = 2 28 = 8. Jadi panjang KM adalah 8 cm. 2. Segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 30o atau 60o Pada segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 30o atau 60o , panjang sisi miringnya adalah 2 kali sisi terpendek dan panjang sisi lainnya 3 kali sisi terpendek. Perhatikan gambar di samping! Dari gambar di samping, diperoleh: BC : AB : AC = a : a 3 : 2a = 1 : 3 : 2 Contoh 5.10: Pada PQR diketahui Q = 60o dan R = 30o . Jika panjang QR = 12 cm, maka tentukan panjang PR dan PQ! Jawab: PR : QR = 3 : 1 PR : 12 = 3 : 1 PR = 12 3 cm PQ : QR = 2 : 1 PQ : 12 = 2 : 1 PQ = 24 cm Jadi, panjang PR = 12 3 cm dan panjang PQ = 24 cm. Kegiatan Siswa 5.3 1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 13 cm, 12 cm, dan 5 cm. Misal sisi terpanjang adalah a = 13 cm, maka sisi yang lain adalah b = 12 cm dan c = 5 cm. a2 = 132 = b2 + c2 = + 52 = + 25 = Segitiga tersebut adalah segitiga . 2. Suatu segitiga dengan sisi 9 cm, 10 cm, dan 12 cm. a = a2 = b2 + c2 = 102 + = 100 + = Segitiga tersebut adalah segitiga .
  • 14. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 13 3. Llihat gambar disamping! a. AC : BC = 1 : AC : = 1 : 2AC = AC = b. AB : BC = : 2 AB : = : 2 2AB = AB = 4. Lihat gambar disamping! PR : PQ = 2 : : PQ = 2 : 2 PQ = x 1 PQ = 2 ... PQ = 5. Lihat gambar disamping! a. KL : KM = 3 : : KM = 3 3 KM = KM = b. LM : KL = 2 : LM : = 2 : 3 LM = 2 x LM = Latihan Soal 5.2 A. Tentukan benar (B) atau salah (S) pernyataan di bawah ini! 1. a = 12 cm ( ) 2. DEF dengan DF = 7 cm, EF = 8 cm, dan DE = 10 cm, maka DEF tumpul. ( )
  • 15. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 14 3. Segitiga dengan sisi 10 cm, 20 cm, dan 25 cm adalah segitiga tumpul. ( ) 4. BC = 10 ( ) 5. Pasangan sisi 20, 21, dan 29 adalah tripel Pythagoras. ( ) B. Jodohkan segitiga di lajur kiri dengan nilai x di lajur kanan! 1. ( ) a. 5 2 ( ) b. 24 3. ( ) c. 8 2 4. ( ) d. 8 3 5. ( ) e.9 3
  • 16. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 15 C. Jawablah soal-soal di bawah ini! 1. Dalam ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 16 cm, dan AC = 18 cm. Tunjukkan bahwa ABC merupakan segitiga lancip? 2. Pada segitiga di samping ini, hitung panjang KL dan LM! 3. Gambarlah ABC dengan B = 90o , A = 60o , dan panjang BC = 6 3 cm. Hitunglah panjang AB dan AC! 4. Gambar di samping adalah trapesium sama kaki ABCD. Hitung: a. panjang BC b. keliling ABCD c. panjang AC 5. Perhatikan gambar di samping ini! a. Berapa besar BAD dan CAD? b. Berapa cm panjang AB dan AD? c. Berapa cm panjang AC G. Penerapan Teorema Pythagoras dalam Kehidupan Sehari-hari Contoh 5.9: Sebuah kapal berlayar dari suatu pelabuhan sejauh 8 km ke utara, kemudian 6 km ke arah timur. Berapakah jarak kapal dari pelabuhan? Jawab: PT2 = PU2 + UT2 PT2 = 82 + 62 PT2 = 64 + 36 PT2 = 100 PT = 10 km Jadi, jarak kapal dari pelabuhan adalah 10 km.
  • 17. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 16 Latihan Soal 5.3 1. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar di dinding. Tinggi dinding sampai ujung tangga 4 m, tentukan jarak ujung bawah tangga dengan dinding! 2. Tanah Pak Tedy berbentuk persegi. Keliling tanah tersebut 320 m. Hitung jarak dari satu titik sudut ke sudut di hadapannya! 3. Kebun Tomi berbentuk segitiga siku-siku sama kaki. Jika luas kebun tersebut 50 cm2 , hitung panjang sisi-sisinya! 4. Sebuah helikopter terbang sejauh 120 km ke arah selatan, kemudian melanjutkan perjalanan sejauh 160 km ke arah timur. Berapakah jarak helikopter tersebut dari tempat semula? 5. Seorang arsitek meneropong puncak sebuah gedung dengan sudut 30o . Jika jarak arsitek dengan dasar gedung 60 m, tentukan tinggi gedung tersebut! UJI MOMPETENSI HARIAN 5 A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c atau d pada jawaban yang benar! 1. Sebuah segitiga siku-siku panjang sisi siku-sikunya masing-masing 6 cm dan 8 cm. Luas segitiga tersebut adalah . a. 48 cm2 c. 12 cm2 b. 24 cm2 d. 96 cm2 2. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di A. Jika AB = 8 cm dan AC = 15 cm, maka panjang BC adalah . a. 9 cm c. 13 cm b. 12 cm d. 17 cm 3. Luas persegi pada sisi XZ adalah . a. 6,25 cm2 c. 2 cm2 b. 2,25 cm2 d. 4 cm2 4. Suatu persegi panjang dengan ukuran 6 cm x 8 cm, maka panjang diagonalnya adalah . a. 16 cm c. 12 cm b. 14 cm d. 10 cm 5. Dari gambar berikut, nilai x adalah . a. 10 cm c. 20 cm b. 200 cm d. 5 cm 6. Sebuah persegi panjang ABCD, panjang AB = 24 cm dan panjang diagonal AC = 30 cm, maka panjang BC adalah . a. 21 cm c. 16 cm b. 20 cm d. 18 cm 7. Pada ABC di bawah, AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Panjang garis tinggi AD adalah . a. 10 cm c. 1,5 cm b. 15 cm d. 4,8 cm
  • 18. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 17 8. Pada segitiga ABC berlaku AC2 = BC2 AB2 , maka segitiga ABC tersebut adalah segitiga . a. siku-siku di A c. siku-siku di C b. siku-siku di B d. lancip 9. PQR siku-siku di R. Jika panjang sisi PQ = 29 cm dan QR = 21 cm, maka panjang sisi PR adalah . a. 7,1 cm c. 20 cm b. 8 cm d. 35,8 cm 10. Tinggi jajar genjang DE adalah . a. 9 cm c. 15 cm b. 12 cm d. 18 cm 11. Suatu persegi panjang dengan ukuran panjang 15 cm dan panjang diagonalnya 17 cm. Luas persegi panjang itu adalah cm2 . a. 160 c. 60 b. 120 d. 30 12. Panjang AD pada gambar di bawah adalah . a. 8 cm c. 10 cm b. 9 cm d. 12 cm 13. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang kebun 12 m. Jika diagonal kebun 13 m, maka keliling kebun tersebut adalah . a. 25 m c. 34 m b. 50 m d. 36 m 14. Sebuah segitiga siku-siku sama kaki, hipotenusanya 20 cm. Panjang sisi siku- sikunya adalah . a. 20 cm c. 10 2 cm b. 20 2 cm d. 10 cm 15. Panjang BC pada gambar di bawah adalah . a. 3 cm c. 5 cm b. 4 cm d. 6 cm 16. Jika panjang sisi segitiga sama kaki adalah 25 cm dan tinggi segitiga tersebut 24 cm, maka luas segitiga tersebut adalah . a. 336 cm2 c. 168 cm2 b. 350 cm2 d. 175 cm2 17. Jika keliling belah ketupat di bawah adalah 60 cm dan panjang diagonal QS = 24 cm, maka panjang diagonal PR adalah . a. 36 cm c. 12 cm b. 18 cm d. 9 cm
  • 19. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 18 18. Sebuah segitiga sama sisi panjang sisinya 10 cm. Luas segitiga tersebut adalah . a. 25 3 cm2 c. 5 3 cm2 b. 25 2 cm2 d. 5 2 cm2 19. Pasangan sisi-sisi berikut merupakan segitiga siku-siku, kecuali . a. 8 mm, 15 mm, dan 17 mm b. 2 m, 3 m, 5 m c. 3 cm, 5 cm, 34 cm d. 3,5 dm; 12 dm; dan 12,5 dm 20. Diketahui segitiga dengan ukuran-ukuran sebagai berikut: a. 3 cm, 4 cm, 5 cm b. 5 cm, 6 cm, 7 cm c. 6 cm, 8 cm, 12 cm d. 7 cm, 9 cm, 11 cm 21. Berdasarkan ukuran-ukuran tersebut yang dapat membentuk segitiga lancip adalah . a. (i) dan (ii) c. (ii) dan (iv) b. (ii) dan (iii) d. (iii) dan (iv) 22. Persegi ABCD mempunyai diagonal AC = 15 2 cm, maka luas persegi adalah . a. 60 cm2 c. 225 cm2 b. 75 cm2 d. 450 cm2 23. Nilai x dari gambar di bawah ini adalah . a. 7 b. 6 c. 5 d. 4 24. Dari sebuah segitiga siku-siku, hipotenusanya 4 3 cm dan salah satu sisi siku-sikunya 2 2 cm, maka panjang sisi siku-siku yang lain adalah . a. 2 10 cm c. 4 2 cm b. 3 5 cm d. 3 6 cm 25. Jika p, 12, dan 13 adalah tripel Pythagoras, maka nilai p adalah . a. 2 b. 5 c. 7 d. 10 26. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang sisi AB = 12 cm, AC = 4x cm, dan BC = 5x cm. Luas ABC adalah cm2 . a. 48 b. 96 c. 100 d. 128 27. Pernyataan yang salah dari gambar di bawah ini adalah . a. panjang BD = 9 cm b. panjang AC = 20 cm c. luas ABC = 125 cm2 d. ABC siku-siku 28. Segitiga sama kaki panjang hipotenusanya adalah 8 cm, maka luas segitiga tersebut adalah cm2 . a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 29. Segitiga PQR siku-siku di R. Jika Q = 60o dan panjang sisi QR = 8 cm, maka panjang sisi PQ adalah . a. 10 cm c. 14 cm b. 12 cm d. 16 cm
  • 20. ______________________________________________________Halaman Matematika Pythagoras SMP Kelas VIII Mulyati 19 30. Segitiga KLM siku-siku dengan K = 45o . Jika panjang sisi miringnya 8 cm, maka panjang sisi LM adalah . a. 8 cm c. 4 cm b. 6 cm d. 2 cm 31. Danu berjalan ke arah timur sejauh 6 km. Setelah sampai, ia berjalan lagi ke utara sejauh 8 km. Jarak yang ditempuh Danu sekarang dari tempat semula adalah . a. 10 km c. 14 km b. 12 km d. 16 km B. Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Pada gambar di bawah ini, carilah panjang x, y, dan z! 2. Dari KLM di bawah, hitung panjang: a. KM b. ML 3. Ditentukan segitiga dengan panjang sisinya seperti berikut ini. Manakah yang merupakan segitiga siku-siku, segitiga tumpul, dan segitiga lancip? a. 8 cm, 10 cm, 15 cm b. 9 cm, 15 cm, 16 cm c. 5 cm, 6 cm, 8 cm d. 8 cm, 15 cm, 17 cm 4. Perhatikan gambar di bawah ini! Hitung panjang: a. AC b. BD c. AB 5. Diketahui belah ketupat PQRS dengan TPS = 30o dan panjang PT = 10 3 cm. Hitung: a. panjang PS b. keliling PQRS c. luas PQRS
  • 21. PENGAYAAN Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Hitunglah panjang x pada gambar di bawah ini! 2. Pada gambar di samping ini, tentukan: a. panjang PS b. panjang PQ c. panjang QS 3. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4a cm dan 3a cm. Jika panjang hipotenusanya 20 cm, tentukan keliling segitiga tersebut! 4. Berapakah luas segitiga KLM pada gambar di bawah ini? 5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A sejauh 180 km ke pelabuhan B dengan arah 045o kemudian dilanjutkan berlayar sejauh 240 km ke pelabuhan C dengan arah 135o . b. Sketsalah perjalanan kapal tersebut! c. Tentukan jarak dari pelabuhan A ke C!