2. 息 2014 R. Robert Gajewski2/54
Tr坦jwymiarowo
Wszystkie rzeczywiste problemy s
tr坦jwymiarowe.
Nie zawsze mo甜liwe jest modelowanie zjawiska z
wykorzystaniem element坦w jednowymiarowych.
Tego typu podejcie jest dopuszczalne na
przykad w przypadku przegrody o
nieskoczonych wymiarach.
M坦wic bardziej precyzyjny przegroda
mo甜e by niejednorodna tylko w jednym
kierunku w dw坦ch pozostaych musi by
jednorodna.
3. 息 2014 R. Robert Gajewski3/54
Dwuwymiarowo
Jeli strumienie ciepa, temperatura i
charakterystyki materiaowe nie zale甜 od
jednej ze wsp坦rzdnych to ciao
tr坦jwymiarowe mo甜e by modelowane
obszarem dwuwymiarowym.
Odpowiada to typowym zastosowaniom z
dziedziny budownictwa mo甜emy na
przykad analizowa przekr坦j poziomy
budynku
4. 息 2014 R. Robert Gajewski4/54
Typy element坦w
Gdy stosujemy metod element坦w
skoczonych obszar dwuwymiarowy
dyskretyzujemy elementami skoczonymi
tr坦jktnymi lub czworoktnymi o
brzegach prostoliniowych lub
krzywoliniowych.
Dla tego typu zada najczciej
stosowane s
czterowzowe elementy prostoktne,
elementy tr坦jktne oraz
czterowzowe elementy izoparametryczne.
5. 息 2014 R. Robert Gajewski5/54
Elementy prostoktne
Zakres stosowanie tych element坦w jest
ograniczony jedynie do obszar坦w
prostoktnych, ale om坦wimy je ze
wzgldu na proste wyznaczanie macierzy.
Spos坦b postpowania jest w du甜ej mierze
analogiczny do przedstawionego dla
element坦w jednowymiarowych.
Do aproksymacji pola temperatury i
funkcji wagowych stosujemy ten sam
zestaw funkcji ksztatu
(interpolacyjnych).
6. 息 2014 R. Robert Gajewski6/54
Element prostoktny
7. 息 2014 R. Robert Gajewski7/54
Funkcje ksztatu
uN
yxyxT
T
T
T
T
yxNyxNyxNyxNyxT
TyxNTyxNTyxNTyxNyxT
,,
,,,,,
,,,,,
4
3
2
1
4321
44332211
8. 息 2014 R. Robert Gajewski8/54
Funkcje ksztatu
N(x,y) to wektor znanych funkcji ksztatu a
u to wektor nieznanych parametr坦w
wzowych.
W podobny spos坦b postpujemy z v(x,y)
Po utworzeniu sabego sformuowania i
wykonaniu podobnych operacji jak w
zadaniu 1D otrzymujemy ukad r坦wna MES
vN yxvyxNvyxNvyxNvyxNyxv ,,,,,, 44332211 緒
9. 息 2014 R. Robert Gajewski9/54
Wzory
fuKK 緒
駕
緒
緒
tqd
dAt
T
blb
T
A
T
Nfffff
NNKDBBK
,
,
10. 息 2014 R. Robert Gajewski10/54
Okrelenie funkcji ksztatu
Funkcje ksztatu bd iloczynami funkcji
liniowych
b
yb
a
xa
yxN
b
yb
a
xa
yxN
b
yb
a
xa
yxN
b
yb
a
xa
yxN
22
,,
22
,
22
,,
22
,
43
21
11. 息 2014 R. Robert Gajewski11/54
Funkcje ksztatu
Zauwa甜my, 甜e na krawdziach elementu
funkcja bdzie liniowa
4321 NNNNN
b
yb
b
yb
a
a
yaN
222
2
,1
緒
12. 息 2014 R. Robert Gajewski12/54
Cecha funkcji ksztatu
Funkcje ksztatu maj nastpujce cechy: s
r坦wne jeden w swoim w添le a zero w
pozostaych i ich suma jest r坦wna jeden.
緒
4
1
1,,
i
iijjji NyxN
13. 息 2014 R. Robert Gajewski13/54
Strumie
W przypadku dwuwymiarowym nieco
bardziej zo甜ony jest wz坦r na strumie
ciepa zale甜y on w og坦lnym przypadku od
dw坦ch parametr坦w 了
緒
緒
y
xT
y
T
x
T
q
q
y
x
y
x
,
0
0
Dq
14. 息 2014 R. Robert Gajewski14/54
Krok 1: pochodne funkcji
ksztatu
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
4321
4321
B
15. 息 2014 R. Robert Gajewski15/54
Krok 2: podstawiamy wzory na
funkcje ksztatu
xaxaxaax
ybybybby
ab4
1
B
16. 息 2014 R. Robert Gajewski16/54
Krok 3: obliczamy cak z
iloczyn坦w macierzy
駕
a
a
b
b
y
x
dxdy
xaxaxaax
ybybybby
xayb
xayb
xayb
axby
0
0
K
17. 息 2014 R. Robert Gajewski17/54
Macierz sztywnoci elementu
prostoktnego
2112
1221
1221
2112
6
2211
2221
1122
1122
6
a
b
b
a
y
x
K
18. 息 2014 R. Robert Gajewski18/54
Elementy tr坦jktne
Nie ka甜dy obszar mo甜e zosta pokryty
elementami prostoktnymi, std
konieczno u甜ywania element坦w
tr坦jktnych.
Jest to element typu staego strumienia.
19. 息 2014 R. Robert Gajewski19/54
Wsp坦rzdne
W budowie tego elementu wykorzystamy
wsp坦rzdne naturalne zwane tak甜e
powierzchniowymi.
Punkt P znajdujcy si wewntrz tr坦jkta
definiuje trzy pola A1, A2 i A3.
20. 息 2014 R. Robert Gajewski20/54 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski20/54
Wsp坦rzdne tr坦jkatne
21. 息 2014 R. Robert Gajewski21/54
Wsp坦rzdne
Pola te z kolei definiuj wsp坦rzdne
Mamy nastpujce zale甜noci
A
A
A
A
A
A 3
3
2
2
1
1 ,, 緒緒 醐醐
1321321 緒 醐醐AAAA
22. 息 2014 R. Robert Gajewski22/54
Relacja midzy wsp坦rzdnymi
332211
332211
醐醐
醐醐
yyyy
xxxx
y
x
y
x
1
,
1
1
3
2
1
3
2
1
AA
23. 息 2014 R. Robert Gajewski23/54
Gdzie
321
321
111
yyy
xxxA
緒
21121221
13313113
32232332
1
2
1
xyyxyx
xyyxyx
xyyxyx
A
A
kjjkkjjk yyyxxx 緒 ,
21313121det2 yxyxA 緒 A
24. 息 2014 R. Robert Gajewski24/54
R坦甜niczkowanie
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
25. 息 2014 R. Robert Gajewski25/54
Zale甜no lokalne-globalne
y
x
xyyxyx
xyyxyx
xyyxyx
A
1
2
1
21121221
13313113
32232332
3
2
1
kmi
mki
kmmki
xxc
yyb
yxyxa
26. 息 2014 R. Robert Gajewski26/54
Pochodne po x i y
A
x
yA
x
yA
x
y
A
y
xA
y
xA
y
x
2
,
2
,
2
2
,
2
,
2
123312231
123312231
醐醐
醐醐
27. 息 2014 R. Robert Gajewski27/54
Cakowanie
Funkcja wielomianowa wyra甜ona we
wsp坦rzdnych naturalnych mo甜e by z
atwoci scakowana z wykorzystaniem
formuy
!2
!!!
2321
緒 mlk
mlk
AdA
A
mlk
醐醐
28. 息 2014 R. Robert Gajewski28/54
Element tr坦jktny
Dla elementu tr坦jktnego funkcje ksztatu to
332111 ,, 醐醐 緒緒 NNN
3
2
1
321321 ,,
T
T
T
NNNT 醐醐
29. 息 2014 R. Robert Gajewski29/54 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski29/54
Funkcje ksztatu dla elementu
tr坦jktnego
30. 息 2014 R. Robert Gajewski30/54
Macierze B i D
y
x
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
0
0
,
321
321
DB
31. 息 2014 R. Robert Gajewski31/54
Mno甜enie i podstawienia
2
32313
32
2
212
3121
2
1
2
32313
32
2
212
3121
2
1
44
ccccc
ccccc
ccccc
bbbbb
bbbbb
bbbbb
yx
K
32. 息 2014 R. Robert Gajewski32/54
Przypadek izotropii
2
3
2
323231313
3232
2
2
2
21212
31312121
2
1
2
1
4
cbccbbccbb
ccbbcbccbb
ccbbccbbcb
K
33. 息 2014 R. Robert Gajewski33/54
Tarcza
q=30
q=30
q=0 T=10
22 m
h=1 m
k=4 J/oCms
f=45 J/m2s
34. 息 2014 R. Robert Gajewski34/54
Analizowane zadanie
q=30
q=0 T=10
q=0
1 2
4 3
35. 息 2014 R. Robert Gajewski35/54
Macierze elementowe
Element 1
緒緒緒緒緒
緒緒緒
440
451
011
220
011
2
1
1,2,0,2,0
1,3,2,1
1
1
1
K
B
kkjjii yxyxyx
Akji
36. 息 2014 R. Robert Gajewski36/54
Macierze elementowe
Element 2
緒緒緒緒緒
緒緒緒
514
110
404
202
110
2
1
1,0,1,2,0
1,3,2,1
1
1
2
K
B
kkjjii yxyxyx
Akji
37. 息 2014 R. Robert Gajewski37/54
Wektor F
緒
緒緒
30
30
0
1
0
30
,2
,2
0
11115111
3
2
0
2
2
2
1
0 1
3
1
2
1
21
dx
dy
yxN
yxNq
A
f
x
x
CD
nCB
e
P
P
ff
38. 息 2014 R. Robert Gajewski38/54
Wektor F
緒
緒
緒緒
15
15
15
3015
3015
15
,215
,215
15
222
1
0
1
3
1
0
1
2
111
CD
n
nCB
dyyxNq
dyyxNq
PfF
PfF
39. 息 2014 R. Robert Gajewski39/54
Agregacja
緒
緒
15
,2
,215
30
5104
1540
0451
4015
1
0
1
3
1
0
1
2
4
3
2
1
dyyxNq
dyyxNq
T
T
T
T
n
n
40. 息 2014 R. Robert Gajewski40/54
Ukad r坦wna
緒
緒
15
,2
,215
30
10
10
5104
1540
0451
4015
1
0
1
3
1
0
1
2
4
1
dyyxNq
dyyxNq
T
T
n
n
41. 息 2014 R. Robert Gajewski41/54
Rozwizanie ukadu
緒
緒
緒
緒
緒
1
0
1
3
1
0
1
2
4
1
2
1
5,2
,25,2
15
20
5
40
1510
3010
54
45
dyyxNq
dyyxNq
C
T
T
T
T
n
n
o
42. 息 2014 R. Robert Gajewski42/54
Kontrola
Funkcje ksztatu N2 i N3 s dodatnie, co
oznacza, 甜e q jest dodatnie wzdu甜 brzegu
BC
Aby na tym brzegu bya utrzymana
temperatura T=10oC to wzdu甜 tego
brzegu musi by wydzielane ciepo
R坦wnanie bilansu cieplnego jest
spenione, poniewa甜 suma F jest zerowa
43. 息 2014 R. Robert Gajewski43/54
Intensywno strumienia
smJ
smJ
kTkT eeeeeeee
22
2
21
1
20
10
15
10
20
202
110
2
5
0
20
10
10
20
220
011
2
101020
緒緒
q
T
q
T
TBDq
44. 息 2014 R. Robert Gajewski44/54
Zadanie
Dany jest nieskoczenie dugi prt o
przekroju kwadratowym .
G坦rna i dolna powierzchnia s izolowane
cieplnie.
Lewa jest nagrzewana strumieniem
ciepa, przeciwlega chodzona wod o
danej temperaturze i wsp坦czynniku
wnikania ciepa.
45. 息 2014 R. Robert Gajewski45/54
Rysunek
留
T
了x 了y
q
a
a
46. 息 2014 R. Robert Gajewski46/54
Dane
q=200 000 W/m2
T= 20 0C = 293 0K
砧=1 000 W/(m2K)
a=0.02 m
砧=50 W/(mK)
47. 息 2014 R. Robert Gajewski47/54 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski47/54
Dyskretyzacja
1 2
34
5
48. 息 2014 R. Robert Gajewski48/54
Macierze elementowe
2
1
44
2
3
2
332323131
3232
2
2
2
22121
31312121
2
1
2
1
01.002.04
200000
4
000
021
012
6
02.01000
,
000
021
012
6
4
￥ KK
K
a
cbccbbccbb
ccbbcbccbb
ccbbccbbcb
49. 息 2014 R. Robert Gajewski49/54
Macierze element坦w
5.05.00
5.015.0
05.05.0
50
15.05.0
5.05.00
5.005.0
50
2
1
K
K
50. 息 2014 R. Robert Gajewski50/54
Macierze element坦w
15.05.0
5.05.00
5.005.0
50
5.05.00
5.015.0
05.05.0
50
4
3
K
K
51. 息 2014 R. Robert Gajewski51/54
Globalna macierz przewodnoci
Km
W
20050505050
5050000
5006.563.30
5003.36.560
5000050
K
52. 息 2014 R. Robert Gajewski52/54
Prawe strony
2
4
2
02000293029302000
029302930011
2
200002000101
2
2930
2
02.02931000
2
,2000
2
02.0200000
2
m
W
aT
aq
aT
aq
T
TT
TT
f
f
f
53. 息 2014 R. Robert Gajewski53/54
Ukad r坦wna i rozwizanie
CTCTTCTT
T
T
T
T
T
260,220,300
0
2000
2930
2930
2000
20050505050
5050000
5006.563.30
5003.36.560
5000050
53241
5
4
3
2
1
緒緒緒緒
