際際滷

際際滷Share a Scribd company logo
LOGO
Elementy
izoparametryczne
Motywacja
Jakobian
Cakowanie numeryczne
Przykad
息 2014 R. Robert Gajewski2/51
Motywacja
W wielu zadaniach niezbdne jest
stosowanie element坦w czworoktnych,
kt坦re nie s prostoktami.
息 2014 R. Robert Gajewski3/51
Elementy izoparametryczne
Je甜eli w elementach bdziemy
wykorzystywali te same funkcje ksztatu
do interpolacji wsp坦rzdnych midzy
wzami co do interpolacji niewiadomych
to tego typu elementy nazywamy
izoparametrycznymi
息 2014 R. Robert Gajewski4/51
Transformacja wsp坦rzdnych
息 2014 R. Robert Gajewski5/51
Izoparametryczna transformacja
   yNxN 醐 ,,, 緒 yx
   4321
4
3
2
1
4
3
2
1
,,, NNNNN
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
息 2014 R. Robert Gajewski6/51
Super i subparametryczne
Poza elementami izoparametrycznymi
wyr坦甜niamy jeszcze elementy
superparametryczne i subparametryczne
息 2014 R. Robert Gajewski7/51
Funkcje ksztatu
Funkcje ksztatu w ukadzie lokalnym
wyznaczamy jak dla elementu
prostoktnego przyjmujc a=b=1
     
     醐
醐
緒
緒
11,11
11,11
4
1
44
1
3
4
1
24
1
1
NN
NN
息 2014 R. Robert Gajewski8/51
Interpolacja temp. i strumienia
 
    aBDq
aN
緒







yx
q
q
yx
yxT
y
x
,,
,
 





























y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
yx
4321
4321
,B
息 2014 R. Robert Gajewski9/51
Problem!
Do rozwizania jest problem  musimy
znale添 pochodne funkcji ksztatu ze
wzgldu na zmienne x i y, ale funkcje
ksztatu s wyra甜one tym razem w
zmiennych lokalnych.
Aby t niedogodno pokona
przedstawiamy B w inny spos坦b
   ,,,, NNDDNDB 緒緒 yx
息 2014 R. Robert Gajewski10/51
Co musimy i znamy
Musimy policzy pochodne po x i y - regua
przedstawiona jest poni甜ej
Znamy zale甜noci na x i y w funkcji
zmiennych 両 i 侶.








d
d
dy
d
d
d
dy
d
dy
d
d
d
dx
d
d
d
dx
d
dx
d
緒 ,
   
   e
i
n
i
i
e
i
n
i
i NyyyNxxx ワ
緒
緒緒緒
11
,,, 醐
息 2014 R. Robert Gajewski11/51
Co potrafimy
Znalezienie zale甜noci odwrotnych nie jest
jednak proste
Potrafimy jednak wyznacza pochodne
wzgldem 両 i 侶.
   yxyx ,,, 醐 緒
dy
d
d
dy
dx
d
d
dx
d
d
dy
d
d
dy
dx
d
d
dx
d
d
醐醐
緒 ,
息 2014 R. Robert Gajewski12/51
Zapis macierzowy
Powy甜sze r坦wnania mo甜emy zapisa w
spos坦b macierzowy























































































y
x
y
x
yx
yx
J



醐
息 2014 R. Robert Gajewski13/51
Jakobian
Podstawiajc znane zale甜noci na x i y w
funkcji zmiennych 両 i 侶 otrzymujemy wz坦r
na Jakobian
















































 
 2221
1211
1 JJ
JJ
y
N
x
N
y
N
x
N
yx
yx
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i

醐

醐
J
息 2014 R. Robert Gajewski14/51
Odwracamy
Odwracajc t zale甜no otrzymujemy
12212211
1121
12221
det
det
1
JJJJ
JJ
JJ
y
x




























































J
J
J
息 2014 R. Robert Gajewski15/51
Po co?
Odwrotno Jakobianu jest potrzebna do
tego, aby policzy pochodne DN
     


 ,,, 1
NJNDB 
















緒 
yx
息 2014 R. Robert Gajewski16/51
Czy trzeba?
Powstaje kolejne pytanie - czy
konieczne jest analityczne
wyznaczenie odwrotnoci Jakobianu?
Nie, taka rzecz nie jest niezbdna, bo
do cakowania w spos坦b numeryczny
bdziemy u甜ywali kwadratur.
Niezbdne bdzie odwr坦cenie
Jakobianu tylko w kilku punktach.
Bdziemy w tych punktach liczyli
warto liczbow Jakobianu a
nastpnie odwracali macierz liczbow.
息 2014 R. Robert Gajewski17/51
Interpretacja Jakobianu
Mo甜na tez pokusi si o interpretacje
Jakobianu 
jest to czynnik skalujcy w transformacji
infinitezymalnego fragmentu elementu
odniesienia do przestrzeni globalnej.
息 2014 R. Robert Gajewski18/51
Cakowanie numeryczne
Standardow praktyk jest
wykorzystywanie reguy cakowania
Gaussa (1814).
Wykorzystuje ona minimaln liczb
punkt坦w cakowania do uzyskania
po甜danej dokadnoci.
Regua ta okrelana jest tak甜e mianem
kwadratury Gaussa-Legendrea.
W przypadku 1D wzy kwadratury to
miejsca zerowe wielomian坦w Legendrea.
息 2014 R. Robert Gajewski19/51
Wzy i wagi
Wielkoci odcitych (wsp坦rzdne tak
zwanych wz坦w, ang. abcissa) dla
kwadratury rzdu n s miejscami zerowymi
wielomianu Legendrea.
A wagami (ang. weights) s wielkoci tak甜e
zale甜ne od wielomian坦w Legendrea.
   ワ 


p
i
ii FwdF
1
1
1
醐醐
息 2014 R. Robert Gajewski20/51
Wielomiany Legendrea
Nienormowane wielomiany Legendrea
okrela si poni甜szym wzorem
Mo甜na je zapisa r坦wnie甜 w jawnej postaci
  ,...1,0,1
d
d
!2
1 2
緒 nx
xn
P
n
n
n
nn
    in
n
i
i
nn x
n
in
i
n
xP 2
2
0
22
1
2
1 







件


э

 
件


э


   !!
!
knk
n
k
n

緒件


э
息 2014 R. Robert Gajewski21/51
Zale甜no rekurencyjna
Kolejne wielomiany Legendrea powizane
s zale甜noci rekurencyjn
      ,...2,1,
11
12
11 




  nxP
n
n
xxP
n
n
xP nnn
息 2014 R. Robert Gajewski22/51
Kilka pocztkowych
wielomian坦w
 
 
   
   
   
   xxxxP
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
157063
33035
35
13
1
35
8
1
5
24
8
1
4
3
2
1
3
2
2
1
2
1
0
息 2014 R. Robert Gajewski23/51
Legendre
息 2014 R. Robert Gajewski24/51
Wsp坦rzdne wz坦w i wagi
 
  65
6
1
2
1
,75623
65
6
1
2
1
,75623
95,5398,095,53
1,311,31
2,0
4114
3223
132211
2211
11
緒緒緒
緒緒緒
緒緒緒緒緒
緒緒緒
緒
ww
ww
www
ww
w
醐
醐
醐醐
醐
息 2014 R. Robert Gajewski25/51
Przybli甜one wzory
   
     
       
         44332211
1
1
1
1
1
1
1
1
53
9
5
0
9
8
53
9
5
3131
02.
醐醐醐醐醐
醐
醐
醐
FwFwFwFwdF
FFFdF
FFdF
FdF
息 2014 R. Robert Gajewski26/51
Interpretacja graficzna
息 2014 R. Robert Gajewski27/51
Stopie formuy cakowania
Warto wykadnika najwy甜szej potgi w
wielomianie to jego rzd (mo甜na
powiedzie stopie wielomianu).
Wymienione cztery formuy cakuj
dokadnie wielomiany stopnia
odpowiednio: 1, 3, 5 i 7.
W przypadku 1D kwadratura o p wzach
cakuje dokadnie wielomian do stopnia
2p-1.
Wielko ta to stopie formuy
cakowania.
息 2014 R. Robert Gajewski28/51
Mapowanie
W przypadku cakowania w przedziale [a,b]
nale甜y dokona odpowiedniego
odwzorowania (mapowania).
    0,
1
1
常緒 駕 
ablJdFdxxF
b
a
醐
     
  l
d
dx
Jbax
l
lbabax
2
1
,
2
12
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
緒緒






緒


醐醐
息 2014 R. Robert Gajewski29/51
Regua iloczynowa
Najprostsza regua cakowania 2D to regua
iloczynowa (ang. product rule). Uzyskuje si
j przez zastosowanie regu 1D do ka甜dej
niezale甜nej zmiennej.
   
     ワワ 駕 
 駕 
 
  
  
誌

1 2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,,,
,,
p
i
p
j
jiji FwwdFdddF
dFdddF
醐醐醐醐
醐醐醐
息 2014 R. Robert Gajewski30/51
PRZYKAD: tre zadania
Wyznaczy rozkad temperatury w
przekroju poprzecznym nieskoczenie
dugiego prta o przekroju kwadratowym.
G坦rna powierzchnia jest izolowana
cieplnie a dolna chodzona.
Lewa strona jest podgrzewana
strumieniem ciepa, na prawej jest zadana
okrelona temperatura.
Istniej wewntrzne 添r坦da ciepa
息 2014 R. Robert Gajewski31/51 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski31/51
Dane
a = 2 cm
qB = 200 000 W/m2
qV = 1 107 W/m3
T = 100 0C
砧 = 60 W/m2K
TB = 100 0C
砧x = 了y = 42 W/mK
息 2014 R. Robert Gajewski32/51
Rysunek
1 2 3
654
7 8 9
息 2014 R. Robert Gajewski33/51
Lokalnie i globalnie
Element Lokalne Globalne
1 1 2 3 4 1 2 4 5
2 1 2 3 4 2 3 6 5
3 1 2 3 4 4 5 8 7
4 1 2 3 4 5 6 9 8
息 2014 R. Robert Gajewski34/51
Warunki brzegowe
 
0
2
0
0
2
0














緒



ay
y
bax
b
x
y
T
TT
y
T
TT
q
x
T

¥
息 2014 R. Robert Gajewski35/51
Macierze sztywnoci
















緒緒緒

















4121
1412
2141
1114
7
4121
1412
2141
1114
6
4321
KKKK
K
息 2014 R. Robert Gajewski36/51
Macierze wymiany ciepa






















































0000
0000
002.01.0
001.02.0
0000
0000
0021
0012
6
0000
0000
002.01.0
001.02.0
0000
0000
0021
0012
6
2
1
a
a




K
K
息 2014 R. Robert Gajewski37/51
Zagregowana macierz
przewodnoci






































28707140000
7567141414000
07280147000
7140561407140
1414141411214141414
0147014560147
00071402870
0001414147567
00001470728
K
息 2014 R. Robert Gajewski38/51
Zagregowana macierz 留
 KmW 





























000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
0000002.01.00
0000001.04.01.0
00000001.02.0
K
息 2014 R. Robert Gajewski39/51
Nieruchome stopnie swobody
W wzach 3 6 9 znamy temperatur, czyli
rozwizanie zadania
Dla tych niewiadomych nie musimy
ukada r坦wna!!!
 Mo甜emy te甜 zmodyfikowa pen macierz ukadu
r坦wna w ten spos坦b, 甜e na g坦wnej przektnej dla
tych r坦wna bd wystpowa jedynki, a pozostae
wyrazy w wierszu i kolumnie bd 0
 Tych r坦wna po prostu nie rozwizujemy
息 2014 R. Robert Gajewski40/51
Macierz ukadu r坦wna



































100000000
056701414000
07280147000
000100000
0141401121401414
0147014560147
000000100
0000141404.569.6
000014709.62.28
K
息 2014 R. Robert Gajewski41/51
Obci甜enia od 添r坦de
 
 
 
 
m
Waq
m
Waq
m
Waq
m
Waq
Tv
Q
Tv
Q
Tv
Q
Tv
Q
1111
4
1111
4
1111
4
1111
4
2
4
2
3
2
2
2
1




f
f
f
f
息 2014 R. Robert Gajewski42/51
Obci甜enia od 添r坦de
 Tv
Q
aq
121242121
4
2
f
m
W
Q





























250
500
250
500
1000
500
250
500
250
f
息 2014 R. Robert Gajewski43/51
Obci甜enia konwekcyjne
 TaT
0011
2
21 
 ワ
¥ ff
m
W





























0
0
0
0
0
0
6
12
6
f
息 2014 R. Robert Gajewski44/51
Obci甜enia strumieniem
m
W
q





























0
0
1000
0
0
2000
0
0
1000
f
 Tb
qq
aq
1001
2
31 
 ff
息 2014 R. Robert Gajewski45/51
Sumowanie
m
W




















































































































250
500
1250
500
1000
2500
256
512
1256
0
0
1000
0
0
2000
0
0
1000
0
0
0
0
0
0
6
12
6
250
500
250
500
1000
500
250
500
250
f
息 2014 R. Robert Gajewski46/51
Modyfikacja
m
W
2600
5200
2602





























100
100
100
f
1250
2500
1256
息 2014 R. Robert Gajewski47/51
Ukad r坦wna i jego rozwizanie
息 2014 R. Robert Gajewski48/51 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski48/51
Rysunek
238.63 180,20 100,00
100.00181.80240.68
241.27 182.21 100.00
息 2014 R. Robert Gajewski49/51
5 wz坦w, 4 elementy
息 2014 R. Robert Gajewski50/51
3 wzy na krawdzi
息 2014 R. Robert Gajewski51/51
Gsta siatka

More Related Content

Mom10 2014

  • 2. 息 2014 R. Robert Gajewski2/51 Motywacja W wielu zadaniach niezbdne jest stosowanie element坦w czworoktnych, kt坦re nie s prostoktami.
  • 3. 息 2014 R. Robert Gajewski3/51 Elementy izoparametryczne Je甜eli w elementach bdziemy wykorzystywali te same funkcje ksztatu do interpolacji wsp坦rzdnych midzy wzami co do interpolacji niewiadomych to tego typu elementy nazywamy izoparametrycznymi
  • 4. 息 2014 R. Robert Gajewski4/51 Transformacja wsp坦rzdnych
  • 5. 息 2014 R. Robert Gajewski5/51 Izoparametryczna transformacja yNxN 醐 ,,, 緒 yx 4321 4 3 2 1 4 3 2 1 ,,, NNNNN y y y y y x x x x x
  • 6. 息 2014 R. Robert Gajewski6/51 Super i subparametryczne Poza elementami izoparametrycznymi wyr坦甜niamy jeszcze elementy superparametryczne i subparametryczne
  • 7. 息 2014 R. Robert Gajewski7/51 Funkcje ksztatu Funkcje ksztatu w ukadzie lokalnym wyznaczamy jak dla elementu prostoktnego przyjmujc a=b=1 醐 醐 緒 緒 11,11 11,11 4 1 44 1 3 4 1 24 1 1 NN NN
  • 8. 息 2014 R. Robert Gajewski8/51 Interpolacja temp. i strumienia aBDq aN 緒 yx q q yx yxT y x ,, , y N y N y N y N x N x N x N x N yx 4321 4321 ,B
  • 9. 息 2014 R. Robert Gajewski9/51 Problem! Do rozwizania jest problem musimy znale添 pochodne funkcji ksztatu ze wzgldu na zmienne x i y, ale funkcje ksztatu s wyra甜one tym razem w zmiennych lokalnych. Aby t niedogodno pokona przedstawiamy B w inny spos坦b ,,,, NNDDNDB 緒緒 yx
  • 10. 息 2014 R. Robert Gajewski10/51 Co musimy i znamy Musimy policzy pochodne po x i y - regua przedstawiona jest poni甜ej Znamy zale甜noci na x i y w funkcji zmiennych 両 i 侶. d d dy d d d dy d dy d d d dx d d d dx d dx d 緒 , e i n i i e i n i i NyyyNxxx ワ 緒 緒緒緒 11 ,,, 醐
  • 11. 息 2014 R. Robert Gajewski11/51 Co potrafimy Znalezienie zale甜noci odwrotnych nie jest jednak proste Potrafimy jednak wyznacza pochodne wzgldem 両 i 侶. yxyx ,,, 醐 緒 dy d d dy dx d d dx d d dy d d dy dx d d dx d d 醐醐 緒 ,
  • 12. 息 2014 R. Robert Gajewski12/51 Zapis macierzowy Powy甜sze r坦wnania mo甜emy zapisa w spos坦b macierzowy y x y x yx yx J 醐
  • 13. 息 2014 R. Robert Gajewski13/51 Jakobian Podstawiajc znane zale甜noci na x i y w funkcji zmiennych 両 i 侶 otrzymujemy wz坦r na Jakobian 2221 1211 1 JJ JJ y N x N y N x N yx yx n i i i i i i i i i 醐 醐 J
  • 14. 息 2014 R. Robert Gajewski14/51 Odwracamy Odwracajc t zale甜no otrzymujemy 12212211 1121 12221 det det 1 JJJJ JJ JJ y x J J J
  • 15. 息 2014 R. Robert Gajewski15/51 Po co? Odwrotno Jakobianu jest potrzebna do tego, aby policzy pochodne DN ,,, 1 NJNDB 緒 yx
  • 16. 息 2014 R. Robert Gajewski16/51 Czy trzeba? Powstaje kolejne pytanie - czy konieczne jest analityczne wyznaczenie odwrotnoci Jakobianu? Nie, taka rzecz nie jest niezbdna, bo do cakowania w spos坦b numeryczny bdziemy u甜ywali kwadratur. Niezbdne bdzie odwr坦cenie Jakobianu tylko w kilku punktach. Bdziemy w tych punktach liczyli warto liczbow Jakobianu a nastpnie odwracali macierz liczbow.
  • 17. 息 2014 R. Robert Gajewski17/51 Interpretacja Jakobianu Mo甜na tez pokusi si o interpretacje Jakobianu jest to czynnik skalujcy w transformacji infinitezymalnego fragmentu elementu odniesienia do przestrzeni globalnej.
  • 18. 息 2014 R. Robert Gajewski18/51 Cakowanie numeryczne Standardow praktyk jest wykorzystywanie reguy cakowania Gaussa (1814). Wykorzystuje ona minimaln liczb punkt坦w cakowania do uzyskania po甜danej dokadnoci. Regua ta okrelana jest tak甜e mianem kwadratury Gaussa-Legendrea. W przypadku 1D wzy kwadratury to miejsca zerowe wielomian坦w Legendrea.
  • 19. 息 2014 R. Robert Gajewski19/51 Wzy i wagi Wielkoci odcitych (wsp坦rzdne tak zwanych wz坦w, ang. abcissa) dla kwadratury rzdu n s miejscami zerowymi wielomianu Legendrea. A wagami (ang. weights) s wielkoci tak甜e zale甜ne od wielomian坦w Legendrea. ワ p i ii FwdF 1 1 1 醐醐
  • 20. 息 2014 R. Robert Gajewski20/51 Wielomiany Legendrea Nienormowane wielomiany Legendrea okrela si poni甜szym wzorem Mo甜na je zapisa r坦wnie甜 w jawnej postaci ,...1,0,1 d d !2 1 2 緒 nx xn P n n n nn in n i i nn x n in i n xP 2 2 0 22 1 2 1 件 э 件 э !! ! knk n k n 緒件 э
  • 21. 息 2014 R. Robert Gajewski21/51 Zale甜no rekurencyjna Kolejne wielomiany Legendrea powizane s zale甜noci rekurencyjn ,...2,1, 11 12 11 nxP n n xxP n n xP nnn
  • 22. 息 2014 R. Robert Gajewski22/51 Kilka pocztkowych wielomian坦w xxxxP xxxP xxxP xxP xxP xP 157063 33035 35 13 1 35 8 1 5 24 8 1 4 3 2 1 3 2 2 1 2 1 0
  • 23. 息 2014 R. Robert Gajewski23/51 Legendre
  • 24. 息 2014 R. Robert Gajewski24/51 Wsp坦rzdne wz坦w i wagi 65 6 1 2 1 ,75623 65 6 1 2 1 ,75623 95,5398,095,53 1,311,31 2,0 4114 3223 132211 2211 11 緒緒緒 緒緒緒 緒緒緒緒緒 緒緒緒 緒 ww ww www ww w 醐 醐 醐醐 醐
  • 25. 息 2014 R. Robert Gajewski25/51 Przybli甜one wzory 44332211 1 1 1 1 1 1 1 1 53 9 5 0 9 8 53 9 5 3131 02. 醐醐醐醐醐 醐 醐 醐 FwFwFwFwdF FFFdF FFdF FdF
  • 26. 息 2014 R. Robert Gajewski26/51 Interpretacja graficzna
  • 27. 息 2014 R. Robert Gajewski27/51 Stopie formuy cakowania Warto wykadnika najwy甜szej potgi w wielomianie to jego rzd (mo甜na powiedzie stopie wielomianu). Wymienione cztery formuy cakuj dokadnie wielomiany stopnia odpowiednio: 1, 3, 5 i 7. W przypadku 1D kwadratura o p wzach cakuje dokadnie wielomian do stopnia 2p-1. Wielko ta to stopie formuy cakowania.
  • 28. 息 2014 R. Robert Gajewski28/51 Mapowanie W przypadku cakowania w przedziale [a,b] nale甜y dokona odpowiedniego odwzorowania (mapowania). 0, 1 1 常緒 駕 ablJdFdxxF b a 醐 l d dx Jbax l lbabax 2 1 , 2 12 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 緒緒 緒 醐醐
  • 29. 息 2014 R. Robert Gajewski29/51 Regua iloczynowa Najprostsza regua cakowania 2D to regua iloczynowa (ang. product rule). Uzyskuje si j przez zastosowanie regu 1D do ka甜dej niezale甜nej zmiennej. ワワ 駕 駕 誌 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,,, ,, p i p j jiji FwwdFdddF dFdddF 醐醐醐醐 醐醐醐
  • 30. 息 2014 R. Robert Gajewski30/51 PRZYKAD: tre zadania Wyznaczy rozkad temperatury w przekroju poprzecznym nieskoczenie dugiego prta o przekroju kwadratowym. G坦rna powierzchnia jest izolowana cieplnie a dolna chodzona. Lewa strona jest podgrzewana strumieniem ciepa, na prawej jest zadana okrelona temperatura. Istniej wewntrzne 添r坦da ciepa
  • 31. 息 2014 R. Robert Gajewski31/51 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski31/51 Dane a = 2 cm qB = 200 000 W/m2 qV = 1 107 W/m3 T = 100 0C 砧 = 60 W/m2K TB = 100 0C 砧x = 了y = 42 W/mK
  • 32. 息 2014 R. Robert Gajewski32/51 Rysunek 1 2 3 654 7 8 9
  • 33. 息 2014 R. Robert Gajewski33/51 Lokalnie i globalnie Element Lokalne Globalne 1 1 2 3 4 1 2 4 5 2 1 2 3 4 2 3 6 5 3 1 2 3 4 4 5 8 7 4 1 2 3 4 5 6 9 8
  • 34. 息 2014 R. Robert Gajewski34/51 Warunki brzegowe 0 2 0 0 2 0 緒 ay y bax b x y T TT y T TT q x T ¥
  • 35. 息 2014 R. Robert Gajewski35/51 Macierze sztywnoci 緒緒緒 4121 1412 2141 1114 7 4121 1412 2141 1114 6 4321 KKKK K
  • 36. 息 2014 R. Robert Gajewski36/51 Macierze wymiany ciepa 0000 0000 002.01.0 001.02.0 0000 0000 0021 0012 6 0000 0000 002.01.0 001.02.0 0000 0000 0021 0012 6 2 1 a a K K
  • 37. 息 2014 R. Robert Gajewski37/51 Zagregowana macierz przewodnoci 28707140000 7567141414000 07280147000 7140561407140 1414141411214141414 0147014560147 00071402870 0001414147567 00001470728 K
  • 38. 息 2014 R. Robert Gajewski38/51 Zagregowana macierz 留 KmW 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 0000002.01.00 0000001.04.01.0 00000001.02.0 K
  • 39. 息 2014 R. Robert Gajewski39/51 Nieruchome stopnie swobody W wzach 3 6 9 znamy temperatur, czyli rozwizanie zadania Dla tych niewiadomych nie musimy ukada r坦wna!!! Mo甜emy te甜 zmodyfikowa pen macierz ukadu r坦wna w ten spos坦b, 甜e na g坦wnej przektnej dla tych r坦wna bd wystpowa jedynki, a pozostae wyrazy w wierszu i kolumnie bd 0 Tych r坦wna po prostu nie rozwizujemy
  • 40. 息 2014 R. Robert Gajewski40/51 Macierz ukadu r坦wna 100000000 056701414000 07280147000 000100000 0141401121401414 0147014560147 000000100 0000141404.569.6 000014709.62.28 K
  • 41. 息 2014 R. Robert Gajewski41/51 Obci甜enia od 添r坦de m Waq m Waq m Waq m Waq Tv Q Tv Q Tv Q Tv Q 1111 4 1111 4 1111 4 1111 4 2 4 2 3 2 2 2 1 f f f f
  • 42. 息 2014 R. Robert Gajewski42/51 Obci甜enia od 添r坦de Tv Q aq 121242121 4 2 f m W Q 250 500 250 500 1000 500 250 500 250 f
  • 43. 息 2014 R. Robert Gajewski43/51 Obci甜enia konwekcyjne TaT 0011 2 21 ワ ¥ ff m W 0 0 0 0 0 0 6 12 6 f
  • 44. 息 2014 R. Robert Gajewski44/51 Obci甜enia strumieniem m W q 0 0 1000 0 0 2000 0 0 1000 f Tb qq aq 1001 2 31 ff
  • 45. 息 2014 R. Robert Gajewski45/51 Sumowanie m W 250 500 1250 500 1000 2500 256 512 1256 0 0 1000 0 0 2000 0 0 1000 0 0 0 0 0 0 6 12 6 250 500 250 500 1000 500 250 500 250 f
  • 46. 息 2014 R. Robert Gajewski46/51 Modyfikacja m W 2600 5200 2602 100 100 100 f 1250 2500 1256
  • 47. 息 2014 R. Robert Gajewski47/51 Ukad r坦wna i jego rozwizanie
  • 48. 息 2014 R. Robert Gajewski48/51 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski48/51 Rysunek 238.63 180,20 100,00 100.00181.80240.68 241.27 182.21 100.00
  • 49. 息 2014 R. Robert Gajewski49/51 5 wz坦w, 4 elementy
  • 50. 息 2014 R. Robert Gajewski50/51 3 wzy na krawdzi
  • 51. 息 2014 R. Robert Gajewski51/51 Gsta siatka

Editor's Notes

  • #3: Informatyka i Technologia Informacyjna