2. 息 2014 R. Robert Gajewski2/51
Motywacja
W wielu zadaniach niezbdne jest
stosowanie element坦w czworoktnych,
kt坦re nie s prostoktami.
3. 息 2014 R. Robert Gajewski3/51
Elementy izoparametryczne
Je甜eli w elementach bdziemy
wykorzystywali te same funkcje ksztatu
do interpolacji wsp坦rzdnych midzy
wzami co do interpolacji niewiadomych
to tego typu elementy nazywamy
izoparametrycznymi
4. 息 2014 R. Robert Gajewski4/51
Transformacja wsp坦rzdnych
5. 息 2014 R. Robert Gajewski5/51
Izoparametryczna transformacja
yNxN 醐 ,,, 緒 yx
4321
4
3
2
1
4
3
2
1
,,, NNNNN
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
6. 息 2014 R. Robert Gajewski6/51
Super i subparametryczne
Poza elementami izoparametrycznymi
wyr坦甜niamy jeszcze elementy
superparametryczne i subparametryczne
7. 息 2014 R. Robert Gajewski7/51
Funkcje ksztatu
Funkcje ksztatu w ukadzie lokalnym
wyznaczamy jak dla elementu
prostoktnego przyjmujc a=b=1
醐
醐
緒
緒
11,11
11,11
4
1
44
1
3
4
1
24
1
1
NN
NN
8. 息 2014 R. Robert Gajewski8/51
Interpolacja temp. i strumienia
aBDq
aN
緒
yx
q
q
yx
yxT
y
x
,,
,
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
yx
4321
4321
,B
9. 息 2014 R. Robert Gajewski9/51
Problem!
Do rozwizania jest problem musimy
znale添 pochodne funkcji ksztatu ze
wzgldu na zmienne x i y, ale funkcje
ksztatu s wyra甜one tym razem w
zmiennych lokalnych.
Aby t niedogodno pokona
przedstawiamy B w inny spos坦b
,,,, NNDDNDB 緒緒 yx
10. 息 2014 R. Robert Gajewski10/51
Co musimy i znamy
Musimy policzy pochodne po x i y - regua
przedstawiona jest poni甜ej
Znamy zale甜noci na x i y w funkcji
zmiennych 両 i 侶.
d
d
dy
d
d
d
dy
d
dy
d
d
d
dx
d
d
d
dx
d
dx
d
緒 ,
e
i
n
i
i
e
i
n
i
i NyyyNxxx ワ
緒
緒緒緒
11
,,, 醐
11. 息 2014 R. Robert Gajewski11/51
Co potrafimy
Znalezienie zale甜noci odwrotnych nie jest
jednak proste
Potrafimy jednak wyznacza pochodne
wzgldem 両 i 侶.
yxyx ,,, 醐 緒
dy
d
d
dy
dx
d
d
dx
d
d
dy
d
d
dy
dx
d
d
dx
d
d
醐醐
緒 ,
12. 息 2014 R. Robert Gajewski12/51
Zapis macierzowy
Powy甜sze r坦wnania mo甜emy zapisa w
spos坦b macierzowy
y
x
y
x
yx
yx
J
醐
13. 息 2014 R. Robert Gajewski13/51
Jakobian
Podstawiajc znane zale甜noci na x i y w
funkcji zmiennych 両 i 侶 otrzymujemy wz坦r
na Jakobian
2221
1211
1 JJ
JJ
y
N
x
N
y
N
x
N
yx
yx
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
醐
醐
J
14. 息 2014 R. Robert Gajewski14/51
Odwracamy
Odwracajc t zale甜no otrzymujemy
12212211
1121
12221
det
det
1
JJJJ
JJ
JJ
y
x
J
J
J
15. 息 2014 R. Robert Gajewski15/51
Po co?
Odwrotno Jakobianu jest potrzebna do
tego, aby policzy pochodne DN
,,, 1
NJNDB
緒
yx
16. 息 2014 R. Robert Gajewski16/51
Czy trzeba?
Powstaje kolejne pytanie - czy
konieczne jest analityczne
wyznaczenie odwrotnoci Jakobianu?
Nie, taka rzecz nie jest niezbdna, bo
do cakowania w spos坦b numeryczny
bdziemy u甜ywali kwadratur.
Niezbdne bdzie odwr坦cenie
Jakobianu tylko w kilku punktach.
Bdziemy w tych punktach liczyli
warto liczbow Jakobianu a
nastpnie odwracali macierz liczbow.
17. 息 2014 R. Robert Gajewski17/51
Interpretacja Jakobianu
Mo甜na tez pokusi si o interpretacje
Jakobianu
jest to czynnik skalujcy w transformacji
infinitezymalnego fragmentu elementu
odniesienia do przestrzeni globalnej.
18. 息 2014 R. Robert Gajewski18/51
Cakowanie numeryczne
Standardow praktyk jest
wykorzystywanie reguy cakowania
Gaussa (1814).
Wykorzystuje ona minimaln liczb
punkt坦w cakowania do uzyskania
po甜danej dokadnoci.
Regua ta okrelana jest tak甜e mianem
kwadratury Gaussa-Legendrea.
W przypadku 1D wzy kwadratury to
miejsca zerowe wielomian坦w Legendrea.
19. 息 2014 R. Robert Gajewski19/51
Wzy i wagi
Wielkoci odcitych (wsp坦rzdne tak
zwanych wz坦w, ang. abcissa) dla
kwadratury rzdu n s miejscami zerowymi
wielomianu Legendrea.
A wagami (ang. weights) s wielkoci tak甜e
zale甜ne od wielomian坦w Legendrea.
ワ
p
i
ii FwdF
1
1
1
醐醐
20. 息 2014 R. Robert Gajewski20/51
Wielomiany Legendrea
Nienormowane wielomiany Legendrea
okrela si poni甜szym wzorem
Mo甜na je zapisa r坦wnie甜 w jawnej postaci
,...1,0,1
d
d
!2
1 2
緒 nx
xn
P
n
n
n
nn
in
n
i
i
nn x
n
in
i
n
xP 2
2
0
22
1
2
1
件
э
件
э
!!
!
knk
n
k
n
緒件
э
21. 息 2014 R. Robert Gajewski21/51
Zale甜no rekurencyjna
Kolejne wielomiany Legendrea powizane
s zale甜noci rekurencyjn
,...2,1,
11
12
11
nxP
n
n
xxP
n
n
xP nnn
22. 息 2014 R. Robert Gajewski22/51
Kilka pocztkowych
wielomian坦w
xxxxP
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
157063
33035
35
13
1
35
8
1
5
24
8
1
4
3
2
1
3
2
2
1
2
1
0
26. 息 2014 R. Robert Gajewski26/51
Interpretacja graficzna
27. 息 2014 R. Robert Gajewski27/51
Stopie formuy cakowania
Warto wykadnika najwy甜szej potgi w
wielomianie to jego rzd (mo甜na
powiedzie stopie wielomianu).
Wymienione cztery formuy cakuj
dokadnie wielomiany stopnia
odpowiednio: 1, 3, 5 i 7.
W przypadku 1D kwadratura o p wzach
cakuje dokadnie wielomian do stopnia
2p-1.
Wielko ta to stopie formuy
cakowania.
28. 息 2014 R. Robert Gajewski28/51
Mapowanie
W przypadku cakowania w przedziale [a,b]
nale甜y dokona odpowiedniego
odwzorowania (mapowania).
0,
1
1
常緒 駕
ablJdFdxxF
b
a
醐
l
d
dx
Jbax
l
lbabax
2
1
,
2
12
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
緒緒
緒
醐醐
29. 息 2014 R. Robert Gajewski29/51
Regua iloczynowa
Najprostsza regua cakowania 2D to regua
iloczynowa (ang. product rule). Uzyskuje si
j przez zastosowanie regu 1D do ka甜dej
niezale甜nej zmiennej.
ワワ 駕
駕
誌
1 2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,,,
,,
p
i
p
j
jiji FwwdFdddF
dFdddF
醐醐醐醐
醐醐醐
30. 息 2014 R. Robert Gajewski30/51
PRZYKAD: tre zadania
Wyznaczy rozkad temperatury w
przekroju poprzecznym nieskoczenie
dugiego prta o przekroju kwadratowym.
G坦rna powierzchnia jest izolowana
cieplnie a dolna chodzona.
Lewa strona jest podgrzewana
strumieniem ciepa, na prawej jest zadana
okrelona temperatura.
Istniej wewntrzne 添r坦da ciepa
31. 息 2014 R. Robert Gajewski31/51 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski31/51
Dane
a = 2 cm
qB = 200 000 W/m2
qV = 1 107 W/m3
T = 100 0C
砧 = 60 W/m2K
TB = 100 0C
砧x = 了y = 42 W/mK
32. 息 2014 R. Robert Gajewski32/51
Rysunek
1 2 3
654
7 8 9
33. 息 2014 R. Robert Gajewski33/51
Lokalnie i globalnie
Element Lokalne Globalne
1 1 2 3 4 1 2 4 5
2 1 2 3 4 2 3 6 5
3 1 2 3 4 4 5 8 7
4 1 2 3 4 5 6 9 8
34. 息 2014 R. Robert Gajewski34/51
Warunki brzegowe
0
2
0
0
2
0
緒
ay
y
bax
b
x
y
T
TT
y
T
TT
q
x
T
¥
35. 息 2014 R. Robert Gajewski35/51
Macierze sztywnoci
緒緒緒
4121
1412
2141
1114
7
4121
1412
2141
1114
6
4321
KKKK
K
36. 息 2014 R. Robert Gajewski36/51
Macierze wymiany ciepa
0000
0000
002.01.0
001.02.0
0000
0000
0021
0012
6
0000
0000
002.01.0
001.02.0
0000
0000
0021
0012
6
2
1
a
a
K
K
37. 息 2014 R. Robert Gajewski37/51
Zagregowana macierz
przewodnoci
28707140000
7567141414000
07280147000
7140561407140
1414141411214141414
0147014560147
00071402870
0001414147567
00001470728
K
38. 息 2014 R. Robert Gajewski38/51
Zagregowana macierz 留
KmW
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
0000002.01.00
0000001.04.01.0
00000001.02.0
K
39. 息 2014 R. Robert Gajewski39/51
Nieruchome stopnie swobody
W wzach 3 6 9 znamy temperatur, czyli
rozwizanie zadania
Dla tych niewiadomych nie musimy
ukada r坦wna!!!
Mo甜emy te甜 zmodyfikowa pen macierz ukadu
r坦wna w ten spos坦b, 甜e na g坦wnej przektnej dla
tych r坦wna bd wystpowa jedynki, a pozostae
wyrazy w wierszu i kolumnie bd 0
Tych r坦wna po prostu nie rozwizujemy
40. 息 2014 R. Robert Gajewski40/51
Macierz ukadu r坦wna
100000000
056701414000
07280147000
000100000
0141401121401414
0147014560147
000000100
0000141404.569.6
000014709.62.28
K
41. 息 2014 R. Robert Gajewski41/51
Obci甜enia od 添r坦de
m
Waq
m
Waq
m
Waq
m
Waq
Tv
Q
Tv
Q
Tv
Q
Tv
Q
1111
4
1111
4
1111
4
1111
4
2
4
2
3
2
2
2
1
f
f
f
f
42. 息 2014 R. Robert Gajewski42/51
Obci甜enia od 添r坦de
Tv
Q
aq
121242121
4
2
f
m
W
Q
250
500
250
500
1000
500
250
500
250
f
43. 息 2014 R. Robert Gajewski43/51
Obci甜enia konwekcyjne
TaT
0011
2
21
ワ
¥ ff
m
W
0
0
0
0
0
0
6
12
6
f
44. 息 2014 R. Robert Gajewski44/51
Obci甜enia strumieniem
m
W
q
0
0
1000
0
0
2000
0
0
1000
f
Tb
qq
aq
1001
2
31
ff
45. 息 2014 R. Robert Gajewski45/51
Sumowanie
m
W
250
500
1250
500
1000
2500
256
512
1256
0
0
1000
0
0
2000
0
0
1000
0
0
0
0
0
0
6
12
6
250
500
250
500
1000
500
250
500
250
f
46. 息 2014 R. Robert Gajewski46/51
Modyfikacja
m
W
2600
5200
2602
100
100
100
f
1250
2500
1256
47. 息 2014 R. Robert Gajewski47/51
Ukad r坦wna i jego rozwizanie
48. 息 2014 R. Robert Gajewski48/51 息2012 R. Robert RoG@j Gajewski48/51
Rysunek
238.63 180,20 100,00
100.00181.80240.68
241.27 182.21 100.00
49. 息 2014 R. Robert Gajewski49/51
5 wz坦w, 4 elementy
50. 息 2014 R. Robert Gajewski50/51
3 wzy na krawdzi