M¨¦todo de gauss (versi¨®n en galego)
- 1. Matem¨¢ticas (1? e 2? de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2? Bach // IES Monelos (A Coru?a) M¨¦todo de Gauss - En resumo, util¨ªzase para resolve-las 3 inc¨®gnitas (x,y,z) dun sistema de 3 ecuaci¨®ns. Por Exemplo: x+y+z=0 x+y+z=0 x+y+z=0 Conv¨¦rtese nun sistema escalonado y+z=0 x+y+z=0 z=0 - Iso ¨¦ exactamente o que ¨¦ o M¨¦todo de Gauss, aprender a escalonar este tipo de sistemas para logo, ao ter o valor de Z, resolver a ecuaci¨®n y+z=0 para obter o valor de Y, e logo, ao ter o valor de Y, resolver a primeira ecuaci¨®n x+y+z=0, para obter o valor de X. ____________________________________________________________________________________________________________________ - Imos a chamarlle a cada fila (A), (B) e (C), e a cada columna pois iso, columna das X, das Y, das Z¡ tam¨¦n ten nome a columna do resultado, se che interesa inf¨®rmate por ah¨ª :) (si, no primeiro ano de universidade olv¨ªdanseche moitas cousas¡) tam¨¦n lle podemos chamar fila 1?, 2? 3?¡ como m¨¢is che guste. - Para comezar, colle papel e boli e comeza a facer probas. Para elimina-las X multiplicamos a fila (B) polo n¨²mero que leve a X da fila (A) e isto sum¨¢molo ao resultado de multiplica-la fila (A) polo n¨²mero que leve diante a X da fila (B) (Antes aclarar que A¡¯ (chamada ¡°A prima¡±) e a fila A orixinal ?Sempre!... // A¡¯¡¯ (A dobre prima) ser¨¢ o paso seguinte ¨® estado orixinal da ecuaci¨®n, e as¨ª sucesivamente, A, A¡¯, A¡¯¡¯, A¡¯¡¯¡¯¡ tantas veces como te?amos que facer pasos ata chegar o sistema escalonado) Exemplo collendo s¨® as X dun sistema, hai que eliminar as X da columna (B) e da C) FILA (A) 2x (A¡¯) = (A) (non cambi¨¢mo-la primeira fila, ¨¦ a que tomamos como referencia) FILA (B) x (B¡¯) = 2(B) + - 1(A) (¨¦ dicir, collemos a fila (B) multiplicada por dous e rest¨¢moslle a (A) para que 2x-2x=0) FILA (C) 3x (C¡¯) = 2(C) + - 3(A) // que ser¨ªa 2¡¤3x+-3¡¤2x ¨¦ dicir: 6x+-6x = 0 Ou sexa, que ter¨ªamos as d¨²as X eliminadas, o seguinte ser¨ªa eliminar a Y da columna (C) e xa ter¨ªamos escalonado o sistema, sendo logo facilmente resolto. - Para eliminar a Y da columna (C) fac¨¦mo-lo mesmo que coas dous X anteriores, s¨® que agora collendo como referencia a Y da fila (B) (Olvid¨¢monos xa da fila (A)) Exemplo: FILA (A¡¯) 2x +3y (A¡¯¡¯) = (A¡¯) = (A) FILA (B¡¯) y (B¡¯¡¯) = (B¡¯) FILA (C¡¯) 2y (C¡¯¡¯) = 1(C¡¯) + - 2(B¡¯) ¨¦ dicir: 1¡¤2y + - 2¡¤y = 2y + - 2y = 0 // ter¨ªamos xa quitada a Y da fila (C¡¯) Po?er ¡°2x+3y¡± e logo (A¡¯¡¯)=(A¡¯)=(A) significa que soamente que xa estamos no paso 2, 3¡ (as comi?as que te?a a letra) neste caso (A¡¯¡¯) e igual a (A¡¯) e a (A) por que ao ser a fila A, e esta non cambia, en t¨®dolos pasos valer¨¢ o mesmo, Non sendo as¨ª na B o una C nas que faremos cambios para escalonar o sistema, polo que (B¡¯¡¯) = (B¡¯) por que nesta fila quitaremos un X, e (C¡¯¡¯) non valer¨¢ ning¨²n dos valores anteriores por que lle faremos dous cambios, un pola X o outro pola Y) - As¨ª, o sistema de 3 ecuaci¨®ns (Filas A, B, e C) con 3 inc¨®gnitas (X,Y,Z) estar¨ªa convertido nun sistema escalonado, ¨¦ dicir, saber¨ªamos que a Z da fila (C) ser¨ªa igual a un n¨²mero, ent¨®n na fila B, que est¨¢n Y e Z, sustituir¨ªamos a Z polo n¨²mero que sabemos e despexar¨ªamos Y para saber o seu resultado, agora, sabendo o valor de Y e Z poderemos despexar X na fila A, polo que teremos resolto o exercicio. - Esta forma de facelo ¨¦ a mais sistem¨¢tica posible (ou alomenos non hai que pensar moito, s¨® non trabucarse cos signos e pouco m¨¢is). Claro que non ¨¦ preciso que se eliminen sempre as X das filas B e C, nin a Y da C, soamente tes que ter una ecuaci¨®n con 3 inc¨®gnitas, 3 na fila A, d¨²as na fila B e una xa resolta na fila C, e dicir, en vez de X Y Z na primeira fila, Y Z na segunda, e Z na terceira, podes eliminar Z na segunda fila, e Z e Y na terceira, se tes ganas pract¨ªcao, pero eu creo que xa con resolvelo ben chega, non nos imos a po?er esquisitos¡ iso si, sempre a ¨²ltima inc¨®gnita ten que estar inclu¨ªda na segunda fila, por que se na terceira fila tes Z e na segunda X e Y, non poder¨ªas resolver o sistema, na segunda ter¨ªa que estar sempre Z, e dicir, esa inc¨®gnita da terceira fila. (Suponse, pero por non dicilo que non sexa) - A todo isto!, non t¨®dolos sistemas de ecuaci¨®ns te?en soluci¨®n, ou poden ter varias, na seguinte p¨¢xina tes como se poden clasificar os sistemas segundo o tipo de soluci¨®n que te?an. 1
- 2. Matem¨¢ticas (1? e 2? de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2? Bach // IES Monelos (A Coru?a) Clasificaci¨®n dos sistemas de ecuaci¨®ns - ? moi sinxelo, clasif¨ªcanse en: o SCD = Sistema compatible determinado (Unha soa soluci¨®n para cada inc¨®gnita) o SCI = Sistema compatible indeterminado (Varias soluci¨®ns para o sistema) o SI = Sistema incompatible (Non hai soluci¨®n) - Hai casos nos que vemos a simple vista que se sumamos unha fila por outra directamente podemos eliminar unha inc¨®gnita, neses casos p¨®dese p¨®dese aproveitar como o de a continuaci¨®n, primeiro o resolverei da maneira que expliquei, logo da outra. EXEMPLO DE SCD x +2y+z = 3 (A¡¯) = (A) x+2y+z = 3 (A¡¯¡¯) = (A¡¯) =(A) x+2y+z = 3 2x-2y+3z = -1 (B¡¯) = 1(B) + - 2(A) -6y+z = -7 (B¡¯¡¯) = (B¡¯) -6y+z = -7 3x-2y+2z = 2 (C¡¯) = 1(C) + - 3(A) -8y-z=-7 (C¡¯¡¯) = -6(C¡¯) + 8(B¡¯) 14z = -14 1) Temos que 14z = -14; logo z = -14/14 = -1 2) Se Z= -1, imos a (B¡¯¡¯) e despexamos: -6y+z = 7 (por que ¡°-6y+z=-7¡± (fila B) ¨¦ o mesmo que -6y = -7-z ; cambiase de signo ¨¢ Z ¨® trocar de lado) -6y+(-1) = -7; -6y = -6, logo y= -6/-6 = 1 3) Se z = -1 ; y= 1, imos a (A¡¯¡¯) e despexamos: x+2y+z = 3 (por que ¡°x+2y+z = 3¡± (fila A) ¨¦ x = 3-2y-z, polo mesmo que expliquei antes) x+2(1) + (-1) = 3 ; x = 2 POLO CAL: X = 2 ; Y = 1 ; Z = -1 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO P¨®dese facer o exercicio directamente sobre o sistema de ecuaci¨®ns ou transformar o sistema de ecuaci¨®ns nunha matriz e facelo ah¨ª. x +2y+z = 3 1 2 1 3 x+2y+z = 3 1 2 1 3 2x-2y+3z = -1 2 -2 3 -1 -6y+z=-7 0 -6 1 -7 3x-2y+2z = 2 3 -2 2 2 14z = -14 0 0 12 -14 SEN APLICA-LO M?TODO DE GAUSS M?TODO DE GAUSS XA APLICADO OUTRAS MANEIRAS DE FACELO Co sistema de ecuaci¨®ns anterior podemos facer outros procedementos para resolvelo. como: 1) Vemos como a Y de (A) e a Y de (B), se sum¨¢molas d¨²as filas, r¨¦stanse, polo que queda eliminada a Y de (B) X+2y+z = 3 (A¡¯) = (A) x +2y+z = 3 2x-2y+3z = -1 (B¡¯) (A)+(B) 3x +4z = 2 3x-2y+2z = 2 2) Poder¨ªamos elimina-la Y de (C) da mesma maneira (A¡¯) = (A) x+2y+z = 3 (B¡¯) = (A) + (B) 3x +4z = 2 estas cores verdes ¨¦ vermellas son unha indicaci¨®n dunha explicaci¨®n (C¡¯) = (A) + (C) 4x +3z = 5 que vir¨¢ a continuaci¨®n 3) Agora, tendo dous ecuaci¨®ns con d¨²as inc¨®gnitas, collemos unha para eliminar outra inc¨®gnita. 2
- 3. Matem¨¢ticas (1? e 2? de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2? Bach // IES Monelos (A Coru?a) 4) Vemos que xa non se poden buscar maneiras simples de eliminar membros, as¨ª que seguimos fac¨¦ndoo da maneira explicada anteriormente. (A¡¯¡¯) = (A¡¯) = (A) x+2y+z = 3 (B¡¯¡¯) = (B¡¯) 3x +4z = 2 (C¡¯¡¯) = 3 (C¡¯) + - 4(B¡¯) -7z = 7 Fac¨¦mo-lo seguinte nun borrador para que sexa m¨¢is sinxelo sumar t¨®dolos compo?entes sen ter erros: 3(4) + - 4(3) = 0 3(3) + - 4(4) = -7 Isto exactamente ¨¦ est¨¢ ¡°f¨®rmula¡±: (C¡¯¡¯) = 3 (C¡¯) + - 4(B¡¯) indicada anteriormente 3(5) + - 4(2) = 7 sendo os n¨²meros en vermello e verdes os que deixei indicados na p¨¢xina anterior, xa que o resultado das operaci¨®ns feitas na parte de arriba desta mesma p¨¢xina ¨¦ o resultado de facer este borrador. 5) Despex¨¢mo-las inc¨®gnitas: 7 Z= -7 = -1 2-4z 2-4(-1) X= 3 = 3 = 2 3-x-z 3-2-(-1) Y= 2 = 2 =1 X = 2 ; Y = 1 ; Z = -1 ; SCD (Soluci¨®ns que xa co?ecemos) EXEMPLO DE SCI - Este tipo de sistemas te?en varias soluci¨®ns (valores) para cada inc¨®gnita. A¨ªnda que isto non nos importa para nada, un sistema ¨¦ SCI cando al dar alg¨²n paso do m¨¦todo elim¨ªnasenos unha fila enteira, xa non temos os tres escal¨®ns polo que nestes casos decimos que o sistema ten infinitas soluci¨®ns. Dise isto, pero en realidade, simplemente f¨¢ltanos unha fila para poder despexar as 3 inc¨®gnitas da fila (A) (o paso final polo que resolver¨ªamos as 3 inc¨®gnitas) Exemplo: 3x+2y-2z = 4 (A¡¯) = (A) 3x+2y-2z = 4 (A¡¯¡¯) = (A¡¯) = (A) 3x+2y-2z = 4 4x+y-z = 7 (B¡¯) = 2(B) + - 4(A) -5y+5z = 5 (B¡¯¡¯) = (B¡¯) -5y+5z = 5 X+4y-4z = -2 (C¡¯) = 3(C) + - 1(A) 10y-10z = -10 (C¡¯¡¯) = 2(B¡¯) + (C¡¯) 0y+0z = 0 -> non queda nada na 3? fila. Pero o resultado 0+0 non ¨¦ un absurdo, ¨¦ dicir, 0+0=0 ¨¦ totalmente certo, polo cal ser¨¢ un Sistema Compatible Indeterminado (no caso de que o resultado fose un absurdo como 5+2=12 o sistema ser¨¢ Incompatible como veremos a continuaci¨®n. ? non ter a terceira ecuaci¨®n con unha soa inc¨®gnita, xa non podemos resolver o sistema. O SISTEMA ? INCOMPATIBLE EXEMPLO DE SI - Un sistema ¨¦ incompatible cando ¨® aplica-lo m¨¦todo ch¨¦gase a un ¡°Absurdo¡± como o seguinte: 3x+2y-2z = 4 (A¡¯) = (A) 3x+2y-2z = 4 (A¡¯¡¯) = (A¡¯) = (A) 3x+2y-2z = 4 4x+y-z = 7 (B¡¯) = 3(B) ¨C 4(A) - 5y+5z = 5 (B¡¯¡¯) = (B¡¯) -5y+5z = 5 X+4y-4z = 0 (C¡¯) = 3(C) ¨C (A) 10y-10z = -4 (C¡¯¡¯) = 2(B) + (C) 0y¨C0z = 6 -> ABSURDO O SISTEMA ? INCOMPATIBLE 3