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?ng d?ng t¨ªch ph?n t¨ªnh gi?i h?n c?a d?y s?

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Sir? Tiny
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facebook.com/hoitoanhoc Page 1 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny ?NG D?NG T?CH PH?N T?NH GI?I H?N C?A D?Y S? INTRODUCE: T¨¤i li?u n¨¤y cung c?p cho c¨¢c b?n m?t ph??ng ph¨¢p m¨¤ ¨ªt b?n n¨¤o h?c THPT quan t?m ?? ? v¨¬ ph?n d?y s? v¨¤ ngu?n g?c t¨ªnh t¨ªch ph?n ¨ªt ai quan t?m. Cho n¨ºn ??y coi nh? l¨¤ m?t b¨¤i th??ng th?c cho c¨¢c b?n, hi v?ng s? gi¨²p ¨ªch ???c cho ai ?¨® ?
facebook.com/hoitoanhoc Page 2 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Nh?c l?i: ??nh ngh?a t¨ªch ph?n (?i?u n¨¤y ¨ªt h?c sinh quan t?m v¨¬ ch¨²ng ta s? ???c h?c c¨¢c c?ng th?c nguy¨ºn h¨¤m ngay sau b¨¤i m? ??u v? t¨ªch ph?n trong s¨¢ch THPT). T¨ªch ph?n (Integral (Anh), ·e·Ö (Trung)) l¨¤ m?t kh¨¢i ni?m to¨¢n h?c, v¨¤ c¨´ng v?i ngh?ch ??o c?a n¨® l¨¤ vi ph?n (differentiation) ?¨®ng vai tr¨° l¨¤ 2 ph¨¦p t¨ªnh c? b?n v¨¤ ch? ch?t trong l?nh v?c gi?i t¨ªch (calculus). C¨® th? hi?u ??n gi?n t¨ªch ph?n nh? l¨¤ di?n t¨ªch ho?c di?n t¨ªch t?ng qu¨¢t h¨®a. Gi? s? c?n t¨ªnh di?n t¨ªch m?t h¨¬nh ph?ng ???c bao b?i c¨¢c ?o?n th?ng, ta ch? vi?c chia h¨¬nh ?¨® th¨¤nh c¨¢c h¨¬nh nh? ??n gi?n h?n v¨¤ ?? bi?t c¨¢ch t¨ªnh di?n t¨ªch nh? h¨¬nh tam gi¨¢c, h¨¬nh vu?ng, h¨¬nh thang, h¨¬nh ch? nh?t... Ti?p theo, x¨¦t m?t h¨¬nh ph?c t?p h?n m¨¤ n¨® ???c bao b?i c? ?o?n th?ng l?n ???ng cong, ta c?ng chia n¨® th¨¤nh c¨¢c h¨¬nh nh? h?n, nh?ng b?y gi? k?t qu? c¨® th¨ºm c¨¢c h¨¬nh thang cong. T¨ªch ph?n gi¨²p ta t¨ªnh ???c di?n t¨ªch c?a h¨¬nh thang cong ?¨®. Ho?c gi?i th¨ªch b?ng to¨¢n h?c nh? sau: Cho m?t h¨¤m f c?a m?t bi?n th?c x v¨¤ m?t mi?n gi¨¢ tr? th?c ? ?;a b , khi ?¨® m?t t¨ªch ph?n x¨¢c ??nh (definite integral) T¨ªch ph?n x¨¢c ??nh ???c ??nh ngh?a l¨¤ di?n t¨ªch S gi?i h?n b?i ???ng cong ( )y f x? v¨¤ tr?c ho¨¤nh, v?i x ch?y t?a ??n b . ( ) b a f x dx? ???c cho l¨¤ di?n t¨ªch v¨´ng kh?ng gian ph?ng Oxy ???c bao b?i ?? th? h¨¤m f , tr?c ho¨¤nh, v¨¤ c¨¢c ???ng th?ng x a? v¨¤ x b? sao cho c¨¢c v¨´ng tr¨ºn tr?c ho¨¤nh s? ???c t¨ªnh v¨¤o t?ng di?n t¨ªch, c¨°n nh?ng ph?n d??i tr?c ho¨¤nh s? b? tr? v¨¤o t?ng di?n t¨ªch.
facebook.com/hoitoanhoc Page 3 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Cho ( )F x l¨¤ m?t nguy¨ºn h¨¤m c?a ( )f x trong ( , )a b . Khi ?¨®, t¨ªch ph?n b?t ??nh (indefinite integral) ???c vi?t nh? sau: ( ) ( )f x dx F x C? ?? Ta b?t ??u v¨¤o n?i dung c?a ph??ng ph¨¢p ? Cho ( )f x x¨¢c ??nh tr¨ºn ? ?;a b . Chia ?o?n ? ?;a b th¨¤nh n ?o?n b?ng nhau, gi?i h?n b?i ( 1)n ? ?i?m chia ( 0, )ix i n? nh? sau: 0 1 2 ... ...k nx a x x x x b? ? ? ? ? ? ? ? v?i 0x a? 1 b a x a n ? ? ? ; 2 2( )b a x a n ? ? ? ; ¡­ . .n b a x a n b n ? ? ? ? L?y 1[ ; ]i i i ix x x? ?? ? , 1,i n? ?? .i b a a i n ? ? ? ? . T¨ªnh ( ) .i b a f f a i n ? ?? ? ? ?? ? ? ? Theo ??nh ngh?a th¨¬ ta l?p t?ng 1 1 1 ( )( ) . n n n i i i i i b a b a S f x x f a i n n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2( ) ( ... . b a b a b a b a f a f a f a n n n n n ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? . N?u ( )f x li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?;a b th¨¬ lim ( ) b n an S f x dx ?? ? ? . ?? t¨¬m gi?i h?n t?ng ? ?1 2 ... limn n n n S u u u S ?? ? ? ? ? ph? thu?c v¨¤o n N? trong nhi?u tr??ng h?p ta c¨® th? d?n ??n d?ng t?ng c?a t¨ªch ph?n 1 ( ) n i i i f ? ? ?? r?i t¨ªnh t¨ªch ph?n t??ng ?ng. B?ng c¨¢ch t¨ªnh t¨ªch ph?n ta t¨ªnh ???c gi?i h?n c?n t¨¬m. B¨¤i to¨¢n v¨¤ c¨¢ch tr¨¬nh b¨¤y: Cho 1 2 ...n nS u u u? ? ? ? t¨ªnh lim .n n S ?? L?i gi?i: Ngo¨¤i c¨¢ch t¨ªnh tr?c ti?p t?ng nS th?ng qua c¨¢c c?ng th?c v? d?y s? nh? c?p s? c?ng, c?p s? nh?n, ta c¨® th? y¨ºu em n¨¤y b?ng nh? t¨ªch ph?n sau:
facebook.com/hoitoanhoc Page 4 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny 1. Bi?n ??i nS v? d?ng 1 1. 2. ... . . . n n i b a b a b a b a b a b a S f a f a f a n f a i n n n n n n? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2. Ch? ra h¨¤m f v¨¤ ch?ng minh f li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?; .a b 3. K?t lu?n lim ( ) b n an S f x dx ?? ? ? Trong th?c h¨¤nh ch¨²ng ta th??ng g?p c¨¢c d?ng ??n gi?n 0,a ? 1.b ? Khi ?¨® c¨¢c giai ?o?n b¨ºn tr¨ºn ???c r¨²t g?n cho d? hi?u nh? sau: 1. Bi?n ??i nS v? d?ng 1 1 1 2 1 ... . n n i n i S f f f f n n n n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2. Ch? ra h¨¤m f v¨¤ ch?ng minh f li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?0;1 . 3. K?t lu?n 1 0 lim ( ) .n n S f x dx ?? ? ? Sau khi ??c h?t ph?n l¨ª thuy?t kh¨¢ l?ng nh?ng tr¨ºn, ch¨²ng ta b?t ??u m?t s? v¨ª d? ¨¢p d?ng: V¨ª d? 1. T¨ªnh 1 1 1 lim ... 1 2 n n S n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? L?i gi?i. Nh?n x¨¦t r?ng 1 1 1 1 n n i S in n ? ? ? ? X¨¦t h¨¤m s? 1 ( ) 1 f x x ? ? tr¨ºn ?o?n ? ?0;1 . Chia ?o?n ? ?0;1 th¨¤nh n ?o?n nh? b?ng nhau, m?i ?o?n b?ng 1 , n gi?i h?n b?i ( 1)n ? ?i?m chia: 0 1 2 1 2 0 ... ... 1i n i x x x x x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ta c¨®: 1 1 ( ) ( ) n n i i i i S x x f ?? ? ? ??
facebook.com/hoitoanhoc Page 5 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Ch?n 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 n n i i i i n i i i x f f x S i in n i n n n ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? Theo ??nh ngh?a ta c¨® 1 1 01 0 0 1 lim lim ( 1) | 2 1 n n n i n dx S ln x ln x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? V?y lim 2n n S ln ?? ? V¨ª d? 2. T¨ªnh lim n n S ?? v?i 1 2 ( 1) ...n n S sin sin sin n n n n ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? L?i gi?i: X¨¦t h¨¤m s? ( )f x sin x?? tr¨ºn ?o?n ? ?0;1 . Chia ?o?n ? ?0;1 th¨¤nh n ?o?n nh? b?ng nhau, m?i ?o?n b?ng 1 , n gi?i h?n b?i ( 1)n ? ?i?m chia: 0 1 2 1 2 0 ... ... 1i n i x x x x x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ta c¨®: 1 1 ( ) ( ) n n i i i i S x x f ?? ? ? ?? Ch?n 1 1 ( ) ( ) sin n i i i i n i i i i x f f x S sin n n n n ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? Theo ??nh ngh?a ta c¨®: 1 1 01 0 0 1 1 1 1 2 lim lim | ( 1 1) n n i n i sin sin xdx cos x n n ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? V?y 2 lim n n S ??? ? V¨ª d? 3. T¨ªnh lim n n S ??? v?i 2 2 2 2 2 1 1 1 ... 4 1 4 2 4 nS n n n n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? L?i gi?i.
facebook.com/hoitoanhoc Page 6 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Ta c¨® 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 24 4 4 n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? X¨¦t 2 1 ( ) 4 f x x ? ? tr¨ºn ?o?n ? ?0;1 th¨¬ ( )f x li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?0;1 Chia ? ?0;1 th¨¤nh n ph?n b?ng nhau b?i c¨¢c ?i?m chia i i x n ? , ( 0, )i n? . Tr¨ºn m?i ?o?n ? ?1,i ix x? l?y ( 1, )i i i n n ? ? ? , 1 1 .i i ix x n ?? ? ? ? Ta c¨® t?ng t¨ªch ph?n: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 n n n i i n i i i f S n ni i n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Do ?¨® 1 1 2 20 0 1 lim . 24 1 2 n n dx dx S I x x ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??t 2 x cost? , ? ?0; 2t dx sintdt?? ?? ? ? ; 0 2 x t ? ? ?? ? ; 1 3 x t ? ? ?? ? Do ?¨® 3 2 2 3 2 3 1 2 | . 2 2 3 6 sintdt I dt t sint ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? V?y lim 6 n n S ? ??? ? Ti?p theo ch¨²ng ta s? x¨¦t ??n c¨¢c b¨¤i m¨¤ ?o?n l?y t¨ªch ph?n kh?ng c¨°n l¨¤ ? ?0;1 m¨¤ s? l¨¤ ? ?;a b .
facebook.com/hoitoanhoc Page 7 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny V¨ª d? 4. T¨ªnh lim n??? 2 2 2 2 2 2 sin 2sin sin ... . 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n nn n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? L?i gi?i. ??t 2 2 2 2 2 2 sin 2sin sin ... . 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n nS nn n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 sin sin sin ... 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n n n n nn n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 . . n i i f n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X¨¦t h¨¤m s? 2 ( ) 1 xsinx f x cos x ? ? li¨ºn t?c tr¨ºn ?o?n ? ?0;? . Chia ?o?n ? ?0;? th¨¤nh n ph?n b?ng nhau b?i c¨¢c ?i?m chia ( 0, )i i x i n n ? ? ? . Tr¨ºn m?i ?o?n 1[ , ]i ix x? ch?n , 1,i i i n n ? ? ? ? v¨¤ . n ? ? ? Ta c¨® 1 1 1 ( ) . n n n i i n i i i i i f f f S n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 lim 1 n n xsinxdx S J cos x ? ??? ?? ? ? ?? B?ng ph¨¦p ??i bi?n s? x t?? ? ta t¨ªnh ngay ???c 2 4 J ? ? C¨¢c b¨¤i t?p t??ng t?: T¨ªnh lim n n S ??? trong c¨¢c tr??ng h?p sau: 1. 1 2 ( 1) cos cos ... cosn n S n n n n ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?S. 0
facebook.com/hoitoanhoc Page 8 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny 2. 1 1 2 1 1 ... 1 n n n S n n n ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?S. 2 1ln e ? 3. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 ... ... 2 4 (2 ) (2 ) n k n S n n k n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?S. 3 12 ln 4. 5 5 5 6 1 2 .... n n S n ? ? ? ? 5. 1 1 1 1 ... 2 1 1 1 2 2 2 nS nn sin sin sin n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? (Kh?i A ?HQG HN, n?m 2005) Ch¨²c c¨¢c b?n th¨¤nh c?ng trong h?c t?p v¨¤ l¨¤m vi?c ?

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  • 1. facebook.com/hoitoanhoc Page 1 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny ?NG D?NG T?CH PH?N T?NH GI?I H?N C?A D?Y S? INTRODUCE: T¨¤i li?u n¨¤y cung c?p cho c¨¢c b?n m?t ph??ng ph¨¢p m¨¤ ¨ªt b?n n¨¤o h?c THPT quan t?m ?? ? v¨¬ ph?n d?y s? v¨¤ ngu?n g?c t¨ªnh t¨ªch ph?n ¨ªt ai quan t?m. Cho n¨ºn ??y coi nh? l¨¤ m?t b¨¤i th??ng th?c cho c¨¢c b?n, hi v?ng s? gi¨²p ¨ªch ???c cho ai ?¨® ?
  • 2. facebook.com/hoitoanhoc Page 2 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Nh?c l?i: ??nh ngh?a t¨ªch ph?n (?i?u n¨¤y ¨ªt h?c sinh quan t?m v¨¬ ch¨²ng ta s? ???c h?c c¨¢c c?ng th?c nguy¨ºn h¨¤m ngay sau b¨¤i m? ??u v? t¨ªch ph?n trong s¨¢ch THPT). T¨ªch ph?n (Integral (Anh), ·e·Ö (Trung)) l¨¤ m?t kh¨¢i ni?m to¨¢n h?c, v¨¤ c¨´ng v?i ngh?ch ??o c?a n¨® l¨¤ vi ph?n (differentiation) ?¨®ng vai tr¨° l¨¤ 2 ph¨¦p t¨ªnh c? b?n v¨¤ ch? ch?t trong l?nh v?c gi?i t¨ªch (calculus). C¨® th? hi?u ??n gi?n t¨ªch ph?n nh? l¨¤ di?n t¨ªch ho?c di?n t¨ªch t?ng qu¨¢t h¨®a. Gi? s? c?n t¨ªnh di?n t¨ªch m?t h¨¬nh ph?ng ???c bao b?i c¨¢c ?o?n th?ng, ta ch? vi?c chia h¨¬nh ?¨® th¨¤nh c¨¢c h¨¬nh nh? ??n gi?n h?n v¨¤ ?? bi?t c¨¢ch t¨ªnh di?n t¨ªch nh? h¨¬nh tam gi¨¢c, h¨¬nh vu?ng, h¨¬nh thang, h¨¬nh ch? nh?t... Ti?p theo, x¨¦t m?t h¨¬nh ph?c t?p h?n m¨¤ n¨® ???c bao b?i c? ?o?n th?ng l?n ???ng cong, ta c?ng chia n¨® th¨¤nh c¨¢c h¨¬nh nh? h?n, nh?ng b?y gi? k?t qu? c¨® th¨ºm c¨¢c h¨¬nh thang cong. T¨ªch ph?n gi¨²p ta t¨ªnh ???c di?n t¨ªch c?a h¨¬nh thang cong ?¨®. Ho?c gi?i th¨ªch b?ng to¨¢n h?c nh? sau: Cho m?t h¨¤m f c?a m?t bi?n th?c x v¨¤ m?t mi?n gi¨¢ tr? th?c ? ?;a b , khi ?¨® m?t t¨ªch ph?n x¨¢c ??nh (definite integral) T¨ªch ph?n x¨¢c ??nh ???c ??nh ngh?a l¨¤ di?n t¨ªch S gi?i h?n b?i ???ng cong ( )y f x? v¨¤ tr?c ho¨¤nh, v?i x ch?y t?a ??n b . ( ) b a f x dx? ???c cho l¨¤ di?n t¨ªch v¨´ng kh?ng gian ph?ng Oxy ???c bao b?i ?? th? h¨¤m f , tr?c ho¨¤nh, v¨¤ c¨¢c ???ng th?ng x a? v¨¤ x b? sao cho c¨¢c v¨´ng tr¨ºn tr?c ho¨¤nh s? ???c t¨ªnh v¨¤o t?ng di?n t¨ªch, c¨°n nh?ng ph?n d??i tr?c ho¨¤nh s? b? tr? v¨¤o t?ng di?n t¨ªch.
  • 3. facebook.com/hoitoanhoc Page 3 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Cho ( )F x l¨¤ m?t nguy¨ºn h¨¤m c?a ( )f x trong ( , )a b . Khi ?¨®, t¨ªch ph?n b?t ??nh (indefinite integral) ???c vi?t nh? sau: ( ) ( )f x dx F x C? ?? Ta b?t ??u v¨¤o n?i dung c?a ph??ng ph¨¢p ? Cho ( )f x x¨¢c ??nh tr¨ºn ? ?;a b . Chia ?o?n ? ?;a b th¨¤nh n ?o?n b?ng nhau, gi?i h?n b?i ( 1)n ? ?i?m chia ( 0, )ix i n? nh? sau: 0 1 2 ... ...k nx a x x x x b? ? ? ? ? ? ? ? v?i 0x a? 1 b a x a n ? ? ? ; 2 2( )b a x a n ? ? ? ; ¡­ . .n b a x a n b n ? ? ? ? L?y 1[ ; ]i i i ix x x? ?? ? , 1,i n? ?? .i b a a i n ? ? ? ? . T¨ªnh ( ) .i b a f f a i n ? ?? ? ? ?? ? ? ? Theo ??nh ngh?a th¨¬ ta l?p t?ng 1 1 1 ( )( ) . n n n i i i i i b a b a S f x x f a i n n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2( ) ( ... . b a b a b a b a f a f a f a n n n n n ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? . N?u ( )f x li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?;a b th¨¬ lim ( ) b n an S f x dx ?? ? ? . ?? t¨¬m gi?i h?n t?ng ? ?1 2 ... limn n n n S u u u S ?? ? ? ? ? ph? thu?c v¨¤o n N? trong nhi?u tr??ng h?p ta c¨® th? d?n ??n d?ng t?ng c?a t¨ªch ph?n 1 ( ) n i i i f ? ? ?? r?i t¨ªnh t¨ªch ph?n t??ng ?ng. B?ng c¨¢ch t¨ªnh t¨ªch ph?n ta t¨ªnh ???c gi?i h?n c?n t¨¬m. B¨¤i to¨¢n v¨¤ c¨¢ch tr¨¬nh b¨¤y: Cho 1 2 ...n nS u u u? ? ? ? t¨ªnh lim .n n S ?? L?i gi?i: Ngo¨¤i c¨¢ch t¨ªnh tr?c ti?p t?ng nS th?ng qua c¨¢c c?ng th?c v? d?y s? nh? c?p s? c?ng, c?p s? nh?n, ta c¨® th? y¨ºu em n¨¤y b?ng nh? t¨ªch ph?n sau:
  • 4. facebook.com/hoitoanhoc Page 4 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny 1. Bi?n ??i nS v? d?ng 1 1. 2. ... . . . n n i b a b a b a b a b a b a S f a f a f a n f a i n n n n n n? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2. Ch? ra h¨¤m f v¨¤ ch?ng minh f li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?; .a b 3. K?t lu?n lim ( ) b n an S f x dx ?? ? ? Trong th?c h¨¤nh ch¨²ng ta th??ng g?p c¨¢c d?ng ??n gi?n 0,a ? 1.b ? Khi ?¨® c¨¢c giai ?o?n b¨ºn tr¨ºn ???c r¨²t g?n cho d? hi?u nh? sau: 1. Bi?n ??i nS v? d?ng 1 1 1 2 1 ... . n n i n i S f f f f n n n n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2. Ch? ra h¨¤m f v¨¤ ch?ng minh f li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?0;1 . 3. K?t lu?n 1 0 lim ( ) .n n S f x dx ?? ? ? Sau khi ??c h?t ph?n l¨ª thuy?t kh¨¢ l?ng nh?ng tr¨ºn, ch¨²ng ta b?t ??u m?t s? v¨ª d? ¨¢p d?ng: V¨ª d? 1. T¨ªnh 1 1 1 lim ... 1 2 n n S n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? L?i gi?i. Nh?n x¨¦t r?ng 1 1 1 1 n n i S in n ? ? ? ? X¨¦t h¨¤m s? 1 ( ) 1 f x x ? ? tr¨ºn ?o?n ? ?0;1 . Chia ?o?n ? ?0;1 th¨¤nh n ?o?n nh? b?ng nhau, m?i ?o?n b?ng 1 , n gi?i h?n b?i ( 1)n ? ?i?m chia: 0 1 2 1 2 0 ... ... 1i n i x x x x x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ta c¨®: 1 1 ( ) ( ) n n i i i i S x x f ?? ? ? ??
  • 5. facebook.com/hoitoanhoc Page 5 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Ch?n 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 n n i i i i n i i i x f f x S i in n i n n n ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? Theo ??nh ngh?a ta c¨® 1 1 01 0 0 1 lim lim ( 1) | 2 1 n n n i n dx S ln x ln x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? V?y lim 2n n S ln ?? ? V¨ª d? 2. T¨ªnh lim n n S ?? v?i 1 2 ( 1) ...n n S sin sin sin n n n n ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? L?i gi?i: X¨¦t h¨¤m s? ( )f x sin x?? tr¨ºn ?o?n ? ?0;1 . Chia ?o?n ? ?0;1 th¨¤nh n ?o?n nh? b?ng nhau, m?i ?o?n b?ng 1 , n gi?i h?n b?i ( 1)n ? ?i?m chia: 0 1 2 1 2 0 ... ... 1i n i x x x x x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ta c¨®: 1 1 ( ) ( ) n n i i i i S x x f ?? ? ? ?? Ch?n 1 1 ( ) ( ) sin n i i i i n i i i i x f f x S sin n n n n ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? Theo ??nh ngh?a ta c¨®: 1 1 01 0 0 1 1 1 1 2 lim lim | ( 1 1) n n i n i sin sin xdx cos x n n ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? V?y 2 lim n n S ??? ? V¨ª d? 3. T¨ªnh lim n n S ??? v?i 2 2 2 2 2 1 1 1 ... 4 1 4 2 4 nS n n n n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? L?i gi?i.
  • 6. facebook.com/hoitoanhoc Page 6 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny Ta c¨® 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 24 4 4 n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? X¨¦t 2 1 ( ) 4 f x x ? ? tr¨ºn ?o?n ? ?0;1 th¨¬ ( )f x li¨ºn t?c tr¨ºn ? ?0;1 Chia ? ?0;1 th¨¤nh n ph?n b?ng nhau b?i c¨¢c ?i?m chia i i x n ? , ( 0, )i n? . Tr¨ºn m?i ?o?n ? ?1,i ix x? l?y ( 1, )i i i n n ? ? ? , 1 1 .i i ix x n ?? ? ? ? Ta c¨® t?ng t¨ªch ph?n: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 n n n i i n i i i f S n ni i n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Do ?¨® 1 1 2 20 0 1 lim . 24 1 2 n n dx dx S I x x ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??t 2 x cost? , ? ?0; 2t dx sintdt?? ?? ? ? ; 0 2 x t ? ? ?? ? ; 1 3 x t ? ? ?? ? Do ?¨® 3 2 2 3 2 3 1 2 | . 2 2 3 6 sintdt I dt t sint ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? V?y lim 6 n n S ? ??? ? Ti?p theo ch¨²ng ta s? x¨¦t ??n c¨¢c b¨¤i m¨¤ ?o?n l?y t¨ªch ph?n kh?ng c¨°n l¨¤ ? ?0;1 m¨¤ s? l¨¤ ? ?;a b .
  • 7. facebook.com/hoitoanhoc Page 7 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny V¨ª d? 4. T¨ªnh lim n??? 2 2 2 2 2 2 sin 2sin sin ... . 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n nn n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? L?i gi?i. ??t 2 2 2 2 2 2 sin 2sin sin ... . 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n nS nn n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 sin sin sin ... 2 1 cos 1 cos 1 cos n n n n n n n n nn n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 . . n i i f n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X¨¦t h¨¤m s? 2 ( ) 1 xsinx f x cos x ? ? li¨ºn t?c tr¨ºn ?o?n ? ?0;? . Chia ?o?n ? ?0;? th¨¤nh n ph?n b?ng nhau b?i c¨¢c ?i?m chia ( 0, )i i x i n n ? ? ? . Tr¨ºn m?i ?o?n 1[ , ]i ix x? ch?n , 1,i i i n n ? ? ? ? v¨¤ . n ? ? ? Ta c¨® 1 1 1 ( ) . n n n i i n i i i i i f f f S n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 lim 1 n n xsinxdx S J cos x ? ??? ?? ? ? ?? B?ng ph¨¦p ??i bi?n s? x t?? ? ta t¨ªnh ngay ???c 2 4 J ? ? C¨¢c b¨¤i t?p t??ng t?: T¨ªnh lim n n S ??? trong c¨¢c tr??ng h?p sau: 1. 1 2 ( 1) cos cos ... cosn n S n n n n ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?S. 0
  • 8. facebook.com/hoitoanhoc Page 8 T¨¢c gi?: facebook.com/msiro.tiny 2. 1 1 2 1 1 ... 1 n n n S n n n ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?S. 2 1ln e ? 3. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 ... ... 2 4 (2 ) (2 ) n k n S n n k n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?S. 3 12 ln 4. 5 5 5 6 1 2 .... n n S n ? ? ? ? 5. 1 1 1 1 ... 2 1 1 1 2 2 2 nS nn sin sin sin n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? (Kh?i A ?HQG HN, n?m 2005) Ch¨²c c¨¢c b?n th¨¤nh c?ng trong h?c t?p v¨¤ l¨¤m vi?c ?