�ݺ�ߣ

Wat denk een wiskundige bij ‘(on)eindig’?
En wat deden onze Russen?
Oneindig en Wiskunde
T´a sc´eil´ın agam
K. P. Hart
Faculteit EWI
TU Delft
Amsterdam, 20 september 2016
K. P. Hart Oneindig en Wiskunde 1 / 16

Wat zegt Van Dale?
De allereerste editie (1864):
eindig: bn. en bijw. een einde hebbende.
oneindig: bn. en bijw. zonder einde;
(ﬁg.) buitengemeen groot;
oneindig groot: door geene maat te bepalen;
oneindig klein: nul.

Wat zegt Van Dale?
De laatste editie (online):
eindig 1 een einde hebbend
antoniem: eeuwig, oneindig
(wiskunde) eindige getallen, reeksen
2 waaraan grenzen gesteld zijn; synoniem: beperkt
het eindig verstand
eindige brandstoffen
niet-herwinbare, fossiele brandstoffen
antoniem: duurzame brandstoffen

Wat zegt Van Dale?
De laatste editie (online):
oneindig 1 (mbt. uitgestrektheid of tot veelvuldigheid) geen einde hebbende
synoniem: eindeloos
antoniem: eindig
2 het oneindige: de onbegrensde ruimte (van het heelal); ook zonder
gedachte aan ruimte
de wiskunde is wel gedeﬁnieerd als de wetenschap van het oneindige,
die dit met eindige middelen tracht te beheersen
3 de Oneindige
synoniem: God

Eindig
Twee ‘eindige’ situaties:
‘met grenzen’, ‘begrensd’: het interval [0, 1] is een eindig interval
‘begrensd in aantal’: het interval [0, 1] is niet een eindige verzameling

Oneindig in de eerste situatie
Dit is het gebied van de Wiskundige Analyse, ‘oneindig’ wordt daar meestal met
∞
aangeduid.
In de exacte formuleringen is ∞ nooit terug te vinden, dus dit laten we voor wat het is.

Oneindig in de tweede situatie
Eerst goed afspreken wat ‘begrensd in aantal’ of ‘eindig in aantal’ betekent.
Een verzameling, E, is eindig als er een natuurlijk getal n is zó dat E even groot is als
{i : 0 ≤ i < n}.
A en B zijn even groot: we kunnen paren (a, b) vormen met telkens een a uit A en b
uit B, en zó dat elke a uit A en elke b uit B precies één keer voorkomt.

Voorbeeld
Bijvoorbeeld: de verzameling maanden in een jaar en de verzameling provincies van
Nederland zijn even groot: een koppeling is bijvoorbeeld
(januari,Groningen), (februari,Drente), (maart,Friesland), (april,Overijssel),
(mei,Flevoland), (juni,Gelderland), (juli,Utrecht), (augustus,Noord-Holland),
(september,Zuid-Holland), (oktober,Zeeland), (november,Noord-Brabant),
(december,Limburg).
Zie ook NWT Magazine, februari 2013.

Oneindig als aantal
Een verzameling, O, is dus oneindig als er geen n is z´o dat E en {i : 0 ≤ i < n} even
groot zijn.‘
Voor eindige verzamelingen is de bijbehorende n uniek en zo kunnen we dus voor die
verzamelingen ‘het aantal elementen’ afspreken.
Voor oneindige verzamelingen zitten we wat dat betreft dus met lege handen.

Oneindig als aantal
Voor eindige verzamelingen hebben we een collectie standaardverzamelingen waar we
rest mee kunnen vergelijken.
Cantor liet zien dat twee bekende oneindige standaardverzamelingen verschillende
ijkpunten opleveren.
N, de verzameling der natuurlijke getallen
R, de verzameling der re¨ele getallen (de getallenlijn).

Oneindig als aantal
Stelling
N en R zijn niet even groot
Cantor kon van een heleboel verzamelingen uit de Analyse laten zien dat ze even groot
zijn als N, of even groot als R.
En: netjes, door expliciet koppelingen aan te geven.
(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), (5, 3), (6, −3), . . .
(even veel natuurlijke als gehele getallen)

Huiswerk
Om mee naar huis te nemen en de huisgenoten mee te imponeren:
(m, n) ↔
1
2
(m + n)(m + n + 1) + m
(Cantor)
De verzameling paren natuurlijke getallen is even groot als de verzameling natuurlijke
getallen zelf.
In symbolen: N2 is even groot als N.
Bedenk thuis zelf waarom er even veel breuken (rationale getallen) als natuurlijke
getallen zijn.

Continuumhypothese
Cantor vermoedde, en dacht vaak te kunnen bewijzen, dat voor oneindige
deelverzamelingen van R geldt: even groot als N of even groot als R.
Alexandroﬀ en Hausdorﬀ bewezen dit voor een speciale familie deelverzamelingen: de
Borelverzamelingen, uitermate belangrijk in de Analyse.
Soeslin ontdekte een nog rijkere familie deelverzamelingen van R waarvoor die stelling
nog steeds opgaat.

Beschrijvende verzamelingenleer
De Russen, en in het bijzonder Loezin, creëerden een hiërachie van beschrijvingen van
deelverzamelingen van R, onder meer om inzicht in het vermoeden van Cantor te
krijgen.
Door dit werk kwam Loezin (en niet hij alleen) tot het besef dat Cantor’s vermoeden
wel eens onbewijsbaar zou kunnen zijn.
Gödel bewees in 1938 eerst dat het vermoeden niet weerlegbaar is, door een
nauwkeurige analyse van de beschrijvingsmethoden.

Niet bewijsbaar
De New York Times
van 14 november 1963
voorpagina en pagina 4
2 basic problems of math solved
Inhoud:
Cantor’s vermoeden is onbewijsbaar
(evenals het Keuzeaxioma,
zie pag. 79 en verder)
Sin sc´eal eile

Verder lezen
Website: fa.its.tudelft.nl/~hart
K. P. Hart.
De Continu¨umhypothese, Nieuw Archief voor Wiskunde, 10 (2009), 33–39.
K. P. Hart
Cantors Diagonaalargument, Nieuw Archief voor Wiskunde, 16 (2015), 40–43

�ݺ�ߣ

Oneindig en Wiskunde

More Related Content

Oneindig en Wiskunde