際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Operasi himpunan

Download as DOCX, PDF
Anderzend Awuy
Anderzend Awuy

Makalah ini membahas relasi antara himpunan seperti himpunan bagian, himpunan yang sama, himpunan yang berpotongan, himpunan yang lepas, dua himpunan finit yang ekivalen, dan diagram Venn Euler.

1 of 10
[1] Kelompok 2 Kata pengantar Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat dan tuntunan-Nya kami kelompok dapat menyelesaikan makalah Pengantar Dasar Matematika ini dengan baik. Di dalam makalah ini berisikan penjelasan mengenai Relasi antara Himpunan. Penulis berterima kasih kepada Dosen yang telah memberi bimbingan dan arahan kepada penulis serta kepada teman-teman yang telah membantu penulis dari tahap awal sampai terselesainya makalah ini. Tanpa kerja sama dari kelompok,makalah ini tentulah tidak dapat terselesaikan. Makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu perlu adanya kritik dan saran bagi pembaca. Akhir kata , semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Tondano, Maret 2013 Penulis,
[2] Kelompok 2 Daftar isi Kata pengantar.....................................................................1 Daftar isi..........................................................2 BAB 1 Pendahuluan Latar belakang...3 Rumusan masalah..3 Tujuan...................................................3 Manfaat..3 Metode Pengumpulan Data...................................................3 Sistematika.3 BAB 2 Pembahasan 1.1 Himpunan bagian..4 1.2 Himpunan yang sama4 1.3 Himpunan yang berpotongan5 1.4 Himpunan yang lepas5 1.5 Dua himpunan finit yang ekivalen5 1.6 Diagram venn euler...6 BAB 3 Penutup Kesimpulan..........7 Daftar Pustaka..8
[3] Kelompok 2 BAB I Pendahuluan A.Latar belakang Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan himpunan itu menyebabkan kita dapat membedakan obyek yang merupakan anggota himpunan dan obyek yang bukan anggota himpunan. Himpunan yang mempunyai syarat tertentu dan jelas sehingga kita dapat menentukan obyek mana yang menjadi anggota anggota himpunan itu,contoh Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut dan obyek mana yang bukan anggota himpunan itu disebut himpunan yang terdefinisi dengan baik,contoh kumpulan orang kaya,kumpulan ini bukan suatu himpunan. B.Rumusan masalah Perumusan masalah dalam makalah ini berisikan antara lain : Himpunan bagian Himpunan yang sama Himpunan yang berpotongan Himpunan yang lepas Dua himpunan finit yang ekivalen Diagram venn euler C.Tujuan Menjelaskan tentang relasi antara himpunan dan menyelesaikan soal-soal. D.Manfaat Dapat memahami bagaimana cara menghitung relasi antara himpunan E.Metode pengumpulan data Cara pengumpulan data dan informasi untuk membuat makalah ini adalah sbb - Membaca buku - Pencarian informasi dari internet F.Sistematika - Kata pengantar - Daftar isi - BAB 1 Pendahuluan - BAB 2 Isi - BAB 3 Penutup
[4] Kelompok 2 BAB II Pembahasan Himpunan Bagian Relasi ini dinyatakan dengan notasi (dibaca A himpunan bagian atau subset dari B). Contoh: 1. C = {1, 3, 5} adalah himpunan bagian dari Q = {1, 3, 5, 7, 9} karena 1, 3, 5 yang anggota C juga menjadi anggota Q. Maka dapat ditulis C Q 2. Diketahui D = {a, i, o, e} dan E = {i, a, e, o}. Karena a, i, o, e yang menjadi anggota D juga menjadi anggota E, maka dapat ditulis D E 3. Diketahui G = {bilangan bulat genap} dan B = {bilangan bulat}. Maka G B Himpunan yang Sama Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggota himpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen Contoh : 1. Ditentukan himpunan A = {a, b, c, d} dan B = {b, d, a, c}. Maka himpunan A = B, berarti {a, b, c, d} = {b, d, a, c} karena setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B begitu juga sebaliknya. Dengan demikian urutan anggota tidak diperhatikan. 2. Ditentukan himpunan P = {1, 2, 3} dan Q = {1, 3, 2, 1,2}. Maka himpunan P = Q, berarti {1, 2, 3} = {1, 3, 2, 1, 2} karena setiap anggota himpunan P juga menjadi anggota himpunan Q begitu juga sebaliknya. Dengan demikian penulisan ulang anggota suatu himpunan tidak diperhatikan dan ditulis tanpa pengulangan. 3. Ditentukan himpunan K = {x |x 2x 3 = 0} dan L = {3, -1, 1} serta M = {-1,3}. Karena setiap anggota ketiga himpunan itu sama, maka K = L = M. Definisi : Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B Definisi : Himpunan A dan himpunan B adalah sama (ditulis A=B) jika dan hanya jika A B dan B A
[5] Kelompok 2 Himpunan yang Berpotongan Contoh : 1. C = {3, 4, 5, 6} dan D = {2, 5, 8} adalah dua himpunan yang berpotongan, karena ada anggota C yaitu 5 yang menjadi anggota D. 2. Ditentukan X = { x |x2 + 3x + 2 = 0} dan Y = { x |x2 x 6 = 0}. Maka X dan Y berpotongan, karena X = {-1, -2} dan Y = {3, -2} ada anggota X yang juga menjadi anggota Y , yaitu -2. Himpunan yang Lepas Diketahui A = {burung, ayam, bebek} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing. Contoh : 1. F = himpunan bilangan bulat positif dan G = himpunan bilangan bulat negatif merupakan dua himpunan yang saling lepas, karena kedua himpunan itu tidak mempunyai elemen yang sama. 2. Ditentukan V = {1, 3, 5} dan W = {2, 3, 4}. Maka V dan W tidak saling lepas , karena kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan yaitu 3. Dua Himpunan Finit yang Ekivalen Bilangan Kardinal dari himpunan yang berhingga (finit) Banyak anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan A disebut bilangan kardinal himpunan A, ditulis n(A) . Contoh : 1. X = {a, b, c, d} maka n(X) = 4 (Baca : bilangan cardinal himpunan X ada 4) 2. K = himpunan nama-nama hari dalam satu minggu , maka n(K) = 7 Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan lepas (ditulis A || B) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
[6] Kelompok 2 Contoh : 1. Ditentukan P = {1, 2, 3} dan Q = {a, b, c}. Maka P Q, karena n(P) = n(Q) 2. Ditentukan A = { x |x2 2x + 1 = 0} dan B = {-1} maka A B, tetapi juga A = B Diagram Venn Euler Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 18341923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya. Diketahui : S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9}; P = {0, 1, 2, 3}; dan Q = {4, 5, 6, 7} Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinotasikan dengan S berada di pojok kiri. Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggota persekutuan antara P dan Q, maka P Q = { }. Jadi, dapat dikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini, kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah. Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva P, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurvaQ. Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q. Diagram Venn-nya seperti di bawah ini Definisi : Dua himpunan finit A dan B dikatakan ekivalen (ditulis A B) jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama. S P Q 8 9 0 2 1 3 4 5 6 7
[7] Kelompok 2 Himpunan yang berpotongan Himpunan Bagian Himpunan yang sama Himpunan saling lepas
[8] Kelompok 2 BAB 3 KESIMPULAN Suatu himpunan disebut himpunan bagian (subset) dari suatu himpunan lain jika dan hanya jika setiap anggota himpunan itu juga menjadi anggota himpunan lain tersebut. Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika kedua himpunan itu merupakan subset satu dan lainnya. Dua himpunan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota himpunan yang satu yang juga menjadi anggota himpunan lainnya. Dua himpunan dikatakan lepas jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Banyak anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan disebut bilangan cardinal himpunan itu. Dua himpunan finit dikatakan ekivalen jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama.
[9] Kelompok 2 Daftar pustaka Buku Pengantar Dasar Matematika ,penerbit erlangga
[10] Kelompok 2 LAPORAN KELOMPOK Kelompok 1 Stella Pailah : bagaimana bentuk dari himpunan semesta yang berbentuk persegi dan segitiga? Kelompok 2 Yopi Laloring : Apa yang dimaksud dengan diagram Venn? Kelompok 3 William Sumendap : Bagaimana gambar diagram venn jika himpunan bagian terdapat himpunan kosong? Kelompok 4 Abdul malik : dalam 2 himpunan apakah boleh langsung menghasilkan 2 penyelesaian? Kelompok 5 Reza Sumaila : apa perbedaan himpunan yang berpotongan dan himpunan irisan Kelompok 6 Julisa Sambur : bagaimana membandingkan 2 himpunan bagian itu? Kelompok 7 Anderzend Awuy : apa perbedaan himpunan bagian dan himpunan yang sama ? Kelompok 8 PRESENTASI Kelompok 9 Wiwin Djojobo: Apa bedanya x |x dan x/x ? Kelompok 10 Sofia : apa perbedaan diagram venn dan diagram euler?

More Related Content

Operasi himpunan

  • 1. [1] Kelompok 2 Kata pengantar Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat dan tuntunan-Nya kami kelompok dapat menyelesaikan makalah Pengantar Dasar Matematika ini dengan baik. Di dalam makalah ini berisikan penjelasan mengenai Relasi antara Himpunan. Penulis berterima kasih kepada Dosen yang telah memberi bimbingan dan arahan kepada penulis serta kepada teman-teman yang telah membantu penulis dari tahap awal sampai terselesainya makalah ini. Tanpa kerja sama dari kelompok,makalah ini tentulah tidak dapat terselesaikan. Makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu perlu adanya kritik dan saran bagi pembaca. Akhir kata , semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Tondano, Maret 2013 Penulis,
  • 2. [2] Kelompok 2 Daftar isi Kata pengantar.....................................................................1 Daftar isi..........................................................2 BAB 1 Pendahuluan Latar belakang...3 Rumusan masalah..3 Tujuan...................................................3 Manfaat..3 Metode Pengumpulan Data...................................................3 Sistematika.3 BAB 2 Pembahasan 1.1 Himpunan bagian..4 1.2 Himpunan yang sama4 1.3 Himpunan yang berpotongan5 1.4 Himpunan yang lepas5 1.5 Dua himpunan finit yang ekivalen5 1.6 Diagram venn euler...6 BAB 3 Penutup Kesimpulan..........7 Daftar Pustaka..8
  • 3. [3] Kelompok 2 BAB I Pendahuluan A.Latar belakang Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan himpunan itu menyebabkan kita dapat membedakan obyek yang merupakan anggota himpunan dan obyek yang bukan anggota himpunan. Himpunan yang mempunyai syarat tertentu dan jelas sehingga kita dapat menentukan obyek mana yang menjadi anggota anggota himpunan itu,contoh Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut dan obyek mana yang bukan anggota himpunan itu disebut himpunan yang terdefinisi dengan baik,contoh kumpulan orang kaya,kumpulan ini bukan suatu himpunan. B.Rumusan masalah Perumusan masalah dalam makalah ini berisikan antara lain : Himpunan bagian Himpunan yang sama Himpunan yang berpotongan Himpunan yang lepas Dua himpunan finit yang ekivalen Diagram venn euler C.Tujuan Menjelaskan tentang relasi antara himpunan dan menyelesaikan soal-soal. D.Manfaat Dapat memahami bagaimana cara menghitung relasi antara himpunan E.Metode pengumpulan data Cara pengumpulan data dan informasi untuk membuat makalah ini adalah sbb - Membaca buku - Pencarian informasi dari internet F.Sistematika - Kata pengantar - Daftar isi - BAB 1 Pendahuluan - BAB 2 Isi - BAB 3 Penutup
  • 4. [4] Kelompok 2 BAB II Pembahasan Himpunan Bagian Relasi ini dinyatakan dengan notasi (dibaca A himpunan bagian atau subset dari B). Contoh: 1. C = {1, 3, 5} adalah himpunan bagian dari Q = {1, 3, 5, 7, 9} karena 1, 3, 5 yang anggota C juga menjadi anggota Q. Maka dapat ditulis C Q 2. Diketahui D = {a, i, o, e} dan E = {i, a, e, o}. Karena a, i, o, e yang menjadi anggota D juga menjadi anggota E, maka dapat ditulis D E 3. Diketahui G = {bilangan bulat genap} dan B = {bilangan bulat}. Maka G B Himpunan yang Sama Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggota himpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen Contoh : 1. Ditentukan himpunan A = {a, b, c, d} dan B = {b, d, a, c}. Maka himpunan A = B, berarti {a, b, c, d} = {b, d, a, c} karena setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B begitu juga sebaliknya. Dengan demikian urutan anggota tidak diperhatikan. 2. Ditentukan himpunan P = {1, 2, 3} dan Q = {1, 3, 2, 1,2}. Maka himpunan P = Q, berarti {1, 2, 3} = {1, 3, 2, 1, 2} karena setiap anggota himpunan P juga menjadi anggota himpunan Q begitu juga sebaliknya. Dengan demikian penulisan ulang anggota suatu himpunan tidak diperhatikan dan ditulis tanpa pengulangan. 3. Ditentukan himpunan K = {x |x 2x 3 = 0} dan L = {3, -1, 1} serta M = {-1,3}. Karena setiap anggota ketiga himpunan itu sama, maka K = L = M. Definisi : Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B Definisi : Himpunan A dan himpunan B adalah sama (ditulis A=B) jika dan hanya jika A B dan B A
  • 5. [5] Kelompok 2 Himpunan yang Berpotongan Contoh : 1. C = {3, 4, 5, 6} dan D = {2, 5, 8} adalah dua himpunan yang berpotongan, karena ada anggota C yaitu 5 yang menjadi anggota D. 2. Ditentukan X = { x |x2 + 3x + 2 = 0} dan Y = { x |x2 x 6 = 0}. Maka X dan Y berpotongan, karena X = {-1, -2} dan Y = {3, -2} ada anggota X yang juga menjadi anggota Y , yaitu -2. Himpunan yang Lepas Diketahui A = {burung, ayam, bebek} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing. Contoh : 1. F = himpunan bilangan bulat positif dan G = himpunan bilangan bulat negatif merupakan dua himpunan yang saling lepas, karena kedua himpunan itu tidak mempunyai elemen yang sama. 2. Ditentukan V = {1, 3, 5} dan W = {2, 3, 4}. Maka V dan W tidak saling lepas , karena kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan yaitu 3. Dua Himpunan Finit yang Ekivalen Bilangan Kardinal dari himpunan yang berhingga (finit) Banyak anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan A disebut bilangan kardinal himpunan A, ditulis n(A) . Contoh : 1. X = {a, b, c, d} maka n(X) = 4 (Baca : bilangan cardinal himpunan X ada 4) 2. K = himpunan nama-nama hari dalam satu minggu , maka n(K) = 7 Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan lepas (ditulis A || B) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
  • 6. [6] Kelompok 2 Contoh : 1. Ditentukan P = {1, 2, 3} dan Q = {a, b, c}. Maka P Q, karena n(P) = n(Q) 2. Ditentukan A = { x |x2 2x + 1 = 0} dan B = {-1} maka A B, tetapi juga A = B Diagram Venn Euler Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 18341923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya. Diketahui : S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9}; P = {0, 1, 2, 3}; dan Q = {4, 5, 6, 7} Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinotasikan dengan S berada di pojok kiri. Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggota persekutuan antara P dan Q, maka P Q = { }. Jadi, dapat dikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini, kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah. Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva P, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurvaQ. Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q. Diagram Venn-nya seperti di bawah ini Definisi : Dua himpunan finit A dan B dikatakan ekivalen (ditulis A B) jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama. S P Q 8 9 0 2 1 3 4 5 6 7
  • 7. [7] Kelompok 2 Himpunan yang berpotongan Himpunan Bagian Himpunan yang sama Himpunan saling lepas
  • 8. [8] Kelompok 2 BAB 3 KESIMPULAN Suatu himpunan disebut himpunan bagian (subset) dari suatu himpunan lain jika dan hanya jika setiap anggota himpunan itu juga menjadi anggota himpunan lain tersebut. Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika kedua himpunan itu merupakan subset satu dan lainnya. Dua himpunan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota himpunan yang satu yang juga menjadi anggota himpunan lainnya. Dua himpunan dikatakan lepas jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Banyak anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan disebut bilangan cardinal himpunan itu. Dua himpunan finit dikatakan ekivalen jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama.
  • 9. [9] Kelompok 2 Daftar pustaka Buku Pengantar Dasar Matematika ,penerbit erlangga
  • 10. [10] Kelompok 2 LAPORAN KELOMPOK Kelompok 1 Stella Pailah : bagaimana bentuk dari himpunan semesta yang berbentuk persegi dan segitiga? Kelompok 2 Yopi Laloring : Apa yang dimaksud dengan diagram Venn? Kelompok 3 William Sumendap : Bagaimana gambar diagram venn jika himpunan bagian terdapat himpunan kosong? Kelompok 4 Abdul malik : dalam 2 himpunan apakah boleh langsung menghasilkan 2 penyelesaian? Kelompok 5 Reza Sumaila : apa perbedaan himpunan yang berpotongan dan himpunan irisan Kelompok 6 Julisa Sambur : bagaimana membandingkan 2 himpunan bagian itu? Kelompok 7 Anderzend Awuy : apa perbedaan himpunan bagian dan himpunan yang sama ? Kelompok 8 PRESENTASI Kelompok 9 Wiwin Djojobo: Apa bedanya x |x dan x/x ? Kelompok 10 Sofia : apa perbedaan diagram venn dan diagram euler?