�ݺ�ߣ

Определенный интеграл
Prezentacii.comPrezentacii.com

Задача о вычислении площади
плоской фигуры
Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком
функции , отрезками прямых
, и осью Ox.Такую фигуру
называют криволинейной трапецией
( )xfy =
ax = bx =
a b
1−ix ix

Разобьем отрезок на n частей
точками .
При этом криволинейная трапеция разобьется
на элементарных криволинейных
трапеций. Заменим каждую такую
криволинейную трапецию прямоугольником с
основанием , где и
высотой , где -произвольно
выбранная внутри отрезка точка.

Площадь прямоугольника будет
равна , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
.

Определение.
Выражение , где
, называется
интегральной суммой функции
на отрезке .

Определение.
Если существует конечный , не
зависящий ни от способа разбиения отрезка
на части, ни от выбора точек ,
то этот предел называется определенным
интегралом функции на отрезке и
обозначается .

Замечание.
С геометрической точки зрения
при равен
площади криволинейной
трапеции

Теорема о существовании
определенного интеграла
Теорема.
Если функция непрерывна на
отрезке , то
существует и конечен, т.е.
существует и конечен .

Свойства определенного
интеграла
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;

Свойства определенного
интеграла
5. ;
6. ;
7. , если .

Теорема о среднем
Если функция непрерывна на то
существует такая точка
что
],,[ ba∈ξ
).)(()( abfdxxf
b
a
−=∫ ξ
ξ
)(xfy =
a b
],,[ ba

Вычисление определенного
интеграла
Теорема.
Пусть - первообразная функции .
Тогда .
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной функции.

Пример
Вычислить .dxe
x
∫
−3
0
3
=








−−=−=∫=∫
⋅−⋅−⋅−⋅−− 0
3
1
3
3
1
3
0
3
1
3
0
3
1
3
0
3 33 eeedxedxe
xx
x
( ) e
e
e
e
−
−=





−−=−−= − 1
31
1
313 1

Вычисление интеграла
Теорема (Замена переменной в
определенном интеграле).
Пусть непрерывна на , а
функция непрерывна вместе
со своей производной на
отрезке , причем ,
. Тогда
.

Пример
∫ =
−
=∫
==
==
=−=
=+
=+
=
+
2
1
23
0
2
2
2
1
2,3
1,0
2,1
1
1
1
tdt
t
t
tx
tx
tdtdxtx
tx
tx
x
xdx
( ) ( ) =











−−





−=∫ ∫ 







−=−=−= 1
3
1
2
3
8
2
3
21212
2
1
2
1
2
1
3
22
t
t
dttdtt
3
8
3
4
21
3
7
21
3
1
2
3
8
2 =⋅=





−=





+−−=

Теорема (Интегрирование по
частям в определенном
интеграле).
Если функции , и их
производные и
непрерывны на отрезке , то
.

Пример
∫ =−=∫
==
==
=
eee
x
dx
xxx
xvdxdv
x
dx
duxu
xdx
1
1
1
ln
,
,ln
ln
111lnlnln 1
1
1
=+−=−−=∫−= eexeedxxx
eee

Несобственный интеграл
Замечание.
не является определенным интегралом.
Считается по определению, что
. Если этот предел
конечен, то , называемый
несобственным, сходится.
Если же этот предел не является конечным, то
интеграл расходится.

Пример
. Вычислить несобственный интеграл
(или установить его расходимость)
.
Этот несобственный интеграл расходится.
∫
+∞
+0
2
4x
xdx
2
2
2 2 0
0 0
2
1 ( 4) 1
lim lim ln( 4)
4 2 4 2
1
lim (ln( 4) ln 4)
2
b
b
b b
b
xdx d x
x
x x
b
+∞
→+∞ →+∞
→+∞
+
= = + =
+ +
= + − = ∞
∫ ∫

Пример
Несобственный интеграл
2
0
4
dx
x
+∞
=
+∫
1 1
lim ( )
2 2 2 2 2 4b
b
arctg arctg
π π
→+∞
= = +∞ = =
×

Геометрические
приложения определенного
интеграла

Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых
координатах.
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
формуле .
0
( )xfy =
a b
x
y

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций , , и двумя прямыми
и определяется по формуле

В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры, ограниченной
прямыми , осью Ох и кривой
вычисляют по
формуле
где пределы интегрирования определяют из
уравнений .
,)()(
2
1
∫ ′=
t
t
dtttS ϕψ
)(),( 21 tbta ϕϕ ==
.
bxax == ,
),(),( tytx ψϕ ==

Площадь полярного сектора
вычисляют по формуле
ϕϕ
β
α
drS )(
2
1 2
∫=
.
α
β
)(ϕrr =

Примеры
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями и322
+−−= xxy
12
−= xy

Продолжение
Получим
( ) ( )[ ] =∫ −−+−−=
−
dxxxxS
1
2
22
132 ( )∫ =+−−
−
1
2
2
422 dxxx
=








−+−
−
1
2
23
2
23
2 x
xx
=





−+−+−=











++−−





−+−= 6
3
8
2
2
1
3
1
24
2
4
3
8
2
2
1
3
1
2
9
2
9
2
2
1
832 =





−−=





+−−=
( )∫ =−+−=
−
1
2
2
22 dxxx

Примеры
Найти площадь эллипса .
Параметрические уравнения эллипса
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
.sin,cos tbytax ==
у
a
b
о
.
2
2)2sin
2
1
(4
2
1
2
2cos1
4sin4
)sin(sin4
2/
0
2/
0
2/
0
2
0
2/
ababttab
dt
t
abtdtab
dttatbS
π
ππ
ππ
π
==−=
=
−
==
=−=
∫∫
∫
х

Пример
Площадь фигуры, ограниченной
лемнискатой Бернулли
и лежащей вне круга радиуса :
ϕ2cos22
ar =
=−=− ∫∫
6/
0
22
6/
0
26/
0
2
)
4
1
2sin
4
1
(
22
1
2cos
2
1
πππ
ϕϕϕϕϕ aad
a
da
2
a
r =
)
3
3(
8
)
62
3
(
4
)
63
(sin
4
1 22
2 ππππ
−=−=−=
aa
a
)
3
3(
2
2
π
−=
a
S

Вычисление длины дуги
Если кривая задана параметрическими
уравнениями , , то длина
ее дуги
,
где –значения параметра,
соответствующие концам дуги .
( )tx ϕ= ( )ty ψ=
( )( ) ( )( ) dtttl
t
t
∫ ′+′=
2
1
22
ψϕ
21 t,t

Длина дуги в декартовых
координатах
Если кривая задана уравнением ,
то , где a, b–абсциссы
начала и конца дуги .
Если кривая задана уравнением
, то , где
c, d–ординаты начала и конца дуги
( )xfy =
( )( ) dxxfl
b
a
∫ ′+= 2
1
( )ygx = ( )( ) dyygl
d
c
∫ ′+= 2
1
( )ba <
( )dc <

Длина дуги в полярных координатах
Если кривая задана уравнением в
полярных координатах , то
,
где –значения полярного угла,
соответствующие концам дуги .
( )ϕρρ =
( )( ) ( )( ) ϕϕρϕρ
β
α
dl ∫ ′+= 22
βα,

Примеры
Вычислить длину дуги кривой
от точки до .
, тогда
3
xy =
( )00,O ( )84,B
2
1
2
3
2
3
xxy =
′




=′
=+= ∫ dxxl
4
0
4
9
1
4
0
4 9 9
1 1
9 4 4
xd x
 
+ + = ÷
 
∫
( )
3
2 4
0
4 2 9 8
1 10 10 1
9 3 4 27
x
 
= × + = − ÷
 

Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ox криволинейной трапеции,
ограниченной кривой ,
отрезком оси абсцисс и
прямыми , вычисляется по
формуле .
( )xfy =
bxa ≤≤
bx,ax ==
( )( )∫=
b
a
x dxxfπV 2

Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
кривой , отрезком оси
ординат и прямыми ,
вычисляется по формуле
.
( )ygx =
dyc ≤≤ dy,cy ==
( )( )∫=
d
c
y dyygV 2
π

Вычисление объема тела вращения
Искомый объем
можно найти как
разность объемов,
полученных
вращением вокруг
оси Ox
криволинейных
трапеций,
ограниченных
линиями и
Рис. 14
А
0
1
1
y
2
xy =
xy =
xy =
2
xy =

Решение
Тогда ( ) ( ) =−= ∫∫
1
0
22
1
0
2
dxxdxxVx ππ
1 1
4
0 0
xdx x dxπ π= − =∫ ∫ =⋅−⋅
1
0
51
0
2
52
xx
ππ
10
3
52
πππ
=−=

�ݺ�ߣ

Opredelennyj integral

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (9)

Similar to Opredelennyj integral (20)

More from Dimon4 (20)

Opredelennyj integral