Paper turunan
Download as DOCX, PDF
2 likes2,192 views
Turunan fungsi adalah fungsi lain yang menunjukkan tingkat perubahan suatu fungsi. Turunan digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dan mekanika seperti garis singgung dan kecepatan. Bab ini menjelaskan definisi turunan, aturan-aturan dasar untuk mencari turunan, turunan fungsi trigonometri, aturan rantai, dan diferensiasi implisit.
Paper turunan
- 1. BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Pada geometri masalahnya adalah garis singgung sedangkan mekanis masalahnya pada kecepatan rata-rata dan kecepatan. Garis singgung pada kurva di titik adalah garis yang melalui P dengan kemiringan (gradient) Asalkan bahwa limit ini ada dan bukan dan - Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t),maka kecepatan sesaat pada saat c adalah Asalkan bahwa limit ini ada dan bukan 1.2 1. 2. 3. 4. 5. 1.3 1. 2. 3. 4. 5. 1.4 1. 2. 3. 4. 5. dan - RUMUSAN MASALAH Definisi turunan Aturan pencarian turunan Turunan trigonometri Aturan rantai Diferensiasi implisit TUJUAN Untuk mengetahui definisi turunan Untuk mengetahui aturan pencarian turunan Untuk mengetahui Turunan trigonometri Untuk mengetahui Aturan rantai Untuk mengetahui Diferensiasi implisit BATASAN MASALAH Definisi turunan Aturan pencarian turunan Turunan trigonometri Aturan rantai Diferensiasi implisit
- 2. BAB II PEMBAHASAN A . Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah Asalkan limit ini ada dan bukan bukan dan - Jika limit ini memang ada,dikatakan bahwa f terdiferensiasi di c.Pencarian turunan disebut diferensiasi, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial. Beberapa bentuk setara untukturunan.Perubahanyanglebihradikal,tetapi masih tetap hanyasuatuperubahancara penulisan,mungkin dipahami dengan menggantikan c+h dengan x,sehingga h dapat digantikan dengan x-c. Keterdiferensiasi mengimplikasi kontinuitas jika f(c) ada maka f kontinu di c.Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung disebuah titik ,maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Notasi pendiferensial Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler. Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = (x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai: Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi (x) ditulis sebagai (x) ataupun hanya . Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = (t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi
- 3. ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika. Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = (x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai: Notasi Leibniz Turunan f(x) terhadap x Notasi Lagrange (x) Notasi Newton Notasi Euler Grafik turunan, turunan f(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafiky=f(x)pada nilai x . jadi ketika garis singgung miring naik kekanan,turunan positif,dan ketika garis singgung miring turun ke kiri,turunan negative.karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi. B . Aturan Pencarian Turunan 1. Aturan Konstanta Bukti : 2. Aturan Fungsi Satuan Bukti : = 3. Aturan Pangkat Bukti : Di dalam kurung siku,semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sehingga jika masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati nol. 4. Aturan Kelipatan Konstanta Bukti : 5. Aturan Jumlah
- 4. Bukti : 6. Aturan Selisih Bukti : 7. Aturan Hasil Kali Bukti : 8. Bukti : Aturan Hasil Bagi
- 5. C . Turunan Fungsi Trigonometri Bukti :
- 6. D . Aturan Rantai Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi. Contoh ambil fungsif = turunannya adalahf =2 maka dengan menggunaka aturan rantai diperoleh Lihat betapa mudahnya hidup dengan aturan rantai. Nah..sekarang kami akan membuktian aturan tersebut Diberikan fungsi f dan g dimana g terturun differentiable pada titik x dan f terturun differentiable padatitiky dengan y = g(x) Kita akan menghitung turunan dari fungsi komposisi f ditik x, dengan kata lain kita mau menghitung Jawabannya merupakan bukti dari yang kita sebut sebagai aturan rantai chain rule Diketahui diperoleh terturun pada titik artinya nilai Kita definisikan variabel dimana ada dan menurut definisi turunan
- 7. bisa kita lihat nilai tergantung dari nilai h jika Dengan cara yang sama diketahui f diperoleh Kita definisikan variabel bisa kita lihat juga jika Dari definisi dan maka terturun dititik , menurut definisi turunan dimana maka diperoleh Dari persamaan diatas jika Nah sekarang ambil diperoleh dan selanjutnya kita peroleh Sekarang kita siap menghitung turunan , jika maka diperoleh
- 8. karena menyebabkan yang berakibat dan , diperoleh E. Diferensiasi implisit Dalam persamaan Kita tidak dapat menyelesaikan y dalam x. Mungkin masih berupa kasus bahwa hanya terdapat satu y yang berpadanan dengan x. Contohnya, kita dapat menanyakan beberapa nilai yang berpadanan dengan Tentu saja . untuk menjawab perasamaan ini kita harus menyelesaikan adalah solusinya, dan hanya , persamaan . adalah satu-satunya solusi real. Di berikan menentukan nilai yang berpadanan. Kita mengatkan bahwa persamaan itu mendefinisikan y sebagai fungsi imflisit dari x. Grafik persamaan ini di kerjakan dalam gambar 1. Tentu saja terlihat seperti grafik fungsi yang terdiferensiasiakan. Elemen baru ini tidak dalam bentuk . Berdasarkan grafik kita menganggap bahwa y adalah fungsi x yang tidak di ketahui. Kita menyatakan fungsi ini , kita dapat menuliskan persamaan ini sebagai Meskipun kita tidak memiliki rumus untuk ,kita tidak akan memperoleh hubungan antara . Dengan mendeferensiasikan kedua sisi persamaan terhadap . Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh:
- 9. Perhatikan bahwa turunan sebuah fakta yang cukup mengganggu. Tapi, jika kita hanya ingin mengetahui kemiringannya pada titik dimana kita mengetahui koordinatnya, tidak ada yang sukar, yaiut: Metode yang baru saja di ilustrasikan untuk menjcari tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang di berikan untuk . Sebuah contoh yang dapat diperiksa untuk memberikan bukti untuk menguji kebenaran metode tersebut, perhatikan contoh berikut yang dapat di kerjakan dalam dua cara. Contoh 1. Carilah !!!!!!!!!!! Penyelesaian: Metode 1. Kita dapat menyelsaikan persamaan yang di berikan secara implisit untuk y sebagai berikut: Metode 2. Diferensiasi implisit kita menyatakan turunan-turuna kedua ruas dari: Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama, kita peroleh:
- 10. Kedua jawaban ini terlihat berbeda. Untuk satu hal, jawaban di peroleh dari metode 1 hanya melibatkan x, sedangkan dari metode 2 melibatkan x dan y. Ingatlah meskipun demikian, Ketikan mensubsitusikan hasil berikut: kedalam persamaan untuk mendapatkan kita memperoleh .