Paradoks banach tarski
Download as DOCX, PDF
0 likes411 views
Paradoks Banach Tarski membahas tentang kemungkinan memecahkan sebuah bola padat menjadi beberapa kepingan lalu menyusun kembali kepingan tersebut menjadi dua buah bola yang sama ukurannya dengan bola semula. Teori ini dikemukakan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski, dimana Stefan Banach adalah matematikawan Polandia yang berpengaruh pada abad ke-20 sedangkan Alfred Tarski lahir di Warsawa dan menghabiskan kar
Paradoks banach tarski
- 1. PARADOKS BANACH TARSKI Untuk memenuhi salah satu tugas matakuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.Pd. Oleh, Risma Nurmalasari 142151227 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI 2015
- 2. Matematika merupakan bagian dari imajinasi. Perkembangan matematika dengan imajinasi tersebut memberikan perkembangan dalam kehidupan nyata. Tetapi apakah imajinasi dan kenyataan akan sama? Hal ini akan di ulas dalam paradoks bancah tarski. Secara garis besar paradoks banach tarski membahas mengenai perbandingan ukuran pada kenyataan dan imajinasi secara matematis. Paradoks adalah situasi yang berkebalikan dari pandangan umum, pernyataan yang seolah-olah bertentangan dengan pendapat mayoritas, akan tetapi kenyataannya mengandung kebenaran. Teori ini berkaitan dengan salah satu objek dalam R3. Teori ini dike- mukakan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski, sehingga para- doks ini disebut Para- doks Banach Tarski. Stefan Banach adalah seorang ahli matemati- kawan Polandia. Dia telah dianggap menjadi salah satu yang paling penting dan berpengaruh di matematika pada abad ke-20. Banach adalah salah satu anggota dari Lw坦w Sekolah Matematika. Stefan Banach lahir pada tanggal 30 Maret 1892 di Krak坦w. Banach mulai bersekolah pada usia sepuluh tahun dan selalu terlihat sedang mengerjakan soal-soal matematika pada saat jam istirahat oleh teman temannya. Banach meniti karir melalui sekolah teknik di Universitas Teknik Lvov dari tahun 1910. Banach telah menerbitkan beberapa makalahnya, sehingga dia menawarkan menjadi asisten di Lvov Technical University pada tahun 1920. Dia diberi gelar doktor oleh Universitas Lvov pada tahun 1922, Banach mulai terikat seumur hidup dengan Universitas. Pada tahun 1929 banach mendirikan sekolah matematika dan menerbitkan sendiri jurnal matematika baru yang penting, Studia Mathematica. Gambar 1. Stefan Banach Gambar 2. Alfred Tarski
- 3. Sedangkan Alfred Tarski lahir di Warsawa pada 14 Januari 1902. Karya tulis pertama Tarski pertama kali di publikasikan ketika dia berusia 19 tahun berupa sekumpulan teori, hal yang ternyata mampu merubah hidupnya. Dia mengajar di Polandia Pedagogical Institute 1922 1925, dan pada tahun 1924 dia menerima gelar doktor pada bidang matematika di Universitas Warsawa. Dia juga membantu mendirikan Institut Penelitian Dasar Ilmu di Berkeley tahun 1958- 1960. Tarski menghabiskan sisa karir akademisnya di Universitas California, Berkeley dan menjabat sebagai profesor 1946-1968, dan diberi nama Profesor Emeritus pada tahun 1968. Dia menerima Alfred Jurzykowski Yayasan Award pada 1966, dan gelar doktor kehormatan dari Universitas Katolik Chile, Universitas Marseille, dan University of Calgary. Tarski telah berkontribusi pada matematika di tahun 1924, dia bergabung dengan stefan banach dan membangun teori dekomposisi bola. Dia dan Banach membuktikan bahwa, jika seseorang menerima Aksioma of Choice, bola dapat dipotong mejadi beberapa kepingan, dan kemudian disusun kembali menjadi bola yang lebih besar, atau dapat disusun kembali menjadi dua bola yang ukurannya masing masing sama dari yang sebelumnya. Hal ini sekarang disebut Paradoks Banach Tarski. Pada Paradoks Banach-Tarski kita dapat memecahkan bola padat menjadi kepingan- kepingan berhingga kemudian menyusun ulang kepingan- kepingan tersebut dengan menggunakan rotasi, dan translasi menjadi 2 buah bola yang identik dengan sebelumnya. Perlu dipahami bahwa bola padat yang dimaksudkan disini adalah bola padat menurut pemahaman matematika yaitu himpunan titik-titik tak hingga yang didefinisikan sebagai = {(, , )|2 + 2 + 2 2 dengan r jari jari bola. Nah sekarang ada berapa banyak titik-titik di S? Tak-hingga banyaknya. Inilah yang membedakan bola di dunia matematika dengan bola di dunia nyata. Di dunia nyata bola mempunyai titik-titik (atom- atom) yang berhingga. Teori yang ditemukan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski ini melibatkan beberapa teori sebelumnya yaitu Translasi, rotasi, isometri, kongruen dan aksioma pilihan. Paradox Banach-Tarski (PBT) dijelaskan dalam dua versi yaitu versi lemah dan versi kuat. Kedua versi ini memperlihatkan keanehan, dan keajaiban
- 4. yang berbeda. Versi Lemah Proses PBT yang dijelaskan dalam versi ini mempertahankan: Bentuk, Ukuran, Kepadatan, dan Volume. Bentuk, artinya setelah proses PBT berlangsung bola padat yang dihasilkan sama seperti bola padat sebelumnya, tidak menjadi lonjong, gepeng atau setengah bola. Ukuran, artinya jika bola padat yang dipecah berjari-jari r, maka hasil PBT akan tetap berjari-jari r juga. Kepadatan, artinya untuk mendapatkan dua atau lebih bola padat yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama dari susunan pecahan sebuah bola padat, tidak dilakukan peregangan, sehingga kepadatannya tetap. Volume, artinya tidak dilakukan penambahan material kepingan dari luar kepingan sebuah bola padat sebelumnya. Hal ini di analogikan pada sebuah apel yang di potong menjadi beberapa bagian yang kemudian bisa di susun kembali menjadi dua buah apel yang identik sama. Secara formal, PBT Versi Lemah ini mengatakan, Untuk sebarang bola padat 3 dapat dipecahkan menjadi kepingan- kepingan berhingga 1 , 1 dan isometri 1 , 1 R3 sedemikian sehingga Kepingan yang sehingga terjadi PBT, bukan sembarang kepingan, untuk terciptanya PBT, bola padat harus dipecah menjadi kepingan-kepingan yang non- measurable, secara sederhana itu artinya kepingan-kepingan tersebut mempunyai bentuk atau struktur yang teramat rumit sehingga ukuran, atau volume menjadi tidak jelas, bahasa matematisnya Not well defined. Dan bagaimana mengkontruksikan kepingan-kepingan yang non-measurable? Kita tidak tahu. PBT melibatkan aksioma pilihan (Axiom of Choice). Jika kita punya bola padat dan () adalah himpunan semua kepingan yang mungkin maka aksioma pilihan akan memililih kepingan-kepingan yang non-measurable tanpa pernah kita ketahui cara memilihnya Sedangkan versi kuat Disini PBT hanya mempertahankan: Bentuk,dan Kepadatan. Untuk volume dan ukuran tidak dipertahankan, namun bukan berarti
- 5. versi ini tidak lebih aneh dari versi lemah. Untuk penjelasan mempertahankan bentuk dan kepadatan sama dengan di atas. Hal ini di analogikan pada bola padat seukuran kelereng menjadi kepingan-kepengan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran matahari. Sangat mustahil bukan? Percaya atau tidak, didunia matematika itu sangat mungkin dengan menggunakan PBT versi ini. Versi kuat PBT mengatakan, Untuk sembarang dua bola padat A dan B dengan , 3 maka dapat dipecah menjadi kepingan-kepingan berhingga = 1 2 dan = 1 2 sedemikian sehingga untuk setiap i dari 1 sampai n,Ai kongruen dengan Bi. Perlu diketahui bahwa PBT ini tidak berlaku di R dan R2. Dan beberapa literatur mengatakan bahwa PBT akan dapat terjadi jika banyak kepingan tidak kurang dari 4 kepingan. Secara rasional, ukuran benda yang telah dibagi tidak dapat kembali menjadi seperti semula. Misalkan sebuah apel yang dipotong-potong, disusun kembali menjadi dua bagian yang identik sama dengan apel sebelumnya terlebih kelereng yang dibagi menjadi kepingan-kepingan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran matahari. Dalam kenyataan itu tidak mungkin. Hal ini berarti imajinasi matematika akan berbeda dengan kenyataan. Adapaun menurut analisis sumber yang saya baca, saya cenderung ke PBT versi lemah karena dalam PBT versi lemah hanyadi analogikan dengan sebuah apel yang di potong menjadi beberapa bagian yang kemudian bisa di susun kembali menjadi dua buah apel yang identik sama, hal itu memang mustahil tapi jika di bandingkan dengan versi kuat, versi kuat lebih mustahil lagi yang dianalogikan dengan sebuah kelereng yang dibagi menjadi kepingan-kepingan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran matahari. Jadi saya lebih cenderung ke PBT versi lemah karena masih bisa diterima logika dan hampir mendekati tetapi mustahil kenyataannya dan dari versi lemah ini juga dapat diambil pelajaran hidup bahwa kasih sayang yang dibagi rata tidak semuanya sama, contohnya kasih sayang seorang guru yang
- 6. menyayangi anak didiknya meskipun dapat dibilang mereka menyayangi semua anak didiknya sama rata namun sebenarnya terdapat beberapa anak didik yan mereka lebih sayangi. Manfaat dari essay ini kita bisa lebih mengetahui fenomena-fenomena di matematika yang aneh, dan tidak selamanya apa yang bisa dibuktikan di dunia matematika, bisa juga dibuktikan di kehidupan nyata seperti halnya Paradoks Banach Tarski ini. Dan sesuatu yang bertolak belakang dengan kenyataan dapat memberikan kemajuan yang teramat pesat dalam bidang pengetahuan dan teknologi. Ini lah matematika. Bukan berarti ketidakmungkinan dengan kenyataan akan menjadi sesuatu yang tidak berarti, justru ketidakmungkinan ini akan menjadi mungkin apabila dilakukan dengan penuh keyakinan dan tekad yang kuat, sebagaimana para matematikawan dengan segenap perjuangannya menjadi peradaban seperti sekarang.
- 7. DAFTAR PUSTAKA Anonim (2010). Alfred Tarski. Tersedia Online : http://biography.yourdictionary .com/alfred-tarski. Diakses pada tanggal 23 Juni 2015. Ariaturns (2010). Paradoks bancah tarski. Tersedia Online : https://ariaturns.word press.com/2010/11/25/paradoks-banach-tarski/. Diakses pada tanggal 10 Juni 2015 Anonim (2010). Paradoks banach tarski. Tersedia Online : http://himatikareal.blo gpot.com/2012/04/paradoks-banach-tarski.html. Diakses pada tanggal 10 juni 2015 Anonim (2015). Stefan Banach. Tersedia Online : http://www.britannica.com/bio graphy/Stefan-Banach. Diakses pada tanggal 23 Juni 2015