�ݺ�ߣ

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
สอบวันเสาร์ที่ 6 มีนาคม 2553
เวลา 13.00 - 16.00 น.
กรุณาอ่านคาอธิบายให้เข้าใจ ก่อนลงมือทาข้อสอบ
คาอธิบาย
1. ข้อสอบทั้งหมดมี 2 ตอน จานวน 50 ข้อ (28 หน้า) รวม 300 คะแนน
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 4 ตัวเลือก จานวน 25 ข้อ รวม 150 คะแนน
ตอนที่ 2 แบบอัตนัย จานวน 25 ข้อ รวม 150 คะแนน
2. ให้ตรวจสอบ ชื่อ-นามสกุล เลขที่นั่งสอบ รหัสวิชาสอบในกระดาษคาตอบว่าตรงกับตัว
ผู้สอบหรือไม่ กรณีที่ไม่ตรง ให้แจ้งผู้คุมสอบเพื่อขอกระดาษคาตอบสารอง
กรอกข้อความหรือระบายให้สมบูรณ์
3. ในการตอบ ให้ใช้ดินสอดาเบอร์ 2B ระบายวงกลมที่ต้องการให้เต็มวง (ห้ามระบายนอกวง)
ถ้าต้องการเปลี่ยนตัวเลือกใหม่ ต้องลบให้สะอาดจนหมดรอยดา แล้วจึงระบายวงกลม
ตัวเลือกใหม่
4. เมื่อสอบเสร็จ ให้วางกระดาษคาตอบไว้ด้าน บนข้อสอบ
5. ห้ามนาข้อสอบและกระดาษคาตอบออกจากห้องสอบ
6. ไม่อนุญาตให้ผู้เข้าสอบออกจากห้องสอบ ก่อนหมดเวลาสอบ
7. ไม่อนุญาตให้ผู้คุมสอบเปิดอ่านข้อสอบ
เอกสารนี้ สงวนลิขสิทธิ์ของสถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (องค์การมหาชน)
ห้ามเผยแพร่ อ้างอิง หรือ เฉลย ก่อนได้รับอนุญาตสถาบันฯ จะย่อยทาลายข้อสอบและ
กระดาษคาตอบทั้งหมด หลังจากประกาศผลสอบแล้ว 3 เดือน

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 2
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1: แบบระบายตัวเลือก แตละขอมีคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว
จํานวน 25 ขอ ( ขอ 1 – 25) ขอละ 6 คะแนน
1. กําหนดให p และ q เปนประพจนใดๆ
ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1. pqp ∨⇒ )(
2. qpp ⇒∧ )(~
3. qpqp ⇒∧⇒ ])[(
4. )~(~)(~ qpqp ∧⇔⇒

2. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ถาเอกภพสัมพัทธ คือ }1,0,1{−
คาความจริงของ [ ]yyxxyx +=+∃∀ 22
เปนเท็จ
2. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง
คาความจริงของ [ ]xx x
3log3 =∃ เปนจริง
3. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง
นิเสธของขอความ [ ])0()00( <∧≤∧>∃∀ xyyxyx
คือ [ ])00()0( >∨≤⇒<∀∃ yxxyyx
4. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเต็ม
นิเสธของขอความ [ ]23
0 xxxx ≥⇒>∀
คือ [ ])()0( 3
xxxx <∧≤∃
3. ให { }{ }11,=A และ ( )AP เปนเพาเวอรเซตของเซต A
ขอใดตอไปนี้ผิด
1. จํานวนสมาชิกของ AAP −)( เทากับ 3
2. จํานวนสมาชิกของ ))(( APP เทากับ 16
3. { }{ } ( ) AAP −∈1
4. { } ( )APA, ∈φ

4. กําหนดให { }4962
≤+−∈= xxRxA
เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. { }43 >−∈=′ xRxA
2. ),( ∞−⊂′ 1A
3. { }7≤∈= xRxA
4. { }732 <−∈⊂ xRxA

5. กําหนดให ( )
1
1
1
−
+
==
x
x
xfy เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 1
( ) ( ) ...,yfy,yfy 2312 ==
( )1−= nn yfy สําหรับ ...,,,n 432=
20102553 yy + เทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
1
+
−
x
x
2.
1
12
−
+
x
x
3.
x
x
2
12
+
4.
1
21 2
−
−+
x
xx

6. ให f และ g เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่
( )
4
1
2
−
−
=
x
x
xf และ ( ) ( ) 1−−= xxfxg
จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ),2( ∞=gD
ข. คาของ 0>x ที่ทําให 0=)(xg มีเพียง 1 คาเทานั้น
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก แต ข. ผิด
3. ก. ผิด แต ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด

7. กําหนดให x เปนจํานวนจริง
ถา axx =+ cossin และ bxx =− cossin
แลวคาของ x4sin เทากับขอใดตอไปนี้
1. ( )33
2
1
abba −
2. ( )baab 33
2
1
−
3. baab 33
−
4. 33
abba −
8. กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมีสมการเปน 0404421002125 22
=−−++ yxyx
แลวไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด )81,3( +−
มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้
1. 0253281045 22
=−−−− xyxy
2. 01588623 22
=+−−− xyxy
3. 0191624 22
=−−−− xyxy
4. 0282827 22
=−−−− xyxy

9. จุด ( ) ( ) ( )385113 ,C,B,A − และ ( )32 −,D เปนจุดยอดของ
รูปสี่เหลี่ยม ABCD
ขอใดตอไปนี้ผิด
1. ดาน AB ขนานกับ ดาน DC
2. ผลบวกความยาวของดาน AB กับ DC เทากับ 210 หนวย
3. ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคา
เทากับ
2
29
หนวย
4. ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคา
เทากับ
2
9
หนวย
10. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงบวกและ 1≠y
ถา axlogy =2 และ by
=2 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. ( )a
blog2
2
1
2. ( )a
blog22
3. ( )blog
a
2
2
4. ( )bloga 22

11. เซตคําตอบของอสมการ 2233
327272 ++
+<+ xxx
เปนสับเซต
ของชวงใดตอไปนี้
1. ( )87 98 log,log
2. ( )98 89 log,log
3. ( )89 78 log,log
4. ( )910 89 log,log
12. ถาสมการ 0
2
1
4
1
1
=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
a
xx
มีคําตอบเปนจํานวนจริงบวก
แลวคาของ a ที่เปนไปไดอยูในชวงขอใดตอไปนี้
1. )3,( −−∞
2. )0,3(−
3. )1,0(
4. )3,1(

13. กําหนดให
xx
x
f
1
1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
เมื่อ 0≠x และ 1≠x
ถา
2
0
π
<θ< แลว )(sec2
θf เทากับขอใดตอไปนี้
1. θ2
sin 2. θ2
cos
3. θ2
tan 4. θ2
cot
14. ให a และ b เปนเวกเตอร กําหนดโดย
kpjia 3
2
1
−+= และ kpjipb ++−= 22 เมื่อ p เปนจํานวนจริง
ถา a ตั้งฉากกับ b และ ขนาดของ b เทากับ 3 แลว
คาของ p อยูในชวงขอใดตอไปนี้
1. )
2
3
,3( −− 2. )0,
2
3
(−
3. )
2
3
,0( 4. )3,
2
3
(

15. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี ),( 00A และ ),( 22B เปนจุดยอด
และ ( )yxC , เปนจุดยอดในจตุภาค(quadrant) ที่ 2 ที่ทําใหดาน AC ยาว
เทากับดาน BC ถาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีคาเทากับ 4 ตารางหนวย
แลวจุด C อยูบนเสนตรงในขอใดตอไปนี้
1. 04 =+− yx
2. 0134 =−+ yx
3. 032 =−− yx
4. 05 =−+ yx
16. ให ,...,, 321 zzz เปนลําดับของจํานวนเชิงซอน โดยที่
,01 =z
izz nn +=+
2
1 สําหรับ ,...3,2,1=n เมื่อ 1−=i
คาสัมบูรณของ 111z เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1 2. 2
3. 3 4. 110

17. ผลบวกของอนุกรม ...
4
223
16
33
4
11
3 1
+
−+
++++ −n
nn
Λ เทากับขอใด
ตอไปนี้
1.
3
20
2.
3
29
3.
3
31
4.
3
40
18. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา RRf →: และ RRg →:
เปนฟงกชัน โดยที่ ( ) ( ) 813 3
2
== g,xxf และ ( )
3
2
1 =′g
คาของ ( ) ( )1′οgf เทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
1
2.
3
2

3. 1 4.
3
4

19. กลองใบหนึ่งบรรจุเสื้อยืด 13 สีๆละ 4 ตัว โดยที่ เสื้อยืดในแตละสีมีขนาด S, M, L
และ XL ตามลําดับ สุมหยิบเสื้อจากกลองมา 3 ตัวพรอมๆกัน ความนาจะเปนที่จะ
ไดเสื้อยืดมีสีเหมือนกัน 2 ตัว เทากับขอใดตอไปนี้
1.
425
72
2.
5525
72
3.
221
3
4.
22100
3
20. กําหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตุการณใดๆใน S
จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ( ) ( ) ( )BAPBAPAP ′∩+∩=
ข. ถา ( ) ( ) 6.0,5.0 == BPAP และ ( ) 7.0=′∪ BAP
แลว ( ) 4.0=− BAP
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก แต ข. ผิด
3. ก. ผิด แต ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด

21. นักเรียนหองหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตรไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 40 คะแนน
ถานักเรียนชายสอบไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 35 คะแนนและนักเรียนหญิงสอบได
คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 50 คะแนน อัตราสวนของนักเรียนชายตอนักเรียนหญิงตรง
กับขอใดตอไปนี้
1. 2:3 2. 3:2
3. 1:2 4. 2:1
22. กําหนดให ( )7
7
7=A , 77
7=B , 7
77=C และ ( )77
77=D
1. DCAB <<<
2. DACB <<<
3. ADBC <<<
4. BDAC <<<

23. จํานวนตอไปนี้ เรียกวา “จํานวน PAT”
16325, 34721, 12347, 52163, 90341, 50381
จํานวนตอไปนี้ ไมเปนจํานวน PAT
2564, 12345, 854, 12635, 34325, 45026
ขอใดตอไปนี้ เปน “จํานวน PAT”
1. 75401
2. 13562
3. 72341
4. 83051

24. ให N แทนเซตของจํานวนนับ
กําหนดให b
aba =∗ สําหรับ Nba ∈,
พิจารณาขอความตอไปนี้
สําหรับ Ncba ∈,,
ก. abba ∗=∗
ข. ( ) ( )cbacba ∗∗=∗∗
ค. ( ) ( ) ( )cabacba ∗+∗=+∗
ง. ( ) ( ) ( )cbcacba ∗+∗=∗+
1. ถูก 2 ขอคือ ข. และ ค.
2. ถูก 2 ขอคือ ค. และ ง.
3. ถูก 1 ขอคือ ค.
4. ก. ข. ค. และ ง. ผิดทุกขอ

25. นายชัดแจงไดทราบขอมูลของคน 5 คน คือ A, B, C, D และ E ดังนี้
A บอกวา “C และ D พูดโกหก”
B บอกวา “A และ C เปนคนพูดจริง”
C บอกวา “D พูดโกหก”
D บอกวา “E พูดโกหก”
E บอกวา “B พูดโกหก”
จากขอมูลดังกลาวทานจะชวยนายชัดแจงคนหาวาใครบางเปนคนพูดจริงและ
ใครบางเปนคนพูดเท็จ
1. A, B, D พูดเท็จ C และ E พูดจริง
2. B และ D พูดเท็จ A และ C พูดจริง
3. A, B และ C พูดเท็จ D และ E พูดจริง
4. B และ E พูดเท็จ A และ C พูดจริง

ตอนที่ 2 : แบบระบายตัวเลข จํานวน 25 ขอ (ขอ 26 – 50 ) ขอละ 6 คะแนน
26. กําหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ
ถา ( ) 91=∪∪ CBAn , ( ) 11=′∩′∩ CBAn ,
( ) ( )( ) 15=−∩− CBABn , ( ) 20=∩∩ CBAn
( ) ( ) ( )( ) 47=∩∪∩∪∩ CBCABAn และ ( ) 59=Cn
แลว ( )CBAn ∩′∩′ เทากับเทาใด
27. ถา { }17113 +=−++∈= xxxRxS
เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง
แลว ผลบวกของสมาชิกใน S เทากับเทาใด

28. ให A เปนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10
B เปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10
และ C เปนเซตของฟงกชัน BAf →: ทั้งหมดที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
และ ห.ร.ม. ของ a และ )(af ไมเทากับ 1 สําหรับทุกคา Aa∈
จํานวนสมาชิกในเซต C เทากับเทาใด
29. ให α และ β เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่
b
a
tan =α
ถา 1
2222
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ ba
a
arccossin
ba
a
arcsincos
แลว βsin มีคาเทากับเทาใด
30. คาของ οοο
οο
361836
7236
costansin
coscos
+
−
เทากับเทาใด

31. ให A และ B เปนเมทริกซที่มีขนาด 22× โดยที่
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=−
65
44
2 BA และ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=−
04
85
2BA
คาของ ( )14 −
BAdet เทากับเทาใด
32. ให z,y,x และ w สอดคลองกับสมการ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− wz
y
y
x
w 1
01
2
12
0
1
1
01
คาของ xyzw −+− 234 เทากับเทาใด
33. ให u , v และ w เปนเวกเตอร กําหนดโดย ,32 kjiu ++=
kcjbiawkjdiv ++=+−= ,2 เมื่อ ,a cb, และ d เปนจํานวนจริง
ถา 2=⋅ wu , 3)( =+⋅ wvu , krjqiwv ++=+ เมื่อ q , r เปน
จํานวนจริง และ w ขนานกับ kji
3
1
2
1
3
2
++−
แลวคาของ cba 24 ++ เทากับเทาใด

34. ให 1z และ 2z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ 2z แทนสังยุค(conjugate) ของ 2z
ถา 525 21 =+ zz และ iz 212 += เมื่อ 12
−=i แลว
คาของ 1
15 −
z เทากับเทาใด
35. ถา { }na เปนลําดับของจํานวนจริงที่
2
2642
n
n
an
++++
=
Κ
สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n
แลว n
n
a
∞→
lim มีเทากับเทาใด
36. กําหนดให ∑=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++
=
n
k
n
kkkk
S
1
1)1(
1
สําหรับ ,...3,2,1=n
คาของ n
n
S
∞→
lim เทากับเทาใด

37. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และ f เปนฟงกชัน
ซึ่งกําหนดโดย
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>++
=−
<
−
−−
=
2,1
2,
2,
2
23
)(
2
3
xaxx
xba
x
x
xx
xf
ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริงแลว
คาของ 22
ba + เทากับเทาใด
38. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา RRf →: เปนฟงกชัน โดยที่
( ) 53 +=′ xxf สําหรับทุกจํานวนจริง x และ ( ) 51 =f
แลวคาของ
( )
( )xf
xf
x
2
lim
2
4
−
→

39. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา RRf →: เปนฟงกชัน โดยที่
( ) 46 +=′′ xxf สําหรับทุกจํานวนจริง x และ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง
( )xfy = ที่จุด ( )19,2 เทากับ 19 แลว คาของ ( )1f เทากับเทาใด
40. กําหนดให { }43210 ,,,,A = จํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวา 300 โดยสรางมาจาก
ตัวเลขในเซต A และตัวเลขแตละหลักไมซ้ํากัน เทากับเทาใด
41. คณะกรรมการชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานุการและ
กรรมการอีก 4 คน จํานวนวิธีที่จัดกลุมคน 7 คนนี้นั่งประชุมรอบโตะกลม โดยให
ประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอ แตเลขานุการไมนั่งติดกับรองประธาน

42. คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งเทากับ 72 คะแนน
ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 600 ถามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน
ซึ่งสอบได 60 คะแนน ทําใหคาเฉลี่ยเปลี่ยนไปเปน 70 คะแนน
ความแปรปรวนของขอมูลชุดใหมเทากับเทาใด
43. จากการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 4 คน มี 2 คน น้ําหนักเทากันและ
หนักนอยกวาอีก 2 คนที่เหลือ ถาฐานนิยม มัธยฐานและพิสัยของน้ําหนักของ
นักเรียน 4 คนนี้คือ 45, 46 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับ แลวความแปรปรวนของน้ําหนัก
ของนักเรียน 4 คนนี้เทากับเทาใด
44. ในการสอบคัดเลือกเขาศึกษาตอของโรงเรียนแหงหนึ่ง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน
แปลงคะแนนเปนคามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐาน
ได 2− แลวสัมประสิทธิ์การแปรผันเทากับรอยละเทาใด

45. ถาในปหนึ่ง เดือนสิงหาคมมีวันจันทรเพียง 4 วัน และวันศุกรเพียง 4 วันเทานั้น
แลววันที่ 20 สิงหาคม ในปนี้จะตรงกับวันอะไร
(วันจันทร ใหระบายตัวเลข 1 วันอังคาร ใหระบายตัวเลข 2
วันพุธใหระบายตัวเลข 3 วันพฤหัสบดี ใหระบายตัวเลข 4
วันศุกร ใหระบายตัวเลข 5 วันเสาร ใหระบายตัวเลข 6
วันอาทิตย ใหระบายตัวเลข 7 )
46. มีกองลูกหินสีดําจํานวน 221 ลูก และกองลูกหินสีขาวจํานวน 260 ลูก ตองการแบง
ลูกหินทั้งสองกองนี้ออกเปนกองเล็กๆ โดยที่
(1) แตละกองมีสีเดียวกัน
(2) ลูกหินแตละกองมีจํานวนเทากัน
ถาตองการใหจํานวนลูกหินในกองเล็กๆเหลานี้มีจํานวนมากที่สุด
แลวจะแบงไดกี่กอง

47. กําหนดให R เปนเซตของจํานวนจริง
ถา ( ) 12
−= xxf และ ( ) 12 += xxg สําหรับทุกจํานวนจริง x
แลว ( )( )1gf ⊗ เทากับเทาใด
48. ถา dcba ,,, เปนเลขโดดที่แตกตางกันที่ทําใหจํานวนเต็ม 4 หลัก dcba
เทากับ 9 เทาของ abcd แลว b เทากับเทาใด
บทนิยาม ให RRf →: และ RRg →: เปนฟงกชันใดๆ
กําหนดการดําเนินการ ⊗ ของ f และ g ดังนี้
( )( ) ( )( ) ( )( )xfgxgfxgf −=⊗
สําหรับทุกจํานวนจริง x

49. พิจารณารูปตอไปนี้
x
ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, … , 11 ลงในชองรูปสี่เหลี่ยม ชองละ 1 จํานวน โดยให
ผลบวกของจํานวนในแนวตั้งเทากับ 43 และผลบวกของจํานวนในแนวนอน เทากับ 28
จํานวน x ในชองรูปสี่เหลี่ยมมุม เทากับเทาใด
แนวตั้ง
แนวนอน

50. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน ...,,,,, 65432 ในตารางดังตอไปนี้
แถวที่
1 9 17 ⋯
2 2 8 10 16 ⋯
3 3 7 11 15 ⋯
4 4 6 12 14 ⋯
5 5 13 ⋯
จํานวน 2400 อยูในแถวที่เทาใด

�ݺ�ߣ

PAT1

More Related Content

PAT1