�ݺ�ߣ

4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD
Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga :
dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)
Rumus differensial :
Maka dari (1) dan (2) diperoleh :
2)
.........(
..........
..........
y
F
x
F
dy
dx
dF






(3)
..........
..........
..........
y)........
M(x,
x
F



.(4)
..........
..........
..........
y)........
N(x,
y
F




Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak
adalah :
Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui
persamaan (3) atau persamaan (4).
Dari persamaan (3)
Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y
x
N





y
M
c(y)
y)
A(x,
dx
y)
M(x,
y)
F(x,
y)
M(x,
x
F
 






y)
N(x,
(y)
c'
y
F







y
A
 






 c
dy
)
y
A
-
y)
N(x,
(
c(y)
y
A
-
y)
N(x,
(y)
c'

Dari persamaan (4)
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
c(x)
y)
B(x,
dy
y)
N(x,
y)
F(x,
y)
N(x,
F
 






y
y)
M(x,
(x)
c'
F







x
B
x
 






 c
dx
B
)
x
-
y)
M(x,
(
c(x)
x
B
-
y)
M(x,
(x)
c'

Contoh :
1. (x2 – y) dx – x dy = 0
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
Jadi,
1
y
M
)
,
( 2






 y
x
y
x
M
1
x
N
....
.........
)
,
( 





 x
y
x
N
c(x)
-xy
xdy
-
dy
y)
N(x,
y)
F(x,
y)
N(x,
y
F
  







y
y
x







 2
x
y)
M(x,
(x)
c'
F
 



 c
x
dx 3
2
2
3
1
x
c(x)
x
(x)
c'
c
x
3
1
xy
-
y)
F(x, 3




2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0
3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0
4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0
5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0
6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak
dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian
sehingga PD :
I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0
merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan
factor integrasi dari PD tersebut.
 Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :
1. Jika suatu fungsi dari x saja,
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
)
(x
f
N
x
N
y
M






 dx
x
f
e
)
(

2. Jika suatu fungsi dari y saja
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan
PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 ,
maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb.
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis
dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana
f(x,y) ≠ g(x,y) , maka adalah faktor integrasi
dari PD tersebut.
)
(y
g
M
x
N
y
M







 dy
y
g
e
)
(
yN
xM 
1
yN
xM 
1

Contoh:
1. (2y –x3) dx + x dy = 0
2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0
3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0
5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0
6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

Latihan :
1. (x2 – y) dx – xdy = 0
2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0
3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0
4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0
5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0


6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
ORDE PERTAMA
Bentuk umum :
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi :
Solusi umum dari PD ini adalah :
Q(x)
P(x) 
 y
dx
dy
 dx
)
(x
P
e
c
dx
e
x
Q
e
y
x
P
x
P




 )
(
dx
)
(
dx
)
(

Contoh :
1.
P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x
Faktor Integrasi : I =
maka solusinya :
Jadi ,
2.
3.
2x
e
2 

 y
dx
dy
x
dx
e
e 

  





 c
e
e
dx
e
e
dx
e
e
ye x
x
x
x
x
x
x 3
3
2
3
1
2
)
2
(
)
2
(
x
x
ce
e
y 


 2
3
1
2
x
e
x
y
dx
dy 2
x
2 

4x
2 

 y
dx
dy

7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
 Bentuk umum :
 Dengan transformasi :
akan menghasilkan persamaan differensial linier orde
satu :
yang mempunyai solusi umum :
)
(
)
( x
Q
y
x
yP
dx
dy n


dx
dz
dx
dy
y
z n
n
-
1
1
y
1
dan n
1

 

)
(
)
1
(
)
(
)
1
( x
Q
n
x
zP
n
dx
dz




c
dx
e
x
Q
n
e
z
dx
x
P
n
dx
x
P
n




 


)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
.
)
(
)
1
(
.

Contoh :
1.
2.
3.
4.
)
1
( 3
2 x
e
y
y
dx
dy



)
3
( 2
2
x
x
y
x
y
dx
dy



dx
)
( 6
6
x
x
y
dx
y
dy
x 


x
xy
y
dx
dy
ln
x 2



PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA
DERAJAT TINGGI
Bentuk umum :
atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx
Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya
1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor
linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai :
(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0
dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y
0
)
,....,
,
,
,
(
2













n
dx
dy
dx
dy
dx
dy
y
x
F

Langkah2 menentukan solusi umum
(1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu :
(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*)
dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y
(2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu
derajat satu dari (*), yaitu :
(p – F1)
(p – F2)
…………………………………………………………………..
(p – F1)
0
)
,
,
(
f
0
)
,
(
dx
dy
1
1 



 c
y
x
y
x
F
0
)
,
,
(
f
0
)
,
(
dx
dy
2
2 



 c
y
x
y
x
F
0
)
,
,
(
0
)
,
(
dx
dy




 c
y
x
f
y
x
F n
n

(3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian
dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu
tersebut, yaitu :
f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p)
Langkah2 menentukan solusi umum
(1). Differensialkan x terhadap p, yaitu :
(2).Karena maka shg :
(3).Solusi umum dari PD telah diperoleh
x = f(p) p adalah parameter
y =
dp
p
p
f
dp
dx
)
(
f
dx
)
( '
'



dx
dy
p  dy
1
p
dx 
c
dp
(p)
f
p
y
dp
(p)
f
p
dy
dp
(p)
f
dy
1
'
1
'






p
  c
dp
p
pf )
(
'

3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p)
Langkah2 menentukan solusi umum :
(1). Differensialkan y terhadap p, yaitu :
(2). Karena maka sehingga :
(3). Solusi umum dari PD telah diperoleh
y = f(p) p adalah parameter
x =
dp
p
p
f
dp
dy
)
(
f
dy
)
( '
'



dx
dy
p  dx
p
dy 
  c
dp
p
f
p
)
(
1 '
c
dp
(p)
f
p
1
x
dp
(p)
f
p
1
dx
dp
(p)
f
dx
p
'
1
'







contoh :
1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0
2. 7p3 + 3p2 = x
3. p3 + 5p2 + 7p = y
4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0

�ݺ�ߣ

persamaan diferensial orde 2 metode eksak & bernaulli).pdf

More Related Content

persamaan diferensial orde 2 metode eksak & bernaulli).pdf