ΊέΊέί£

ΊέΊέί£Share a Scribd company logo

Persdif

β€’Download as DOCX, PDFβ€’
β€’
Veinard Vingtsabta
Veinard Vingtsabta

1. Model sistem gerak bebas teredam dan penyelesaiannya menggunakan persamaan diferensial. 2. Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva y = cx^2 dan program MATLABnya. 3. Model persamaan rangkaian LC seri, penyelesaian homogen dan takhomogen, serta hubungan faktor resonansi dengan frekuensi.

1 of 12
Download to read offline
1. Penyelesaian Model Sistem Gerak Bebas Teredam  Model sistem gerak benda bebas teredam: π‘š. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑑2 + 𝑑. 𝑑𝑦 𝑑𝑑 + π‘˜π‘¦ = 0 Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah: π’Ž. 𝒓 𝟐 + 𝒅. 𝒓 + π’Œ = 𝟎 sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya: 𝒓 𝟏,𝟐 = βˆ’π’… Β± βˆšπ’… 𝟐 βˆ’ πŸ’π’Žπ’Œ πŸπ’Ž  Sistem teredam kritis (critically damped),(d2 = 4mk) Pada sistem teredam kritis 𝑑2 = 4π‘šπ‘˜ sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu: π‘Ÿ1,2 = βˆ’π‘‘ 2π‘š Persamaan solusinya : π’š = ( 𝒄 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒕) 𝒆 (βˆ’π‘‘ 2π‘š ) 𝒕 Program MATLAB untuk Gambar Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Teredam Kritis (c1, c2 positif) adalah sebagai berikut: %gerak benda teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=1:5:25; -d/2m=-2 clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); for c2=1:5:25 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt,'b','linewidth',2) hold on end xlabel(' waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
Program MATLAB untuk Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Teredam Kritis (c2 negatif) adalah sebagai berikut: %gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=-20:4:-2; -d/2m=-2 clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); for c2=-20:4:-2 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt,'b','linewidth',2) hold on end xlabel(' waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
2. Tentukan keluarga trajektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini: y = cx2 . Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx2 adalah: 2𝑦2 + π‘₯2 = π‘˜ Penyelesaian Langkah I Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y = cx2 yaitu 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = 2𝑐π‘₯ Langkah 2 Disubstitusikan = 𝑐 = 𝑦 π‘₯2 untuk memperoleh persamaan diferensial implisit: 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = 2 𝑦 π‘₯2 = 2𝑦 π‘₯ Langkah 3 Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = βˆ’ 1 𝑓( π‘₯,𝑦) = βˆ’ 1 2𝑦 π‘₯ = βˆ’ π‘₯ 2𝑦 Langkah 4 Selesaikan persamaan diferensial baru 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = βˆ’ π‘₯ 2𝑦 β†’ 2𝑦𝑑𝑦 = βˆ’π‘₯𝑑π‘₯ ∫2𝑦𝑑𝑦 = βˆ«βˆ’π‘₯𝑑π‘₯ β†’ 𝑦2 = βˆ’ 1 2 π‘₯2 + π‘˜1 2𝑦2 + π‘₯2 = π‘˜
Gambar Trayektori Ortogonal Kurva y = cx2 dan 2𝑦2 + π‘₯2 = π‘˜ Program MATLAB sebagai berikut: %Program MATLAB untuk kurva πŸπ’š 𝟐 + 𝒙 𝟐 = π’Œ dan y = cx2 % clear all; clc; syms x y k f1='k*x^2-y' for k=1:1:10 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end for k=-10:1:-1 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end f2='2*y^2+x^2-k^2' for k=-8:1:8 ezplot(eval(f2)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end title('keluarga kurva 2*y^2+x^2-k^2 dan k*x^2-y') 3. Rangkaian LC Seri L E C Jika sumber baterai E= E0 cos Ο‰t Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai: 𝐿 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ atau 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢𝐿 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿
Penyelesaian model persamaan di atas adalah penyelesaian lengkap muatan fungsi waktu, terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen. Penyelesaian Homogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢𝐿 𝑄 = 0 persamaan karakteristik dari PD di atas: π‘Ÿ2 + 1 𝐢𝐿 = 0 akar-akar persamaan karakteristik: π‘Ÿ1,2 = Β±π‘–βˆš 1 𝐢𝐿 penyelesaian homogen: π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐴 π‘π‘œπ‘  √ 1 𝐢𝐿 𝑑 + 𝐡 𝑠𝑖𝑛 √ 1 𝐢𝐿 𝑑 atau π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  (√ 1 𝐢𝐿 𝑑 βˆ’ πœƒ) jika πœ”0 2 = 1 𝐢𝐿 , maka π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) Penyelesaian Takhomogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢𝐿 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 dengan menggunakan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1) 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 β†’ 𝑄 𝑝(𝑑) = πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ 𝑄 𝑝 β€² (𝑑) = βˆ’πœ”πΎπ‘ π‘–π‘› πœ”π‘‘ + πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝑄 𝑝 β€²β€² (𝑑) = βˆ’πœ”2 πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ substitusi 𝐐 𝐩, 𝐐 𝐩 β€²β€² ke persamaan didapatkan: βˆ’πœ”2 πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ + 1 𝐢𝐿 ( πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) = 𝐸0 𝐿 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ ( 1 𝐢𝐿 𝐾 βˆ’ πœ”2 𝐾) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + ( 𝑀 𝐢𝐿 βˆ’ πœ”2 𝑀) 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ = 𝐸0 𝐿 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ dengan menyamakan koefisiennya maka: ( 1 βˆ’ πΆπΏπœ”2 𝐢𝐿 ) 𝐾 = 𝐸0 𝐿 β†’ 𝐾 = 𝐸0 𝐢 (1 βˆ’ πΆπΏπœ”2)
jadi solusi takhomogen adalah: 𝑄 𝑝(𝑑) = 𝐸0 𝐢 (1 βˆ’ πΆπΏπœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ : 𝐢𝐿 : 𝐢𝐿 = 𝐸0 𝐿( 1 𝐢𝐿 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ jika didefinisikan πœ”0 2 = 1 𝐢𝐿 , sehingga: 𝑄 𝑝(𝑑) = 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ Penyelesaian lengkap: 𝑄(𝑑) = π‘„β„Ž(𝑑)+ 𝑄 𝑝(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ Keluaran ini menggambarkan superposisi dua gelombang cosinus dengan frekuensi selaras yang disebut sebagai frekuensi dasar/alamiah (natural frequency) besarnya 𝑓0 = πœ”0 2πœ‹ . Amplitudo maksimum pada persamaan gelombang keluaran adalah: 𝐴 π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  = 𝐸0 𝐿(πœ”0 2βˆ’πœ”2) = 𝐸0 𝐿 𝜌 dengan 𝜌 = 1 (πœ”0 2βˆ’πœ”2) 𝜌 disebut faktor resonansi Amplitudo maksimum ini tergantung pada πœ”0, πœ” π‘œdan akan terjadi jika jika πœ”0 = πœ” π‘œ(disebut resonansi). 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 frekuensi faktorresonansip Program MATLAB untuk Gambar Faktor Resonansi %faktor resonansi clear all; close all; clc; wo=3
w=(0:0.1:6); p=(wo^2-w.^2).^-1; plot(w,p,'b','linewidth',3) grid on axis equal hold on xlabel('frekuensi','fontsize',14) ylabel('faktor resonansi p','fontsize',14) Jika terdapat kondisi awalyaitu Q(0)=0 dan Q’(0)=0 maka persamaan lengkap menjadi: Untuk kondisi awal Q(0)=0: 𝑄(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 0 = 𝐢 π‘π‘œπ‘  (0 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  0 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœƒ) = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) Untuk kondisi awal Q’(0)=0 𝑄′(𝑑) = βˆ’πΆ πœ”0 𝑠𝑖𝑛 ( πœ”0 π‘‘βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) πœ” 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ 0 = βˆ’πΆ πœ”0 𝑠𝑖𝑛 (0 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) πœ” 𝑠𝑖𝑛 0 𝐢 𝑠𝑖𝑛 ( πœƒ) = 0 Sehingga jika: 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) = πΆπ‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑 π‘π‘œπ‘ πœƒ + πΆπ‘ π‘–π‘›πœ”0 𝑑 π‘ π‘–π‘›πœƒ dengan substitusi 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœƒ) = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2βˆ’πœ”2) dan 𝐢 𝑠𝑖𝑛 ( πœƒ) = 0 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑 sehingga: 𝑄(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑 + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ = 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) ( π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ π‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑) jika π‘π‘œπ‘  𝐴 βˆ’ π‘π‘œπ‘  𝐡 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐡 2 𝑠𝑖𝑛 π΅βˆ’π΄ 2 (buktikan!) maka: 𝑄(𝑑) = 2𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) 𝑠𝑖𝑛 πœ”0 + πœ” 2 𝑑 𝑠𝑖𝑛 πœ”0 βˆ’ πœ” 2 𝑑
Gambar berikut mengilustrasikan osilasi Q(t) jika selisih Ο‰ dengan Ο‰0 kecil (Gambar a - c): 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar a. Osilasi 𝑸(𝒕) = πŸπ‘¬ 𝟎 𝑳(πœ”0 2βˆ’πœ”2) 𝑠𝑖𝑛 πœ”0+πœ” 2 𝑑 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar b. Osilasi 𝑸(𝒕) = Β± πŸπ‘¬ 𝟎 𝑳(πœ”0 2βˆ’πœ”2) 𝑠𝑖𝑛 πœ”0βˆ’πœ” 2 𝑑 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar c. Penyelesaian lengkap Q(t) untuk kasus Ο‰-Ο‰0 kecil
Program MATLAB Gambar di atas %Arus pada Rangk LC seri E=Eo sin (wo-w) %wo-w = kecil clear all; close all; clc; E0=10; L=1; W0=1; W=0.84; A=(W0+W)*2^-1; B=(W0-W)*2^-1; t=(0:0.01:80); I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)) plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=-2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)).*sin(t.*(B)); plot(t,I,'k','linewidth',4) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14) Dari Gambar a. menunjukkan osilasi Q(t) lebih cepat daripada osilasi Q(t) pada Gambar b. Gambar c. adalah hasilkali persamaan Gambar a. dan b. yang merupakan penyelesaian lengkap rangkaian LC dengan 𝝎 β‰  Ο‰0 . Fenomena fisik model persamaan ini dapat dirasakan pada proses penalaan nada sistem akustik dimana akan terdengar gejala naik turun suara pada saat frekuensi dua sumber suara mendekati sama.
4. Rangkaian LC Seri L E C Jika sumber baterai E= E0 cos Ο‰t dengan 𝝎 = √ 𝟏 π‘ͺ𝑳 Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai: 𝐿 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ atau 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + πœ”2 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 Penyelesaian Homogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + πœ”2 𝑄 = 0 persamaan karakteristik dari PD di atas: π‘Ÿ2 + πœ”2 = 0 akar-akar persamaan karakteristik: π‘Ÿ1,2 = Β±π‘–πœ” penyelesaian homogen: π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐴 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝐡 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ atau π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”π‘‘ βˆ’ πœƒ) Penyelesaian Takhomogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + πœ”2 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular (lihat subbab 4.8.1) 𝑸 𝒑(𝒕) = 𝒕(πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) 𝑸 𝒑 β€² (𝒕) = πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”π‘‘πΎπ‘ π‘–π‘› πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘+ πœ”π‘‘π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝑸 𝒑 β€²β€² (𝒕) = βˆ’πœ”πΎπ‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘βˆ’ πœ”πΎπ‘ π‘–π‘› πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 π‘‘πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘+ πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ = βˆ’2πœ”πΎπ‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘βˆ’ πœ”2 π‘‘πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 2πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ substitusi 𝐐 𝐩, 𝐐 𝐩 β€²β€² ke persamaan didapatkan:
βˆ’2πœ”πΎπ‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 π‘‘πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 2πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ +𝝎 𝟐 𝒕(πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) = 𝑬 𝟎 𝑳 𝒄𝒐𝒔 πŽπ’• (2πœ”π‘€) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + (βˆ’2πœ”πΎ) 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ = 𝑬 𝟎 𝑳 𝒄𝒐𝒔 πŽπ’• dengan menyamakan koefisiennya maka: 2πœ”π‘€ = 𝑬 𝟎 𝑳 β†’ 𝑀 = 𝑬 𝟎 2πœ”π‘³ βˆ’2πœ”πΎ = 0 β†’ 𝐾 = 𝟎 jadi solusi takhomogen adalah: 𝑸 𝒑(𝒕) = 𝒕(πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) = 𝑬 𝟎 πŸπŽπ‘³ 𝒕 π’”π’Šπ’ πŽπ’• Penyelesaian lengkap: 𝑸(𝒕) = 𝑸 𝒉(𝒕) + 𝑸 𝒑(𝒕) = 𝑸 𝒉(𝒕) = π‘ͺ 𝒄𝒐𝒔 ( πœ”0 𝒕 βˆ’ 𝜽) + 𝑬 𝟎 πŸπŽπ‘³ 𝒕 π’”π’Šπ’ πŽπ’• 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar Solusi Partikular untuk Kasus 𝝎 = √ 𝟏 πŽπ‘³ Program MATLAB Gambar di atas sebagaiberikut: %Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5t dengan 𝝎 = √ 𝟏 πŽπ‘³ clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); I=10*t.*sin(5*t); plot(t,I,'b','linewidth',2) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14)
5. Rangkaian RLC Seri L E C R Suatu induktor 2 henry, resistor 16 ohm dan kapasitor 0,02 farad dihubungkan secara seridengan sutu baterai dengan ggl.E = 100 sin 3t. Pada t=0 muatan dalam kapasitor dan arus dalam rangkaian adalah nol. Tentukanlah (a) muatan dan (b) arus pada t>0. Penyelesaian: Misalkan Q dan I menyatakan muatan dan arus sesaat pada waktu t, berdasarkan Hukum Kirchhoff, maka diperoleh persamaan: 2 𝑑𝑙 𝑑𝑑 + 16I + 𝑄 0,02 = 100 sin 3t Atau karena I=dQ/dt, 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 8 𝑑𝑄 𝑑𝑑 + 25Q = 20 sin 3t Selesaikan ini terhadap syarat Q = 0,dQ/dt = 0 pada t = 0, kita memperoleh hasil akhir: (a) Q = 25 52 (2 sin 3t – 3 cos 3t) + 25 52 e-4t (3 cos 3t + 2 sin 3t) (b) I = 𝑑𝑄 𝑑𝑑 = 75 52 (2 cos 3t + 3 sin 3t) - 25 52 e-4t (17 sin 3t + 6 cos 3t) Suku pertama adalah arus stabil (steady-state) dan suku kedua, yang dapat diabaikan untuk waktu yang bertambah, dinamakan arus transien.

More Related Content

Persdif

  • 1. 1. Penyelesaian Model Sistem Gerak Bebas Teredam  Model sistem gerak benda bebas teredam: π‘š. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑑2 + 𝑑. 𝑑𝑦 𝑑𝑑 + π‘˜π‘¦ = 0 Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda bebas teredam adalah: π’Ž. 𝒓 𝟐 + 𝒅. 𝒓 + π’Œ = 𝟎 sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya: 𝒓 𝟏,𝟐 = βˆ’π’… Β± βˆšπ’… 𝟐 βˆ’ πŸ’π’Žπ’Œ πŸπ’Ž  Sistem teredam kritis (critically damped),(d2 = 4mk) Pada sistem teredam kritis 𝑑2 = 4π‘šπ‘˜ sehingga akar-akar persamaan karakteristik sama yaitu: π‘Ÿ1,2 = βˆ’π‘‘ 2π‘š Persamaan solusinya : π’š = ( 𝒄 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒕) 𝒆 (βˆ’π‘‘ 2π‘š ) 𝒕 Program MATLAB untuk Gambar Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Teredam Kritis (c1, c2 positif) adalah sebagai berikut: %gerak benda teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=1:5:25; -d/2m=-2 clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); for c2=1:5:25 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt,'b','linewidth',2) hold on end xlabel(' waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
  • 2. Program MATLAB untuk Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Teredam Kritis (c2 negatif) adalah sebagai berikut: %gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=-20:4:-2; -d/2m=-2 clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); for c2=-20:4:-2 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt,'b','linewidth',2) hold on end xlabel(' waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
  • 3. 2. Tentukan keluarga trajektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini: y = cx2 . Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx2 adalah: 2𝑦2 + π‘₯2 = π‘˜ Penyelesaian Langkah I Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y = cx2 yaitu 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = 2𝑐π‘₯ Langkah 2 Disubstitusikan = 𝑐 = 𝑦 π‘₯2 untuk memperoleh persamaan diferensial implisit: 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = 2 𝑦 π‘₯2 = 2𝑦 π‘₯ Langkah 3 Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = βˆ’ 1 𝑓( π‘₯,𝑦) = βˆ’ 1 2𝑦 π‘₯ = βˆ’ π‘₯ 2𝑦 Langkah 4 Selesaikan persamaan diferensial baru 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ = βˆ’ π‘₯ 2𝑦 β†’ 2𝑦𝑑𝑦 = βˆ’π‘₯𝑑π‘₯ ∫2𝑦𝑑𝑦 = βˆ«βˆ’π‘₯𝑑π‘₯ β†’ 𝑦2 = βˆ’ 1 2 π‘₯2 + π‘˜1 2𝑦2 + π‘₯2 = π‘˜
  • 4. Gambar Trayektori Ortogonal Kurva y = cx2 dan 2𝑦2 + π‘₯2 = π‘˜ Program MATLAB sebagai berikut: %Program MATLAB untuk kurva πŸπ’š 𝟐 + 𝒙 𝟐 = π’Œ dan y = cx2 % clear all; clc; syms x y k f1='k*x^2-y' for k=1:1:10 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end for k=-10:1:-1 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end f2='2*y^2+x^2-k^2' for k=-8:1:8 ezplot(eval(f2)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end title('keluarga kurva 2*y^2+x^2-k^2 dan k*x^2-y') 3. Rangkaian LC Seri L E C Jika sumber baterai E= E0 cos Ο‰t Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai: 𝐿 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ atau 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢𝐿 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿
  • 5. Penyelesaian model persamaan di atas adalah penyelesaian lengkap muatan fungsi waktu, terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen. Penyelesaian Homogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢𝐿 𝑄 = 0 persamaan karakteristik dari PD di atas: π‘Ÿ2 + 1 𝐢𝐿 = 0 akar-akar persamaan karakteristik: π‘Ÿ1,2 = Β±π‘–βˆš 1 𝐢𝐿 penyelesaian homogen: π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐴 π‘π‘œπ‘  √ 1 𝐢𝐿 𝑑 + 𝐡 𝑠𝑖𝑛 √ 1 𝐢𝐿 𝑑 atau π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  (√ 1 𝐢𝐿 𝑑 βˆ’ πœƒ) jika πœ”0 2 = 1 𝐢𝐿 , maka π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) Penyelesaian Takhomogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢𝐿 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 dengan menggunakan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1) 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 β†’ 𝑄 𝑝(𝑑) = πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ 𝑄 𝑝 β€² (𝑑) = βˆ’πœ”πΎπ‘ π‘–π‘› πœ”π‘‘ + πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝑄 𝑝 β€²β€² (𝑑) = βˆ’πœ”2 πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ substitusi 𝐐 𝐩, 𝐐 𝐩 β€²β€² ke persamaan didapatkan: βˆ’πœ”2 πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ + 1 𝐢𝐿 ( πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) = 𝐸0 𝐿 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ ( 1 𝐢𝐿 𝐾 βˆ’ πœ”2 𝐾) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + ( 𝑀 𝐢𝐿 βˆ’ πœ”2 𝑀) 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ = 𝐸0 𝐿 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ dengan menyamakan koefisiennya maka: ( 1 βˆ’ πΆπΏπœ”2 𝐢𝐿 ) 𝐾 = 𝐸0 𝐿 β†’ 𝐾 = 𝐸0 𝐢 (1 βˆ’ πΆπΏπœ”2)
  • 6. jadi solusi takhomogen adalah: 𝑄 𝑝(𝑑) = 𝐸0 𝐢 (1 βˆ’ πΆπΏπœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ : 𝐢𝐿 : 𝐢𝐿 = 𝐸0 𝐿( 1 𝐢𝐿 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ jika didefinisikan πœ”0 2 = 1 𝐢𝐿 , sehingga: 𝑄 𝑝(𝑑) = 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ Penyelesaian lengkap: 𝑄(𝑑) = π‘„β„Ž(𝑑)+ 𝑄 𝑝(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ Keluaran ini menggambarkan superposisi dua gelombang cosinus dengan frekuensi selaras yang disebut sebagai frekuensi dasar/alamiah (natural frequency) besarnya 𝑓0 = πœ”0 2πœ‹ . Amplitudo maksimum pada persamaan gelombang keluaran adalah: 𝐴 π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  = 𝐸0 𝐿(πœ”0 2βˆ’πœ”2) = 𝐸0 𝐿 𝜌 dengan 𝜌 = 1 (πœ”0 2βˆ’πœ”2) 𝜌 disebut faktor resonansi Amplitudo maksimum ini tergantung pada πœ”0, πœ” π‘œdan akan terjadi jika jika πœ”0 = πœ” π‘œ(disebut resonansi). 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 frekuensi faktorresonansip Program MATLAB untuk Gambar Faktor Resonansi %faktor resonansi clear all; close all; clc; wo=3
  • 7. w=(0:0.1:6); p=(wo^2-w.^2).^-1; plot(w,p,'b','linewidth',3) grid on axis equal hold on xlabel('frekuensi','fontsize',14) ylabel('faktor resonansi p','fontsize',14) Jika terdapat kondisi awalyaitu Q(0)=0 dan Q’(0)=0 maka persamaan lengkap menjadi: Untuk kondisi awal Q(0)=0: 𝑄(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 0 = 𝐢 π‘π‘œπ‘  (0 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  0 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœƒ) = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) Untuk kondisi awal Q’(0)=0 𝑄′(𝑑) = βˆ’πΆ πœ”0 𝑠𝑖𝑛 ( πœ”0 π‘‘βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) πœ” 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ 0 = βˆ’πΆ πœ”0 𝑠𝑖𝑛 (0 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) πœ” 𝑠𝑖𝑛 0 𝐢 𝑠𝑖𝑛 ( πœƒ) = 0 Sehingga jika: 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) = πΆπ‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑 π‘π‘œπ‘ πœƒ + πΆπ‘ π‘–π‘›πœ”0 𝑑 π‘ π‘–π‘›πœƒ dengan substitusi 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœƒ) = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2βˆ’πœ”2) dan 𝐢 𝑠𝑖𝑛 ( πœƒ) = 0 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑 sehingga: 𝑄(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”0 𝑑 βˆ’ πœƒ) + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ = βˆ’ 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑 + 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ = 𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) ( π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ π‘π‘œπ‘ πœ”0 𝑑) jika π‘π‘œπ‘  𝐴 βˆ’ π‘π‘œπ‘  𝐡 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐡 2 𝑠𝑖𝑛 π΅βˆ’π΄ 2 (buktikan!) maka: 𝑄(𝑑) = 2𝐸0 𝐿(πœ”0 2 βˆ’ πœ”2) 𝑠𝑖𝑛 πœ”0 + πœ” 2 𝑑 𝑠𝑖𝑛 πœ”0 βˆ’ πœ” 2 𝑑
  • 8. Gambar berikut mengilustrasikan osilasi Q(t) jika selisih Ο‰ dengan Ο‰0 kecil (Gambar a - c): 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar a. Osilasi 𝑸(𝒕) = πŸπ‘¬ 𝟎 𝑳(πœ”0 2βˆ’πœ”2) 𝑠𝑖𝑛 πœ”0+πœ” 2 𝑑 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar b. Osilasi 𝑸(𝒕) = Β± πŸπ‘¬ 𝟎 𝑳(πœ”0 2βˆ’πœ”2) 𝑠𝑖𝑛 πœ”0βˆ’πœ” 2 𝑑 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar c. Penyelesaian lengkap Q(t) untuk kasus Ο‰-Ο‰0 kecil
  • 9. Program MATLAB Gambar di atas %Arus pada Rangk LC seri E=Eo sin (wo-w) %wo-w = kecil clear all; close all; clc; E0=10; L=1; W0=1; W=0.84; A=(W0+W)*2^-1; B=(W0-W)*2^-1; t=(0:0.01:80); I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)) plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=-2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)).*sin(t.*(B)); plot(t,I,'k','linewidth',4) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14) Dari Gambar a. menunjukkan osilasi Q(t) lebih cepat daripada osilasi Q(t) pada Gambar b. Gambar c. adalah hasilkali persamaan Gambar a. dan b. yang merupakan penyelesaian lengkap rangkaian LC dengan 𝝎 β‰  Ο‰0 . Fenomena fisik model persamaan ini dapat dirasakan pada proses penalaan nada sistem akustik dimana akan terdengar gejala naik turun suara pada saat frekuensi dua sumber suara mendekati sama.
  • 10. 4. Rangkaian LC Seri L E C Jika sumber baterai E= E0 cos Ο‰t dengan 𝝎 = √ 𝟏 π‘ͺ𝑳 Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai: 𝐿 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 1 𝐢 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ atau 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + πœ”2 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 Penyelesaian Homogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + πœ”2 𝑄 = 0 persamaan karakteristik dari PD di atas: π‘Ÿ2 + πœ”2 = 0 akar-akar persamaan karakteristik: π‘Ÿ1,2 = Β±π‘–πœ” penyelesaian homogen: π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐴 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝐡 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ atau π‘„β„Ž(𝑑) = 𝐢 π‘π‘œπ‘  ( πœ”π‘‘ βˆ’ πœƒ) Penyelesaian Takhomogen: 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + πœ”2 𝑄 = 𝐸0 π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝐿 dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular (lihat subbab 4.8.1) 𝑸 𝒑(𝒕) = 𝒕(πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) 𝑸 𝒑 β€² (𝒕) = πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”π‘‘πΎπ‘ π‘–π‘› πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘+ πœ”π‘‘π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ 𝑸 𝒑 β€²β€² (𝒕) = βˆ’πœ”πΎπ‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘βˆ’ πœ”πΎπ‘ π‘–π‘› πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 π‘‘πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘+ πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ = βˆ’2πœ”πΎπ‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘βˆ’ πœ”2 π‘‘πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 2πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ substitusi 𝐐 𝐩, 𝐐 𝐩 β€²β€² ke persamaan didapatkan:
  • 11. βˆ’2πœ”πΎπ‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 π‘‘πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 2πœ”π‘€π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ βˆ’ πœ”2 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ +𝝎 𝟐 𝒕(πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) = 𝑬 𝟎 𝑳 𝒄𝒐𝒔 πŽπ’• (2πœ”π‘€) π‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + (βˆ’2πœ”πΎ) 𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘ = 𝑬 𝟎 𝑳 𝒄𝒐𝒔 πŽπ’• dengan menyamakan koefisiennya maka: 2πœ”π‘€ = 𝑬 𝟎 𝑳 β†’ 𝑀 = 𝑬 𝟎 2πœ”π‘³ βˆ’2πœ”πΎ = 0 β†’ 𝐾 = 𝟎 jadi solusi takhomogen adalah: 𝑸 𝒑(𝒕) = 𝒕(πΎπ‘π‘œπ‘  πœ”π‘‘ + 𝑀𝑠𝑖𝑛 πœ”π‘‘) = 𝑬 𝟎 πŸπŽπ‘³ 𝒕 π’”π’Šπ’ πŽπ’• Penyelesaian lengkap: 𝑸(𝒕) = 𝑸 𝒉(𝒕) + 𝑸 𝒑(𝒕) = 𝑸 𝒉(𝒕) = π‘ͺ 𝒄𝒐𝒔 ( πœ”0 𝒕 βˆ’ 𝜽) + 𝑬 𝟎 πŸπŽπ‘³ 𝒕 π’”π’Šπ’ πŽπ’• 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 sumbu waktu (t) MuatanQ(t) Gambar Solusi Partikular untuk Kasus 𝝎 = √ 𝟏 πŽπ‘³ Program MATLAB Gambar di atas sebagaiberikut: %Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5t dengan 𝝎 = √ 𝟏 πŽπ‘³ clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); I=10*t.*sin(5*t); plot(t,I,'b','linewidth',2) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14)
  • 12. 5. Rangkaian RLC Seri L E C R Suatu induktor 2 henry, resistor 16 ohm dan kapasitor 0,02 farad dihubungkan secara seridengan sutu baterai dengan ggl.E = 100 sin 3t. Pada t=0 muatan dalam kapasitor dan arus dalam rangkaian adalah nol. Tentukanlah (a) muatan dan (b) arus pada t>0. Penyelesaian: Misalkan Q dan I menyatakan muatan dan arus sesaat pada waktu t, berdasarkan Hukum Kirchhoff, maka diperoleh persamaan: 2 𝑑𝑙 𝑑𝑑 + 16I + 𝑄 0,02 = 100 sin 3t Atau karena I=dQ/dt, 𝑑2 𝑄 𝑑𝑑2 + 8 𝑑𝑄 𝑑𝑑 + 25Q = 20 sin 3t Selesaikan ini terhadap syarat Q = 0,dQ/dt = 0 pada t = 0, kita memperoleh hasil akhir: (a) Q = 25 52 (2 sin 3t – 3 cos 3t) + 25 52 e-4t (3 cos 3t + 2 sin 3t) (b) I = 𝑑𝑄 𝑑𝑑 = 75 52 (2 cos 3t + 3 sin 3t) - 25 52 e-4t (17 sin 3t + 6 cos 3t) Suku pertama adalah arus stabil (steady-state) dan suku kedua, yang dapat diabaikan untuk waktu yang bertambah, dinamakan arus transien.