1. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
BÀI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
O. Hệ tọa độ trong không gian
1) Định nghĩa:
-(Đ/n, các kí hiệu: Gốc, các trục tọa độ, các mặt phẳng toạ độ)
-Nhận xét: Các véc tơ đơn vị
- Biểu diễn hệ trục
2) Tọa độ véc tơ: Đ/n, tọa độ véc tơ không, các véc tơ đơn vị
3) Tọa độ điểm
-Đ/n, tọa độ của điểm O
-Cách xác định tọa độ một điểm trên hình vẽ
- Ví dụ 1) Tọa độ các điểm đặc biệt: Trên các trục tọa độ, trên các mặt phẳng tọa độ,.....
- Ví dụ 2) Cho điểm M(x;y;z), xác định tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ; Xác định
tọa độ ảnh M’ đối xứng với M qua gốc tọa độ, các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ.
- Ví dụ 3) Suy ra khoảng cách từ M tới các mặt phẳng tọa độ, các trục tọa độ, gốc tọa độ
I. Biểu thức toạ độ của các phép toán véc tơ
Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho các véc tơ 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z
r r
; các điểm
( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ; );A A A B B B C C CA x y z B x y z C x y z và một số thực k. Khi đó ta có
. .
cos( , ) u v
u v k u u uv
u v u v
± = = = =
= ⇔ = ⊥ ⇔
r r r r r r
r r r rr r
u cï ng ph ¬ng v ⇔
r r
AB , , th¼ng hµngAB A B C= = ⇔
uuur uuur
-Toạ độ trung điểm AB? toạ độ trọng tâm tam giác ABC? toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD?
-Toạ độ các điểm thuộc Ox có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oy có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oz có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oxy có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oyz có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Ozx có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm đối xứng với A qua các trục toạ độ và qua các mặt phẳng toạ độ?
II. Tích có hướng và ứng dụng
1) Khái niệm:.....
2) Tính chất:
*) Véc tơ tích có hướng vuông góc với các véc tơ thành phần.
*) = ⇔
r r r r r
, 0 , cï ng ph ¬ng.u v u v
*) [ ], ....u v =
r r
*) = −
r r r r
, ,u v v u
3) Ứng dụng
a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng-không đồng phẳng
-A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi , 0AB AC =
uuur uuur r
-A, B, C, D đồng phẳng , . 0AB AC AD ⇔ =
uuur uuur uuur
b) Tính diện tích tam giác(SGK).
c) Tính thể tích tứ diện, thể tích hình hộp(SGK).
III. Mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu (Dạng 1 và dạng 2)
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
2. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
2. Ví dụ
VD1. Trong các phương trình sau, đâu là phương trình mặt cầu? Nếu là phương trình mặt cầu, hãy
chỉ ra tọa độ tâm và bán kính?
……………………
VD2. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
(1) Tâm I(1;2;3), bán kính R=2.
(2) Tâm I(1;2;3) và qua A(1;1;1).
(3) Đường kính A(1;2;3), B(3;4;5).
(4) Qua A, B, C, D.
(5) Qua A, B, C và có tâm thuộc Oxy.
(6) Qua A, B và có tâm thuộc ∆ .
(7) Tâm I(1;-2;-3), tiếp xúc Oxy, Oyz, Ozx.
(8) Tâm I cắt mp (P) theo đường tròn có bán kính r (Hoặc chu vi, diện tích cho trước)
(9) Tâm I cắt ∆ theo dây cung cho trước
(10) Tiếp xúc ( ): 2 2 5 0P x y z− + − = tại (1;0;2)M và có tâm thuộc ( ):2 6 0Q x y z+ + − = .
VD3. Cho m/c 2 2 2
( ) :( 1) ( 2) ( 3) 25S x y z+ + + + − =
(1) C/m (S) cắt Oy tại hai điểm A, B phân biệt? Tìm độ dài đoạn AB?
(2) C/m (S) cắt Oxy theo một đường tròn? Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó?
3. Giao của mặt cầu với đường thẳng và mặt phẳng.
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
3. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
BÀI 2. CÁC BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P và các đường thẳng 1 2( ),( )∆ ∆ . Viết phương trình
đường thẳng ∆ biết ∆ :
0) Qua A và B.
1) Qua A và song song với d.
2) Qua A và vuông góc với (P)
3) Qua A cắt và vuông góc với d
4) Qua A, //(P) và vuông góc với d
5) Qua A, //(P) và cắt d
6) Nằm trong ( )P cắt và vuông góc với 1( )∆ : 1
1 2 1
( ):2 2 3 0, ( ):
1 2 2
x y z
P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
7) Nằm trong ( )P và cắt cả hai đường thẳng 1 2( ),( )∆ ∆ :
1 2
1 2 1 2 3
( ) : 2 2 3 0, ( ) : , ( ):
1 2 2 2 2 1
x y z x y z
P x y z
− + + + −
− + − = ∆ = = ∆ = =
−
8) Song song với 3( )∆ và cắt cả hai đường thẳng 1 2( ),( )∆ ∆ .
9) Qua A, cắt cả hai đường thẳng 1 2( ),( )∆ ∆ .
1 2
1 2 1 2 3
(1;3;2), ( ) : , ( ) :
1 2 2 2 2 1
x y z x y z
A
− − + + −
∆ = = ∆ = =
10) Vuông góc với (P), cắt cả hai đường thẳng 1 2( ),( )∆ ∆ .
1 2
1 2 1 2 3
( ) : 2 2 3 0, ( ) : , ( ):
1 2 2 2 2 1
x y z x y z
P x y z
− + + + −
− + − = ∆ = = ∆ = =
11) Là đường vuông góc chung của 1 2( ),( )∆ ∆ : 1 2
1 2 1 2 3
( ) : , ( ) :
1 2 2 2 2 1
x y z x y z− − + + −
∆ = = ∆ = =
12) Là hình chiếu vuông góc của 1( )∆ lên ( )P . (ĐK 1( )∆ không vuông góc ( )P ).
1
1 2 1
( ) : 2 2 3 0, ( ) :
1 2 2
x y z
P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
12’) Đối xứng với 1( )∆ qua ( )P . (ĐK 1( )∆ không vuông góc ( )P ).
1
1 2 1
( ) : 2 2 3 0, ( ) :
1 2 2
x y z
P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
13) Nằm trong ( )P , đi qua A và vuông góc 1( )∆ . (ĐK ( )A P∈ )
1
1 2 1
(1;0;1), ( ): 2 2 3 0, ( ):
1 2 2
x y z
A P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
14) Nằm trong ( )P , đi qua A và cắt 1( )∆ . (ĐK ( )A P∈ )
1
1 2 1
(1;0;1), ( ): 2 2 3 0, ( ):
1 2 2
x y z
A P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
15) Nằm trong ( )P , đi qua A và tạo với 1( )∆ một góc α . (ĐK ( )A P∈ , hoặc
1
cos ,...
3
α = )
1
1 2 1
(1;0;1), ( ): 2 2 3 0, ( ):
1 2 2
x y z
A P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
(Hoặc
+ −
− − = ∆ = = = ×
−
1
1 1 1
(1;0;1), ( ) : 2 0, ( ): ,cos
2 2 1 3
x y z
A P x y z α )
16) Nằm trong ( )P , đi qua A và tạo với 1( )∆ một góc nhỏ nhất. (ĐK ( )A P∈ )
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
4. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
1
1 2 1
(1;0;1), ( ): 2 2 3 0, ( ):
1 2 2
x y z
A P x y z
− + +
− + − = ∆ = = ×
−
( Cách 1: Sử dụng hàm số; cách 2: Gọi ∆ ’ là hình chiếu của ∆ 1 lên (P), chứng minh được ∆ chính là đường thẳng
qua A và // ∆ ’)
d
P
I
A
M
H
K
17) Qua A(1;-2;0), vuông góc với
=
∆ = −
=
1
2
( ) : 1
x
y t
z t
và tạo với
− −
∆ = =
−
2
2 1
( ):
2 1 2
x y z
một gócα = 0
45 .
18) Qua A(1;-2;0), // − + =( ): 2 2 5 0P y z và tạo với
− −
∆ = =
−
1
2 1
( ) :
2 1 2
x y z
một gócα = 0
45 .
19) Viết phương trình đường thẳng cắt 1( )∆ tại M, cắt 2( )∆ tại N sao cho MN // (P) và MN=a.
1 2
2
1 1
( ): 2 2 8 0;( ): ;( ): 1
1 1 5
3
x t
x y z
P x y z y
z t
=
− −
− + + = ∆ = = ∆ = −
− = −
và a =3.
20) Viết phương trình đường thẳng cắt cả 1( )∆ , 2( )∆ đồng thời vuông góc với 1( )∆ và song song với ( )P .
21) Viết phương trình trục của tam giác ABC.
22) Viết phương trình đường cao tam giác ABC. A(1;2;3); B(-1;1;2); C(2;-1;0)
23) Viết phương trình phân giác trong góc A của tam giác ABC. A(1;2;-1), B(2;4;1); C(1;5;3)
24) Viết phương trình trung trực cạnh AB của tam giác ABC.
25) Viết phương trình phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.???
26) Qua A, ⊥ ∆ và cách ∆ một khoảng lớn nhất
27) Qua A, //(P) và cách ∆ một khoảng lớn nhất
28) Viết phương trình ∆ đối xứng d qua (P)
Đường thẳng và mặt cầu
29) Viết phương trình ∆ qua A nằm trong (P) cắt (S) theo dây cung dài nhất (ĐK: (P) cắt (S) theo một đường tròn)
2 2 2
( ) :( 1) ( 1) 25;( ) : 2 2 9 0; ( 4;0;1).S x y z P x y z A+ + − + = + − + = −
30) Viết phương trình ∆ đi qua A, nằm trong (P) cắt (S) theo dây cung ngắn nhất (ĐK: (P) cắt (S) theo một đường
tròn và A thuộc miền trong hình tròn đó).
2 2 2
( ) :( 1) ( 1) 25;( ) : 2 2 9 0; ( 4;0;1).S x y z P x y z A+ + − + = + − + = −
31) Viết phương trình ∆ đi qua A, ⊥d và cắt (S) theo dây cung ngắn nhất (ĐK: A nằm trong (S)).
32) Viết phương trình ∆ đi qua A, //(P) và cắt (S) theo dây cung ngắn nhất (ĐK: A nằm trong (S)).
33) Viết phương trình ∆ đi qua M, nằm trong (P) và tiếp xúc (S):
3 2 2
( 1;1;1);( ): 2 2 5 0;( ):( 3) ( 2) 25M P x y z S x y z− − − + = − + + + =
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
5. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
34) Qua
Một số đề thi
Khối A,A1 2012_CTC:
Khối A,A1 2012_CTNC:
Khối B 2012_CTC:
Khối B 2012_CTNC:
Khối A 2011_CTC:
Khối A 2011_CTNC:
Khối B 2011_CTC:
Khối B 2011_CTNC:
Khối D 2011_CTC:
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
6. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
Khối D 2011_CTNC:
Khối A 2010_CTC:
Khối A 2010_CTNC:
Khối B 2010_CTC:
Khối B 2010_CTNC:
Khối D 2010_CTC:
Khối D 2010_CTNC:
Khối A 2009_CTC:
Khối A 2009_CTNC:
Khối B 2009_CTC:
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
7. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
Khối B 2009_CTNC:
Khối D 2009_CTC:
Khối D 2009_CTNC:
Khối A 2008:
Khối B 2008:
Khối D 2008:
Khối A 2007:
Khối B 2007:
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
8. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
Khối D 2007:
Khối A 2006:
Khối B 2006:
Khối D 2006:
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
9. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
10. Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008
![Phương pháp toạ độ trong không gian Th.S Nguyễn Thành Đông – Gv THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
BÀI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
O. Hệ tọa độ trong không gian
1) Định nghĩa:
-(Đ/n, các kí hiệu: Gốc, các trục tọa độ, các mặt phẳng toạ độ)
-Nhận xét: Các véc tơ đơn vị
- Biểu diễn hệ trục
2) Tọa độ véc tơ: Đ/n, tọa độ véc tơ không, các véc tơ đơn vị
3) Tọa độ điểm
-Đ/n, tọa độ của điểm O
-Cách xác định tọa độ một điểm trên hình vẽ
- Ví dụ 1) Tọa độ các điểm đặc biệt: Trên các trục tọa độ, trên các mặt phẳng tọa độ,.....
- Ví dụ 2) Cho điểm M(x;y;z), xác định tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ; Xác định
tọa độ ảnh M’ đối xứng với M qua gốc tọa độ, các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ.
- Ví dụ 3) Suy ra khoảng cách từ M tới các mặt phẳng tọa độ, các trục tọa độ, gốc tọa độ
I. Biểu thức toạ độ của các phép toán véc tơ
Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho các véc tơ 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z
r r
; các điểm
( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ; );A A A B B B C C CA x y z B x y z C x y z và một số thực k. Khi đó ta có
. .
cos( , ) u v
u v k u u uv
u v u v
± = = = =
= ⇔ = ⊥ ⇔
r r r r r r
r r r rr r
u cï ng ph ¬ng v ⇔
r r
AB , , th¼ng hµngAB A B C= = ⇔
uuur uuur
-Toạ độ trung điểm AB? toạ độ trọng tâm tam giác ABC? toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD?
-Toạ độ các điểm thuộc Ox có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oy có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oz có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oxy có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Oyz có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm thuộc Ozx có dạng: ..........
-Toạ độ các điểm đối xứng với A qua các trục toạ độ và qua các mặt phẳng toạ độ?
II. Tích có hướng và ứng dụng
1) Khái niệm:.....
2) Tính chất:
*) Véc tơ tích có hướng vuông góc với các véc tơ thành phần.
*) = ⇔
r r r r r
, 0 , cï ng ph ¬ng.u v u v
*) [ ], ....u v =
r r
*) = −
r r r r
, ,u v v u
3) Ứng dụng
a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng-không đồng phẳng
-A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi , 0AB AC =
uuur uuur r
-A, B, C, D đồng phẳng , . 0AB AC AD ⇔ =
uuur uuur uuur
b) Tính diện tích tam giác(SGK).
c) Tính thể tích tứ diện, thể tích hình hộp(SGK).
III. Mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu (Dạng 1 và dạng 2)
Nguyễn Thành Đông – Gv Toán – THPT Yên Lạc - Yên Lạc – Vĩnh Phúc Tháng 6 năm 2008](https://image.slidesharecdn.com/phngtrnhngthngtrongkhnggian-150106084614-conversion-gate02/85/Ph-ng-trinh-d-ng-th-ng-trong-khong-gian-1-320.jpg)
