際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Pikat fikse hysen doko

H
Hysen Doko

Prezantim i shkurter rreth pikave fikse dhe disa teorema qe lidhen me kete koncept, pare nga kendveshtrimi topologjik.

1 of 13
Download to read offline
REPUBLIKA E SHQIPRIS UNIVERSITETI ISMAIL QEMALI VLOR FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKS PROGRAMI I STUDIMIT: MASTER PROFESIONAL N MSUESI PR ARSIMIN E MESM N MATEMATIK LNDA: TEKNIKA ALGJEBRIKE DHE DIFERENCIALE N TOPOLOGJI SEMESTRI I DYT DETYR KURSI TEMA: Pikat fikse. Punoi: Pranoi: Hysen DOKO Prof. Asoc. Llambrini SOTA VLOR, MAJ 2019
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 2 1. Hyrje n谷 pikat fikse Pikat fikse kane shum谷 aplikime. Nj谷 nd谷r aplikimet kryesore 谷sht谷 n谷 fush谷n matematikore t谷 teoris谷 s谷 loj谷s. K谷tu, ato jan谷 p谷rfshir谷 n谷 ekuilibrat e gjetjes. Ekzistenca dhe vendi i pikave fikse 谷sht谷 i r谷nd谷sish谷m n谷 p谷rcaktimin e vendit t谷 ndonj谷 ekuilibri. Ato pastaj zbatohen n谷 ekonomi dhe p谷rdoren p谷r t谷 justifikuar ekzistenc谷n e ekuilibrave ekonomik n谷 treg, si dhe balancimin n谷 sistemet dinamike. P谷rkufizim 1.0.1. Pika fikse. P谷r nj谷 funksion :f , nj谷 pik谷 fikse c 谷sht谷 nj谷 pik谷 ku ( )f c c . Kur nj谷 funksion ka nj谷 pik谷 fikse c, pika ( , )c c 谷sht谷 n谷 grafikun e tij. Funksioni ( )f x x 谷sht谷 i p谷rb谷r谷 t谷r谷sisht nga pika fikse, por ai 谷sht谷 kryesisht unik n谷 bashk谷sin谷 e tij t谷 p谷rcaktimit. Shum谷 funksione t谷 tjera mund t谷 mos ken谷 asnj谷 pik谷 fikse. Figura 1: ( ) , ( ) 2f x x f x dhe 1( )f x x respektivisht. I pari ka t谷r谷sisht pika fikse, i dyti ka vet谷m nj谷 pik谷 fikse dhe i treti nuk ka asnj谷. Pikat fikse erdh谷n n谷 fokusin e matematikan谷ve von谷 n谷 shekullin e XIX. Matematikani Henri Poincare filloi ti p谷rdor谷 ato n谷 analiz谷n topologjike t谷 problemave jolineare, duke zhvendosur teorin谷 e pikave fikse n谷 qend谷r t谷 topologjis谷. Luitzen Egbertus Jan Bro ner, i Univeristetit t谷 Amsterdamit, punoi me topologjin谷 algjebrike. Ai formuloi teorem谷n e tij t谷 pikave fikse, i cili ishte i pari q谷 publikoi n谷 lidhje vet谷m me rastin tre dimensional n谷 vitin 1909, p谷rmes v谷rtetimeve t谷 tjera q谷 ekzistonin p谷r k谷t谷 rast. Figura 2: Henri Poincare majtas dhe Luitzen Egbertus Jan Bro ner djathtas. Bro ner, n谷 vitin 1910 publikoi teorem谷n e tij p谷r pikat fikse:
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 3 Teorema Bro ner p谷r Pikat Fikse n谷 n : sht谷 dh谷n谷 bashk谷sia n K kompakte dhe konvekse, dhe funksioni :f K K i vazhduesh谷m. At谷her谷 ekzistojn谷 disa pika c K t谷 tilla q谷 ( )f c c . Pikat c quhen pika fikse. Formulimi origjinal i teorem谷s dha nj谷 rezultat p谷r n-simplekset nj谷 klas谷 specifike e bashk谷sive kompakte dhe konvekse, nj谷 n-simpleks 谷sht谷 shum谷k谷nd谷shi m谷 i thjesht谷 n谷 n-dimensione, q谷 ka 1n kulme. Megjithat谷, ketu do t谷 fokusohemi n谷 intervalet nj谷si dhe n谷 disqet. 2. P谷rkufizime t谷 p谷rgjithshme P谷rkufizim 2.0.1. Hap谷sira topologjike. Nj谷 hap谷sir谷 topologjike 谷sht谷 nj谷 bashk谷si e pajisur me nj谷 koleksion n谷nbashk谷sish . Koleksioni i n谷nbashk谷sive duhet t谷 p谷rmbaj谷 t谷 gjith谷 dhe bashk谷sin谷 boshe . Ajo duhet gjithashtu, q谷 p谷r 巽do n谷nkoleksion U 器 , p谷r , edhe bashkimi U￥￥ t谷 jet谷 pjes谷 e koleksionit . Dhe s谷 fundmi, prerja p谷r 巽do dy element谷 1 2,U U 器 , duhet t谷 jet谷 element i koleksionit . Pra quhet topologji n谷 dhe t谷 gjith谷 element谷t e quhen t谷 hapura n谷 . P谷rkufizim 2.0.2. Bashk谷sia e hapur. N谷 hap谷sir谷n metrike euklidiane n , bashk谷sit谷 baz谷 t谷 hapura jan谷 intervalet, disqet ose sferat p谷r 1,2,3,...n p谷rkat谷sisht. Koleksioni i bashk谷sive t谷 hapura topologjia konsiston n谷 bashk谷sit谷 baz谷, n谷 bashkimet e tyre t谷 pafundme dhe n谷 prerjet e tyre t谷 fundme. Kjo gjithashtu p谷rfshin komplet n dhe bashk谷sin谷 boshe . Figura 3: Bashk谷sita baz谷 t谷 hapura n谷 dhe 2 . Intervali i hapur t谷 cilit nuk i p谷rfshihen pika e fillimit dhe e mbarimit dhe disku i cili pikat e kufirit nuk i ka pjes谷 t谷 bashk谷sis谷. P谷rkufizim 2.0.3. Bashk谷sia e mbyllur. Nj谷 bashk谷si n F 谷sht谷 e mbyllur n谷se plot谷si i saj C F 谷sht谷 i hapur. Nj谷 bashk谷si 谷sht谷 gjithashtu e mbyllur n谷se ajo 谷sht谷 prerje e bashkimeve t谷 fundme t谷 bashk谷sive t谷 mbyllura. P谷rkufizim 2.0.4. Konveksiteti. Nj谷 bashk谷si n G thuhet se 谷sht谷 konvekse n谷se p谷r dy pika 1 2,g g G , t谷 gjitha pikat e segmentit q谷 lidh k谷to dy pika jan谷 gjithashtu n谷 G .
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 4 Figura 4: N谷 t谷 majt谷 nj谷 bashk谷si konvekse kurse n谷 t谷 djatht谷 nj谷 bashk谷si jo konvekse. P谷rkufizim 2.0.5. Mbulimi i hapur. Nj谷 koleksion bashk谷sish t谷 hapura A n谷 n 谷sht谷 nj谷 mbulim i hapur p谷r bashk谷sin谷 B n谷se bashkimi i t谷 gjitha bashk谷sive n谷 A ka B si n谷nbashk谷si. P谷rkufizim 2.0.6. Kompakt谷sia. Le t谷 jet谷 ( , )器 nj谷 hap谷sir谷 topologjike. N谷se 巽do mbulim i hapur A i B p谷rmban nj谷 n谷nmbulim t谷 fund谷m nj谷 n谷nkoleksion t谷 fund谷m t谷 A q谷 谷sht谷 akoma nj谷 mbulim i hapur p谷r B - at谷her谷 B 谷sht谷 kompakte. N谷 t谷 shumtat e rasteve, numrat real谷 me topologjin谷 e zakonshme duhet t谷 jen谷 thjesht t谷 mbyllura dhe t谷 kufizuara p谷r t谷 q谷n谷 kompakte, si巽 thuhet edhe n谷 teorem谷n Heine-Borel. N谷 ve巽anti kjo 谷sht谷 p谷r n me topologjin谷 e zakonshme. P谷rkufizim 2.0.7. Vazhdueshm谷ria. Le t谷 jen谷 ( , )器 dhe ( , )器 dy hap谷sira topologjike. Nj谷 funksion :f 谷sht谷 i vazhduesh谷m, n谷se p谷r nj谷 n谷nbashk谷si t谷 hapur V t谷 , 1 ( )f V 谷sht谷 i hapur n谷 . Bashk谷sit谷 e hapura n谷 dhe jan谷 element谷 t谷 器 dhe 器 respektivisht. P谷rkufizim 2.0.8. Funksioni i hapur. Le t谷 jen谷 ( , )器 dhe ( , )器 dy hap谷sira topologjike. Nj谷 funksion :f 谷sht谷 nj谷 funksion i hapur n谷se, p谷r nj谷 n谷nbashk谷si t谷 hapurU t谷 , ( )f U 谷sht谷 e hapur n谷 . P谷rkufizim 2.0.9. Bijeksioni. Nj谷 funksion :f 谷sht谷 nj谷 bijeksion n谷se ai 谷sht谷 injektiv dhe syrjektiv, q谷 do t谷 thot谷 se f 谷sht谷 nj谷 bijeksion n谷se p谷r t谷 gjitha y ekziostojn谷 x t谷 tilla q谷 ( )f x y dhe n谷se 1 2( ) ( )f x f x , rrjedh q谷 1 2x x . Nj谷 funksion q谷 谷sht谷 bijeksion do t谷 ket谷 nj谷 funksion t谷 anasjellt谷 t谷 mir谷p谷rcaktuar, ku dhe i anasjellti p谷rs谷ri do t谷 jet谷 nj谷 funksion. P谷rkufizim 2.0.10. Homomorfizmi. Nj谷 homomorfiz谷m 谷sht谷 nj谷 funksion i vazhduesh谷m, i hapur dhe bijektiv. sht谷 e qart谷 se si nj谷 funksion i hapur lidhet me vazhdueshm谷rin谷 e t谷 anasjelltit dhe se si t谷 gjitha k谷to lidhen me strukturat e p谷rcaktuara p谷rmes bashk谷sive t谷 hapura. Ekzistenca e nj谷 homomorfizmi nd谷rmjet dy bashk谷sive 谷sht谷 e mjaftueshme p谷r t谷 par谷 q谷 dy bashk谷sit谷 jan谷 homomorfik谷. N谷se dy bashk谷si jan谷 homomorfik谷, at谷her谷 ato jan谷 topologjikisht t谷 barabart谷. K谷shtu q谷, vetit谷 topologjike q谷 kemi p谷r nj谷 bashk谷si, do t谷 jen谷 edhe p谷r ndonj谷 bashk谷si tjet谷r homomorfike n谷 lidhje me t谷.
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 5 3. Rasti nj谷 dimensional Rasti m谷 i thjesht谷 p谷r t谷 par谷 pikat fikse 谷sht谷 kur bashk谷sia K ka vet谷m nj谷 dimension, dhe 谷sht谷 n谷 fakt katrori nj谷si [0,1]I . P谷r nj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m :[0,1] [0,1]f p谷r t谷 pasur pika fikse, duhet q谷 nj谷 pik谷 c X t谷 ket谷 ( )f c c . P谷rderisa K 谷sht谷 nj谷 dimensionale, megjithat谷, ne duhet t谷 punojm谷 n谷 2 [0,1] , i cili ka dy dimensione. Figura 5: Katrori nj谷si; intervali nj谷si shum谷zuar me vetveten. Ky v谷rtetim mb谷shtetet n谷 Teoremen e Vler谷s s谷 Nd谷rmjetme: Teorem谷 3.1. Teorema e Vler谷s s谷 Nd谷rmjetme. Le t谷 jen谷 , . Le t谷 jet谷 dh谷n谷 nj谷 funksion :f , i cili 谷sht谷 i vazhduesh谷m n谷 [ , ]a b , at谷her谷 ekziston p谷r 巽do ( ( ), ( ))d f a f b , ku ( ) ( )f a f b , nj谷 vler谷 ( , )c a b , e till谷 q谷 ( )f c d . Figura 6: Nj谷 skem谷 e thjesht谷 p谷r t谷 pasqyruar Teorem谷n e Vler谷s s谷 Nd谷rmjetme. Kur kemi t谷 b谷jm谷 me nj谷 dimension, ndonj谷 n谷nbashk谷si e mbyllur dhe konvekse e 谷sht谷 homomorfik n谷 [0,1] . Mund t谷 shohim gjithashtu ndonj谷 rast nj谷 dimensional p谷r Teorem谷n Bro ner t谷 Pikave Fikse q谷 谷sht谷 e barabart谷 me rastin n谷 [0,1] . 3.1.V谷rtetimi baz谷 i Teorem谷s Bro ner p谷r Pikat Fiks谷 n谷 bashk谷sin谷 [0,1] . Jepet bashk谷sia K kompakte dhe konvekse, dhe funksioni :f K K i vazhduesh谷m. At谷her谷 ekzistojn谷 disa c K t谷 tilla q谷 ( )f c c , ku pika c 谷sht谷 pik谷 fikse.
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 6 V谷rtetim: Le t谷 jet谷 :[0,1] [0,1]f nj谷 funksion i vazhduesh谷m n谷 katrorin nj谷si. Funksioni ( ) ( )g x f x x 谷sht谷 gjithashtu i vazhduesh谷m n谷 katrorin nj谷si ashtu si巽 谷sht谷 diferenca e funksionit f me funksionin identik ( )i x x , i cili 谷sht谷 gjithashtu i vazhduesh谷m. Kur 0, ( ) 0x f x , edhe (0) (0) 0g f , k谷shtu q谷 (0)g 谷sht谷 ose pozitiv ose zero. Kurse kur 1, (1) 1x f , edhe (1) (1) 1g f . N谷 m谷nyr谷 t谷 ngjashme, (1)g 谷sht谷 ose negative ose zero. P谷rderisa funksioni g 谷sht谷 i vazhduesh谷m n谷 nj谷 bashk谷si t谷 mbyllur, Teorema e Vlers谷 s谷 Mesm谷 gjen aplikime. At谷her谷 kemi (0) 0g dhe (1) 0g , dhe duhet t谷 ekzistojn谷 nj谷 [0,1]c e till谷 q谷 ( )g c d , p谷r ndonj谷 d , por n谷 ve巽anti kur 0d . K谷shtu kemi nj谷 pik谷 c ku ( ) ( )g c f c c ; k谷shtu, ( )f c c , dhe prandaj kjo c 谷sht谷 pika fikse e k谷rkuar. P谷r ta kuptuar at谷 n谷p谷rmjet shpjegimit, vini re pikat fikse t谷 funksionit ( )f x x . K谷shtu q谷, nj谷 funksion pa pika fikse nuk mund ta pres谷 k谷t谷 drejt谷z n谷 asnj谷 pik谷. Si rasti i figur谷s s谷 m谷poshtme. Figura 7: Funksioni i lakuar nuk ka pika fikse pasi nuk e pret funksionin ( )f x x . sht谷 e pamundur p谷r nj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m t谷 mos pres谷 drejt谷z谷n ( )i x x , megjithat谷, p谷r t谷 prer谷 drejt谷z谷n duhet t谷 ket谷 nj谷 pik谷 fikse, si gjith谷 pikat e ( ) ,i x x t谷 cilat n谷 fakt t谷 gjtha jan谷 pika fikse. P谷r ( ) ( )g x f x x , n谷 vend q谷 t谷 p谷rpiqemi t谷 mos pres谷 ( ) ,i x x ne jemi duke u p谷rpjekur q谷 t谷 mos pres谷 drejt谷z谷n zero ( ) 0h x . sht谷 e leht谷 p谷r ta par谷, duke p谷rdorur teorem谷n e vler谷s s谷 mesme, q谷 g pret funksionin konstant ( ) 0h x q谷 谷sht谷 p谷r t谷 treguar se f pret i . Figura 8: 3 2 ( ) 2.5 2 0.5f x x x n谷 t谷 majt谷 dhe ( ) ( )g x f x x n谷 t谷 djatht谷.
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 7 3.2. Zgjerim i bashk谷sive homomorfike. P谷r t谷 p谷rcaktuar n谷se nj谷 pik谷 fikse 谷sht谷 shkall谷zuar p谷r disa intervale kompakte konvekse K t谷 tjera, duhet t谷 p谷rcaktojm谷 n谷se mund t谷 gjendet nj谷 homomorfiz谷m nd谷rmjet K dhe [0,1] . N谷se ekziston nj谷 i till谷, K gjithashtu ka nj谷 pik谷 fikse p谷r ndonj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m nga K tek vetvetja. N谷 dimensionet e larta, mund t谷 shohim q谷 :f K K ka nj谷 pik谷 fikse n谷se plot谷son disa kushte: kompakt谷sin谷 dhe konveksitetin e bashk谷sis谷 K , dhe vazhdueshm谷rin谷 e funksionit f . 4. V谷rtetimi i Teorem谷s Bro ner p谷r Pikat Fikse p谷r diskun n谷 2D. P谷rkufizim 4.0.1. Le t谷 jet谷 ( , )器 nj谷 hap谷sir谷 topologjike dhe le t谷 jet谷 G . Mbyllja e G , e cila sh谷nohet G 谷sht谷 prerja e t谷 gjitha bashk谷sive t谷 mbyllura q谷 p谷rmbajn谷 t谷 gjith谷 G . Mbyllja e nj谷 bashk谷sie 谷sht谷 gjithmon谷 e mbyllur. P谷rkufizim 4.0.2. Mbledhja. Le t谷 jet谷 bashk谷sia 2 S me B S . Quajm谷 :r S B nj谷 mbledhje n谷se 谷sht谷 i vazhduesh谷m dhe ( )r b b p谷r 巽do b B . Do t谷 konsiderojm谷 S nj谷 disk, dhe B nj谷 sip谷rfaqe ose kufi t谷 k谷tij disku. N谷 2 , disku nj谷si 谷sht谷 p谷rcaktuar nga 2 {( , ) / ( , ) 1}D x y x y dhe rrethi nj谷si si 2 {( , ) / ( , ) 1}C x y x y . Figura 9: Disku nj谷si D dhe kufiri i tij C. Teorema 4.1. Teorema e mosmbledhjes. Nuk ekziston ndonj谷 mbledhje nga nj谷 disk nj谷si i mbyllur D tek kufiri i tij C. Teorema e mosmbledhjes na nevojitet p谷r t谷 klasifikuar nj谷 funksion pa pik谷 fikse si nj谷 mbledhje q谷 shkel teorem谷n. Sepse shumica e v谷rtetimit t谷 teorem谷s s谷 pikave fikse Bro ner mb谷shtetet n谷 teorem谷n e mosmbledhjes, ku paraqesim gjithashtu v谷rtetimin p谷r 2 D .
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 8 V谷rtetim: Le t谷 jet谷 :r D C nj谷 funksion mbledhje nga disku nj谷si D n谷 kufirin e tij C . Konsiderojm谷 ,a b C ; nga heqja e k谷tyre prej C , ne krijojm谷 dy harqe t谷 hapur t谷 palidhur q谷 p谷rb谷jn谷 { , }C a b . Gjithashtu le t谷 jet谷 1 ( )A r a dhe 1 ( )B r b . P谷rderisa r 谷sht谷 nj谷 funksion mbledhje, a A dhe b B , gjithashtu A dhe B presin C . P谷rderisa r 谷sht谷 i vazhduesh谷m, dhe { }a dhe { }b jan谷 t谷 mbyllura, A dhe B duhet gjithashtu t谷 jen谷 t谷 mbyllura. Gjithashtu, a dhe b mund t谷 jen谷 t谷 vetmet pika ku A dhe B presin C, pasi ato jan谷 t谷 vetmet element t谷 A dhe B q谷 jan谷 edhe n谷 C . Vem谷 re se { , }C a b C . Ne mund t谷 gjejm谷 gjithashtu nj谷 n谷nbashk谷si t谷 ( )D A B t谷 cilit mbyllja do t谷 p谷rmbaj谷 C. Le ta quajm谷 k谷t谷 bashk谷si P . Ne mund ta zgjedhim at谷 q谷 t谷 jet谷 e hapur dhe e lidhur. Konsiderojm谷 nj谷 hark t谷 mbyllur C t谷 quajtur aC q谷 p谷rmban a . Le t谷 kemi pikat e kufirit t谷 aC p谷rkat谷sisht ax dhe ay . T谷 dyja k谷to pika do t谷 jen谷 n谷 P ; k谷shtu q谷 ekziston nj谷 rrug谷 q谷 i lidh k谷to t谷 dyja. Gjithashtu meq谷 kemi p谷rcaktuar P si nj谷 n谷nbashk谷si t谷 ( )D A B , kjo rrug谷 nuk pret A ose B. Megjithat谷, duke bashkuar k谷t谷 rrug谷 me { , }C a b marrim nj谷 bashk谷si tjet谷r t谷 lidhur. Kjo sjell q谷 imazhi i mbledhjes s谷 bashkimit t谷 rrug谷s dhe { , }C a b 谷sht谷 { , }C a b , sepse rruga shmangu A dhe B. Por imazhi i nj谷 bashk谷sie t谷 lidhur n谷 lidhje me nj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m nuk mund t谷 jet谷 i palidhur, pra kemi kontradiskion. Pra, themi q谷 funksioni r i till谷 nuk ekziston. Teorema e mosmbledhjes e v谷rtetuar m谷 lart do t谷 vendos谷 gurthemelin p谷r v谷rtetimin vijues t谷 Teorem谷s s谷 Pikave Fikse n谷 D . 2) Teorema e Pikave Fikse n谷 2 D . Funksioni i dh谷n谷 :f D D 谷sht谷 i vazhduesh谷m, at谷her谷 ekzistojn谷 disa c D q谷 ( )f c c ; ku c 谷sht谷 nj谷 pik谷 fikse. V谷rtetim: Le t谷 jet谷 D disku nj谷si n谷 2 . Le t谷 jet谷 :f D D i vazhduesh谷m, por supozojm谷 q谷 ai nuk ka pika fikse. Le t谷 jet谷 :r D D nj谷 funksion tjet谷r q谷, p谷r 巽do ,x D e cakton at谷 n谷 kufi t谷 rrezeve q谷 zgjerohen n谷 kufirin e D - diskun nj谷si C - dhe kalon p谷rgjat谷 ( )f x , at谷her谷 x 谷sht谷 i mir谷p谷rcaktuar si ( )f x x p谷r 巽do x D . Meq谷n谷se r 谷sht谷 p谷rcaktuar n谷 termat e f , dhe f 谷sht谷 i vazhduesh谷m, rrjedh q谷 r do t谷 jet谷 i vazhduesh谷m. Gjithashtu, konsiderojm谷 0x nj谷 pik谷 q谷 ndodhet n谷 C . N谷 k谷t谷 situat谷, ( )r x duhet t谷 barazohet me x , dhe k谷shtu r 谷sht谷 nj谷 funksion mbledhje. Ky kontradiksion vjen meq谷 f ekziston ashtu si巽 谷sht谷 pa pika fikse. Prandaj, duhet q谷 p谷r :f D D duhet t谷 ket谷 nj谷 pik谷 fikse. P谷rs谷ri, kjo do t谷 jet谷 e v谷rtet谷 p谷r ndonj谷 bashk谷si n谷 2 q谷 谷sht谷 homomorfike m谷 D - q谷 do t谷 thot谷 bashk谷si kompakte konvekse. K谷shtu q谷, kjo k谷naq ndonj谷 rast t谷 mundsh谷m t谷 nj谷 bashk谷sie kompakte konvekse n谷 2 .
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 9 5. V谷rtetimi i p谷rgjithsh谷m Tashm谷 do t谷 kalojm谷 tek v谷rtetimi i Teorem谷s s谷 Pikave Fikse Brouner p谷r rastin n- dimensional n . Fillimisht japim disa p谷rkufizime. P谷rkufizim 5.0.1. 1 C : Nj谷 funksion 1C q谷 谷sht谷 i vazhduesh谷m, dhe ka derivate t谷 vazhduesh谷m. Teorem谷 5.1. Teorema Stone- aireshtraus: Jepet nj谷 funkson i vazhduesh谷m, ai mund t谷 p谷rafrohet n谷 巽do shkall谷 me nj谷 n谷n-algjeb谷r q谷 ndan pikat. Nj谷 funksion polinomial q谷 谷sht谷 1 C - 谷sht谷 nj谷 pik谷 q谷 ndan n谷nalgjebrat. Ne do t谷 p谷rdorim vet谷m Teorem谷n Stone- Varieshtras p谷r t谷 na p谷rftuar polinomet; k谷shtuq谷 kur Teorema Stone-Varieshtras nuk lejon q谷 funksione t谷 tjera t谷 p谷rdoren si p谷rafrime, ne nuk mund ta p谷rdorim dot k谷t谷. Teorem谷 5.2. Teorema e funksionit t谷 anasjellt谷. Le t谷 jet谷 n e hapur, dhe le t谷 jet谷 funksioni : n f vazhdimisht i diferencuesh谷m dhe 巽do derivat i tij shprehet si matric谷 e derivateve t谷 tij t谷 pjesshme. N谷se ky funksion 谷sht谷 invertib谷l n谷 nj谷 pik谷 c, at谷her谷 ai 谷sht谷 invertib谷l edhe n谷 nj谷 fqinj谷si p谷rreth pik谷s c . Pasi kjo 谷sht谷 nj谷 pjes谷 integrale e pjes谷ve t谷 m谷sip谷rme, ne do ta v谷rtetojm谷 rastin e p谷rgjithsh谷m n-dimensional duke p谷rdorur Teorem谷n e Pikave Fikse Brouner. Shuma e dimensioneve t谷 tjera t谷 larta k谷rkon ndryshimin e teorem谷s, si derivatet q谷 jan谷 p谷rdorur tani p谷r t谷 provuar at谷 dhe funksionet jo 1 C q谷 nuk kan谷 derivate t谷 p谷rdorshme. Vazhdojm谷 duke supozuar q谷 nj谷 mbledhje e till谷 mund t谷 ekzistoj谷, dhe m谷 pas e hedhim posht谷 ekzistenc谷n e saj n谷p谷rmjet kontradiksionit. Teorema 5.3. Teorema e mosmbledhjes. Nuk ekziston nj谷 funksion mbledhje 1 C nga sfera nj谷si n-dimensionale n D tek kufiri i saj 1n B . V谷rtetim: Le t谷 jet谷 1 : n n r D B nj谷 mbledhje 1 C nga disku nj谷si n-dimensional n D tek kufiri i tij 1n B . Le t谷 jet谷 ( ) ( )g x r x x dhe le t谷 jet谷 [0,1]t e fiksuar, dhe le t谷 jet谷 ( ) ( ) (1 ) ( )lf x x l g x x l l r x . P谷r n x D , sh谷nojm谷 mosbarazimin e trek谷nd谷shit ( ) (1 ) ( )lf x x l l r x , sepse 1 dhe 1 l jan谷 t谷 dyja m谷 t谷 vogla ose t谷 barabarta me 1. P谷r m谷 tep谷r, sepse x dhe ( )r x duhet gjithashtu t谷 jet谷 m谷 t谷 vogla se 1, ( ) (1 ) 1lf x l l . Kjo e b谷n lf nj谷 funksion nga n n D D . P谷r m谷 tep谷r ( ) (1 ) ( ) (1 )lf x x l l r x x l l x x n谷se 1n x B , sepse r 谷sht谷 nj谷 mbledhje. Kjo i b谷n t谷 gjitha pikat e 1n B pika fikse t谷 lf . P谷rderisa r 谷sht谷 1 C , h duhet gjithashtu t谷 jet谷 1 C , dhe duhet t谷 ekzistojn谷 disa konstante C t谷 tilla q谷 2 1 2 1( ) ( )g x g x C x x .
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 10 Supozojm谷 q谷 1 2, n x x D , ku 1 2x x , por t谷 kemi q谷 1 2( ) ( )l lf x f x . Duke p谷rdorur p谷rkufizimin e lf , 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )l lf x x l g x x l g x f x , mund t谷 derivojm谷 1 2 2 1( ) ( )x x l g x l g x . Pastaj, edhe pse kemi q谷 1 2 2 1( ) ( )x x l g x g x 1 2lC x x q谷 do t谷 thot谷 se 1lC . Kur 1 l C , r duhet t谷 jet谷 injektiv, sepse n谷 k谷t谷 rast 1lC dhe 1 2 1 2x x lC x x vet谷m n谷se 1 2 0x x . Le t谷 jet谷 n l lU f D 刻 dhe sh谷nojm谷 ' (1,1,1,...,1) '( )lf l g x . Gjithashtu dim谷 se p谷r shkak se g 谷sht谷 1 C , ekzistojn谷 disa 0l p谷r t谷 cilat 'lf ka nj谷 p谷rcaktor pozitiv kur shprehet si nj谷 matric谷 e pjesshme p谷r t谷 gjitha 0l l . Kjo lejon t谷 p谷rdorim teorem谷n e funksionit invers, gjithashtu lf 谷sht谷 invertib谷l af谷r k谷saj pike. Kjo lejon q谷 lU t谷 jet谷 e hapur p谷r l mjaftuesh谷m t谷 vogla, gjithashtu dhe vazhdueshm谷ria e f b谷n q谷 i anasjellti i tij t谷 jet谷 nj谷 e hapur. Le t谷 jet谷 0[0, ]l l fikse por arbitrare tani e tutje. Tani kemi nj谷 bijeksion. Megjithat谷, supozojm谷 se ( )n n l lU f D D . n lD U si lf nuk ndodhet jasht谷 n D . Ajo duhet t谷 jet谷 q谷 kufiri i lU t谷 pres谷 brendin谷 e n D . Kufiri i lU duhet t谷 pres谷 nj谷 pik谷 q谷 nuk 谷sht谷 n谷 kufirin e n D . Le t谷 kemi pik谷n 0x . Kemi kompakt谷si, dhe p谷r m谷 tep谷r kompakt谷si t谷 vazhdueshme. Meq谷 0y 谷sht谷 n谷 kufirin e lU , ajo 谷sht谷 n谷 mbylljen e lU , dhe rrjedhimisht 谷sht谷 pik谷 limite. Mund t谷 gjejm谷 nj谷 varg n谷 lU q谷 konvergjon n谷 y . Le t谷 p谷rcaktojm谷 k谷t谷 varg n谷 n D si n nx D p谷r t谷 cilin 0( )nf x y . Por, meq谷 kemi kompakt谷si, ne mund t谷 zgjedhim nj谷 n谷nvarg konvergjent t谷 ( )nx . Supozojm谷 se 0mnx x ; meq谷 f 谷sht谷 i vazhduesh谷m, kjo do t谷 thot谷 se 0( ) ( )mnf x f x . Megjithat谷, 0( )nf x y dhe gjithashtu 0 0( )f x y . Megjithat谷, 0y nuk mund t谷 jet谷 n谷 lU , pasi lU 谷sht谷 e hapur dhe nuk mund t谷 p谷rmbaj谷 kufirin e saj. Duhet pra q谷 0x t谷 jet谷 n谷 1n B kufiri i n D ; ndryshe nuk mund t谷 ndodhet n谷 kufirin e lU . Por, si巽 kemi nj谷 funksion mbledhje 0 0( )f x x ; rrjedh q谷 0 0x y . Kjo duhet t谷 sjell谷 q谷 1 0 n y B , pavar谷sisht nga kushti yn谷 fillestar q谷 0y nuk ndodhet n谷 kufirin e n D . Prandaj kemi nj谷 kontradiksion, dhe gjithashtu ( )n n lf D U D p谷r 0[0, ]l l dhe lf 谷sht谷 syrjektiv. K谷shtu kur 0[0, ]l l dhe 1 l C , kemi q谷 lf 谷sht谷 edhe injektiv edhe syrjektiv nj谷koh谷sisht, pra 谷sht谷 nj谷 bijeksion. Prej m谷 sip谷r, ne do t谷 konsiderojm谷 lf vet谷m ku ai 谷sht谷 nj谷 bijeksion. Meq谷n谷se lf 谷sht谷 i vazhduesh谷m, ne mund t谷 kemi funksionin :[0, ]F l i p谷rkufizuar nga ( ) det '( ) n l D F l f x dx . Ky 谷sht谷 me ' (1,1,1,...,1) '( )lf l g x duke nd谷rtuar k谷shtu nj谷 matric谷 katrore. Ky do t谷 jet谷 nj谷 integral i n-fisht谷, megjithat谷 le t谷 kemi dx t谷 p谷rcaktuar si 1 2 3... ndx dx dx dx p谷r k谷to n dimensione. P谷rcaktori i nj谷 matrice mund t谷 shkruhet n谷 form谷n e
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 11 nj谷 polinomiali. Shohim se F 谷sht谷 nj谷 funksion i varur nga l ( x zhduket plot谷sisht nga procesi i integrimit), dhe gjithashtu mund t谷 konsiderojm谷 p谷rcaktorin e saj si nj谷 polinomial t谷 l . Por F 谷sht谷 nj谷 integral i lf dhe kjo na llogarit v谷llimin e ( )n lf D (n谷se 1 l C ). P谷rderisa n D 谷sht谷 nj谷 bijeksion, ( )n n lf D D , dhe k谷shtu kjo siguron nj谷 rang p谷r t谷 cilin polinomiali 谷sht谷 konstant. Megjithat谷, nj谷 polinomial q谷 谷sht谷 konstant n谷 disa intervale, ai 谷sht谷 konstant kudo. Ne mund t谷 arrijm谷 n谷 p谷rfundim se ( )F l na jep v谷llimin e n D p谷r t谷 gjitha [0,1]l . E ve巽ant谷 谷sht谷 se (1)F na jep k谷t谷 v谷llim, dhe q谷 ky v谷llim 谷sht谷 m谷 i madh se zero. Megjithat谷, konsiderojm谷 prodhimin e brendsh谷m t谷 lf me veten e saj, t谷 sh谷nuar ,l lf f . Shohim se ( ) ( )lf x f x p谷r ndonj谷 1n x B , prandaj ,l lf f p谷r 1l 谷sht谷 thjesht 1( ) 1f x . Konsiderojm谷 ndonj谷 vektor t谷 fiksuar n v ; prodhimi i brendsh谷m i ' 1 ( )vf x dhe ( )f x 谷sht谷 i barabart谷 me derivatin n谷 lidhje me t t谷 prodhimit t谷 brendhs谷m 1 1 1 ( ), ( ) 2 f xt vt f x tv . Megjithat谷, ky rezultat n谷 derivimin e 1 2 dhe 巽do konstanteje 谷sht谷 gjithmon谷 zero. Nga kjo, ne mund t谷 shohim se p谷rcaktori i 1 'f do t谷 jet谷 zero, 巽ka sjell q谷 (1) 0F . Megjithat谷 ky 谷sht谷 n谷 kontradiksion me pretendimin e m谷parsh谷m q谷 (1) 0F . Prandaj, themi q谷 r , n谷p谷rmjet s谷 cil谷s f 谷sht谷 i p谷rcaktuar nuk ekziston, pra nuk ekziston nj谷 funksion mbledhje 1 C nga sfera nj谷si n D tek kufiri i saj 1n B . Ky 谷sht谷 v谷rtetimi i p谷rshkruar si nj谷 Lem谷 p谷r v谷rtetimin Milnor-Rogers t谷 Teorem谷s s谷 Pikave Fikse Brouner dhe p谷r teorem谷n e mosmbledhjes n谷 rastin e p谷rgjithsh谷m n- dimensional. Kjo 谷sht谷 nj谷 metod谷 topologjike p谷r t谷 v谷rtetuar teorem谷n; por ka dhe shum谷 m谷nyra t谷 tjera t谷 kombinuara. Le t谷 kemi teorem谷n n谷 nj谷 tjet谷r dimension: 3. Teorema e Pikave Fikse Brouner n谷 n n D : Jepet se funksioni :Dn n f DDD 谷sht谷 i vazhduesh谷m, at谷her谷 ekzistojn谷 disa n c D t谷 tilla q谷 ( )f c c , pra q谷 pika c 谷sht谷 pik谷 fikse. V谷rtetim: Le t谷 jet谷 0 2 nj谷 pik谷 e fiksuar, dhe le t谷 jet谷 : n n f D D i vazhduesh谷m; n D 谷sht谷 sfera nj谷si n-dimensionale si m谷 par谷. Teorema Stone-Varieshtras na jep nj谷 varg funksionesh 1 C : n n lp D ku 1( ) ( )lp x f x l p谷r t谷 gjitha n x D me l . Le t谷 jet谷 1 11l lq p l p谷r 巽do l . At谷her谷 n谷p谷rmjet zvend谷simit kemi q谷 p谷r ndonj谷 n x D , 1 1 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1l lq x f x p x f x l l . Mund t谷 zgjedhim, p谷r 2 nj谷 1L t谷 till谷 q谷 ( ) ( ) 3lp x f x ワ p谷r t谷 gjitha 1l L . Le t谷 jet谷 2 1 1L L , at谷her谷
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 12 ( ) ( ) 2lp x f x ワ p谷r t谷 gjitha 2l L , p谷r ndonj谷 n x D . K谷shtu q谷, lq f uniformisht. K谷shtu q谷 n谷nvargu klq f t谷 konvergjoj谷 unifomisht, duhet q谷 2 1L K . Le t谷 p谷rcaktojm谷 1 : n n lh D B nj谷 funksion q谷 paraqet nj谷 vij谷 t谷 drejt谷 e cila pret ( )lq x , pastaj x. P谷r k谷to lh q谷 nuk kan谷 pika fikse, secila 谷sht谷 nj谷 funksion 1 C ; 谷sht谷 derivuar nga funksioni 1 C lq . Megjithat谷, ai 谷sht谷 gjithashtu nj谷 funksion mbledhje. K谷shtu nuk mund t谷 ekzistoj谷, q谷 do t谷 thot谷 se lq duhet t谷 ket谷 nj谷 pike fikse, p谷r 巽do l si ndryshe lh do t谷 ishte e pamundur t谷 ishte nj谷 funksion mbledhje Le t谷 jet谷 1{ } n l lx D vargu i pikave fikse p谷r lq . Jemi n谷 nj谷 hap谷sir谷 komapte sekuaencaile, dhe k谷shtu { }lx duhet t谷 ket谷 nj谷 n谷nvarg konvergjent. Le t谷 jet谷 { }kl k mx q谷 konvergjon n谷 0 n x D ; at谷her谷 p谷r t谷 gjitha 2 ekziston nj谷 2K p谷r t谷 cil谷n 2klx x ワ p谷r t谷 gjitha 2k K . Mund t谷 kombinojm谷 k谷to dhe shohim se p谷r ndonj谷 ekziston nj谷 1 2max{ , }K K K p谷r t谷 cil谷n 0( ) ( )k kl lq x f x ワ p谷r 巽do k K . Megjithat谷, ( )k kl lq x 谷sht谷 e fiksuar, gjithashtu ( )k k kl l lq x x p谷r 巽do k . K谷shtu kemi 0( )klx f x ワ . Megjithat谷, 0klx x . Prandaj, 0 0( )x f x dhe gjithashtu f ka nj谷 pik谷 fikse. Kemi treguar k谷t谷 rezultat p谷r ndonj谷 bashk谷si t谷 ve巽ant谷. Megjithat谷, ajo 谷sht谷 homomorfike p谷r 巽do bashk谷si tjet谷r kompakte dhe konvekse; K谷shtu, n谷 t谷 gjitha bashk谷sit谷 kompakte dhe konvekse K, Teorema e Pikave Fikse Brouner gjen zbatim. Figura 10: Nj谷 nd谷r shembujt klasik谷 t谷 dy hap谷sirave homomorfike 谷sht谷 filxhani i kafes dhe petulla. Q谷 t谷 dyja jan谷 hap谷sira tre dimensionale me nj谷 vrim谷 n谷 mes. Asnj谷ra nuk 谷sht谷 konvekse. 6. Aplikime Teorema e Pikave Fikse Brouner p谷rdoret shpesh n谷 v谷rtetimin e ekzistenc谷s s谷 ekuilibrave Nash. Nj谷 ekuilib谷r Nash ndodh n谷 Teorin谷 e Loj谷s kur lojtar谷t din谷 巽far谷 strategji do t谷
Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 13 p谷rdor谷 kund谷rshtari i tyre, din谷 se strategjit谷 e tyre nuk ndryshojn谷, dhe gjithashtu din谷 se strategjia aktuale q谷 ata po p谷rdorin 谷sht谷 m谷 e mira e mundshme. T谷 dy e din谷 se kund谷rshtari 谷sht谷 duke planifikuar, dhe t谷 dy e din谷 se planet e tyre aktuale jan谷 strategjia m谷 e mir谷 duke marr谷 parasysh at谷 q谷 kund谷rshtari i tyre po planifikon. Ato jan谷 tep谷r t谷 r谷nd谷sishme gjithashtu dhe p谷r t谷 analizuar problemat ose lojrat ku lojtar谷t e ndrysh谷m luajn谷 n谷 t谷 nj谷jt谷n koh谷. Nj谷 shembull specifik i k谷tij modeli 谷sht谷 biznesi; Ekuilibrat Nash p谷rdoren p谷r t谷 parashikuar dhe nd谷rtuar hapat q谷 duhen marr谷 kur biznesi bie n谷 kriz谷. Nj谷 tjet谷r aplikim 谷sht谷 n谷 Sistemet Dinamike. Ekuilibrat, stab谷l apo jo stab谷l mund t谷 konsiderohen si pika fikse. K谷shtu, n谷 disa hap谷sira, nj谷ra 谷sht谷 e garantuar q谷 ka nj谷 ekuilib谷r. Nj谷 aplikim i ve巽ant谷 谷sht谷 edhe n谷 ekonomi, k谷saj here m谷 drejtp谷rdrejt sesa p谷rmes Ekuilibrave Nash. Pikat fikse p谷rdoren p谷r t谷 v谷rtetuar ekzistenc谷n e ekuilibrit n谷 biznes (p谷r shembull, tek k谷rkesa dhe oferta). Aplikime t谷 tjera kemi n谷 teorein谷 e rast谷sis谷 dhe konjektur谷n Bass dhe n谷 teorin谷 e loj谷s me vlerat konvekse multi hap谷sinore. sht谷 e r谷nd谷sishme t谷 theksohet se jo t谷 gjitha k谷to mb谷shteten n谷 Teorem谷n e Pikave Fikse Brouner. N谷 t谷 v谷rtet谷, teorema e pikave fikse nuk ishte e para. Teorema Brouner aplikohet n谷 ndonj谷 hap谷sir谷 kompakte dhe konvekse, jo n谷 Hap谷sir谷n Euklidiane Standarde q谷 ne kemi p谷dorur. Ka dhe shum谷 teorema t谷 tjera ekuivalente si Teorema Banach dhe Kakatani. Ka pasur gjithashtu pun谷 nga Fan dhe Brouder. Megjithat谷, shum谷 njer谷z q谷 p谷rdorin Teorem谷n e Pikave Fikse Brouner preferojn谷 t谷 p谷rdorin nj谷 m谷nyr谷 t谷 kombinuar n谷 vend t谷 saj. Figura 11: 1, 2, 3 dhe 4-simplekset p谷rkat谷sisht.

More Related Content

Pikat fikse hysen doko

  • 1. REPUBLIKA E SHQIPRIS UNIVERSITETI ISMAIL QEMALI VLOR FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE DEPARTAMENTI I MATEMATIKS PROGRAMI I STUDIMIT: MASTER PROFESIONAL N MSUESI PR ARSIMIN E MESM N MATEMATIK LNDA: TEKNIKA ALGJEBRIKE DHE DIFERENCIALE N TOPOLOGJI SEMESTRI I DYT DETYR KURSI TEMA: Pikat fikse. Punoi: Pranoi: Hysen DOKO Prof. Asoc. Llambrini SOTA VLOR, MAJ 2019
  • 2. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 2 1. Hyrje n谷 pikat fikse Pikat fikse kane shum谷 aplikime. Nj谷 nd谷r aplikimet kryesore 谷sht谷 n谷 fush谷n matematikore t谷 teoris谷 s谷 loj谷s. K谷tu, ato jan谷 p谷rfshir谷 n谷 ekuilibrat e gjetjes. Ekzistenca dhe vendi i pikave fikse 谷sht谷 i r谷nd谷sish谷m n谷 p谷rcaktimin e vendit t谷 ndonj谷 ekuilibri. Ato pastaj zbatohen n谷 ekonomi dhe p谷rdoren p谷r t谷 justifikuar ekzistenc谷n e ekuilibrave ekonomik n谷 treg, si dhe balancimin n谷 sistemet dinamike. P谷rkufizim 1.0.1. Pika fikse. P谷r nj谷 funksion :f , nj谷 pik谷 fikse c 谷sht谷 nj谷 pik谷 ku ( )f c c . Kur nj谷 funksion ka nj谷 pik谷 fikse c, pika ( , )c c 谷sht谷 n谷 grafikun e tij. Funksioni ( )f x x 谷sht谷 i p谷rb谷r谷 t谷r谷sisht nga pika fikse, por ai 谷sht谷 kryesisht unik n谷 bashk谷sin谷 e tij t谷 p谷rcaktimit. Shum谷 funksione t谷 tjera mund t谷 mos ken谷 asnj谷 pik谷 fikse. Figura 1: ( ) , ( ) 2f x x f x dhe 1( )f x x respektivisht. I pari ka t谷r谷sisht pika fikse, i dyti ka vet谷m nj谷 pik谷 fikse dhe i treti nuk ka asnj谷. Pikat fikse erdh谷n n谷 fokusin e matematikan谷ve von谷 n谷 shekullin e XIX. Matematikani Henri Poincare filloi ti p谷rdor谷 ato n谷 analiz谷n topologjike t谷 problemave jolineare, duke zhvendosur teorin谷 e pikave fikse n谷 qend谷r t谷 topologjis谷. Luitzen Egbertus Jan Bro ner, i Univeristetit t谷 Amsterdamit, punoi me topologjin谷 algjebrike. Ai formuloi teorem谷n e tij t谷 pikave fikse, i cili ishte i pari q谷 publikoi n谷 lidhje vet谷m me rastin tre dimensional n谷 vitin 1909, p谷rmes v谷rtetimeve t谷 tjera q谷 ekzistonin p谷r k谷t谷 rast. Figura 2: Henri Poincare majtas dhe Luitzen Egbertus Jan Bro ner djathtas. Bro ner, n谷 vitin 1910 publikoi teorem谷n e tij p谷r pikat fikse:
  • 3. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 3 Teorema Bro ner p谷r Pikat Fikse n谷 n : sht谷 dh谷n谷 bashk谷sia n K kompakte dhe konvekse, dhe funksioni :f K K i vazhduesh谷m. At谷her谷 ekzistojn谷 disa pika c K t谷 tilla q谷 ( )f c c . Pikat c quhen pika fikse. Formulimi origjinal i teorem谷s dha nj谷 rezultat p谷r n-simplekset nj谷 klas谷 specifike e bashk谷sive kompakte dhe konvekse, nj谷 n-simpleks 谷sht谷 shum谷k谷nd谷shi m谷 i thjesht谷 n谷 n-dimensione, q谷 ka 1n kulme. Megjithat谷, ketu do t谷 fokusohemi n谷 intervalet nj谷si dhe n谷 disqet. 2. P谷rkufizime t谷 p谷rgjithshme P谷rkufizim 2.0.1. Hap谷sira topologjike. Nj谷 hap谷sir谷 topologjike 谷sht谷 nj谷 bashk谷si e pajisur me nj谷 koleksion n谷nbashk谷sish . Koleksioni i n谷nbashk谷sive duhet t谷 p谷rmbaj谷 t谷 gjith谷 dhe bashk谷sin谷 boshe . Ajo duhet gjithashtu, q谷 p谷r 巽do n谷nkoleksion U 器 , p谷r , edhe bashkimi U￥￥ t谷 jet谷 pjes谷 e koleksionit . Dhe s谷 fundmi, prerja p谷r 巽do dy element谷 1 2,U U 器 , duhet t谷 jet谷 element i koleksionit . Pra quhet topologji n谷 dhe t谷 gjith谷 element谷t e quhen t谷 hapura n谷 . P谷rkufizim 2.0.2. Bashk谷sia e hapur. N谷 hap谷sir谷n metrike euklidiane n , bashk谷sit谷 baz谷 t谷 hapura jan谷 intervalet, disqet ose sferat p谷r 1,2,3,...n p谷rkat谷sisht. Koleksioni i bashk谷sive t谷 hapura topologjia konsiston n谷 bashk谷sit谷 baz谷, n谷 bashkimet e tyre t谷 pafundme dhe n谷 prerjet e tyre t谷 fundme. Kjo gjithashtu p谷rfshin komplet n dhe bashk谷sin谷 boshe . Figura 3: Bashk谷sita baz谷 t谷 hapura n谷 dhe 2 . Intervali i hapur t谷 cilit nuk i p谷rfshihen pika e fillimit dhe e mbarimit dhe disku i cili pikat e kufirit nuk i ka pjes谷 t谷 bashk谷sis谷. P谷rkufizim 2.0.3. Bashk谷sia e mbyllur. Nj谷 bashk谷si n F 谷sht谷 e mbyllur n谷se plot谷si i saj C F 谷sht谷 i hapur. Nj谷 bashk谷si 谷sht谷 gjithashtu e mbyllur n谷se ajo 谷sht谷 prerje e bashkimeve t谷 fundme t谷 bashk谷sive t谷 mbyllura. P谷rkufizim 2.0.4. Konveksiteti. Nj谷 bashk谷si n G thuhet se 谷sht谷 konvekse n谷se p谷r dy pika 1 2,g g G , t谷 gjitha pikat e segmentit q谷 lidh k谷to dy pika jan谷 gjithashtu n谷 G .
  • 4. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 4 Figura 4: N谷 t谷 majt谷 nj谷 bashk谷si konvekse kurse n谷 t谷 djatht谷 nj谷 bashk谷si jo konvekse. P谷rkufizim 2.0.5. Mbulimi i hapur. Nj谷 koleksion bashk谷sish t谷 hapura A n谷 n 谷sht谷 nj谷 mbulim i hapur p谷r bashk谷sin谷 B n谷se bashkimi i t谷 gjitha bashk谷sive n谷 A ka B si n谷nbashk谷si. P谷rkufizim 2.0.6. Kompakt谷sia. Le t谷 jet谷 ( , )器 nj谷 hap谷sir谷 topologjike. N谷se 巽do mbulim i hapur A i B p谷rmban nj谷 n谷nmbulim t谷 fund谷m nj谷 n谷nkoleksion t谷 fund谷m t谷 A q谷 谷sht谷 akoma nj谷 mbulim i hapur p谷r B - at谷her谷 B 谷sht谷 kompakte. N谷 t谷 shumtat e rasteve, numrat real谷 me topologjin谷 e zakonshme duhet t谷 jen谷 thjesht t谷 mbyllura dhe t谷 kufizuara p谷r t谷 q谷n谷 kompakte, si巽 thuhet edhe n谷 teorem谷n Heine-Borel. N谷 ve巽anti kjo 谷sht谷 p谷r n me topologjin谷 e zakonshme. P谷rkufizim 2.0.7. Vazhdueshm谷ria. Le t谷 jen谷 ( , )器 dhe ( , )器 dy hap谷sira topologjike. Nj谷 funksion :f 谷sht谷 i vazhduesh谷m, n谷se p谷r nj谷 n谷nbashk谷si t谷 hapur V t谷 , 1 ( )f V 谷sht谷 i hapur n谷 . Bashk谷sit谷 e hapura n谷 dhe jan谷 element谷 t谷 器 dhe 器 respektivisht. P谷rkufizim 2.0.8. Funksioni i hapur. Le t谷 jen谷 ( , )器 dhe ( , )器 dy hap谷sira topologjike. Nj谷 funksion :f 谷sht谷 nj谷 funksion i hapur n谷se, p谷r nj谷 n谷nbashk谷si t谷 hapurU t谷 , ( )f U 谷sht谷 e hapur n谷 . P谷rkufizim 2.0.9. Bijeksioni. Nj谷 funksion :f 谷sht谷 nj谷 bijeksion n谷se ai 谷sht谷 injektiv dhe syrjektiv, q谷 do t谷 thot谷 se f 谷sht谷 nj谷 bijeksion n谷se p谷r t谷 gjitha y ekziostojn谷 x t谷 tilla q谷 ( )f x y dhe n谷se 1 2( ) ( )f x f x , rrjedh q谷 1 2x x . Nj谷 funksion q谷 谷sht谷 bijeksion do t谷 ket谷 nj谷 funksion t谷 anasjellt谷 t谷 mir谷p谷rcaktuar, ku dhe i anasjellti p谷rs谷ri do t谷 jet谷 nj谷 funksion. P谷rkufizim 2.0.10. Homomorfizmi. Nj谷 homomorfiz谷m 谷sht谷 nj谷 funksion i vazhduesh谷m, i hapur dhe bijektiv. sht谷 e qart谷 se si nj谷 funksion i hapur lidhet me vazhdueshm谷rin谷 e t谷 anasjelltit dhe se si t谷 gjitha k谷to lidhen me strukturat e p谷rcaktuara p谷rmes bashk谷sive t谷 hapura. Ekzistenca e nj谷 homomorfizmi nd谷rmjet dy bashk谷sive 谷sht谷 e mjaftueshme p谷r t谷 par谷 q谷 dy bashk谷sit谷 jan谷 homomorfik谷. N谷se dy bashk谷si jan谷 homomorfik谷, at谷her谷 ato jan谷 topologjikisht t谷 barabart谷. K谷shtu q谷, vetit谷 topologjike q谷 kemi p谷r nj谷 bashk谷si, do t谷 jen谷 edhe p谷r ndonj谷 bashk谷si tjet谷r homomorfike n谷 lidhje me t谷.
  • 5. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 5 3. Rasti nj谷 dimensional Rasti m谷 i thjesht谷 p谷r t谷 par谷 pikat fikse 谷sht谷 kur bashk谷sia K ka vet谷m nj谷 dimension, dhe 谷sht谷 n谷 fakt katrori nj谷si [0,1]I . P谷r nj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m :[0,1] [0,1]f p谷r t谷 pasur pika fikse, duhet q谷 nj谷 pik谷 c X t谷 ket谷 ( )f c c . P谷rderisa K 谷sht谷 nj谷 dimensionale, megjithat谷, ne duhet t谷 punojm谷 n谷 2 [0,1] , i cili ka dy dimensione. Figura 5: Katrori nj谷si; intervali nj谷si shum谷zuar me vetveten. Ky v谷rtetim mb谷shtetet n谷 Teoremen e Vler谷s s谷 Nd谷rmjetme: Teorem谷 3.1. Teorema e Vler谷s s谷 Nd谷rmjetme. Le t谷 jen谷 , . Le t谷 jet谷 dh谷n谷 nj谷 funksion :f , i cili 谷sht谷 i vazhduesh谷m n谷 [ , ]a b , at谷her谷 ekziston p谷r 巽do ( ( ), ( ))d f a f b , ku ( ) ( )f a f b , nj谷 vler谷 ( , )c a b , e till谷 q谷 ( )f c d . Figura 6: Nj谷 skem谷 e thjesht谷 p谷r t谷 pasqyruar Teorem谷n e Vler谷s s谷 Nd谷rmjetme. Kur kemi t谷 b谷jm谷 me nj谷 dimension, ndonj谷 n谷nbashk谷si e mbyllur dhe konvekse e 谷sht谷 homomorfik n谷 [0,1] . Mund t谷 shohim gjithashtu ndonj谷 rast nj谷 dimensional p谷r Teorem谷n Bro ner t谷 Pikave Fikse q谷 谷sht谷 e barabart谷 me rastin n谷 [0,1] . 3.1.V谷rtetimi baz谷 i Teorem谷s Bro ner p谷r Pikat Fiks谷 n谷 bashk谷sin谷 [0,1] . Jepet bashk谷sia K kompakte dhe konvekse, dhe funksioni :f K K i vazhduesh谷m. At谷her谷 ekzistojn谷 disa c K t谷 tilla q谷 ( )f c c , ku pika c 谷sht谷 pik谷 fikse.
  • 6. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 6 V谷rtetim: Le t谷 jet谷 :[0,1] [0,1]f nj谷 funksion i vazhduesh谷m n谷 katrorin nj谷si. Funksioni ( ) ( )g x f x x 谷sht谷 gjithashtu i vazhduesh谷m n谷 katrorin nj谷si ashtu si巽 谷sht谷 diferenca e funksionit f me funksionin identik ( )i x x , i cili 谷sht谷 gjithashtu i vazhduesh谷m. Kur 0, ( ) 0x f x , edhe (0) (0) 0g f , k谷shtu q谷 (0)g 谷sht谷 ose pozitiv ose zero. Kurse kur 1, (1) 1x f , edhe (1) (1) 1g f . N谷 m谷nyr谷 t谷 ngjashme, (1)g 谷sht谷 ose negative ose zero. P谷rderisa funksioni g 谷sht谷 i vazhduesh谷m n谷 nj谷 bashk谷si t谷 mbyllur, Teorema e Vlers谷 s谷 Mesm谷 gjen aplikime. At谷her谷 kemi (0) 0g dhe (1) 0g , dhe duhet t谷 ekzistojn谷 nj谷 [0,1]c e till谷 q谷 ( )g c d , p谷r ndonj谷 d , por n谷 ve巽anti kur 0d . K谷shtu kemi nj谷 pik谷 c ku ( ) ( )g c f c c ; k谷shtu, ( )f c c , dhe prandaj kjo c 谷sht谷 pika fikse e k谷rkuar. P谷r ta kuptuar at谷 n谷p谷rmjet shpjegimit, vini re pikat fikse t谷 funksionit ( )f x x . K谷shtu q谷, nj谷 funksion pa pika fikse nuk mund ta pres谷 k谷t谷 drejt谷z n谷 asnj谷 pik谷. Si rasti i figur谷s s谷 m谷poshtme. Figura 7: Funksioni i lakuar nuk ka pika fikse pasi nuk e pret funksionin ( )f x x . sht谷 e pamundur p谷r nj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m t谷 mos pres谷 drejt谷z谷n ( )i x x , megjithat谷, p谷r t谷 prer谷 drejt谷z谷n duhet t谷 ket谷 nj谷 pik谷 fikse, si gjith谷 pikat e ( ) ,i x x t谷 cilat n谷 fakt t谷 gjtha jan谷 pika fikse. P谷r ( ) ( )g x f x x , n谷 vend q谷 t谷 p谷rpiqemi t谷 mos pres谷 ( ) ,i x x ne jemi duke u p谷rpjekur q谷 t谷 mos pres谷 drejt谷z谷n zero ( ) 0h x . sht谷 e leht谷 p谷r ta par谷, duke p谷rdorur teorem谷n e vler谷s s谷 mesme, q谷 g pret funksionin konstant ( ) 0h x q谷 谷sht谷 p谷r t谷 treguar se f pret i . Figura 8: 3 2 ( ) 2.5 2 0.5f x x x n谷 t谷 majt谷 dhe ( ) ( )g x f x x n谷 t谷 djatht谷.
  • 7. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 7 3.2. Zgjerim i bashk谷sive homomorfike. P谷r t谷 p谷rcaktuar n谷se nj谷 pik谷 fikse 谷sht谷 shkall谷zuar p谷r disa intervale kompakte konvekse K t谷 tjera, duhet t谷 p谷rcaktojm谷 n谷se mund t谷 gjendet nj谷 homomorfiz谷m nd谷rmjet K dhe [0,1] . N谷se ekziston nj谷 i till谷, K gjithashtu ka nj谷 pik谷 fikse p谷r ndonj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m nga K tek vetvetja. N谷 dimensionet e larta, mund t谷 shohim q谷 :f K K ka nj谷 pik谷 fikse n谷se plot谷son disa kushte: kompakt谷sin谷 dhe konveksitetin e bashk谷sis谷 K , dhe vazhdueshm谷rin谷 e funksionit f . 4. V谷rtetimi i Teorem谷s Bro ner p谷r Pikat Fikse p谷r diskun n谷 2D. P谷rkufizim 4.0.1. Le t谷 jet谷 ( , )器 nj谷 hap谷sir谷 topologjike dhe le t谷 jet谷 G . Mbyllja e G , e cila sh谷nohet G 谷sht谷 prerja e t谷 gjitha bashk谷sive t谷 mbyllura q谷 p谷rmbajn谷 t谷 gjith谷 G . Mbyllja e nj谷 bashk谷sie 谷sht谷 gjithmon谷 e mbyllur. P谷rkufizim 4.0.2. Mbledhja. Le t谷 jet谷 bashk谷sia 2 S me B S . Quajm谷 :r S B nj谷 mbledhje n谷se 谷sht谷 i vazhduesh谷m dhe ( )r b b p谷r 巽do b B . Do t谷 konsiderojm谷 S nj谷 disk, dhe B nj谷 sip谷rfaqe ose kufi t谷 k谷tij disku. N谷 2 , disku nj谷si 谷sht谷 p谷rcaktuar nga 2 {( , ) / ( , ) 1}D x y x y dhe rrethi nj谷si si 2 {( , ) / ( , ) 1}C x y x y . Figura 9: Disku nj谷si D dhe kufiri i tij C. Teorema 4.1. Teorema e mosmbledhjes. Nuk ekziston ndonj谷 mbledhje nga nj谷 disk nj谷si i mbyllur D tek kufiri i tij C. Teorema e mosmbledhjes na nevojitet p谷r t谷 klasifikuar nj谷 funksion pa pik谷 fikse si nj谷 mbledhje q谷 shkel teorem谷n. Sepse shumica e v谷rtetimit t谷 teorem谷s s谷 pikave fikse Bro ner mb谷shtetet n谷 teorem谷n e mosmbledhjes, ku paraqesim gjithashtu v谷rtetimin p谷r 2 D .
  • 8. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 8 V谷rtetim: Le t谷 jet谷 :r D C nj谷 funksion mbledhje nga disku nj谷si D n谷 kufirin e tij C . Konsiderojm谷 ,a b C ; nga heqja e k谷tyre prej C , ne krijojm谷 dy harqe t谷 hapur t谷 palidhur q谷 p谷rb谷jn谷 { , }C a b . Gjithashtu le t谷 jet谷 1 ( )A r a dhe 1 ( )B r b . P谷rderisa r 谷sht谷 nj谷 funksion mbledhje, a A dhe b B , gjithashtu A dhe B presin C . P谷rderisa r 谷sht谷 i vazhduesh谷m, dhe { }a dhe { }b jan谷 t谷 mbyllura, A dhe B duhet gjithashtu t谷 jen谷 t谷 mbyllura. Gjithashtu, a dhe b mund t谷 jen谷 t谷 vetmet pika ku A dhe B presin C, pasi ato jan谷 t谷 vetmet element t谷 A dhe B q谷 jan谷 edhe n谷 C . Vem谷 re se { , }C a b C . Ne mund t谷 gjejm谷 gjithashtu nj谷 n谷nbashk谷si t谷 ( )D A B t谷 cilit mbyllja do t谷 p谷rmbaj谷 C. Le ta quajm谷 k谷t谷 bashk谷si P . Ne mund ta zgjedhim at谷 q谷 t谷 jet谷 e hapur dhe e lidhur. Konsiderojm谷 nj谷 hark t谷 mbyllur C t谷 quajtur aC q谷 p谷rmban a . Le t谷 kemi pikat e kufirit t谷 aC p谷rkat谷sisht ax dhe ay . T谷 dyja k谷to pika do t谷 jen谷 n谷 P ; k谷shtu q谷 ekziston nj谷 rrug谷 q谷 i lidh k谷to t谷 dyja. Gjithashtu meq谷 kemi p谷rcaktuar P si nj谷 n谷nbashk谷si t谷 ( )D A B , kjo rrug谷 nuk pret A ose B. Megjithat谷, duke bashkuar k谷t谷 rrug谷 me { , }C a b marrim nj谷 bashk谷si tjet谷r t谷 lidhur. Kjo sjell q谷 imazhi i mbledhjes s谷 bashkimit t谷 rrug谷s dhe { , }C a b 谷sht谷 { , }C a b , sepse rruga shmangu A dhe B. Por imazhi i nj谷 bashk谷sie t谷 lidhur n谷 lidhje me nj谷 funksion t谷 vazhduesh谷m nuk mund t谷 jet谷 i palidhur, pra kemi kontradiskion. Pra, themi q谷 funksioni r i till谷 nuk ekziston. Teorema e mosmbledhjes e v谷rtetuar m谷 lart do t谷 vendos谷 gurthemelin p谷r v谷rtetimin vijues t谷 Teorem谷s s谷 Pikave Fikse n谷 D . 2) Teorema e Pikave Fikse n谷 2 D . Funksioni i dh谷n谷 :f D D 谷sht谷 i vazhduesh谷m, at谷her谷 ekzistojn谷 disa c D q谷 ( )f c c ; ku c 谷sht谷 nj谷 pik谷 fikse. V谷rtetim: Le t谷 jet谷 D disku nj谷si n谷 2 . Le t谷 jet谷 :f D D i vazhduesh谷m, por supozojm谷 q谷 ai nuk ka pika fikse. Le t谷 jet谷 :r D D nj谷 funksion tjet谷r q谷, p谷r 巽do ,x D e cakton at谷 n谷 kufi t谷 rrezeve q谷 zgjerohen n谷 kufirin e D - diskun nj谷si C - dhe kalon p谷rgjat谷 ( )f x , at谷her谷 x 谷sht谷 i mir谷p谷rcaktuar si ( )f x x p谷r 巽do x D . Meq谷n谷se r 谷sht谷 p谷rcaktuar n谷 termat e f , dhe f 谷sht谷 i vazhduesh谷m, rrjedh q谷 r do t谷 jet谷 i vazhduesh谷m. Gjithashtu, konsiderojm谷 0x nj谷 pik谷 q谷 ndodhet n谷 C . N谷 k谷t谷 situat谷, ( )r x duhet t谷 barazohet me x , dhe k谷shtu r 谷sht谷 nj谷 funksion mbledhje. Ky kontradiksion vjen meq谷 f ekziston ashtu si巽 谷sht谷 pa pika fikse. Prandaj, duhet q谷 p谷r :f D D duhet t谷 ket谷 nj谷 pik谷 fikse. P谷rs谷ri, kjo do t谷 jet谷 e v谷rtet谷 p谷r ndonj谷 bashk谷si n谷 2 q谷 谷sht谷 homomorfike m谷 D - q谷 do t谷 thot谷 bashk谷si kompakte konvekse. K谷shtu q谷, kjo k谷naq ndonj谷 rast t谷 mundsh谷m t谷 nj谷 bashk谷sie kompakte konvekse n谷 2 .
  • 9. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 9 5. V谷rtetimi i p谷rgjithsh谷m Tashm谷 do t谷 kalojm谷 tek v谷rtetimi i Teorem谷s s谷 Pikave Fikse Brouner p谷r rastin n- dimensional n . Fillimisht japim disa p谷rkufizime. P谷rkufizim 5.0.1. 1 C : Nj谷 funksion 1C q谷 谷sht谷 i vazhduesh谷m, dhe ka derivate t谷 vazhduesh谷m. Teorem谷 5.1. Teorema Stone- aireshtraus: Jepet nj谷 funkson i vazhduesh谷m, ai mund t谷 p谷rafrohet n谷 巽do shkall谷 me nj谷 n谷n-algjeb谷r q谷 ndan pikat. Nj谷 funksion polinomial q谷 谷sht谷 1 C - 谷sht谷 nj谷 pik谷 q谷 ndan n谷nalgjebrat. Ne do t谷 p谷rdorim vet谷m Teorem谷n Stone- Varieshtras p谷r t谷 na p谷rftuar polinomet; k谷shtuq谷 kur Teorema Stone-Varieshtras nuk lejon q谷 funksione t谷 tjera t谷 p谷rdoren si p谷rafrime, ne nuk mund ta p谷rdorim dot k谷t谷. Teorem谷 5.2. Teorema e funksionit t谷 anasjellt谷. Le t谷 jet谷 n e hapur, dhe le t谷 jet谷 funksioni : n f vazhdimisht i diferencuesh谷m dhe 巽do derivat i tij shprehet si matric谷 e derivateve t谷 tij t谷 pjesshme. N谷se ky funksion 谷sht谷 invertib谷l n谷 nj谷 pik谷 c, at谷her谷 ai 谷sht谷 invertib谷l edhe n谷 nj谷 fqinj谷si p谷rreth pik谷s c . Pasi kjo 谷sht谷 nj谷 pjes谷 integrale e pjes谷ve t谷 m谷sip谷rme, ne do ta v谷rtetojm谷 rastin e p谷rgjithsh谷m n-dimensional duke p谷rdorur Teorem谷n e Pikave Fikse Brouner. Shuma e dimensioneve t谷 tjera t谷 larta k谷rkon ndryshimin e teorem谷s, si derivatet q谷 jan谷 p谷rdorur tani p谷r t谷 provuar at谷 dhe funksionet jo 1 C q谷 nuk kan谷 derivate t谷 p谷rdorshme. Vazhdojm谷 duke supozuar q谷 nj谷 mbledhje e till谷 mund t谷 ekzistoj谷, dhe m谷 pas e hedhim posht谷 ekzistenc谷n e saj n谷p谷rmjet kontradiksionit. Teorema 5.3. Teorema e mosmbledhjes. Nuk ekziston nj谷 funksion mbledhje 1 C nga sfera nj谷si n-dimensionale n D tek kufiri i saj 1n B . V谷rtetim: Le t谷 jet谷 1 : n n r D B nj谷 mbledhje 1 C nga disku nj谷si n-dimensional n D tek kufiri i tij 1n B . Le t谷 jet谷 ( ) ( )g x r x x dhe le t谷 jet谷 [0,1]t e fiksuar, dhe le t谷 jet谷 ( ) ( ) (1 ) ( )lf x x l g x x l l r x . P谷r n x D , sh谷nojm谷 mosbarazimin e trek谷nd谷shit ( ) (1 ) ( )lf x x l l r x , sepse 1 dhe 1 l jan谷 t谷 dyja m谷 t谷 vogla ose t谷 barabarta me 1. P谷r m谷 tep谷r, sepse x dhe ( )r x duhet gjithashtu t谷 jet谷 m谷 t谷 vogla se 1, ( ) (1 ) 1lf x l l . Kjo e b谷n lf nj谷 funksion nga n n D D . P谷r m谷 tep谷r ( ) (1 ) ( ) (1 )lf x x l l r x x l l x x n谷se 1n x B , sepse r 谷sht谷 nj谷 mbledhje. Kjo i b谷n t谷 gjitha pikat e 1n B pika fikse t谷 lf . P谷rderisa r 谷sht谷 1 C , h duhet gjithashtu t谷 jet谷 1 C , dhe duhet t谷 ekzistojn谷 disa konstante C t谷 tilla q谷 2 1 2 1( ) ( )g x g x C x x .
  • 10. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 10 Supozojm谷 q谷 1 2, n x x D , ku 1 2x x , por t谷 kemi q谷 1 2( ) ( )l lf x f x . Duke p谷rdorur p谷rkufizimin e lf , 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )l lf x x l g x x l g x f x , mund t谷 derivojm谷 1 2 2 1( ) ( )x x l g x l g x . Pastaj, edhe pse kemi q谷 1 2 2 1( ) ( )x x l g x g x 1 2lC x x q谷 do t谷 thot谷 se 1lC . Kur 1 l C , r duhet t谷 jet谷 injektiv, sepse n谷 k谷t谷 rast 1lC dhe 1 2 1 2x x lC x x vet谷m n谷se 1 2 0x x . Le t谷 jet谷 n l lU f D 刻 dhe sh谷nojm谷 ' (1,1,1,...,1) '( )lf l g x . Gjithashtu dim谷 se p谷r shkak se g 谷sht谷 1 C , ekzistojn谷 disa 0l p谷r t谷 cilat 'lf ka nj谷 p谷rcaktor pozitiv kur shprehet si nj谷 matric谷 e pjesshme p谷r t谷 gjitha 0l l . Kjo lejon t谷 p谷rdorim teorem谷n e funksionit invers, gjithashtu lf 谷sht谷 invertib谷l af谷r k谷saj pike. Kjo lejon q谷 lU t谷 jet谷 e hapur p谷r l mjaftuesh谷m t谷 vogla, gjithashtu dhe vazhdueshm谷ria e f b谷n q谷 i anasjellti i tij t谷 jet谷 nj谷 e hapur. Le t谷 jet谷 0[0, ]l l fikse por arbitrare tani e tutje. Tani kemi nj谷 bijeksion. Megjithat谷, supozojm谷 se ( )n n l lU f D D . n lD U si lf nuk ndodhet jasht谷 n D . Ajo duhet t谷 jet谷 q谷 kufiri i lU t谷 pres谷 brendin谷 e n D . Kufiri i lU duhet t谷 pres谷 nj谷 pik谷 q谷 nuk 谷sht谷 n谷 kufirin e n D . Le t谷 kemi pik谷n 0x . Kemi kompakt谷si, dhe p谷r m谷 tep谷r kompakt谷si t谷 vazhdueshme. Meq谷 0y 谷sht谷 n谷 kufirin e lU , ajo 谷sht谷 n谷 mbylljen e lU , dhe rrjedhimisht 谷sht谷 pik谷 limite. Mund t谷 gjejm谷 nj谷 varg n谷 lU q谷 konvergjon n谷 y . Le t谷 p谷rcaktojm谷 k谷t谷 varg n谷 n D si n nx D p谷r t谷 cilin 0( )nf x y . Por, meq谷 kemi kompakt谷si, ne mund t谷 zgjedhim nj谷 n谷nvarg konvergjent t谷 ( )nx . Supozojm谷 se 0mnx x ; meq谷 f 谷sht谷 i vazhduesh谷m, kjo do t谷 thot谷 se 0( ) ( )mnf x f x . Megjithat谷, 0( )nf x y dhe gjithashtu 0 0( )f x y . Megjithat谷, 0y nuk mund t谷 jet谷 n谷 lU , pasi lU 谷sht谷 e hapur dhe nuk mund t谷 p谷rmbaj谷 kufirin e saj. Duhet pra q谷 0x t谷 jet谷 n谷 1n B kufiri i n D ; ndryshe nuk mund t谷 ndodhet n谷 kufirin e lU . Por, si巽 kemi nj谷 funksion mbledhje 0 0( )f x x ; rrjedh q谷 0 0x y . Kjo duhet t谷 sjell谷 q谷 1 0 n y B , pavar谷sisht nga kushti yn谷 fillestar q谷 0y nuk ndodhet n谷 kufirin e n D . Prandaj kemi nj谷 kontradiksion, dhe gjithashtu ( )n n lf D U D p谷r 0[0, ]l l dhe lf 谷sht谷 syrjektiv. K谷shtu kur 0[0, ]l l dhe 1 l C , kemi q谷 lf 谷sht谷 edhe injektiv edhe syrjektiv nj谷koh谷sisht, pra 谷sht谷 nj谷 bijeksion. Prej m谷 sip谷r, ne do t谷 konsiderojm谷 lf vet谷m ku ai 谷sht谷 nj谷 bijeksion. Meq谷n谷se lf 谷sht谷 i vazhduesh谷m, ne mund t谷 kemi funksionin :[0, ]F l i p谷rkufizuar nga ( ) det '( ) n l D F l f x dx . Ky 谷sht谷 me ' (1,1,1,...,1) '( )lf l g x duke nd谷rtuar k谷shtu nj谷 matric谷 katrore. Ky do t谷 jet谷 nj谷 integral i n-fisht谷, megjithat谷 le t谷 kemi dx t谷 p谷rcaktuar si 1 2 3... ndx dx dx dx p谷r k谷to n dimensione. P谷rcaktori i nj谷 matrice mund t谷 shkruhet n谷 form谷n e
  • 11. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 11 nj谷 polinomiali. Shohim se F 谷sht谷 nj谷 funksion i varur nga l ( x zhduket plot谷sisht nga procesi i integrimit), dhe gjithashtu mund t谷 konsiderojm谷 p谷rcaktorin e saj si nj谷 polinomial t谷 l . Por F 谷sht谷 nj谷 integral i lf dhe kjo na llogarit v谷llimin e ( )n lf D (n谷se 1 l C ). P谷rderisa n D 谷sht谷 nj谷 bijeksion, ( )n n lf D D , dhe k谷shtu kjo siguron nj谷 rang p谷r t谷 cilin polinomiali 谷sht谷 konstant. Megjithat谷, nj谷 polinomial q谷 谷sht谷 konstant n谷 disa intervale, ai 谷sht谷 konstant kudo. Ne mund t谷 arrijm谷 n谷 p谷rfundim se ( )F l na jep v谷llimin e n D p谷r t谷 gjitha [0,1]l . E ve巽ant谷 谷sht谷 se (1)F na jep k谷t谷 v谷llim, dhe q谷 ky v谷llim 谷sht谷 m谷 i madh se zero. Megjithat谷, konsiderojm谷 prodhimin e brendsh谷m t谷 lf me veten e saj, t谷 sh谷nuar ,l lf f . Shohim se ( ) ( )lf x f x p谷r ndonj谷 1n x B , prandaj ,l lf f p谷r 1l 谷sht谷 thjesht 1( ) 1f x . Konsiderojm谷 ndonj谷 vektor t谷 fiksuar n v ; prodhimi i brendsh谷m i ' 1 ( )vf x dhe ( )f x 谷sht谷 i barabart谷 me derivatin n谷 lidhje me t t谷 prodhimit t谷 brendhs谷m 1 1 1 ( ), ( ) 2 f xt vt f x tv . Megjithat谷, ky rezultat n谷 derivimin e 1 2 dhe 巽do konstanteje 谷sht谷 gjithmon谷 zero. Nga kjo, ne mund t谷 shohim se p谷rcaktori i 1 'f do t谷 jet谷 zero, 巽ka sjell q谷 (1) 0F . Megjithat谷 ky 谷sht谷 n谷 kontradiksion me pretendimin e m谷parsh谷m q谷 (1) 0F . Prandaj, themi q谷 r , n谷p谷rmjet s谷 cil谷s f 谷sht谷 i p谷rcaktuar nuk ekziston, pra nuk ekziston nj谷 funksion mbledhje 1 C nga sfera nj谷si n D tek kufiri i saj 1n B . Ky 谷sht谷 v谷rtetimi i p谷rshkruar si nj谷 Lem谷 p谷r v谷rtetimin Milnor-Rogers t谷 Teorem谷s s谷 Pikave Fikse Brouner dhe p谷r teorem谷n e mosmbledhjes n谷 rastin e p谷rgjithsh谷m n- dimensional. Kjo 谷sht谷 nj谷 metod谷 topologjike p谷r t谷 v谷rtetuar teorem谷n; por ka dhe shum谷 m谷nyra t谷 tjera t谷 kombinuara. Le t谷 kemi teorem谷n n谷 nj谷 tjet谷r dimension: 3. Teorema e Pikave Fikse Brouner n谷 n n D : Jepet se funksioni :Dn n f DDD 谷sht谷 i vazhduesh谷m, at谷her谷 ekzistojn谷 disa n c D t谷 tilla q谷 ( )f c c , pra q谷 pika c 谷sht谷 pik谷 fikse. V谷rtetim: Le t谷 jet谷 0 2 nj谷 pik谷 e fiksuar, dhe le t谷 jet谷 : n n f D D i vazhduesh谷m; n D 谷sht谷 sfera nj谷si n-dimensionale si m谷 par谷. Teorema Stone-Varieshtras na jep nj谷 varg funksionesh 1 C : n n lp D ku 1( ) ( )lp x f x l p谷r t谷 gjitha n x D me l . Le t谷 jet谷 1 11l lq p l p谷r 巽do l . At谷her谷 n谷p谷rmjet zvend谷simit kemi q谷 p谷r ndonj谷 n x D , 1 1 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1l lq x f x p x f x l l . Mund t谷 zgjedhim, p谷r 2 nj谷 1L t谷 till谷 q谷 ( ) ( ) 3lp x f x ワ p谷r t谷 gjitha 1l L . Le t谷 jet谷 2 1 1L L , at谷her谷
  • 12. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 12 ( ) ( ) 2lp x f x ワ p谷r t谷 gjitha 2l L , p谷r ndonj谷 n x D . K谷shtu q谷, lq f uniformisht. K谷shtu q谷 n谷nvargu klq f t谷 konvergjoj谷 unifomisht, duhet q谷 2 1L K . Le t谷 p谷rcaktojm谷 1 : n n lh D B nj谷 funksion q谷 paraqet nj谷 vij谷 t谷 drejt谷 e cila pret ( )lq x , pastaj x. P谷r k谷to lh q谷 nuk kan谷 pika fikse, secila 谷sht谷 nj谷 funksion 1 C ; 谷sht谷 derivuar nga funksioni 1 C lq . Megjithat谷, ai 谷sht谷 gjithashtu nj谷 funksion mbledhje. K谷shtu nuk mund t谷 ekzistoj谷, q谷 do t谷 thot谷 se lq duhet t谷 ket谷 nj谷 pike fikse, p谷r 巽do l si ndryshe lh do t谷 ishte e pamundur t谷 ishte nj谷 funksion mbledhje Le t谷 jet谷 1{ } n l lx D vargu i pikave fikse p谷r lq . Jemi n谷 nj谷 hap谷sir谷 komapte sekuaencaile, dhe k谷shtu { }lx duhet t谷 ket谷 nj谷 n谷nvarg konvergjent. Le t谷 jet谷 { }kl k mx q谷 konvergjon n谷 0 n x D ; at谷her谷 p谷r t谷 gjitha 2 ekziston nj谷 2K p谷r t谷 cil谷n 2klx x ワ p谷r t谷 gjitha 2k K . Mund t谷 kombinojm谷 k谷to dhe shohim se p谷r ndonj谷 ekziston nj谷 1 2max{ , }K K K p谷r t谷 cil谷n 0( ) ( )k kl lq x f x ワ p谷r 巽do k K . Megjithat谷, ( )k kl lq x 谷sht谷 e fiksuar, gjithashtu ( )k k kl l lq x x p谷r 巽do k . K谷shtu kemi 0( )klx f x ワ . Megjithat谷, 0klx x . Prandaj, 0 0( )x f x dhe gjithashtu f ka nj谷 pik谷 fikse. Kemi treguar k谷t谷 rezultat p谷r ndonj谷 bashk谷si t谷 ve巽ant谷. Megjithat谷, ajo 谷sht谷 homomorfike p谷r 巽do bashk谷si tjet谷r kompakte dhe konvekse; K谷shtu, n谷 t谷 gjitha bashk谷sit谷 kompakte dhe konvekse K, Teorema e Pikave Fikse Brouner gjen zbatim. Figura 10: Nj谷 nd谷r shembujt klasik谷 t谷 dy hap谷sirave homomorfike 谷sht谷 filxhani i kafes dhe petulla. Q谷 t谷 dyja jan谷 hap谷sira tre dimensionale me nj谷 vrim谷 n谷 mes. Asnj谷ra nuk 谷sht谷 konvekse. 6. Aplikime Teorema e Pikave Fikse Brouner p谷rdoret shpesh n谷 v谷rtetimin e ekzistenc谷s s谷 ekuilibrave Nash. Nj谷 ekuilib谷r Nash ndodh n谷 Teorin谷 e Loj谷s kur lojtar谷t din谷 巽far谷 strategji do t谷
  • 13. Teknika Algjebrike dhe Diferenciale n谷 Topologji Hysen Doko 13 p谷rdor谷 kund谷rshtari i tyre, din谷 se strategjit谷 e tyre nuk ndryshojn谷, dhe gjithashtu din谷 se strategjia aktuale q谷 ata po p谷rdorin 谷sht谷 m谷 e mira e mundshme. T谷 dy e din谷 se kund谷rshtari 谷sht谷 duke planifikuar, dhe t谷 dy e din谷 se planet e tyre aktuale jan谷 strategjia m谷 e mir谷 duke marr谷 parasysh at谷 q谷 kund谷rshtari i tyre po planifikon. Ato jan谷 tep谷r t谷 r谷nd谷sishme gjithashtu dhe p谷r t谷 analizuar problemat ose lojrat ku lojtar谷t e ndrysh谷m luajn谷 n谷 t谷 nj谷jt谷n koh谷. Nj谷 shembull specifik i k谷tij modeli 谷sht谷 biznesi; Ekuilibrat Nash p谷rdoren p谷r t谷 parashikuar dhe nd谷rtuar hapat q谷 duhen marr谷 kur biznesi bie n谷 kriz谷. Nj谷 tjet谷r aplikim 谷sht谷 n谷 Sistemet Dinamike. Ekuilibrat, stab谷l apo jo stab谷l mund t谷 konsiderohen si pika fikse. K谷shtu, n谷 disa hap谷sira, nj谷ra 谷sht谷 e garantuar q谷 ka nj谷 ekuilib谷r. Nj谷 aplikim i ve巽ant谷 谷sht谷 edhe n谷 ekonomi, k谷saj here m谷 drejtp谷rdrejt sesa p谷rmes Ekuilibrave Nash. Pikat fikse p谷rdoren p谷r t谷 v谷rtetuar ekzistenc谷n e ekuilibrit n谷 biznes (p谷r shembull, tek k谷rkesa dhe oferta). Aplikime t谷 tjera kemi n谷 teorein谷 e rast谷sis谷 dhe konjektur谷n Bass dhe n谷 teorin谷 e loj谷s me vlerat konvekse multi hap谷sinore. sht谷 e r谷nd谷sishme t谷 theksohet se jo t谷 gjitha k谷to mb谷shteten n谷 Teorem谷n e Pikave Fikse Brouner. N谷 t谷 v谷rtet谷, teorema e pikave fikse nuk ishte e para. Teorema Brouner aplikohet n谷 ndonj谷 hap谷sir谷 kompakte dhe konvekse, jo n谷 Hap谷sir谷n Euklidiane Standarde q谷 ne kemi p谷dorur. Ka dhe shum谷 teorema t谷 tjera ekuivalente si Teorema Banach dhe Kakatani. Ka pasur gjithashtu pun谷 nga Fan dhe Brouder. Megjithat谷, shum谷 njer谷z q谷 p谷rdorin Teorem谷n e Pikave Fikse Brouner preferojn谷 t谷 p谷rdorin nj谷 m谷nyr谷 t谷 kombinuar n谷 vend t谷 saj. Figura 11: 1, 2, 3 dhe 4-simplekset p谷rkat谷sisht.