�ݺ�ߣ

Universiteti i Vlorës
“Ismail �ϱ𳾲��”

Lënda: Teknika algjebrike dhe
diferenciale në topologji
Universiteti i Vlorës
“Ismail �ϱ𳾲��”

Përkufizim 1: (Pikat fikse)
• Për një funksion 𝑓: ℵ → ℵ, një pikë
fikse 𝑐 ∈ ℵ është një pikë ku 𝑓 𝑐 =
𝑐.
Pra është e qartë që pika (𝑐, 𝑐)
ndodhet në grafikun e këtij funksioni.

Është e qartë që jo çdo funksion ka pika fikse. Në rastin e mëposhtëm
kemi funksion që çdo pikë e tij është pikë fikse, funksion që ka vetëm
një pikë fikse dhe funksion që nuk ka asnjë pikë fikse.

Rafshi historik:
Pikat fikse erdhën në fokusin e matematikanëve vonë në shekullin e
XIX. Matematikani Henri Poincare filloi t’i përdorë ato në analizën
topologjike të problemave jolineare, duke zhvendosur teorinë e
pikave fikse në qendër të topologjisë. Luitzen Egbertus Jan
Brou𝑤er, i Univeristetit të Amsterdamit, punoi me topologjinë
algjebrike. Ai formuloi teoremën e tij të pikave fikse, i cili ishte i
pari që publikoi në lidhje vetëm me rastin tre dimensional në vitin
1909, përmes vërtetimeve të tjera që ekzistonin për këtë rast.
Brou𝑤er, në vitin 1910 publikoi teoremën e tij për pikat fikse.

Matematikanët Henri Poincare dhe Luitzen Jan Brouer.

Teorema Brouer për pikat fikse në ℝ 𝒏
Është dhënë bashkësia K ⊂ ℝn
kompakte
dhe konvekse, dhe funksioni 𝑓: 𝐾 → 𝐾 i
vazhdueshëm. Atëherë ekzistojnë disa pika
𝑐 ∈ 𝐾 të tilla që 𝑓 𝑐 = 𝑐, të cilat quhen pika
fikse.

Përkufizime të përgjithshme:
• Përkufizim 1: Hapësira topologjike. Një
hapësirë topologjike është një bashkësi ℵ e pajisur
me një koleksion nënbashkësish 𝜏. Koleksioni i
nënbashkësive duhet të përmbajë të gjithë ℵ dhe
bashkësinë boshe ∅. Ajo duhet gjithashtu, që për
çdo nënkoleksion 𝑈 𝛼 ∈ 𝜏, për 𝛼 ∈ 𝛬, edhe
bashkimi 𝛼∈𝛬 𝑈 𝛼 të jetë pjesë e koleksionit 𝜏.
Gjithashtu, prerja për çdo dy elementë 𝑈1, 𝑈2 ∈ 𝜏,
duhet të jetë element i koleksionit τ. Pra 𝜏 quhet
topologji në ℵ dhe të gjithë elementët e 𝜏 quhen të
hapura në ℵ.

• Përkufizim 2: Bashkësia e hapur. Në hapësirën
metrike euklidiane ℝ 𝑛, bashkësitë bazë të hapura
janë intervalet, disqet ose sferat për 𝑛 = 1,2,3, …
përkatësisht. Koleksioni i bashkësive të hapura –
topologjia – konsiston në bashkësitë bazë, në
bashkimet e tyre të pafundme dhe në prerjet e tyre
të fundme. Kjo gjithashtu përfshin komplet ℝ 𝑛 dhe
bashkësinë boshe.

• Përkufizim 3: Bashkësia e mbyllur. Një bashkësi 𝐹 ⊆
ℝ 𝑛
është e mbyllur nëse plotësi i saj 𝐹 𝐶
është i hapur.
Një bashkësi është gjithashtu e mbyllur nëse ajo është
prerje e bashkimeve të fundme të bashkësive të
mbyllura.
• Përkufizim 4: Konveksiteti. Një bashkësi 𝐺 ⊆ ℝ 𝑛
thuhet se është konvekse nëse për dy pika 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺, të
gjitha pikat e segmentit që lidh këto dy pika janë
gjithashtu në 𝐺.

• Përkufizim 5: Mbulimi i hapur. Një koleksion
bashkësish të hapura 𝐴 në ℝ 𝑛 është një mbulim
i hapur për bashkësinë 𝐵, nëse 𝐵 është
nënbashkësi e bashkimit të të gjitha bashkësive
të hapura 𝐴.
• Përkufizim 6: Kompaktësia. Le të jetë (ℵ, 𝜏) një
hapësirë topologjike. Nëse çdo mbulim i hapur
𝐴 i 𝐵 përmban një nënmbulim të fundëm – një
nënkoleksion të fundëm të 𝐴 që është akoma
një mbulim i hapur për 𝐵 - atëherë 𝐵 është
kompakte.

• Përkufizim 7: Vazhdueshmëria. Le të jenë (ℵ, 𝜏ℵ)
dhe (ℑ, 𝜏ℑ) dy hapësira topologjike. Një funksion
𝑓: ℵ → ℑ është i vazhdueshëm, nëse për një
nënbashkësi të hapur 𝑉 të ℑ, 𝑓−1
𝑉 është i
hapur në ℵ. Bashkësitë e hapura në ℵ dhe ℑ janë
elementë të 𝜏ℵ dhe , 𝜏ℑ respektivisht.
• Përkufizim 8: Funksioni i hapur. Le të jenë
(ℵ, 𝜏ℵ) dhe (ℑ, 𝜏ℑ) dy hapësira topologjike. Një
funksion 𝑓: ℵ → ℑ është një funksion i hapur
nëse, për një nënbashkësi të hapur 𝑈 të ℵ, 𝑓(𝑈)
është e hapur në ℑ.

• Përkufizim 9: Bijeksioni. Një funksion
𝑓: ℵ → ℑ është një bijeksion nëse ai është
injektiv dhe syrjektiv, që do të thotë se 𝑓
është një bijeksion nëse për të gjitha 𝑦 ∈ ℑ
ekzistojnë 𝑥 ∈ ℵ të tilla që 𝑓 𝑥 = 𝑦 dhe
nëse 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2), rrjedh që 𝑥1 = 𝑥2.
• Përkufizim 10: Homomorfizmi. Një
homomorfizëm është një funksion i
vazhdueshëm, i hapur dhe bijektiv.

Pikat fikse, rasti një dimensional.
Rasti i parë për të studiuar pikat fikse është boshti koordinativ ku
bashkësia 𝐾 ∈ ℝ. Për të patur pikë fikse duhet që për ndonjë pikë 𝑐 ∈ 𝐾, të
kemi që 𝑓 𝑐 = 𝑐.
• Teoremë: Jepet bashkësia 𝐾 kompakte dhe konvekse, dhe funksioni
𝑓: 𝐾 → 𝐾 i vazhdueshëm. Atëherë ekzistojnë disa 𝑐 ∈ 𝐾 të tilla që
𝑓 𝑐 = 𝑐, ku 𝑐 është pikë fikse.

Vërtetimi i kësaj teoreme mbështetet në Teoremën
e vlerës së ndërmjetme:
• Teoremë: Teorema e Vlerës së Ndërmjetme: Le të jenë ℵ, ℑ ∈ ℝ. Le
të jetë dhënë një funksion 𝑓: ℵ → ℑ, i cili është i vazhdueshëm në
[𝑎, 𝑏] ⊆ ℵ. Atëherë ekziston ∀𝑑 ∈ (𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 ) ⊆ ℑ, ku 𝑓 𝑎 ≤
𝑓 𝑏 , një vlerë 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), e tillë që 𝑓 𝑐 = 𝑑.

Rasti më i thjeshtë për të vërtetuar pikat fikse është segmenti [0, 1],
pra katrori njësi 𝑰 = 𝟎, 𝟏 × [𝟎, 𝟏].
Vërtetimi i Teoremës në bashkësinë [0, 1]: Le të jetë 𝑓: 0,1 → [0,1] një funksion i
vazhdueshëm në katrorin njësi. Funksioni 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑥 është gjithashtu i
vazhdueshëm në katrorin njësi ashtu siç është diferenca e funksionit 𝑓 me funksionin
identik 𝑖 𝑥 = 𝑥, i cili është gjithashtu i vazhdueshëm. Kur 𝑥 = 0, 𝑓 𝑥 ≥ 0, edhe
𝑔 0 = 𝑓 0 − 0, kështu që 𝑔(0) është ose pozitiv ose zero. Kurse kur 𝑥 = 1, 𝑓(1) ≤ 1,
edhe 𝑔 1 = 𝑓 1 − 1. Në mënyrë të ngjashme, 𝑔 1 është ose negative ose zero.
Përderisa funksioni është i vazhdueshëm në një bashkësi të mbyllur, Teorema e Vlerës
së ndërmjetme gjen aplikime. Atëherë kemi 𝑔(0) ≥ 0 dhe 𝑔(1) ≤ 1, dhe duhet të
ekzistojnë një 𝑐 ∈ [0,1] e tillë që 𝑔 𝑐 = 𝑑, për ndonjë 𝑑, por në veçanti kur 𝑑 = 0.
Kështu kemi një pikë c ku 𝑔 𝑐 = 𝑓 𝑐 − 𝑐; kështu, 𝑓 𝑐 = 𝑐, dhe prandaj kjo c është
pika fikse e kërkuar.

Për të kuptuar grafikisht, shohim nëse
funskioni pritet nga funksioni 𝑓 𝑥 =
𝑥. Kështu që një funksion që nuk ka
pika fikse nuk e pret 𝑓 𝑥 = 𝑥 në asnjë
pikë, si rasti i mëposhtëm:

Për të përcaktuar nëse një funksion ka një pikë fikse në
ndonjë bashkësi 𝐾 ∈ ℝ, duhet të përcaktojmë nëse mund
të ekzistojë një homomorfizëm ndërmjet 𝐾 dhe [0,1].
Nëse ekziston një i tillë, themi gjithashtu që edhe 𝐾 ka
një pikë fikse për ndonjë funksion të vazhdueshëm
𝑓: 𝐾 → 𝐾.
Në dimensionet e larta, mund të shohim që 𝑓: 𝐾 → 𝐾 ka
një pikë fikse nëse plotëson disa kushte: kompaktësinë
dhe konveksitetin e bashkësisë 𝐾, dhe vazhdueshmërinë
e funksionit 𝑓.

Teorema Brouer në Diskun 2D
• Përkufizim 11: Le të jetë (ℵ, 𝜏) një hapësirë topologjike
dhe le të jetë 𝐺 ⊆ ℵ. Mbyllja e 𝐺, e cila shënohet 𝐺 është
prerja e të gjitha bashkësive të mbyllura që përmbajnë të
gjithë 𝐺. Mbyllja e një bashkësie është gjithmonë e mbyllur.
• Përkufizim 12: Le të jetë bashkësia 𝑆 ⊆ ℝ2 dhe 𝐵 ⊆ 𝑆.
Quajmë 𝑟: 𝑆 → 𝐵 një funksion mbledhje nëse është i
vazhdueshëm dhe 𝑟 𝑏 = 𝑏, ∀𝑏 ∈ 𝐵.

Konsiderojmë 𝑫 një sipërfaqe disku dhe 𝑪 kufirin e tij.
Pra në ℝ2
disku njësi është përcaktuar nga:
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ 2
/ (𝑥, 𝑦) ≤ 1
dhe rrethi njësi nga 𝐶 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ 2
/ 𝑥, 𝑦 = 1

• Teoremë: Teorema e mosmbledhjes. Nuk ekziston
ndonjë funksion mbledhje nga disku njësi i
mbyllur D tek kufiri i tij C.
• Teorema e pikave fikse në 𝑫 ∈ ℝ 𝟐. Nëse funksioni
𝑓: 𝐷 → 𝐷 është i vazhdueshëm, atëherë ekzistojnë
disa pika 𝑐 ∈ 𝐷, të tilla që 𝑓 𝑐 = 𝑐, ku c është një
pikë fikse.

Rasti i përgjithshëm n-dimensional.
• Tashmë kalojmë tek vërtetimi i
përgjithshëm i Teoremës së
pikave fikse Brouer për rastin n-
dimensional.
• Së pari japim disa nocione të
përgjithshme që do të na
nevojiten.

• Përkufizim 13: Funksioni 𝑪 𝟏
. Një funksion
quhet 𝐶1
nëse është i vazhdueshëm dhe ka
derivate të vazhdueshme.
• Teoremë: Teorema e funksionit të anasjelltë:
Le të jetë ℵ ∈ ℝ 𝑛
e hapur, dhe le të jetë
funksioni 𝑓: ℵ → ℝ 𝑛 vazhdimisht i
diferencueshëm dhe çdo derivat i tij shprehet
si matricë e derivateve të tij të pjesshme. Nëse
ky funksion është invertibël në një pikë 𝑐 ∈ ℵ,
atëherë ai është invertibël edhe në një fqinjësi
përreth pikës 𝑐.

• Teoremë: Teorema e mosmbledhjes (Rasti i
përgjithshëm). Nuk ekziston ndonjë funksion
mbledhje 𝐶1
nga sfera njësi n-dimensionale D 𝑛
tek
kufiri i saj 𝐵 𝑛−1.
• Teorema e pikave fikse në 𝑫 𝒏
∈ ℝ 𝒏
. Jepet se
funksioni 𝑓: 𝐷 𝑛 → 𝐷𝐷𝐷 𝑛 është i vazhdueshëm,
atëherë ekzistojnë disa pika 𝑐 ∈ 𝐷 𝑛, të tilla që
𝑓 𝑐 = 𝑐, ku c është një pikë fikse.

Aplikime të pikave fikse
Teorema e Pikave fikse Brouer gjen shumë zbatime, ndër të cilat
përmendim më poshtë disa:
• Në Teorinë e Lojës, për të planifikuar lëvizjen e kundërshtarit
dhe për të llogaritur në kohë strategjinë e radhës.
• Në biznese, për të llogaritur pikën kritike për të mos rënë në
falimentim.
• Në sistemet dinamike për të llogaritur ekuilibrat dinamikë.

PUNOI: PRANOI:
HYSEN DOKO PROF. ASOC. LLAMBRINI SOTA

�ݺ�ߣ

Pikat fikse Hysen Doko

More Related Content

Pikat fikse Hysen Doko