ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Polinomlar

•Download as PPT, PDF•
•
Mehmet Topdemir
Mehmet Topdemir
1 of 16
Downloaded 62 times
±Ê°¿³¢Ä°±·°¿²Ñ³¢´¡¸é
BİLGİLER 1) x değişkenine bağlı DİKKAT: EŞİTLİK: ÇARPMA: ÖRNEK: TOPLAMA-ÇIKARMA:2x + dx SORU: = ax5 + = – ÖRNEK: ÖRNEK: ÖRNEKLER: x47 + cx23 + 5 2 + ex + f SORU: P(x) bx3 SORU: SORU: P(x) P(2x + İki 81x – x.(x2 polinomdur. 5) 2) 2 2 A + 9 Normal+3)33xx–= d[P(x)] + +=5x3xP(1) + 2-c dağılma2 + 1).x5 + 2).x olsun. Aşağıdakilerdenve–6x =isex ++2 4) ? (x P(x)(a – +özellikleri kullanılır. 3).(5x polinomun 3x – B P(x –3x= Q(x)+dereceli + + 1 3).xler Ve; P(x)12 =büyükhangileri + x 5= = 2 =–x4x++(b olan + (a 1 = 11 0 x 3x 3 + 2x 4).x üslünün En aynı 3 2–Q(x) (b5 Sadece – 3x + 2 + 3x2 –demek; – 2 üsleri doğal sayı birbirine Üstlere alalım. x x5 +m5xn 4olması+19 4 3x = bireşit – 7x gibi f4 polinomx P(0) sonucu alalım. 3x2 –iseise katsayıları reel sayı olan ifadelere işleminin =x derecelixm+n e + f 4x + 4 Polinomu b +kaçtır. Polinomu c katsayısına 5 P(1) 3 –a6xifadeleripolinomu ise5toplanabilir yadapolinom 7 Üsler-P(1)olarak1=8 6olan x’lerin aşağıdaki =sabit+ +8sonuçlandırınız. doğalP(x) sıfırçıkarılabilir. aynı + P(-1) 3x P(7).x –=+ x3 = = ++ sayıdır yazmalıyımQ(x)2 =)4A.B0d+4+ 9x32 kaçtır? P4in yerinec kaçtır? kaçtır? (x)çarpımı x= d[P(x)]istiyorum. P(x)2+=göre,1toplamı d + f olduğuna=(Örneğin;(x çarpımı reel katsayılı polinom denir. a.ba katsayılarının + = 7.xb )denir. Bu x P(1)+=b43katsayı+ 2 P(x) Katsayılar–POLİNOMDUR. terimlerinyazmak 4Baş7 + hatırlanır. ÇÖZÜM:+ kuralı 3.4 derecesi 5 2 i –]alırsam 7 2xbu +-4x2 4 24x 7toplamıdır. 1 olur. 6xterimdir. 1 içerisi a) d[P(x)2x – = – x3 – Çünkü; SabitQ(x)9 = + = 2 x x x P(x) , Q(x) , B(x) … lerle gösterilirler. Tek 3şartlaP(7) + 5POLİNOM DEĞİL 1bir DERECESİ3x 5.2 3x – – 7x + 2)+ ÇÖZÜM:3).(5xdenir.+ 5+ 10x389 6x[P4(x).Q (x)] = eşit olması – 4) + + Çift f)ÇÖZÜM:–5+Örneğin;x.(x2 + = Bölüm (x 4xbirlerine 4.7 dereceli d Burayıyazabilirim. katsayıları denir. yapın. –Polinomunpolinomda 4x2 – 8x – derecesi Herhangi bir ÇÖZÜM: lere de 31 NEYDİ? derecesi 23 P(1) = toplamınyazmak şartıyla. Bunun işaretlerini değiştirin. Herhangi bir polinomda Bütün x üstelYani; A terimlerin BAŞKATSAYIpolinomların B ŞART 3x 7 1 demektir. büyük ise – reel 2 derecesi 2) d[P(x) + Q(x)] = Büyük olanıdır. bu hangisinin= 2 Katsayılar +BAŞ4x +(b ++ = 7 + 2-c = 2 P(x) = =x(ayerlerineKATSAYI– + 5 (a – 4).x++katsayıları Şimdisayıdır. yazınca 1).x x – 1 2 istenendir. KATSAYI 2).x -1 BAŞ 0 P(x)3x +2Örneğin;1 3+ derecesinin 7 – üs ile2polinomun3).x 2= 2 x Herhangitoplayın. 8x + 15x x + – 4)bir6polinomdaki yerlerine 1 x YAZMAK. tek +2DİĞERLERİNE–(b–yazınca 1 – 12 DE x (2xd[ 3).(5xdoğal sayı2 0–9 + 0 = 8 Sağdaki örneği dikkatle inceleyelim. …= 5x P(x).Q(x)Öncelikle= değil. 4x + Üs 4 15x= 7+ sayı 3x 2x odur. +(x-2) 2 4x3 + 9x2 (x-1) 2 22 2 Dağal+toplamıdır. + 1 b) 3 = 3x 0 –]8x10x SABİT 2TERİM .x0 d[P(x).Q(x)] = d[P(x)] + d[Q(x)] P(x)katsayılarının = 8x4x+–(a++–16x–+39 başınaherhangi+çarpımıdır.c + x ax(a b)x sabit + c 3 =in23yerine b)x (a –+–bx +0cx bir = 2x0+ 5x bx -1– -2 d POLİNOMDUR. bir 0 üzerinde 57P1)x+ 4x + toplamı bulunur. ÖRNEK:TERİM terimi bulunur. SABİT5 6 5.xörnekx-7 = (x) b P(x) = Örneğin; = -2 polinomA.(x = g) …. 30–2xşeyÖrneğin;x8+3 36P(x)= 2 1) dP(x6x3d[P(x)]–= 5ise + 11c = – P(x).Q(x)==4x8.x3 =b 4 2) = 2 a 2 -1yazılabilir. -3 her12+ = 2 +4 x 3.2 1) 21x bölmesinin 6.73x – -x 7Q3+ a +7x3x2++613– =8= x B.(x ? d = d[P(x)] – d[Q(x)] …= 3x+ (x) Q(x) =6 3 = Katsayı 82 yapıldığını 47x= x24 9 a 2 P(1) reel P(x– b =+8) – 12 – b = – P(-1) 10x2 3 nasıl = sayı. c 3 = -c Q(x)ŞARTI VAR. -6 sadece ) büyüka (xb c + P(1) 2 0 21).(xEn 2)= 4 x )toplamıcsabit terim a ……………….. = ==dereceliyi d–=2) =11P(+Katsayılar 22 =+(xgörelim. 1dir. b=5 TEK –-b − terimi =–+1).(x+-2 (x–– = 72 x sabit (x =a−+ x 10e c = -3 P(x) İSTENEN x + 1) + = olmalılar P(x)P(x0=341) =doğalbüyükP(0) dır. 4 + b a + b Üsler gibi.-1sayıdır2 üsse P(x) 2 3. -2 =-3 x en b =En dereceliyekalmalı + d x O YAZDIĞINIZ =25dereceli olur. d[Pn(x)] = n. d[P(x)] x büyük şu yöntemi 1 7-4 1 – c) a = 1 yaparken2Tek derecesi gibi. ŞEY ….. =1 çarpımın c = -2 kullanın. NE İSE Çıkarmax1 0Q(x)12 1 = A.(xKalanderecesi Bunu= 0.xgibi.0.x2 =x ler 3 yazalım. x POLİNOM + B.(x – 1) 2a 3x derecelerinin2) kaybolmalı – P(x)2=3Polinomun DEĞİL 2 5=kafadan= 5.7.3.2 1 içeriye– 0 )= 0.xterimlerin =2 h) 0 dmakinesi yani toplamı = 210... P Katsayılar polinomu (Q geleninbölün. toplamıdır. (x) = + 2 = 0.x P İŞTE Ogibi. 10 POLİNOMDUR. ŞEYİ sabit terimi P(5) P(2x+3) = 2 = 3x katsayıları dür. d P(Q(x)) = P.Q P(3) dir. 8. 7 P(x) a 6 alırsak P(5x+3)kuvvetini alıyor.denir.o halde; ŞİMDİ elde edilir. x = 10için Bu2şeyi LERE DE yapıp 1 aldığıreelüstteki eklersek sayı.0 X 8-3+ P(x) TÜMbölmetoplamıdır. A = -2 x8 3= sıfır? 5 d) içine (x)= =Niye-A 35yok değildir. gibi. d[Katsayı Doğal işlemini P5 elde 5.7 xİLEsayı ] katsayılar=İLGİLİ 4 -1 edilir. 0 olmalı. BÖLME= Derece x = 3) Eşit Muamele Mantığı. 2.x YAZMAKve 2kalan -8 olur. Bütün a.b =d[P(x)] bulalım. 33 = 4.(-2) = x Q(x) bölüm ŞARTIYLA. İSTENEN = x = 32 ne yapıyor? dışarıya sağdaKURAL VERELİM. 3BAŞx derecesi = P derecesi = Q ise Çünkü; çıkarırkenli eder. yok. x 1 = 2 için polinomunBterim = 0 x ÖNEMLİYADA toplamı Sabit sabit de+ 0 olmalı. 7Katsayılar POLİNOMUDUR. 0 Bileşke0terim terimiderecesi B dir. 5 gibi. KATSAYI P(-2) = 5 x = 0 yada P(x) =3 SIFIRekliyor. P(-4) dür. P(x – 3) – ile 4) Eşitlik, Toplama, Çıkarma, Çarpma. P(x 3 4) çarpıp 10 2 bölümün14 polinom = dikkat ediniz. d halde; ) derecelerinin e) oGelen örneğe2.7 = derecesi P(Q(x) derP(x) farkıdır. 5) Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim. derecelerinin= 4 Bölmeyi tek başına işleyeceğiz. P(x) = a SABİT POLİNOMDUR. çarpımıdır. olur. İstenen = A.B = Reel + 10 P(x) = 3x sayı değil. -2 5 6) Bölme. 7 2 şeklinde ifade payın derecesi büyük iken edilir. 3 ile çarpıp 10 ekleyecek. Reel sayı POLİNOM DEĞİL x + 3x − 5 [ ] [ ] x [ ] [ ] [ ] 2 [ x + ] − 5x + 6x − 5 -10
BÖLME: Doğal sayılarda geçerli olan normal bölme kuralları aynen polinom bölmeleri için de geçerlidir. Yani; KURAL:1 P(x) Q(x) B(x) P(x) = Q(x). B(x) + K(x) KURAL:2 K(x) 0 olursa KURAL:3 K(x) < Q(x) dir. Kalanın derecesi kesinlikle bölenden küçüktür. Kalan sıfır olursa tam bölünme vardır. P(x) = Q(x). B(x) olur. Yani; çarpanlarına ayrılan bir polinom kendi çarpanlarına tam bölünür. Mesela; P(x) in çarpanlarından biri x – 2 ise P(x) x – 2 ile tam bölünür. dir.
SORU: Herhangi bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? P(x) x – a B(x) P(x) = (x – a). B(x) + Kalan a a ŞİMDİ 2 ÖZEL SORU GELECEK P(a) = 0. B(x) + Kalan Kalan VE BUNLAR SAYESİNDE SORU: Herhangi bir P(3x + 7) polinomunun x – a ile ÇOK KULLANILACAK OLAN bölümünden kalan nedir? PRATİK YÖNTEMLER SÖYLENECEK Kalan P(3x+7) x – a B(x) Kalan P(3x+7) = (x – a). B(x) + Kalan a a Kalan P(3a+7) = 0. B(x) + Kalan
KALAN BULMA PRATİK YOLLARI 1) P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan P( -b ) dır. a ÖRNEKLER: 2) P(mx+ 5) polinomunun xax 7 b ile bölümünden kalan P(m.-b + n) dir.dur. P(2x + n) polinomunun 0 – + ile bölümünden kalan P(2.7 + 5) = P(19) ax + b = a 7 Bunun yerine yaz. ax Bölenin kökünü = -b P(x) polinomunun xn 2xa+– 3ile bölümünden kalan polinomunun + -b + 2bölümünden kalan kalan 3 P( -3 ) 3) Şu P(x) polinomunun x -3 ile bölümünden P(x) örneğe bakalım. x = ile P(-2) P(3) 2 ÖRNEKLER a 2 kökü -2 olan 7 sayısını Bu x in yerine 4 yazın.Bölenin 3 n P(x) = 5x + 7 polinomunun x4 + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x + a =Bölenin kökünü 0 Buradaki xpolinomunun x – a ile bölümünden kalan yerine yaz. P(3x+7) P(3a+7) xn = -a a 4 P(x) x4 + 1 n Polinomdaki x yerlerine P(x) yazarak elde edilen şeydir. -a = (x + 1).B(x) + Kalan B(x) Son yazdığımız mantık yine geçerlidir. YANİ; sıfır yapmalıyız. Burayı ÖRNEKLER P(2x+5) polinomunun 2 5x7 +ile=bölümünden Kalan bulmak için P(x Kalan = ? – polinomunun x3 + x – 4 bölümünden kalan kalan 9) + 4 7 (x4 + 1).B(x) + Bunu P(19) P(-13) P(x) ile 7 -1 -4 -1 3 x yerlerine -2 yazarak elde=edilen şeydir. 5.(-1) + 7 0 + Kalan P(x) polinomunun Yani; 2 = Kalan Tüm x yerine -1 yazdık. yazmalıyız o halde P(x) yerlerineyazarsak sıfır olur burası x i yerine de -1 x – 1 ile bölümünden kalan olur. 4 4 10 x10 yerlerine 1 yazarak elde edilen şeydir. Bu yaptıklarımızın pratik yolunu mutlaka anlayın. Yoksa çok çekeceksiniz.
SORU: a) P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -1 P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 -1 -1 -1 -1 P(-1) = (-1)9 + 3(-1)7 + 5(-1) + 8 -1 -3 -5 P(-1) = -1 – 3 – 5 + 8 P(-1) = -1 Kalan P(-1) dir.
b) P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5 polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 11 ise a = ? P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 Kalan = P(1) = 11 imiş. 15 + 2.(1)4 + a.(1) + 5 = 11 1 + 2 + a + 5 = 11 a + 8 = 11 a=3 P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5 P(1) dir.
c) P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 P(x) polinomunun olarak veriliyor. Buna göre; x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(2) dir. P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 3 3 3 3 P(2) = 33 + 2.32 – 3.3 + 9 P(2) = 27 + 18 – 9 + 9 P(2) = 45 3x – 7 = 2 3x = 9 x=3
c) P(x) = x – 5x2 – 4x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 3 P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 5 5 5 5 P(5) = 125 – 125– 20 + 1 P(5) = -19 P(5) dir.
P( x − 2 ) SORU:18 a) Q( x +3) = x2 + 2x − 3 olarak veriliyor. Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre; P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 6 Kalan = P(3) = ? Q(8) = 2 5 P( x − 2 ) Q( x +3) 5 5 5 = x + 2x − 3 2 P(3) Q(8) = 5 + 2.5 − 3 2 P(3) 2 = 32 P(3) = 64
c) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 5) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 Kalan = P(7) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a 4 1 1 1 1 0=4–a Yazımından faydalanarak7 P(7) yi7 7 7 a=4 bulabilmek için öncelikle a bulunmalıdır. 6.P(7) = 49 + 21 – 4 6.P(7) = 66 P(7) = 11
SORU: a) P(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x3 – 1 = 0 x3 = 1 x3 yerine 1 yazacağız. 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 = 2.x3.x2 – 3.x3.x + 2.x3 + 6x2 + 3x + 1 2.x3.x2 3.x3.x 1 1 1 Çünkü buralardan x3 KALAN = 2x2 – 3x + 2 + 6x2 + 3x + 1 lü terim gelmez. Aynen yazabiliriz. KALAN = 8x2 + 3
b) P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 polinomunun bölümünden kalan kaçtır? x9 + 2 ile x9 + 2 Yani;ise x9 = -2 -2 yazarsak kalanı bulmuş oluruz. = 0 x9 yerlerine P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 ( ) P( x) = x 9 4 -2 ( ) − 2. x 9 2 + 3 x 9 + 10 -2 Kalan = (-2)4 – 2. (-2)2 + 3.(-2) + 10 Kalan = 16 – 8 – 6 + 10 Kalan = 12
c) P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 polinomunun x10 + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? 10 x Yani; =10 yerlerine = − 22 yazılırsa kalan bulunmuş olur. x 0 ⇒ x10 + 2 − P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 P(x) = (x10)2 – x10 + 4x5 + 7 − 2 Kalan = − 2 (− 2 ) − (− 2 ) + 4x + 7 Kalan = 2 2 + 2 + 4x5 + 7 Kalan = 4x5 + 9 + 2 5
c) P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(0) dır. P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 2 2 2 P(0) = 8.22 – 3.2 + 6 P(0) = 32 – 6 + 6 P(0) = 32 istenendir.
d) P(x – 5) = x5 – 7x – 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(5x – 6) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(-6) dır. P(x – 5) = x5 – 7x – 5 -1 -1 -1 P(-6) = -1 + 7 – 5 P(-6) = 1 istenendir.

More Related Content

Polinomlar

  • 2. BÄ°LGÄ°LER 1) x deÄŸiÅŸkenine baÄŸlı DÄ°KKAT: EŞİTLÄ°K: ÇARPMA: ÖRNEK: TOPLAMA-ÇIKARMA:2x + dx SORU: = ax5 + = – ÖRNEK: ÖRNEK: ÖRNEKLER: x47 + cx23 + 5 2 + ex + f SORU: P(x) bx3 SORU: SORU: P(x) P(2x + Ä°ki 81x – x.(x2 polinomdur. 5) 2) 2 2 A + 9 Normal+3)33xx–= d[P(x)] + +=5x3xP(1) + 2-c dağılma2 + 1).x5 + 2).x olsun. AÅŸağıdakilerdenve–6x =isex ++2 4) ? (x P(x)(a – +özellikleri kullanılır. 3).(5x polinomun 3x – B P(x –3x= Q(x)+dereceli + + 1 3).xler Ve; P(x)12 =büyükhangileri + x 5= = 2 =–x4x++(b olan + (a 1 = 11 0 x 3x 3 + 2x 4).x üslünün En aynı 3 2–Q(x) (b5 Sadece – 3x + 2 + 3x2 –demek; – 2 üsleri doÄŸal sayı birbirine Ãœstlere alalım. x x5 +m5xn 4olması+19 4 3x = bireÅŸit – 7x gibi f4 polinomx P(0) sonucu alalım. 3x2 –iseise katsayıları reel sayı olan ifadelere iÅŸleminin =x derecelixm+n e + f 4x + 4 Polinomu b +kaçtır. Polinomu c katsayısına 5 P(1) 3 –a6xifadeleripolinomu ise5toplanabilir yadapolinom 7 Ãœsler-P(1)olarak1=8 6olan x’lerin aÅŸağıdaki =sabit+ +8sonuçlandırınız. doÄŸalP(x) sıfırçıkarılabilir. aynı + P(-1) 3x P(7).x –=+ x3 = = ++ sayıdır yazmalıyımQ(x)2 =)4A.B0d+4+ 9x32 kaçtır? P4in yerinec kaçtır? kaçtır? (x)çarpımı x= d[P(x)]istiyorum. P(x)2+=göre,1toplamı d + f olduÄŸuna=(ÖrneÄŸin;(x çarpımı reel katsayılı polinom denir. a.ba katsayılarının + = 7.xb )denir. Bu x P(1)+=b43katsayı+ 2 P(x) Katsayılar–POLÄ°NOMDUR. terimlerinyazmak 4BaÅŸ7 + hatırlanır. ÇÖZÃœM:+ kuralı 3.4 derecesi 5 2 i –]alırsam 7 2xbu +-4x2 4 24x 7toplamıdır. 1 olur. 6xterimdir. 1 içerisi a) d[P(x)2x – = – x3 – Çünkü; SabitQ(x)9 = + = 2 x x x P(x) , Q(x) , B(x) … lerle gösterilirler. Tek 3ÅŸartlaP(7) + 5POLÄ°NOM DEĞİL 1bir DERECESÄ°3x 5.2 3x – – 7x + 2)+ ÇÖZÃœM:3).(5xdenir.+ 5+ 10x389 6x[P4(x).Q (x)] = eÅŸit olması – 4) + + Çift f)ÇÖZÃœM:–5+ÖrneÄŸin;x.(x2 + = Bölüm (x 4xbirlerine 4.7 dereceli d Burayıyazabilirim. katsayıları denir. yapın. –Polinomunpolinomda 4x2 – 8x – derecesi Herhangi bir ÇÖZÃœM: lere de 31 NEYDÄ°? derecesi 23 P(1) = toplamınyazmak ÅŸartıyla. Bunun iÅŸaretlerini deÄŸiÅŸtirin. Herhangi bir polinomda Bütün x üstelYani; A terimlerin BAÅžKATSAYIpolinomların B ÅžART 3x 7 1 demektir. büyük ise – reel 2 derecesi 2) d[P(x) + Q(x)] = Büyük olanıdır. bu hangisinin= 2 Katsayılar +BAÅž4x +(b ++ = 7 + 2-c = 2 P(x) = =x(ayerlerineKATSAYI– + 5 (a – 4).x++katsayıları Åžimdisayıdır. yazınca 1).x x – 1 2 istenendir. KATSAYI 2).x -1 BAÅž 0 P(x)3x +2ÖrneÄŸin;1 3+ derecesinin 7 – üs ile2polinomun3).x 2= 2 x Herhangitoplayın. 8x + 15x x + – 4)bir6polinomdaki yerlerine 1 x YAZMAK. tek +2DÄ°ÄžERLERÄ°NE–(b–yazınca 1 – 12 DE x (2xd[ 3).(5xdoÄŸal sayı2 0–9 + 0 = 8 SaÄŸdaki örneÄŸi dikkatle inceleyelim. …= 5x P(x).Q(x)Öncelikle= deÄŸil. 4x + Ãœs 4 15x= 7+ sayı 3x 2x odur. +(x-2) 2 4x3 + 9x2 (x-1) 2 22 2 DaÄŸal+toplamıdır. + 1 b) 3 = 3x 0 –]8x10x SABÄ°T 2TERÄ°M .x0 d[P(x).Q(x)] = d[P(x)] + d[Q(x)] P(x)katsayılarının = 8x4x+–(a++–16x–+39 başınaherhangi+çarpımıdır.c + x ax(a b)x sabit + c 3 =in23yerine b)x (a –+–bx +0cx bir = 2x0+ 5x bx -1– -2 d POLÄ°NOMDUR. bir 0 üzerinde 57P1)x+ 4x + toplamı bulunur. ÖRNEK:TERÄ°M terimi bulunur. SABÄ°T5 6 5.xörnekx-7 = (x) b P(x) = ÖrneÄŸin; = -2 polinomA.(x = g) …. 30–2xÅŸeyÖrneÄŸin;x8+3 36P(x)= 2 1) dP(x6x3d[P(x)]–= 5ise + 11c = – P(x).Q(x)==4x8.x3 =b 4 2) = 2 a 2 -1yazılabilir. -3 her12+ = 2 +4 x 3.2 1) 21x bölmesinin 6.73x – -x 7Q3+ a +7x3x2++613– =8= x B.(x ? d = d[P(x)] – d[Q(x)] …= 3x+ (x) Q(x) =6 3 = Katsayı 82 yapıldığını 47x= x24 9 a 2 P(1) reel P(x– b =+8) – 12 – b = – P(-1) 10x2 3 nasıl = sayı. c 3 = -c Q(x)ÅžARTI VAR. -6 sadece ) büyüka (xb c + P(1) 2 0 21).(xEn 2)= 4 x )toplamıcsabit terim a ……………….. = ==dereceliyi d–=2) =11P(+Katsayılar 22 =+(xgörelim. 1dir. b=5 TEK –-b − terimi =–+1).(x+-2 (x–– = 72 x sabit (x =a−+ x 10e c = -3 P(x) Ä°STENEN x + 1) + = olmalılar P(x)P(x0=341) =doÄŸalbüyükP(0) dır. 4 + b a + b Ãœsler gibi.-1sayıdır2 üsse P(x) 2 3. -2 =-3 x en b =En dereceliyekalmalı + d x O YAZDIÄžINIZ =25dereceli olur. d[Pn(x)] = n. d[P(x)] x büyük ÅŸu yöntemi 1 7-4 1 – c) a = 1 yaparken2Tek derecesi gibi. ÅžEY ….. =1 çarpımın c = -2 kullanın. NE Ä°SE Çıkarmax1 0Q(x)12 1 = A.(xKalanderecesi Bunu= 0.xgibi.0.x2 =x ler 3 yazalım. x POLÄ°NOM + B.(x – 1) 2a 3x derecelerinin2) kaybolmalı – P(x)2=3Polinomun DEĞİL 2 5=kafadan= 5.7.3.2 1 içeriye– 0 )= 0.xterimlerin =2 h) 0 dmakinesi yani toplamı = 210... P Katsayılar polinomu (Q geleninbölün. toplamıdır. (x) = + 2 = 0.x P Ä°ÅžTE Ogibi. 10 POLÄ°NOMDUR. ÅžEYÄ° sabit terimi P(5) P(2x+3) = 2 = 3x katsayıları dür. d P(Q(x)) = P.Q P(3) dir. 8. 7 P(x) a 6 alırsak P(5x+3)kuvvetini alıyor.denir.o halde; ŞİMDÄ° elde edilir. x = 10için Bu2ÅŸeyi LERE DE yapıp 1 aldığıreelüstteki eklersek sayı.0 X 8-3+ P(x) TÃœMbölmetoplamıdır. A = -2 x8 3= sıfır? 5 d) içine (x)= =Niye-A 35yok deÄŸildir. gibi. d[Katsayı DoÄŸal iÅŸlemini P5 elde 5.7 xÄ°LEsayı ] katsayılar=Ä°LGÄ°LÄ° 4 -1 edilir. 0 olmalı. BÖLME= Derece x = 3) EÅŸit Muamele Mantığı. 2.x YAZMAKve 2kalan -8 olur. Bütün a.b =d[P(x)] bulalım. 33 = 4.(-2) = x Q(x) bölüm ÅžARTIYLA. Ä°STENEN = x = 32 ne yapıyor? dışarıya saÄŸdaKURAL VERELÄ°M. 3BAÅžx derecesi = P derecesi = Q ise Çünkü; çıkarırkenli eder. yok. x 1 = 2 için polinomunBterim = 0 x ÖNEMLÄ°YADA toplamı Sabit sabit de+ 0 olmalı. 7Katsayılar POLÄ°NOMUDUR. 0 BileÅŸke0terim terimiderecesi B dir. 5 gibi. KATSAYI P(-2) = 5 x = 0 yada P(x) =3 SIFIRekliyor. P(-4) dür. P(x – 3) – ile 4) EÅŸitlik, Toplama, Çıkarma, Çarpma. P(x 3 4) çarpıp 10 2 bölümün14 polinom = dikkat ediniz. d halde; ) derecelerinin e) oGelen örneÄŸe2.7 = derecesi P(Q(x) derP(x) farkıdır. 5) Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim. derecelerinin= 4 Bölmeyi tek başına iÅŸleyeceÄŸiz. P(x) = a SABÄ°T POLÄ°NOMDUR. çarpımıdır. olur. Ä°stenen = A.B = Reel + 10 P(x) = 3x sayı deÄŸil. -2 5 6) Bölme. 7 2 ÅŸeklinde ifade payın derecesi büyük iken edilir. 3 ile çarpıp 10 ekleyecek. Reel sayı POLÄ°NOM DEĞİL x + 3x − 5 [ ] [ ] x [ ] [ ] [ ] 2 [ x + ] − 5x + 6x − 5 -10
  • 3. BÖLME: DoÄŸal sayılarda geçerli olan normal bölme kuralları aynen polinom bölmeleri için de geçerlidir. Yani; KURAL:1 P(x) Q(x) B(x) P(x) = Q(x). B(x) + K(x) KURAL:2 K(x) 0 olursa KURAL:3 K(x) < Q(x) dir. Kalanın derecesi kesinlikle bölenden küçüktür. Kalan sıfır olursa tam bölünme vardır. P(x) = Q(x). B(x) olur. Yani; çarpanlarına ayrılan bir polinom kendi çarpanlarına tam bölünür. Mesela; P(x) in çarpanlarından biri x – 2 ise P(x) x – 2 ile tam bölünür. dir.
  • 4. SORU: Herhangi bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? P(x) x – a B(x) P(x) = (x – a). B(x) + Kalan a a ŞİMDÄ° 2 ÖZEL SORU GELECEK P(a) = 0. B(x) + Kalan Kalan VE BUNLAR SAYESÄ°NDE SORU: Herhangi bir P(3x + 7) polinomunun x – a ile ÇOK KULLANILACAK OLAN bölümünden kalan nedir? PRATÄ°K YÖNTEMLER SÖYLENECEK Kalan P(3x+7) x – a B(x) Kalan P(3x+7) = (x – a). B(x) + Kalan a a Kalan P(3a+7) = 0. B(x) + Kalan
  • 5. KALAN BULMA PRATÄ°K YOLLARI 1) P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan P( -b ) dır. a ÖRNEKLER: 2) P(mx+ 5) polinomunun xax 7 b ile bölümünden kalan P(m.-b + n) dir.dur. P(2x + n) polinomunun 0 – + ile bölümünden kalan P(2.7 + 5) = P(19) ax + b = a 7 Bunun yerine yaz. ax Bölenin kökünü = -b P(x) polinomunun xn 2xa+– 3ile bölümünden kalan polinomunun + -b + 2bölümünden kalan kalan 3 P( -3 ) 3) Åžu P(x) polinomunun x -3 ile bölümünden P(x) örneÄŸe bakalım. x = ile P(-2) P(3) 2 ÖRNEKLER a 2 kökü -2 olan 7 sayısını Bu x in yerine 4 yazın.Bölenin 3 n P(x) = 5x + 7 polinomunun x4 + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x + a =Bölenin kökünü 0 Buradaki xpolinomunun x – a ile bölümünden kalan yerine yaz. P(3x+7) P(3a+7) xn = -a a 4 P(x) x4 + 1 n Polinomdaki x yerlerine P(x) yazarak elde edilen ÅŸeydir. -a = (x + 1).B(x) + Kalan B(x) Son yazdığımız mantık yine geçerlidir. YANÄ°; sıfır yapmalıyız. Burayı ÖRNEKLER P(2x+5) polinomunun 2 5x7 +ile=bölümünden Kalan bulmak için P(x Kalan = ? – polinomunun x3 + x – 4 bölümünden kalan kalan 9) + 4 7 (x4 + 1).B(x) + Bunu P(19) P(-13) P(x) ile 7 -1 -4 -1 3 x yerlerine -2 yazarak elde=edilen ÅŸeydir. 5.(-1) + 7 0 + Kalan P(x) polinomunun Yani; 2 = Kalan Tüm x yerine -1 yazdık. yazmalıyız o halde P(x) yerlerineyazarsak sıfır olur burası x i yerine de -1 x – 1 ile bölümünden kalan olur. 4 4 10 x10 yerlerine 1 yazarak elde edilen ÅŸeydir. Bu yaptıklarımızın pratik yolunu mutlaka anlayın. Yoksa çok çekeceksiniz.
  • 6. SORU: a) P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -1 P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 -1 -1 -1 -1 P(-1) = (-1)9 + 3(-1)7 + 5(-1) + 8 -1 -3 -5 P(-1) = -1 – 3 – 5 + 8 P(-1) = -1 Kalan P(-1) dir.
  • 7. b) P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5 polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 11 ise a = ? P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 Kalan = P(1) = 11 imiÅŸ. 15 + 2.(1)4 + a.(1) + 5 = 11 1 + 2 + a + 5 = 11 a + 8 = 11 a=3 P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5 P(1) dir.
  • 8. c) P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 P(x) polinomunun olarak veriliyor. Buna göre; x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(2) dir. P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 3 3 3 3 P(2) = 33 + 2.32 – 3.3 + 9 P(2) = 27 + 18 – 9 + 9 P(2) = 45 3x – 7 = 2 3x = 9 x=3
  • 9. c) P(x) = x – 5x2 – 4x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 3 P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 5 5 5 5 P(5) = 125 – 125– 20 + 1 P(5) = -19 P(5) dir.
  • 10. P( x − 2 ) SORU:18 a) Q( x +3) = x2 + 2x − 3 olarak veriliyor. Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 olduÄŸuna göre; P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 6 Kalan = P(3) = ? Q(8) = 2 5 P( x − 2 ) Q( x +3) 5 5 5 = x + 2x − 3 2 P(3) Q(8) = 5 + 2.5 − 3 2 P(3) 2 = 32 P(3) = 64
  • 11. c) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 5) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 1 Kalan = P(7) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a 4 1 1 1 1 0=4–a Yazımından faydalanarak7 P(7) yi7 7 7 a=4 bulabilmek için öncelikle a bulunmalıdır. 6.P(7) = 49 + 21 – 4 6.P(7) = 66 P(7) = 11
  • 12. SORU: a) P(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x3 – 1 = 0 x3 = 1 x3 yerine 1 yazacağız. 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 = 2.x3.x2 – 3.x3.x + 2.x3 + 6x2 + 3x + 1 2.x3.x2 3.x3.x 1 1 1 Çünkü buralardan x3 KALAN = 2x2 – 3x + 2 + 6x2 + 3x + 1 lü terim gelmez. Aynen yazabiliriz. KALAN = 8x2 + 3
  • 13. b) P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 polinomunun bölümünden kalan kaçtır? x9 + 2 ile x9 + 2 Yani;ise x9 = -2 -2 yazarsak kalanı bulmuÅŸ oluruz. = 0 x9 yerlerine P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 ( ) P( x) = x 9 4 -2 ( ) − 2. x 9 2 + 3 x 9 + 10 -2 Kalan = (-2)4 – 2. (-2)2 + 3.(-2) + 10 Kalan = 16 – 8 – 6 + 10 Kalan = 12
  • 14. c) P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 polinomunun x10 + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? 10 x Yani; =10 yerlerine = − 22 yazılırsa kalan bulunmuÅŸ olur. x 0 ⇒ x10 + 2 − P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 P(x) = (x10)2 – x10 + 4x5 + 7 − 2 Kalan = − 2 (− 2 ) − (− 2 ) + 4x + 7 Kalan = 2 2 + 2 + 4x5 + 7 Kalan = 4x5 + 9 + 2 5
  • 15. c) P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(0) dır. P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 2 2 2 P(0) = 8.22 – 3.2 + 6 P(0) = 32 – 6 + 6 P(0) = 32 istenendir.
  • 16. d) P(x – 5) = x5 – 7x – 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(5x – 6) polinomunun sabit terimi kaçtır? P(-6) dır. P(x – 5) = x5 – 7x – 5 -1 -1 -1 P(-6) = -1 + 7 – 5 P(-6) = 1 istenendir.