狠狠撸

Rで学ぶ
現代ポートフォリオ理論入門
TokyoR #18
2011/10/22
@horihorio

0.1. 自己紹介
>My.Profile $性格
$TwitterID *1+ “暇人”
*1+ “horihorio” *2+ “物好き”
$出身地 $経験アリ統計ソフト
*1+ “日本各地転々” *1+ “IBM SPSS”
$これまでの仕事 *2+ “IBM Modeler”
*1+ “統計分析@金融” *3+ “Matlab”
*2+ “主にリスク管理系” *4+ “SAS”

$お勉強中 $R使用歴
*1+ “DB, IFRS” *1+ “1ヶ月←え？”
2011/10/22 Rで学ぶ現代ポートフォリオ理論入門 2

0.2. やりたいこと
要件定義
? 日本株で何か面白い戦略はないか
? 面倒臭い、難しいことはしたくない


◇ 全体構成 ◇
1. 理論編
1. 投資のリターン
2. 投資のリスクの考え方
3. リスク&リターンの考え方
4. トービンの分離定理
2. 実践編
1. データの用意
2. ポートフォリオ構築（2資産）
3. ポートフォリオ構築（多資産）
4. CAPM

1.1. 投資のリターン
投資対象が２つの場合、リターンは以下のとおり

RP ? w1 R1 ? w2 R2
　Ri ? 資産iからのリターン
　wi ? 資産iへの投資比率

投資比率は? wi ? 1だが、
個々のwiは、wi ? 0でも OK（カラ売り）

例1：資産1の期待リターンが12%、資産2の期待リ
ターンが6%、これに 4:6 で投資する

RP ? w1 R1 ? w2 R2
? 0.4 ? 0.12 ? (1 ? 0.4) ? 0.06
? 8.4%


例2：資産1の期待リターンが12%、資産2の期待リ
ターンが6%、これに w_1:(1-w_1) で投資する

RP ? w1 R1 ? w2 R2
? 0.12w1 ? 0.06(1 ? w1 )
? 0.06 ? 0.06w1


1.2. 投資のリスクの考え方
（とりあえず）リスクを、リターンの標準偏差とする

（
標
準リ
偏スク
差
）

【追記】Rって幾何ブラウン運動によるパス生成が楽、と思うと@teramonagi さん
が紹介済だった。 http://d.hatena.ne.jp/teramonagi/20101117/1289950470

2資産に投資した時のリスク（σ）を求めると、

RP ? w1 R1 ? w2 R2 　なので
? ? w ? ? w ? ? 2 w1w2? 12
2
P
2
1
2
1
2
2
2
2

　（? ? 標準偏差　 ? ij ? 共分散）
,　
相関係数　? ? ? 12 (? 1 ? 2 ) 　を導入し
? ? w ? ? w ? ? 2 w1w2 ?? 1? 2
2
P
2
1
2
1
2
2
2
2


（再掲）例1：資産1のリターンの標準偏差が18%、資
産2の期待リターンが12%、相関はゼロとする
? ? w ? ? w ? ? 2w1w2 ?? 1? 2
2
P
2
1
2
1
2
2
2
2

? 0.4 ? 0.18 ? 0.6 ? 0.12
2 2 2 2

? 0.010368
よって、
? P ? 0.010368 ? 10.2%

（再掲）例2：資産1のリターンの標準偏差が18%、資
産2の期待リターンが12%、相関はゼロとする
? ? w ? ? w ? ? 2w1w2 ?? 1? 2
2
P
2
1
2
1
2
2
2
2

? 0.18 w ? 0.12 (1 ? w1 )
2 2
1
2 2


あれ？何か下に凸な放物線のような

? ? w ? ? w ? ? 2w1w2 ?? 1? 2
2
P
2
1
2
1
2
2
2
2

? ( w1? 1 ? w2? 2 ) ? 2(1 ? ? ) w1w2? 1? 2
2

? iは非負、? 1 ? ? ? 1なので
? P ? w1? 1 ? w2? 2
この式の解釈：分散投資をすれば、個別投資よりリス
クを削減することが出来る。

相関係数が小さい程、リスク削減効果が大きくなる

リ
ス
ク
削
減
効
果


1.3. リスク&リターンの考え方
リスク×リターンのグラフを書いてみる

リスクリスク
×リターンカ
統ラ
合売
り
カ
リターンラ
売
り

1.3. リスク&リターンの考え方
リスク×リターンのグラフで、上半分を、効率的フロン
ティアという。（下半分を選ぶことはあり得ない）

効率的
フロンティア

選ばれない


1.4. トービンの分離定理
ポートフォリオ＋安全資産（国債）への投資を考える

無リスク(?)&
尐々のリターン


色々な組み合わせを考えてみる

2011/10/22 Rで学ぶ現代ポートフォリオ理論入門
入門
17

【トービンの分離定理】安全資産があると、効率的ポートフォ
リオは、安全資産と接点ポートフォリオの組合せで実現可能

効率的
ポートフォリオ


◇ 全体構成 ◇
1. 理論編
1. 投資のリターン
2. 投資のリスクの考え方
3. リスク&リターンの考え方
4. トービンの分離定理
2. 実践編
1. データの用意
2. ポートフォリオ構築（2資産）
3. ポートフォリオ構築（多資産）
4. CAPM

2.1. データの用意
【データ準備】
1. 株式
? データ：東証1部株式各日調整後終値
? 母集団：日経225採用銘柄
? 期間：2011/1/4～10/14（193営業日）
? 入手方法：次のスライドで

2. 安全資産：日本国債
? データ：1年物日本国債利回り
? 入手方法：財務省HP「国債金利情報」から加工
http://www.mof.go.jp/jgbs/reference/interest_rate/index.htm

株式データの取得方法
? パッケージ RFinanceYJ を使用
→尐々疑問：どこまでアクセスして良いの???
## パッケージ RFinanceYJ の呼び出し
library("RFinanceYJ")
## (Ticker, 企業名)の2列リスト。データはHP「日経平均プロフィル」よりコピペ&EXCEL
Nikkei225_ls <- read.csv("Nikkei225_ls.csv", sep=",", header=T)
## とりあえずゼロ行列作成
Nikkei225_close <- matrix(0, nrow=193, ncol=225)
## あとはひたすらループ。配列は怖くてやらなかった
for (i in 1:225){
eval(parse(text=paste("T.", Nikkei225_ls[i,1],
“<- quoteStockTsData('", Nikkei225_ls[i,1], ".t','2011-01-01')", sep="")))
eval(parse(text=paste("Nikkei225_close[,", i,
"] <- T.", Nikkei225[i,1] ,"[,7]", sep="")))
eval(parse(text=paste("rm(T.", Nikkei225_ls[i,1],")", sep="")))
}

脱線：(10/14時点)年初比上昇/下降5傑を見たい
上昇下降
銘柄年初比銘柄年初比
9766 コナミ 146.5% 9501 東京電力 11.0%
5233 太平洋セメント 140.7% 6767 ミツミ 39.4%
5232 住友大阪セメント 133.3% 9107 川崎汽船 43.0%
9412 スカパーJ 124.3% 6857 アドテスト 47.1%
9433 KDDI 122.3% 6976 太陽誘電 47.7%
## 列名を付けたいつもり。絶対良い方法があるに決まっている、が…
colnames(Nikkei225_close) <- c(“T.1332”, ～略～,“T.9984”)
## 最終日(10/14) / 年初(1/4) を計算して並び替え
sort_ls <- t(sort( tail(Nikkei225_close, n=1) / head(Nikkei225_close, n=1) ))
## 頭と最後の5件を取得
head(sort_ls ,n=5)
tail(sort_ls ,n=5)

後で fPortfolio のために、timeSeries型に変換
## 【前工程】1列目を日付にしたい
## 営業日をPOSIXct型で取得のDUMMY。多分営業日パッケージがある筈
T.1332 <- quoteStockTsData('1332.t',since='2011-01-01', date.end='2011-10-14')
## 結合。1列目のcastが分からず、かなりハマった。
Nikkei225_close <- cbind(Date=as.POSIXct(T.1332[,1]), Nikkei225_close)
## 内容確認
head(Nikkei225_close[1:3])
str(Nikkei225_close[1:3])

## 【ここから本番】
library(timeSeries)
## timeSeriesオブジェクトへ変換
Nikkei225_close.ts <- as.timeSeries(Nikkei225_close)
## 内容確認
head(Nikkei225_close.ts[1:3])
str(Nikkei225_close.ts[1:3])


2.2. ポートフォリオ構築（2資産）
試しに、相関が低いのを探してみる
## 相関行列（225×225）を作成。計算はほぼ一瞬なのね。へぇ。
tmp <- cor(Nikkei225_close.ts)

## 最小値とその値を出す組み合わせを探す。
min(tmp) ## 最小値
which(tmp==min(tmp), arr.ind=TRUE) ## 最小値を出す列名取得

結果： SUMCO (3436) とコナミ (9766? で、
)
相関係数は、 -0.899

※SUMCO：住友金属と三菱マテリアルのシリコンウエハ事業統合、
コマツ系も合流。半導体用世界首位級（YJ Financeより）


確かに相関は低そう

)
コナミ(9766?

SUMCO(3436)


SUMCO とコナミの効率的フロンティア。かなり曲がってる

)
コナミ(9766?

SUMCO(3436)

※注：カラ売りはナシとして描いた

先のソース
## @teramonagi さんのをコピペ改変
## 元ソース：http://d.hatena.ne.jp/teramonagi/20090712/1247387723
# ポートフォリオ用ライブラリロード
library("fPortfolio")

# SUMCO(3436)とコナミ(9766)を抽出
data <- as.timeSeries( cbind(Nikkei225_close.ts$T.3436, Nikkei225_close.ts$T.9766) )

# 作成するフロンティアの条件設定。フロンティア上のポートを100個作成。
conditions <- portfolioSpec()
setNFrontierPoints(conditions) <- 100

# データ、効率的フロンティアの作成
efficientFrontier <- portfolioFrontier(data ,conditions)

# 効率的フロンティアを描画
plot(efficientFrontier,1)


更に1年国債を混ぜ、効率的フロンティアを描画

)
コナミ(9766?

SUMCO(3436)

1年国債


先のソース
## 今度は日本国債をポートフォリオに追加
# 1年国債データを用意
JGB1YR <- read.table("JGByield.csv", header=F, sep=",")
colnames(JGB1YR) <- c("DATE","YR1")

# 3資産でデータ作成
data <- as.timeSeries( cbind(Nikkei225_close.ts$T.3436, Nikkei225_close.ts$T.9766,
JGB1YR$YR1) )

# 前掲の繰り返し
setNFrontierPoints(conditions) <- 100

# 各2資産を保有した場合をプロット

国債を混ぜた絵を見て気づくこと
? 理系屋→国債を原点にすると（下に平行移動）式が綺麗
? 投資家→要は、国債比の期待超過リターンが重要なのね

リ Before 超 After
タ過
ーリ期
ンポートタ待
フォリオー
ンポート
フォリオ
国債
リスクリスク

国債とポートフォリオとの接点を結ぶ線を資本市場
線といい、式で書くと、こんな感じ：

リスクを ?、リターンを rとすると
分子：期待超過リターン
切片：国債
E ?rP ? ? rF
E ?rCML ? ? rF ? ? ? CML
?P
引数の意味：
? リスク?プレミアム CML→資本市場線
? シャープ比という F →安全資産
P →株の組合せ（ポートフォリオ）

2.3. ポートフォリオ構築（多資産）
で、データを対国債比の期待超過リターンに変換
## 単位株?株価数値の水準を揃える。初値を1に基準化し、国債との超過リターンにする
## 平均?分散は各々 (?mu-国債)/初値, ?sigma/初値になる
# 初期化
Nikkei225_adj <- c()
# 初値で割った列ベクトルを次々結合
for (i in 2:226) {Nikkei225_adj <- cbind(Nikkei225_adj,
Nikkei225_close[,i]/Nikkei225_close[1,i])}
# 国債からの超過リターンに変換
Nikkei225_adj <- Nikkei225_adj - JGB1YR[,2]/100
# 営業日をくっつける
Nikkei225_adj <- cbind(Date=as.POSIXct(Nikkei225_close[,1]), data.frame(Nikkei225_adj))
#列名をくっつける
colnames(Nikkei225_adj) <- c("Date","T.1332", ～略～,"T.9984")
## timeSeriesオブジェクトへ変換
Nikkei225_adj.ts <- as.timeSeries(Nikkei225_adj)
Nikkei225_adj.ts <- Nikkei225_adj.ts - JGB1YR[,2]/100
## 内容確認
head(Nikkei225_adj.ts[1:3]); str(Nikkei225_adj.ts[1:3])

次は3資産を考える。 SUMCO (3436) , コナミ (9766?)
に、旭硝子 (5201) 追加←コナミと2番目に低い相関 (-0.887)

)
コナミ(9766?

)
旭硝子(5201?

SUMCO(3436)


3資産の効率的フロンティアは、2資産+1資産となる
)
コナミ(9766?
まず以下の組合せ
SUMCO: 17.9%
コナミ: 38.3%
SUMCO(3436)

次に旭硝子: 43.9%
)
旭硝子(5201? を追加


先のソース
## 3資産での効率的フロンティア
data <- as.timeSeries(
cbind(Nikkei225_adj.ts$T.3436, Nikkei225_adj.ts$T.5201, Nikkei225_adj.ts$T.9766) )

# 作成するフロンティアの条件設定

# 効率的フロンティアの作成

# 今度は効率的フロンティアの描画関数を使ってみる
tailoredFrontierPlot(efficientFrontier, risk = c("Sigma"), twoAssets=TRUE)

# 接点ポートフォリオを取得
## 余談：get*** なるコマンドで色々な指標が取れる
p.tan <- tangencyPortfolio(data)
getWeights(p.tan)

資産の組み合わせ次第では、比率ゼロも出てくる

SUMCO(3436)

旭硝子: 32.9%
日本板硝子日本板硝子: 67.1%
)
(5202?
)
旭硝子(5201?


で、日経225銘柄を全部投入。接点ポートフォリオの
結果は以下のとおり
銘柄組入割合
1812 鹿島 14.5%
4502 武田薬品 40.4%
4503 アステラス 7.3%
4523 エーザイ 27.4%
5233 太平洋セメント 0.5%
6366 千代田化工建設 4.2%
7751 キャノン 1.8%
8304 あおぞら銀行 3.9%

（あまり役立たない）効率的フロンティアのお絵かき


ポートフォリオのお値段は、単位株数でしか取引でき
ないため、約3.4億かかる。個人では無理
銘柄 10/14 単位 (A)*(B) 構成
終値(A) 株数(B) 割合
1812 鹿島 259 1,000 259,000 14.5% 鹿島を145,
4502 武田薬品 3,585 100 358,500 40.4% 武田を404,
…として
4503 アステラス 2,865 100 286,500 7.3%
計算
4523 エーザイ 3,085 100 308,500 27.4%
5233 太平洋セメント 152 1,000 152,000 0.5%
6366 千代田化工建設 870 1,000 870,000 4.2%
7751 キャノン 3,445 100 344,500 1.8%
8304 あおぞら銀行 190 1,000 190,000 3.9%

2.4. CAPM (Capital Asset Pricing Model)
そういえば、こんなお話がある
【CAPM第一定理】安全資産があると、市場の均衡状態では
マーケット?ポートフォリオ(後述)は接点ポートフォリオと一致。
よって、マーケット?ポートフォリオは効率的ポートフォリオ

リ
タマーケット?ポートフォリオ
ー
ン＝接点ポートフォリオ

ポートフォリオ
国債

2011/10/22
リスク
Rで学ぶ現代ポートフォリオ理論入門 40

2.4. CAPM
【マーケット?ポートフォリオ】市場に供給されるすべての証券
のバスケット → 日経平均？
ならば、日経平均 vs お手製ポートフォリオを比較しよう
## 日経平均取得
library("RFinanceYJ")
N225 <- quoteStockTsData('998407.O',since='2011-01-04', date.end='2011-10-14')

## 作成ポートフォリオの系列作成
data <- as.timeSeries(cbind(
0.1450 * Nikkei225_adj.ts$T.1812 + 0.4040 * Nikkei225_adj.ts$T.4502
+ 0.0734 * Nikkei225_adj.ts$T.4503 + 0.2742 * Nikkei225_adj.ts$T.4523
+ 0.0053 * Nikkei225_adj.ts$T.5233 + 0.0417 * Nikkei225_adj.ts$T.6366
+ 0.0177 * Nikkei225_adj.ts$T.7751 + 0.0388 * Nikkei225_adj.ts$T.8304) )

## 日経平均と、作成ポートフォリオの結合作業
N225 <- cbind( Date=as.POSIXct(N225[,1]) , data.frame(N225[,5]/N225[1,5] - JGB1YR[,2]/100) ,
data.frame(data) )
N225.ts <- as.timeSeries(N225); colnames(N225.ts) <- c("Nikkei225","Create")

2.4. CAPM
CAPMの御託とは違うが、日経平均には勝っている


2.4. CAPM
最適ポート探索は10/14までのデータを使用。この構
成比で、10/20終値に当ててみる
項目日経平均お手製
勝
リターン（平均値） -7.29% 0.17%
インか利
リスク（標準偏差） 6.31% 1.22% な、
サンプルで
【参考】相関係数 0.335

…
アウトリターン（平均値） -7.51% 0.29% ？い
い
サンプルリスク（標準偏差） 6.38% 1.21% の
留意事項
? 東日本大震災のショック有、CAPMの前提が成立？
? 所要3.4億円等々

3.1. まとめ
? 相関係数が小さい程、リスク削減効果が大きくなる
? 【トービンの分離定理】安全資産があると、効率的
ポートフォリオは、安全資産と接点ポートフォリオの
組合せで実現可能
? RFinanceYJを使用し東証の株価を取得し、
fPortfolioを使って効率的ポートフォリオを作成
? 【CAPM第一定理】マーケット?ポートフォリオは効率
的ポートフォリオ → を確認しようとした
※ CAPM第一定理があるので、当然？CAPM第二定理
（βの話）もあるが、今回は準備時間切れで放置

3.2. 参考資料
【ファイナンス理論】
? 「一人で学べるファイナンス理論」佐野三郎
http://selflearn.web.infoseek.co.jp/
? 2011年証券アナリスト1次レベルテキスト第3回
「現代ポートフォリオ理論」、小林孝雄、本多俊毅

【R初心者が使った資料】
? R-Tips,舟尾暢男
http://cse.naro.affrc.go.jp/takezawa/r-tips/r.html
? 以下Blogから引用コピペ
里さん(@ yokkuns) http://d.hatena.ne.jp/yokkuns/
てなもなぎさん(@teramonagi)
http://d.hatena.ne.jp/teramonagi/

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