1. 1.- Calcula o ángulo formado por r e s sendo:
x 1 y 1 z 2
x 2 y 3 z 4 s:
r:
1 1 5 2 1 1
Os vectores de dirección das rectas son
u (1, 1,5 ) v ( 2 ,1, 1)
| 1 .2 ( 1). 1 5 .( 1) | |2 1 5| 4
cos
2 2 2 2 2 2
1 ( 1) 5 . 2 1 ( 1) 27 6 9 2
= 71,68º
2. 2.-Determina as ecuacións vectorial,
paramétricas e xeral do plano determinado
polos puntos A(1,0,0), B(2,-1,2) e C(5,-1,1).
punto A(1,0,0)
AB (1, 1, 2 ) AC ( 4 , 1,1)
Ecuación vectorial: ( x , y, z ) (1,0 ,0 ) (1, 1, 2 ) ( 4 , 1,1)
x 1 4
: y
Ecuacións paramétricas:
z 2
x 1 y z
Ecuación xeral: 1 1 2 0
4 1 1
Desarrollando o determinante :x 7y 3z 1 0
3. 3.- Dados os vectores, calcula a área do
paralelogramo que determinan
u = ( 3 , 2 ,5 ) e v = ( 4 ,1 , 6 )
área do paralelogramo que determinan é o módulo do producto vectorial:
2 5 5 3 3 2
u v , , ( 7, 2, - 5)
1 6 6 4 4 1
2 2 2
|| u v || 7 2 ( 5) 78
2
Área = 78 u
4. 4.- Dados os puntos A(1,1,1), B(4,3,6) e
C(5,2,7), acha a área do triángulo que
determinan.
1
Área || AB AC ||
2
u = AB e v = AC u ( 3, 2 ,5 ) v ( 4 ,1, 6 )
2 5 5 3 3 2
u v , , ( 7, 2, - 5)
1 6 6 4 4 1
2 2 2
|| u v || 7 2 ( 5) 78
1 78 2
Área || u v || u
2 2
5. 5.- Calcula un vector unitario que teña a mesma
dirección que u (1,1, 2 )
Módulo de u: || u || 1
2
1
2
( 2)
2
6
Por tanto, 1 1 1 2
(1,1, 2 ) , ,
6 6 6 6
será unitario (módulo1) e coa mesma dirección que u.
6. 6.-Estudia se os puntos A(1, 2, -1), B(1,3,0),
C(0, 0, 1) y D(0, 2, 4) son coplanarios.
ecuación do plano determinado polos tres primeiros puntos:
A (1, 2 , 1), AB ( 0 ,1,1), AC ( 1, 2 , 2 )
x 1 y 2 z 1
0 1 1 0 4x y z 1 0
1 2 2
sustituimos o punto D(0, 2, 4) na ecuación do plano.
Se se verifica a ecuación, os puntos son coplanarios. En caso contrario non :
4 .0 2 4 1 0,
Os puntos non están no mesmo plano, non son coplanarios
7. x y z 3 0 y 3 z
7.- Consideremos as rectas de ecuacións r:
2x z 1 0 s: x 1
n 2
Acha n para que r e s sexan paralelas.
Co valor de n obtido, determina a ecuación do plano que contén ambas rectas.
x
x y z 3 0
r: r: y 2 As rectas son paralelas se os seus vectores directores son proporcionales,
2x z 1 0
z 1 2
un vector de r é u (1,1, 2 ) un vector de s é v (1, n , 2 ) n 1
O plano que contén ás dúas rectas, queda
determinado polo punto P e os vectores u e PQ ( 1,5 , 1)
r
x y 2 z 1 u = (1,1,2)
1 1 2 0 P (0,-2,1)
s
1 5 1
Q (-1,3,0)
11 x y 6z 8 0
