�ݺ�ߣ

Loading
Loading Complete
Power Point is starting up...
Program Linear
Nama Kelompok
Mira Sandrana
Kiki Andani
fitri
Asrul
Steven Febranzio
Muti’ah Solehah Azhar
XII IPA 1

PROGRAM
LINEAR
STANDAR KOMPETENSI
MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR.

KOMPETENSI DASAR
MENYELASIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH PROGRAM
LINIER
MENEYELESAIKA MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH
PROGRAM LINIER DAN PENAFSIRANNYA

Pengertian program
linear
Program linear adalah suatu cara
atau metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah
optimasi.
Aplikasi Program Linear dalam Kehidupan
sehari hari :
1. Memaksimalkan keuntungan sebuah
perusahaan
2. Meminimumkan pengeluaran suatu
perusahaan

Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebuah kalimat terbuka yang
mengandung dua variabel dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan, yaitu
>, > , <, dan <
Terdapat 4 (empat) bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, sebagai berikut :
Himpunan penyelesaian (HP) merupakan himpunan titik-titik atau
daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear

• Diberikan pertidaksamaan :
x + y ≤ 60
4x + y ≤ 90
• Himpunan penyelesaiaannya dapat dicari dengan langkah – langkah sebagai
berikut:
– Gambar garis x + y = 60 pada bidang cartesius dengan cara menghubungkan
titik potong garis dengan sumbu X dan Sumbu Y
• x = 0 maka y = 60
• y = 0 maka x = 60
– Selanjutnya selidiki daerah yang merupakan himpunan penyelesaian x + y ≤ 60
– Ambil titik selidik O(0,0), kemudian substitusi titik (0,0) ke pertidaksamaan
x + y ≤ 60 diperoleh 0 + 0 ≤ 60
0 ≤ 60
– Ketidaksamaan benar berarti titik O(0,0) terletak pada daerah himpunan
penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 60
Y
X
60
60
x + y = 60
O

– Jadi, daerah himpunan penyelesaian ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada
gambar
– Lakukan hal yang sama untuk pertidaksamaan 4x + y ≤ 90
x = 0 maka y = 90
y = 0 maka x = 22,5
– Ambil titik selidik (0,0), substitusi titik (0,0) ke pertidaksamaan 4x + y ≤ 90
diperoleh
4.(0) + 0 ≤ 90
0 ≤ 90
– Karena ketiksamaan bernilai benar berarti titik selidik (0,0) terletak pada
daerah himpunan penyelesaian
Y
O
X
60
60
O
Y
X
90
22,5

– Jadi, daerah himpunan penyelesaian ditunjukan oleh daerah yang diarsir pada
gambar
– Langkah selanjutnya adalah menggambarkan daerah himpunan penyelesaian
pertidaksamaan x + y ≤ 60 dan 4x + y ≤ 90 dalam satu bidang cartesius, dan
daerah yang terarsir dua kali adalah himpunan penyelesaiannya.
O
Y
X
90
22,5
Y
O
X
60
60
90
22,5

B. FUNGSI TUJUAN (FUNGSI OBJEKTIF)
BESERTA KENDALA
• Model Matematika
Model matematika adalah hasil terjemahan permasalahan
kedalam bahasa / lambang matematika.
• Fungsi Tujuan (Fungsi Objektif)
Fungsi tujan adalah fungsi dari suatu keadaan yang hendak
dicapai secara maksimum atau minimum
• Kendala
Kendala adalah pertidaksamaan – pertidaksamaan linier yang
memenuhi semua syarat yang diberikan

• Farah akan membuat roti bolu dan roti
tawar. Roti bolu membutuhkan 100 gram
terigu dan 25 gram mentega. Roti jenis
tawar membutuhkan 50 gram terigu dan 50
gram mentega. Farah mempunyai persedian
bahan 2,5 Kg terigu 1Kg mentega. Farah
akan membuat roti sebanyak – banyaknya.
Tentukan model matematika dari masalah
tersebut!
• Tentukan model matematika dari masalah
tersebut!

• Langkah – langkah
– Buat kebutuhan bahan untuk setiap jenis roti ke dalam bentuk tabel
– Misalkan
banyaknya roti bolu yang akan dibuat = x
banyaknya roti tawar yang akan dibuat = y
– Maka tabel akan menjadi
Jenis Roti Terigu (gram) Mentega (gram)
Bolu 100 25
Tawar 50 50
Persediaan 2.500 1000
Jenis Roti Banyaknya Bahan yang dibutuhkan
Terigu Mentega
Bolu x 100 x 25 x
Tawar y 50 y 50 y
Jumlah x+ y 100 x + 50 y 25 x + 50 y
persediaan 2500 1000

Karena x dan y mewakili banyaknya roti yang dibuat, maka nilainya
harus bulat dan tidak negatif
Jadi, x > 0 (i)
y > 0 (ii)
Persediaan terigu 2.500 gram, oleh karena itu penggunaan terigu tidak
boleh lebih dari 2.500 gram.
Jadi, 100 x + 50 y ≤ 2.500 atau 2x + y ≤ 50 (iii)
Persediaan mentega 1000 gram, maka jumlah mentega yang digunakan
memenuhi pertidaksamaan
25 x + 50 y ≤ 1000 atau x + 2 y ≤ 40 (iv)
Farah ingin membuat roti bolu dan tawar sebanyak – banyaknya, dapat
ditulis sebagai sebuah fungsi yaitu :
f(x,y) = x+ y
Kedua jenis roti akan dibuat sebanyak – banyaknya, maka
pertidaksamaan (i), (ii), (iii) dan (iv) membentuk sistem
pertidaksamaan yang harus dipenuhi untuk memaksimumkan f(x,y) = x +
y

Sehingga model matematika untuk
masalah farah adalah:
Memaksimumkan (fungsi tujuan / fungsi
objektif)
f(x,y) = x + y
Dengan syarat (kendala)
x ≥ 0
y ≥ 0
2 x + y ≤ 50
x + 2 y ≤ 40

C. NILAI OPTIMUM DARI MASALAH
PROGRAM LINIER
• Penyelesaian Optimum
Penyelesaian optimum / masalah optimum adalah sebuah penyelesaian
yang memberikan hasil terbaik dari berbagai kemungkinan penyelesaian
• Tujuan dari masalah program linier adalah mengoptimumkan fungsi
tujuan
f(x,y) = ax +by.
• Pada subbab ini hanya akan dijelaskan mengunakan metode grafik. Dalam
metode grafik ada dua macam metode, yaitu:
1. Metode uji titik pojok
2. Metode garis selidik

1. Metode uji titik pojok
• Dalam metode ini, untuk menentukan nilai optimum dengan
menghitung ax + by pada tiap titik pojok atau tiap tititk yang dekat
dengan titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian
Contoh
– Model matematika masalah Farah dalam membuat roti
• Memaksimumkan f(x,y) = x + y
• Dengan syarat / kendala :
x ≥ 0
y ≥ 0
2x + y ≤ 50
x + 2y ≤ 40
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif tersebut!

– Gambar grafik daerah penyelesaian dari kendala – kendala
yang diberikan dala bidang koordinat. dan namai titik –titik
pojoknya dengan huruf alfabet
– Tentukan koordinat – koordinat titik pojok yang merupakan
daerah penyelesaiannya
O (0,0)
A (25,0)
C (0,20)
50
20
25 40O
A
B
C
X
Y

– Titik B dapat dicari dengan menggunakan metode gabungan eliminasi
dan substitusi. Karena titik B merupakan titik perpotongan antara
garis 2x + y =50 dan garis x + 2y =40
 Eliminasi variabel x
2x + y = 50 x1 2x +2y = 50
x + 2y = 40 x2 2x +4y = 80
-3y = -30
y = 10
 Substitusi nilai y = 10 ke persamaan
2x + y = 50 maka 2x + 10 = 50
2x = 40
x = 20
 Jadi koordianat titik B (20,10)

Langkah – langkah
Langkah selanjutnya adalah menentukan
nilai fungsi objektif pada masing –
masing titik pojoknya
f(x,y) = x + y
O(0,0) maka f(x,y) = 0 + 0 = 0
A(25,0) maka f(x,y) = 25 + 0 = 25
B(20,10) maka f(x,y) = 20 + 10 =
30
C(0,20) maka f(x,y) = 0 + 20 = 20
Dari nilai fungsi objektif tersebut
diperoleh
Nilai maksimum = 30 dicapai pada titik
(20,10)
Nilai minimum = 0 dicapai pada titik
(0,0)
Nilai optimum pada permasalahan farah
adalah nilai maksimum, karena Farah
ingin membuat roti tawar dan bolu
sebanyak – banyaknya. Jadi, Farah
dapat membuat roti tawar sebanyak 20
buah dan bolu sebanyak 10 buah

2. Metode Garis Selidik
• Metode garis selidik lebih praktis dari metode uji titik
pojok. Karena dalam metode uji titik pojok memerlukan
ketelitian dan waktu yang agak lama untuk menghitung nilai
fungsi objektif di masing – masing titik pojoknya
• Diberikan persamaan garis x + 2y = k
• Garis tersebut memotong sumbu X di (k,0) dan memotong
sumbu Y di (0,k/2). Grafik garis x + 2y = k dilukis dengan
menghubungkan titik (k,0) dan (0,k/2).

Dari gambar terlihat, jika nilai k makin besar maka garis x + 2y = k makin
menjauhi titik pangkal. Ini berarti himpunan garis- garis yang sejajar
dengan persamaan x + 2y = k dapat dipakai untuk menyelediki nilai optimum
(maksimum atau minimum) dari bentuk objektif f(x,y) = x + 2y . Sehingga
garis dengan persamaan dinamakan garis selidik.
Jadi, nilai optimum (maksimum atau minimum) bentuk objektif ax+by dapat
diselidiki menggunakan garis selidik ax +by =k
• Gambar berikut merupakan grafik
garis x + 2y = k untuk nlai – nilai k
= 0, k = 2, k = 4, dan k = 6
y
x
3
2
1
0 2 4 6

• Model matematika masalah Farah dalam
membuat roti
• Memaksimumkan f(x,y) = x + y
• Dengan syarat / kendala :
• x ≥ 0
• y ≥ 0
• 2x + y ≤ 50
• x + 2y ≤ 40
• Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif
tersebut!
CONTOH

– Gambarkan grafik daerah penyelesaiannya dari kendala –
kendala yang diberikan dalam bidang koordinat.
– Tentukan persamaan garis selidik ax + by = k ,untuk suatu
k tertentu.
Dari persamaan Farah diperoleh fungsi objektif f(x,y) = x
+y
Persamaan garis selidik x + y = k
Ambil k = 1, diperoleh x + y = 1
50
20
25 40O
A X
Y

x > 0
x+y < 2
x+3y < 3
X
x+y = 2
01Y
30X
x+3y = 3
y > 0
Gambarkan daerah
himpunan
penyelesaian dari
x + y ≤ 2
X+3y ≤ 3
x ≥0
y ≥0
Jawab
x > 0
x+y < 2
x+3y < 3
1
2
1 2 30
3
X
x+y = 2
01Y
30X
x+3y = 3
Himpunan
penyelesaian
y > 0
Gambarkan daerah
himpunan
penyelesaian dari
x + y ≤ 2
X+3y ≤ 3
x ≥0
y ≥0
Jawab
CONTOH SOAL:

1
2
1 2 30
3
Tentukan sistem
pertidaksamaan dari
grafik berikut
Persamaan garis melalui
(0,1) dan (3,0)
y-y1
y2-y1
=
x-x1
x2-x1
y-1
0-1
=
x-0
3-0
3y-3 = -1x
x+3y = 3
y-2
0-2
=
x-0
1-0
y-2 = -2x
2x+y = 2
Persamaan garis melalui (0,2)
dan (1,0)
Sistem Pertidakksamaan
liniernya adalah:
x + 3y ≤ 3
2x+y ≤ 2
x ≥ 0
y ≥ 0

CONTOH SOAL
Jawab Misalkan nilai olahraga = x, nilai kesehatan = y,
maka: x ≥ 7 ; y ≥6; x + y ≥15
x ≥7
y ≥6
x+y ≥15
Daerah
Himpunan
penyelesaian
015Y
150X
10
15
5
0
5 10 15
Daerah
Himpunan
penyelesaian

Jawab Misalkan banyaknya es teler yang akan dibuat
adalah x, dan es buah adalah y, maka:Berjualan Es
Itung-itung untuk menambah
penghasilan saat liburan panjang
ini, Amri mencoba berjualan es di
depan rumahnya. “Lumayan
untungnya untuk membayar SPP
bulan depan”, pikirnya. Dalam
usahanya ia hanya menyediakan
dua jenis es yaitu es teler dan es
buah. Karena baru pertama ia
hanya mau mencoba maksimal
120 mangkok. Rencananya, es
teler yang ia buat setiap harinya
paling sedikit 20 mangkok dan
paling banyak 100 mangkok.
Buatlah model matematika dan
daerah penyelesaian untuk
menentukan banyaknya masing-
masing es yang boleh dibuat!
20 <x < 100
x + y < 120
y > 0
0
50 100 150
20 ≤x
x ≤100
x+y≤120
0120Y
1200X
y ≥ 0
Daerah
himpunan
penyelesaian
100
50

�ݺ�ߣ

Progrm linear

More Related Content

Progrm linear