Proporcionalitat
- 3. Ra坦 i proporcionalitat Sanomena ra坦 de nombres a i b (b0) , el quocient daquests dos nombres Exemple: Per cada 100 grams de farina hi van ous En efectuar el quocient de les raons anteriors, obtenim sempre el mateix resultat = 25 La igualtat anterior sanomena proporci坦 Es llegeix 100 辿s a 4 com 200 辿s a 8 b a
- 4. Proporci坦 num竪rica 121443揃48 48 3 _2__:3_ 5.2 10 25 5揃510 10 5 5 :2_ 21 4 12揃7 12揃74 12 7 4 :1_ 揃揃 2 緒緒緒 緒緒緒 緒緒緒 緒 xxx x termesconeixemnoExemple xx x Exemple xx x Exemple cbda d c b a Una proporci坦 num竪rica 辿s una igualtat entre dues raons num竪riques
- 8. Proporcionalitat directa Dues magnituds s坦n directament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una delles per un nombre laltra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre
- 9. Proporcionalitat directa La Sandra fa feina per hores donant classes particulars Per cada hora que treballa li paguen 20 . Quant li pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h? Com que les magnituds (temps-diners) s坦n directament proporcionals, es compleix que: El nombre 20 sanomena constant o ra坦 de proporcionalitat
- 10. Representaci坦 grfica Podem representar grficament els valors. Eix de les abscisses (x) temps Eix ordenades (y) metres Temps (s) Metres (m) 2 10 4 20 6 30 8 40 10 50 En representar en un sistema de coordenades els valors dues magnituds directament proporcionals, sempre obtenim una recta que passa per lorigen de coordenades (0,0)
- 11. Regla de tres directa Quan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el quart nombre, sabent que s坦n proporcionals utilitzarem la REGLA DE TRES DIRECTA Exemple: Si 4 entrades del cine ens han costat 8, quant ens costaran 10 entrades?
- 12. Regla de tres directa He comprat 30 llapis per 7,50. Quant em costaran si en compro 46?
- 13. Reducci坦 a la unitat
- 14. Magnituds inversament proporcionals Dues magnituds s坦n inversament proporcionals, si en multiplicar un valor duna de les magnituds per una constant, el valor de laltra queda dividit per la mateixa constant Exemple: Les magnituds velocitat temps s坦n magnituds inversament proporcionals. Quan multipliquem (o en dividim) una per un nombre, laltra queda multiplicada (o dividida ) pel mateix nombre.
- 15. Proporcionalitat inversa Dues magnituds s坦n inversament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una delles per un nombre laltra queda dividida (o multiplicada) pel mateix nombre
- 16. Regla de tres inversa (inversament proporcional) Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un premi de 1400, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros shaguessin repartit?
- 17. Exemples de magnituds inversament proporcionals 10 nufrags tenen menjar per 30 dies. Si nom辿s hi ha un nufrag, per quants dies tindr menjar? 10揃30=1揃 x x=300 dies Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una distncia. Quant trigaria si an辿s a 20km/h? 60揃5=20揃x x= 15 hores Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en 6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies trigarem? 3揃6=2揃x x=9 dies
- 18. Reducci坦 a la unitat
- 19. Problemes 1. 1.Un cotxe circulant a 90 km/h ha tardat 12 hores en realitzar un viatge. Quant temps tardar en el mateix trajecte a una velocitat de 80 km/h? Soluci坦: 13,5h 2. 6 fotocopiadores tarden 6 hores en realitzar un gran nombre de c嘆pies, quant temps tardarien 4 fotocopia- dores en realitzar el mateix treball? Soluci坦: 9h 3. En repartir una quantitat deuros entre 7 persones cada una rep 12 euros. Quant rebrien si el repartiment es fes entre 6 persones? Soluci坦: 14
- 20. Proporcionalitat composta Una activitat de proporcionalitat composta relaciona m辿s de dues magnituds que poden ser directament o inversament proporcionals. Para resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de manera ordenada amb el procediment de reducci坦 a la unitat. 1r - es deixa fixa la 2捉 magnitud, i es relaciona la 1捉 amb la 3捉 2n - es deixa fixa la 1捉 magnitud, i es relaciona la 2捉 amb la 3捉
- 21. Problemes Cinc aixetes omplen un dip嘆sit de 10 m3 en 5 hores. Quant trigaran en omplir un dip嘆sit de 8 m3 dues aixetes iguals a les anteriors? Amb 12 quilos de pinso 9 conills mengen durant 12 dies. Quants dies trigaran 4 conills en menjar 8 quilos de pinso? Per construir 4 cases iguals en 30 dies fan falta 60 paletes. Quants paletes es necessitaran per construir 6 cases en 90 dies? Per imprimir uns fullets, 9 impressores han funcionat 8 hores diries durant 40 dies. Quants dies tardaran en imprimir el mateix treball 6 impressores funcionant 10 hores diries?
- 22. Repartiment directament proporcionals Es vol repartir una quantitat de forma directament proporcional Si el valor inicial 辿s m辿s gran, li correspondr una quantitat m辿s gran Procediment: 1.Sumar els valors inicials de cada una de les parts 2.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda 3.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts
- 23. Exemple de repartiment directament proporcional Exemple: Tenim 3 amics que han comprat respectivament: 2DVDs, 3DVDs i 5DVDs. Han pagat la factura de 120. Quant ha de pagar cadasc炭 1.2+3+5=10 2.120/10=12 3.1. AMIC 1: 12x2=24 3.2. AMIC2: 12x3=36 3.3. AMIC3: 12x5=60 Lamic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24, el que ha comprat 3DVDs 36 i el que ha comprat 5DVDs ha de pagar 60
- 25. Exercicis de repartiment directament proporcional Cinc concursants participen en una competici坦 en la que han de trobar objectes en el fons duna piscina. Per ordre dactuaci坦 aconsegueixen respectivament 8, 12, 13, 7 i 10 objectes. El premi de la prova consisteix en 150 punts repartits deforma proporcional als objectes que trobin. Quants punts corresponen a cada participant? Tres socis van posar en marxa un negoci aportant, 5000 euros el primer, 25000 euros el segon i 20000 euros el tercer. El primer any sobtenen 60000 euros de benefici, com sels han de repartir?
- 26. Repartiment inversament proporcionals Es vol repartir una quantitat de forma inversament proporcional Si el valor inicial 辿s m辿s gran, li correspondr una quantitat menor en el repartiment. 1.Es calcula els inversos dels valors inicials 2.Sumar els inversos dels valors inicials 3.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda 4.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts
- 27. Exemple de repartiment inversament proporcional
- 29. 22.Tres amics es reparteixen una pizza de forma inversament proporcional als seus pesos que s坦n respectivament 60, 72 i 90 quilograms. Quina part de pizza sha de menjar cadasc炭? 23. Un professor lliura una relaci坦 de 86 exercicis a quatre alumnes per repartir-sels amb la condici坦 que cada u en resolgui una quantitat inversament proporcional a les qualificacions obtingudes en un examen. Les qualificacions han estat 2, 4, 5 i 8. Quants exercicis ha de resoldre cadasc炭?
- 31. Percentatges Un percentatge o tant per cent (%) 辿s una proporci坦 expressada com una quantitat de cada 100 unitats El 15% dels tirs llan巽ats han entrat. Significa que 15 tirs de cada 100 han entrat. I el 15% de 600?
- 33. Diferents clculs Exemple 1: Exemple 2:
- 34. Augments percentuals Un augment 辿s una quantitat que s'afegeix a un valor determinat Hi ha dos m竪todes per fer clculs daugment percentual 1.Pas a pas 2.Directament. Calcular l鱈ndex de variaci坦 (I.V.) Exemple: El preu duna bicicleta era de 240 euros. A aquest preu se li ha dafegir el 16% d IVA. Quin 辿s el preu final?
- 36. Disminucions percentuals Una disminuci坦 辿s una quantitat que restem a un valor determinat Hi ha dos m竪todes per fer clculs de disminuci坦 percentual 1.Pas a pas 2.Directament. Calcular l鱈ndex de variaci坦 (I.V.) Exemple: El preu dun ordinador era de 1200 euros, per嘆 mhan fet un 15% de descompte. Quin 辿s el preu final?
- 37. Calculeu qu竪 hem de pagar: 95,12 95,04 93,67
- 38. Exemple 1 de percentatges
- 39. Exemple 2 de percentatges
- 40. Exemple 3 de percentatges
- 41. Inter竪s simple Quan ingressem una quantitat a un banc, al cap dun temps ens tornen la quantitat ingressada incrementada en un inter竪s abonat pel banc. Els interessos produ誰ts s坦n directament proporcionals al capital ingressat i al temps. I= c 揃 i 揃 n Conceptes: Capital inicial (c): s la quantitat inicial que singressa o es presta. Inter竪s (I). S坦n els interessos produ誰ts. Inter竪s unitari (i): s linter竪s que proporciona el banc Anys (n): Anys que ha durat loperaci坦 bancria
- 42. Exemple 1 - inter竪s simple Una entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dip嘆sit dun capital. Si disposem de 13500, quin inter竪s ens produir al cap de 3 anys? Pas a pas: Calculem linter竪s en una any: 4,5% de 13500 = 0,045 揃 13500 = 607,5 En tres anys: 607,7 揃 3 = 1822,5 F坦rmula: I = c 揃 i 揃n I = 13500 揃 0.045 揃 3 =1822,5
- 44. Exemple 3 - inter竪s simple Ens queden per pagar 1500 dun pr辿stec que ven巽 al cap de 90 dies. Si el tipus dinter竪s 辿s del 10% anual, quant ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem de pagar? 90 dies= 90:365= 0,247 anys Calculem els interessos que haur鱈em de pagar per 90 dies (0,247 anys) I= c 揃 i 揃n I = 1500 揃 0,1 揃 0,247 = 37 La quantitat que haur鱈em de pagar= 1500 37 = 1463