ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Puteri si radicali

•
•
Arama Violeta
Arama Violeta
1 of 2
Download to read offline
www.mtematicon.ro www.mtematicon.ro Puteri si radicali. 1. Prin puterea n a unui numar real a intelegem numarul a n = a·a· ... ·a (nN) a se numeste baza, iar nN se numeste exponent. Daca a  0 avem a 0 = 1, a n  = n a 1 . 2. Prin radacina de ordin n sau radical de ordin n, nN, n 2 a unui numar a > 0 intelegem un numar real, pe care il notam cu n a = a n 1 si care are proprietatea ( n a ) n = a. Proprietati - puteri: Fie n, mN, a, bR* a) a n a m = a m n , b) (a n ) m = anm , c) m n a a = a m n , d) (ab) n = a n ·bn , e) n b a       = n n b a . Proprietati - radicali: Fie a, b >0, n, mN, n, m 2, a) n ab =n a · n b , b) n b a = n n b a , c) n m n a  = a m , d) ( n a ) m = n m a , e) n m a = nk mk a , f) n m a = nm a . 3. Daca a<0, n 3, nN impar, se numeste radical de ordinul n al lui a, numarul negativ notat n a care are proprietatea ca (n a ) n = a. Obs.: Proprietatile date in cazul radicalilor din numere pozitive sunt valabile si pentru radicalii de ordin impar din numere negative. 4. B A  si B A  se numesc radicali dubli. In anumite conditii acestia se descompun in suma sau diferenta de radicali simpli. Daca A 2 - B= C2 (este un patrat perfect) atunci: B A  = 2 C A  + 2 C A  si B A  = 2 C A  - 2 C A  5. O expresie care contine radicali se numeste conjugata unei alte expresii care contine radicali, daca produsul celor doua expresii se poate scrie fara radicali. Cele doua expresii se numesc conjugate. n
www.mtematicon.ro www.mtematicon.ro Exemple: a) a > 0, bR atunci a +b si a - b sunt conjugate deoarece ( a +b)( a - b) = a - b 2 , b) a, b >0 atunci a + b si a - b sunt conjugate deoarece ( a + b )( a - b ) = a – b. 6. Puteri cu exponent rational: a) Puteri cu exponent rational pozitiv: definim a n m =n m a , a 0 si Q n m  , 0 n m  , n 2, b) Puteri cu exponent rational negativ: definim a n m  = n m a 1 = n m a 1 , a > 0 si Q n m  , 0 n m  , n 2 Proprietati ale puterilor cu exponent rational Daca a > 0, b > 0 si Q q p , n m  avem: a) a n m ·a q p = a q p n m  , b) (ab) n m =a n m ·b n m , c) n m n m n m b a b a        , d) q p n m a         = a q p n m  , e) q p n m q p n m a a a   . Alte proprietati a) Daca 0 < a < 1 si n 2, nN atunci 0 < n a < 1  0 < a n 1 < 1. b) Daca a > 1 si n 2, nN atunci 1 < n a  1 < a n 1 . Pornind de la aceste proprietati putem stabili urmatoarele: a) Daca 0 < a < 1 si xQ, x > 0 atunci 0 < a x < 1. b) Daca a > 1 si xQ, x > 0 atunci a x > 1. c) Daca 0 < a < 1 si xQ, x < 0 atunci a x > 1 . d) Daca a > 1 si xQ, x < 0 atunci 0 < a x < 1. e) (x)Q avem 1 x =1.

More Related Content

Puteri si radicali

  • 1. www.mtematicon.ro www.mtematicon.ro Puteri si radicali. 1. Prin puterea n a unui numar real a intelegem numarul a n = a·a· ... ·a (nN) a se numeste baza, iar nN se numeste exponent. Daca a  0 avem a 0 = 1, a n  = n a 1 . 2. Prin radacina de ordin n sau radical de ordin n, nN, n 2 a unui numar a > 0 intelegem un numar real, pe care il notam cu n a = a n 1 si care are proprietatea ( n a ) n = a. Proprietati - puteri: Fie n, mN, a, bR* a) a n a m = a m n , b) (a n ) m = anm , c) m n a a = a m n , d) (ab) n = a n ·bn , e) n b a       = n n b a . Proprietati - radicali: Fie a, b >0, n, mN, n, m 2, a) n ab =n a · n b , b) n b a = n n b a , c) n m n a  = a m , d) ( n a ) m = n m a , e) n m a = nk mk a , f) n m a = nm a . 3. Daca a<0, n 3, nN impar, se numeste radical de ordinul n al lui a, numarul negativ notat n a care are proprietatea ca (n a ) n = a. Obs.: Proprietatile date in cazul radicalilor din numere pozitive sunt valabile si pentru radicalii de ordin impar din numere negative. 4. B A  si B A  se numesc radicali dubli. In anumite conditii acestia se descompun in suma sau diferenta de radicali simpli. Daca A 2 - B= C2 (este un patrat perfect) atunci: B A  = 2 C A  + 2 C A  si B A  = 2 C A  - 2 C A  5. O expresie care contine radicali se numeste conjugata unei alte expresii care contine radicali, daca produsul celor doua expresii se poate scrie fara radicali. Cele doua expresii se numesc conjugate. n
  • 2. www.mtematicon.ro www.mtematicon.ro Exemple: a) a > 0, bR atunci a +b si a - b sunt conjugate deoarece ( a +b)( a - b) = a - b 2 , b) a, b >0 atunci a + b si a - b sunt conjugate deoarece ( a + b )( a - b ) = a – b. 6. Puteri cu exponent rational: a) Puteri cu exponent rational pozitiv: definim a n m =n m a , a 0 si Q n m  , 0 n m  , n 2, b) Puteri cu exponent rational negativ: definim a n m  = n m a 1 = n m a 1 , a > 0 si Q n m  , 0 n m  , n 2 Proprietati ale puterilor cu exponent rational Daca a > 0, b > 0 si Q q p , n m  avem: a) a n m ·a q p = a q p n m  , b) (ab) n m =a n m ·b n m , c) n m n m n m b a b a        , d) q p n m a         = a q p n m  , e) q p n m q p n m a a a   . Alte proprietati a) Daca 0 < a < 1 si n 2, nN atunci 0 < n a < 1  0 < a n 1 < 1. b) Daca a > 1 si n 2, nN atunci 1 < n a  1 < a n 1 . Pornind de la aceste proprietati putem stabili urmatoarele: a) Daca 0 < a < 1 si xQ, x > 0 atunci 0 < a x < 1. b) Daca a > 1 si xQ, x > 0 atunci a x > 1. c) Daca 0 < a < 1 si xQ, x < 0 atunci a x > 1 . d) Daca a > 1 si xQ, x < 0 atunci 0 < a x < 1. e) (x)Q avem 1 x =1.