�ݺ�ߣ

FILSAFAT SAINS
RASIO EMAS
S3 MATEMATIKA ITB
2015-2016
(Rukmono Budi Utomo(30115301))
Pengampu: Prof. Tauﬁk Hidayat
February 23, 2016
1 Barisan Fibonacci
Sejarah Penemuan Rasio Emas oleh Matematikawan asal Italia, yakni Fibonacci be-
rawal dari pengamatan atas bilangan Fibonacci itu sendiri. Fibonacci merumuskan
suatu barisan bilangan f0, f1, f2, f3, ..., fn−2, fn−1, fn dengan karakteristik bahwa untuk
f0 = 0 dan f1 = 1, maka f2 = 1 yang merupakan jumlahan atas dua suku sebelumnya
yakni f0 dan f1, atau dengan kata lain f2 = f0 + f1 . Begitu seterusnya untuk suku
selanjutnya f3 = f1 + f2 , f4 = f2 + f3 hingga fn = fn−2 + fn−1. Dengan demikian
Barisan Fibonacci untuk n = 15 secara lengkap dapat dituliskan sebagai berikut:
f0, f1, f2, f1, f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12, f13, f14
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
Pertanyaan lebih lanjut adalah apa yang membuat barisan Fibonacci ini penting untuk
disimak? apakah hanya terkait bahwa suatu suku dalam barisan Fibonacci tersebut
hanyalah jumlahan dari du suku sebelumnya? apa hanya itu?. Jawabannya tentu saja
tidak. Berbagai fenomena alam diketahui merupakan representasi dari barisan Fibonacci
contohnya adalah bunga matahari dibawah ini
(Source:www.google.com/bunga matahari)
1

Apabila kita perhatikan dengan cermat bunga matahari yang ada di pekarangan rumah
kita, biji bunga matahari dari titik tengah(center) kemudian biji matahari pada lingkaran
terluar terdekat selanjutnya, kemudian pada lingkaran luar selanjutnya dan samapi
pada bji bunga pada liingkaran terluar bunga matahari mengikuti barisan Fibonacci.
Kenudian pada bunga lili(ite calla lily) , bunga (Euorbipha) dan bunga (Trillium)bawah
ini
(https://fitriyanihali.wordpress.com/2014/01/28/fibonacci-matematika-dan-
kelopak-bunga/)
Pada gambar diatas, bunga (ite calla lily) memiliki kelopak satu yang merupakan suku
pertama f1 dan f2 pada barisan Fibonacci, begitu juga dengan bunga (Euorbipha) dan
bunga (Trillium) masing masing memiliki kelopak 2 dan 3 yang merupakan suku ke
3 (f3) dan suku ke 4 (f4) pada barisan Fibonacci. Masih banyak bunga-bunga lain
yang mengikuti barisan Fibonacci, seperti bunga (buttercup) yang memiliki kelopak 5,
bunga(delphiniums) yang memiliki kelopak 8 dan bunga(ragwort) dan bunga(aster) yang
masing-masing memiliki kelopak 13 dan 21.
2 Sejarah Rasio Emas
Rasio Emas yang menjadi bahsan dalam makalah ini dimulai dari barisan Fibonacci yang
telah di atas. Rasio Emas φ = 1.618205... atau dalam angka pembulatan karena pemo-
tongan adalah φ = 1.618 merupakan suatu nilai rasio (ratio number) konvergen yang
diperoleh apabla suku-suku diatas dua belas pada barisan fibonacci dibagi dengan satu
suku sebelumnya. Dalam barisan Fibonacci,f12 bernilai 89, f13 bernilai 144, f14 bernilai
233,dan f15 bernilai 377 . Apabila dilakukan perhitungan dengan cara membagi suatu
suku dalam deret Fibonacci dengan suku sebelumnya, maka akan diperoleh suatu bilan-
gan yang menuju ke arah (Golden Ratio) atau rasio emas (φ = 1.618). Pehitungannya
sebagai berikut.
f13
f12
= 144
89 ≈ 1.6179775
f14
f13
= 233
144 ≈ 1.6180556
f15
f14
= 377
233 ≈ 1.6180258
...
dst
2

Apabila suku-suku dalam barisan Fibonacci dilakukan perhitungan pembagian seperti
di atas, maka akan menghasilkan suatu niai rasio φ = 1.618. Rasio emas memberikan
suatu ”teka-teki” tersendiri bagi para matematikawan. Matematikawan seperti Pytago-
ras, Euclid, matematikawan Italia, Leonardo da Pisa dan ahli astronomi, Keppler telah
menghabiskan banyak waktu dan tenaga untuk meneliti dan memahami rasio emas ini,
namun hasilnya masih belum memberikan jawaban yang memuaskan. Ahli matematika
Yunani kuno seperti Pytagoras tertarik untuk melakukan kajian mengenai rasio emas
ini. Hal in dikarenakan rasio emas banyak muncul pada bagunan geometri pentagram
dan pentagon(1)
Matematikawan Euclid memberikan deﬁnisi tertulis pertama mengenai apa yang disebut
sebagai rasio emas. Menurut Euclid: Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam ra-
sio ekstrem dan rata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang adalah
sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek. Euclid menjelaskan cara memotong
sebuah garis dalam apa yang ia sebut sebagai ”rasio ekstrem dan rata-rata” yang kemu-
dian familiar dengan yaitu rasio emas (2)
.
(Gambar:http://majalah1000guru.net/2013/07/golden-ratio/)
Pada gambar di atas, dijelaskan bahwa dua buah besaran a dan b dsngan a > b dikatakan
memiliki golden ratio jika perbandingan antara dua besaran tersebut sama seperti per-
bandingan total keduanya dengan nilai maksimum di antara keduanya. Hal inilah yang
Euclid sebut sebagai rasio ekstrim dan rata-rata. Rasio emas merupakan bilangan ira-
sional dengan nilai sesungguhnya yakni 1, 61803398874989484820. . . yang digitnya terus
bertambah tanpa pola tertentu, untuk itulah rasio emas banyak ditulis sebagai φ = 1.618
(3).
Banyak contoh dalam dunia nyata yang merupakan represtasi dari rasio emas, sebagi
contohnya adalah rasio pada tangan manusia seperti pada gambar ini.
(https://jakarta45.wordpress.com/2014/01/15/iptek-golden-ratio-1618/)
Pada tangan manusia, diyakini bahawa perbandingan panjang antara ujung tangan ke
siku dengan siku kepangkal tangan menghasilkan rasio emas. Begitu juga dengan rasio
3

pembagian atas panjang pangkal telapak tangan ke siku dengan ujung telapak tangan
ke pangkal telapak tangan juga menghasilkan rasio emas. Gambar di ujung kanan juga
menjelaskan bahwa perbandingan antara panjang tangan manusia dengan panjang dari
siku ke pangkal tangan turut menghasilkan rasio emas. Masih banyak contoh dalam
fenomena dunia nyata yang menghasilkan rasio emas. Rasio emas akan terus mem-
berikan teka-teki pada manusia dan membutuhkan penelitian yang sangat panjang untuk
mengetahui makna dari rasio emas tersebut, atau malah tidak akan pernah terungkap.
Wallahu a’lam bisshowab.
Pernyataan
Saya, Rukmono Budi Utomo, 30115301 menyatakan bahwa makalah ini
adalah asli tulisan sendiri dan tanpa plagiasi kecuali pada referensi yang
ditulliskan pada makalah ini. Makalah ini dibuat sebagai Tugas individu
untuk penilaian Mata Kualiah Filsafat Sains 2 sks yang diampu Prof.
Tauﬁk Hidayat
REFERENSI
(1),(2)makalahrasioemasmatematika.blogspot.co.id
(3):http://majalah1000guru.net/2013/07/golden-ratio/
4

�ݺ�ߣ

Rasio emas

Recommended

More Related Content

Viewers also liked (20)

More from rukmono budi utomo (20)

Rasio emas