Rette per 2 e
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PIANO CARTESIANO
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Rette per 2 e
- 1. PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare .... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE). La prima coordinata 竪 chiamata ASCISSA -- La seconda coordinata 竪 chiamata ORDINATA e solitamente vengono indicate con x e y 2) Una retta ( una parabola, una curva .......) nel piano cartesiano sono un INSIEME DI PUNTI LEQUAZIONE di una retta (di una parabola, di una curva...) nel piano cartesiano rappresenta una relazione tra la x e y coordinate dei punti della retta cio竪 tutti i punti della retta hanno coordinate (x e y) i cui valori numerici soddisfano lequazione della retta, quindi se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di x e y si ottiene una uguaglianza vera. 3) Esempio La mia tariffa telefonica 竪 di 0,10 cent. al minuto pi湛 0,12 cent. di scatto alla risposta. Quanto mi costa una telefonata di 1 minuto? Spesa = 0,10 1 + 0,12= 0,22 cent. Quanto mi costa una telefonata di 2 minuti? Spesa = 0,10 2 + 0,12= 0,32 cent Quanto mi costa una telefonata di 3 minuti? Spesa = 0,10 3 + 0,12= 0,42 cent Quanto mi costa una telefonata di 4 minuti? Spesa = 0,10 4 + 0,12= 0,52 cent Quanto mi costa una telefonata di x minuti? (dove x 竪 un numero qualunque) Spesa = 0,10 x + 0,12= .......... Chiamato y il costo della telefonata e x il numero di minuti durata della telefonata, loperazione per calcolare il costo della telefonata 竪 espressa dalla formula y=0,10 x+0,12 Questa formula, che indica la relazione tra il costo e la durata della telefonata, 竪 una equazione in x e y e pu嘆 essere RAPPRESENTATA sul piano cartesiano. Individuando sul piano cartesiano tutti i punti le cui coordinate x e y sono legate dalla relazione, cio竪 tutte le coordinate che compaiono nella tabella seguente in cui, noto il valore della x posso calcolare, con la formula indicata, il valore della y numero dei minuti costo della telefonata x y=0,10x+0,12 1 0,22 2 0,32 3 0,42 4 0,52 5 0,62 6 0,72 10 1,12 15 1,62 20 2,12 4) RETTA PER LORIGINE Osserva i punti della retta nel prossimo grafico e considera le loro coordinate. Per il teorema di Talete - oppure considerando la similitudine dei triangoli in figura POA e POA - si pu嘆 dimostrare che PA P ' A' yP yP ' = cio竪 = OA OA' xP xP ' Quindi tutti i punti di questa retta hanno coordinate x e y per cui y = valore costante = numero fisso x y in questo caso = valore costante = 2 x Piano cartesiano e rette speciale 2A/D 3B 2009/2010
- 2. y 2 esempio punto P1 (1,2) = =2 x 1 y 6 punto P2 (3,6) = =2 x 3 y 10 punto P3 (5,10) = =2 x 5 Se questo rapporto costante viene indicato con la lettera m y =m si pu嘆 scrivere y = mx x Questa 竪 la condizione che soddisfano tutte le coordinate dei punti della retta cio竪 y = mx 竪 la EQUAZIONE della RETTA PASSANTE PER LORIGINE m viene chiamato coefficiente angolare della retta Se un punto appartiene alla retta allora le sue coordinate soddisfano la equazione y = mx --- se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di x e y si ottiene una uguaglianza vera. Significato geometrico del coefficiente angolare m indica la pendenza della retta, cio竪 langolo con cui la retta interseca lasse delle x se m>0 la retta 竪 crescente se m<0 la retta 竪 decrescente se m=1 la retta 竪 la bisettrice del I e III quadrante se m=-1 la retta 竪 la bisettrice del II e IV quadrante condizione di parallelismo due rette con lo stesso coefficiente angolare sono parallele condizione di perpendicolarit due rette i cui coefficienti angolari soddisfano 1 la seguente relazione m1 = ! sono m2 perpendicolari 5) RETTE OBLIQUE non PASSANTI per LORIGINE La loro equazione sar del tipo y = mx + q con m e q valori numerici Il valore di q (detto intercetta) rappresenta lordinata ( la y) del punto in cui la retta interseca lasse delle y Due rette con lo stesso coefficiente angolare m sono parallele Due rette con la stessa intercetta q si intersecano nel punto (0,q) La retta in figura 竪 la retta di equazione y=x+2 Nota: il punto in cui interseca lasse delle y 竪 (0,2) infatti vale la uguaglianza 2=0+2 il punto in cui interseca lasse delle x 竪 (-2,0) infatti vale la uguaglianza 0=1(-2)+2 Piano cartesiano e rette speciale 2A/D 3B 2009/2010
- 3. 6) RETTE ORIZZONTALI E RETTE VERTICALI una retta orizzontale 竪 linsieme di tutti i punti che hanno una y fissata per es. tutti i punti che hanno la y=-1 si trovano sulla retta orizzontale disegnata in figura, quindi y=-1 竪 lequazione di quella retta in generale tutte le rette orizzontali avranno una equazione del tipo y=q dove q 竪 un valore numerico le rette orizzontali possono essere pensate come rette del tipo y=mx+q con coefficiente angolare m=0 una retta verticale 竪 linsieme di tutti i punti che hanno una x fissata per es. tutti i punti che hanno la x=+1 si trovano sulla retta verticale disegnata in figura, quindi x=+1 竪 lequazione di quella retta in generale tutte le rette verticali avranno una equazione del tipo x=k dove k 竪 un valore numerico le rette verticali non possono essere scritte come rette del tipo y=mx+q 7) ESERCIZI ( esempi di esercizi standard) a) data lequazione disegnare la retta basta trovare una coppia di punti che soddisfino lequazione della retta e poi tracciare la retta per i due punti es. y=2x+1 x=1 ----> y=21+1=3 x=3 ----> y=23+1=7 Una richiesta che pu嘆 essere fatta per il rappresentare graficamente una funzione, pu嘆 essere quella di determinare i Esempio punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi cartesiani. y = 2x ! 6 Lintersezione con lasse delle ordinate (y) se x = 0 si trova dalla condizione x=0 y = -6 Lintersezione con lasse delle acsisse (x) si trova dalla condizione y=f(x)=0 se y = 0 (tali punti si chiamano anche zeri della funzione una funzione x=3 lineare avr al massimo un solo zero) es. y=2x+1 x=1 ----> y=21+1=3 x=3 ----> y=23+1=7 b) dato un punto sapere se appartiene ad una retta di equazione data oppure no basta sostituire le coordinate del punto nella equazione della retta : es. y=2x+1 x=1, y=3 ----> 3=21+1 VERO (1,3) 竪 sulla retta se si ottiene una uguaglianza vera --> il punto appartiene alla retta x=2, y=4 ----> 4=22+1 FALSO (2,4) non 竪 sulla retta se si ottiene una uguaglianza falsa --> il punto NON appartiene alla retta Piano cartesiano e rette speciale 2A/D 3B 2009/2010
- 4. c) dati due punti del piano determinare la pendenza del segmento che li unisce determinare il coeff. ang. della retta per i due punti Esiste una formula da ricordare, legata alla definizione di m vista nel Es. paragrafo 4 Punto A (x=1, y=3) Punto B (x=2, y=4) y !y m= 2 1 dove (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono le coordinate dei 2 punti y !y 4!3 1 x2 ! x1 m= 2 1 = = =1 x2 ! x1 2 !1 1 d) dati due punti del piano determinare lequazione della retta per i due punti Lequazione della retta ( se i due punti non sono sulla stessa verticale) 竪 Es. Determinare lequazione della retta y = mx + q del tipo y = mx + q , per cui, per determinarla, bisogna determinare i passante per i due punti : valori di m e di q Punto A (x=1, y=3) Per trovare m si usa il procedimento di cui allesercizio 3) Punto B (x=2, y=4) Si calcola y !y 4!3 1 y2 ! y1 m= 2 1 = = =1 m= dove (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono le coordinate dei 2 punti x2 ! x1 2 !1 1 x2 ! x1 Quindi lequazione sar y = 1x + q Per trovare q si sfrutta linformazione che la retta passa per uno qualsiasi Dovendo la retta passare per il punto A deve essere dei 2 punti (equivalente a dire che i punti appartengono alla retta) per cui verificata lequazione 3 = 11+ q ottenuta sostituendo le deve valere la condizione di cui allesempio 2) Cio竪, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta coordinate (x,y)=(1,3) nellequazione y = 1x + q y=mx+q (dove ora si conosce il valore di m gi calcolato) si deve ottenere 3 = 11+ q 3=1+q una uguaglianza vera. Da cui si ricava 3-1=q q=2 Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come incognita. La sua risoluzione permette di trovare q La retta cercata 竪 y=x+2 NB: come per molti esercizi di geometria analitica esistono pi湛 modi per risolvere questo problema. Ne segnaliamo rapidamente tre, che saranno approfonditi nelle lezioni in classe a) uso della formula per determinare lequazione della retta per due punti Soluzione con il metodo C y ! y1 x ! x1 = Scrivo lequazione del fascio di rette proprio per il punto y2 ! y1 x2 ! x1 A(1,3) b) Scritta lequazione generale della retta y=mx+q , imporreil passaggio y ! y A = m(x ! x A ) " y ! 3 = m(x !1) " y = mx + 3 ! m della retta per i due punti, sostituendo le loro coordinate nellequazione , e Imporre il passaggio per B(2,4) significa sostituire nella risolvere il sistema cos狸 ottenuto nelle variabili m e q. equazione del fascio le coordinate di B y = mx + 3 ! m " 4 = 2m + 3 - m " m = 1 c) Utilizzare la formula del fascio di rette per un punto (scegliendo uno dei quindi lequazione della retta cercata sar due punti dati come centro del fascio) y ! y0 = m(x ! x0 ) y = mx + 3 ! m con m=1 " y = x + 2 e poi imporre il passaggio per laltro punto per determinare il valore di m e) determinare lequazione di una retta parallela ad una retta nota e passante per un punto Il problema 竪 analogo al precedente . Es. Determinare lequazione della retta y = mx + q Si tratta di determinare lequazione della retta del tipo y = mx + q , per parallela alla retta y=2x-1 e passante per il punto : cui, per determinarla, bisogna determinare i valori di m e di q Punto A (x=1, y=3) Per trovare m si usa la regola per cui due rette parallele hanno lo stesso m= coefficiente angolare della retta nota y=2x-1 coeff. angolare, per cui m si ricava subito dalla equazione della retta nota. cio竪 m=2 Per trovare q si fa esattamente come prima Si sfrutta linformazione che la retta passa per il punto indicato Quindi lequazione sar y = 2x + q (equivalente a dire che il punto appartiene alla retta) per cui deve valere la condizione di cui allesempio 2) Dovendo la retta passare per il punto A deve essere Cio竪, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta verificata lequazione 3 = 2 1+ q ottenuta sostituendo y=mx+q (dove ora si conosce il valore di m gi calcolato) si deve ottenere le coordinate (x,y)=(1,3) nellequazione y = 2x + q una uguaglianza vera. Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come 3 = 2 1+ q 3=2+q Da cui si ricava incognita. La sua risoluzione permette di trovare q 3-2=q q=1 La retta cercata 竪 y=2x+1 NB . anche in questo caso si pu嘆 risolvere lesercizio con altri metodi, ad esempio utilizzando la gi citata formula y ! y0 = m(x ! x0 ) - in cui m si utilizza m ricavato dalla condizione di parallelismo e il punto dato come centro del fascio Piano cartesiano e rette speciale 2A/D 3B 2009/2010
- 5. Esercizi da svolgere 3 y= x 2 y = !2 3 1) Disegnare le rette 3 y = x +1 x= 2 2 y = !2x !1 2) Stabilire quali dei seguenti punti appartengono alla retta y=2x-1 A(1,1) B(2,3) C(-1;-1) D( 2; -5) 3) Trovare lequazione della retta che passa per i punti A(0,0) e B(3,2) 4) Trovare lequazione della retta che passa per il punto A(2,3) parallela alla retta y=2x+1 e lequazione della retta che passa per il punto A(2,3) perpendicolare alla retta y=2x+1 e 5) Trovare la equazione (la formula, la relazione....) che permette di calcolare il prezzo di una vacanza di n gg al mare, se il viaggio costa 240 e lalbergo 50 a notte, dove n 竪 un numero variabile tra 1 e 14 giorni..... Disegnare la retta corrispondente nel piano cartesiano avente in ascissa il numero di giorni ed in ordinata il prezzo totale. Piano cartesiano e rette speciale 2A/D 3B 2009/2010